CC BY
11Расчет дискретно подкрепленных пологих оболочек с учетом сопротивления ребер кручению
о ы
а
а
«
а б
Кобелев Евгений Анатольевич
канд. техн. наук, зав. кафедрой механики, Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, [email protected]
В работе предложен аналитический метод расчета линейно-упругих дискретно подкрепленных пологих оболочек с учетом сопротивления ребер осевой деформации, изгибу и кручению. На основании широкого применения аппарата обобщенных функций разработана математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек при дискретном введении узких ребер в предположении контакта ребра с оболочкой по линии с учетом крутильной жесткости ребер. Решение записанных в матричной форме систем дифференциальных уравнений с коэффициентами в виде разрывных функций и их производных в перемещениях получено при помощи специальных функций в виде быстро сходящихся рядов. По предложенной методике был разработан алгоритм и составлена программа расчета дискретно-подкрепленных пологих оболочек. Анализ результатов выполненных численных экспериментов показал, что жесткость на кручение эксцентричных ребер целесообразно учитывать лишь в случаях близкого расположения ребер к внешнему опорному контуру или установки ребер для окантовки отверстий.
Ключевые слова: пологая ребристая оболочка; дискретное подкрепление; узкое ребро; крутильная жесткость ребер; контакт по линии; обобщенные функции.
Введение
Тонкостенные оболочечные конструкции находят широкое применение в различных областях техники и строительства, так как обладают большим разнообразием форм, достаточно высокой прочностью и жесткостью.
Большинство публикаций по исследованию прочности и устойчивости оболочечных конструкций основано на предположении, что материал конструкции линейно-упругий и изотропный [1-3].
Для повышения жесткости тонкостенные оболочечные конструкции обычно подкрепляются ребрами [3, 4]. Совместную работу оболочки и ребер жесткости необходимо корректно учитывать при разработке математических моделей и программного обеспечения расчетов прочности и устойчивости подкрепленных оболочек. Как показано в работе [5], некоторые допущения, оправданные для гладких оболочек, некорректно применять для оболочек, подкрепленных ребрами жесткости. Поэтому при исследовании прочности и устойчивости подкрепленных оболочек очень существенным является выбор математической модели деформирования конструкций, которая должна наиболее точно учитывать основные факторы, влияющие на напряженно-деформированное состояние конструкции. Также очень важным является разработка алгоритма расчета [4], который позволяет не только получить наиболее точные сведения о прочности и устойчивости оболочки, но и является оптимальным для решения определенного класса задач.
Таким образом, совершенствование математических моделей тонкостенных оболочек, имеющих различные нерегулярности как по толщине, так и в плане, наиболее полно и достоверно описывающих работу конструкции и создание на их основе эффективных методов расчета напряженно-деформированного таких конструкций, является весьма актуальной задачей.
В научных публикациях исследуются различные способы учета ребер жесткости. Математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек с учетом геометрической нелинейности, дискретного введения ребер в предположении контакта ребра с оболочкой по линии, сдвиговой и крутильной жесткости ребер, поперечных сдвигов и возникновения ползучести материала рассматривается в работах [3, 6]. Как показали исследования [7-9], учет сдвиговой и, особенно, крутильной жесткости ребер существенно сказывается на НДС и устойчивости ребристых оболочек. Кроме того, при исследовании проблем устойчивости ребристых оболочек весьма существенным становится учет поперечных сдвигов. Поэтому для детального исследования НДС и устойчивости оболочек, подкрепленных узкими ребрами, необходимо использовать уравнения равновесия, учитывающие поперечные сдвиги (модель Тимошенко-Рейснера).
В работе [10] проводится анализ напряженно-деформированного состояния пологих обо-лочечных конструкций двоякой кривизны, подкрепленных со стороны вогнутости различным числом ребер. Используется теория деформирования оболочек Миндлина-Рейснера, учитывающая геометрическую нелинейность, поперечные сдвиги, а также дискретное введение ребер жесткости с контактом ребра и обшивки по полосе. Анализируются полученные данные о значениях напряжений, усилий и моментов в ребрах жесткости и в обшивке. Выявлены особенности их распределения. Показано, что учет контакта ребра с обшивкой по полосе позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние в ребрах, что невозможно при учете контакта ребер по линии с помощью дельта-функций.
В работах [5, 11] представлены более точные математические модели пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах. Разработано математическое и программное обеспечение расчетов оболочек ступенчато-переменной толщины (ребристых и с вырезами) с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах, а также дана методика выбора рационального подкрепления оболочек ребрами жесткости.
Учет небольшого количества ребер жесткости, как правило, осуществляется дискретно, т. е. отдельно для каждого ребра. Дискретное подкрепление оболочек при малом числе ребер исследовано в работах [5, 12].
При большом количестве часто установленных ребер жесткости применяется метод приведения ребристой оболочки к ортотропной. Очевидно, что при этом напряженно-
деформированное состояние оболочки непосредственно вблизи ребер искажается. Детальному исследованию нерешенных вопросов такой замены (отсутствие четко установленных критериев применимости такой замены, практических рекомендаций для нерегулярной расстановки ребер и т.п.) посвящены многочисленные работы [13-17]. В связи с этим ниже в работе рассматриваются лишь методы, учитывающие дискретную постановку ребер.
Аналитическое решение для расчета ребристых оболочек известно только для простых краевых условий опирания, т.е. с граничными условиями типа Навье. В этом случае функции перемещений представляются в виде ряда Фурье [18, 19]. Для решения практических задач с более сложными условиями закрепления на контуре необходимо применить численные методы. Трудности получения аналитических решений обуславливаются наличием разрывных параметров в функциях жесткости оболочки. В связи с этим в этой области определились следующие направления исследований:
- отыскание аналитических решений, например, в тригонометрических рядах с использованием дельта-функций, которые имеют импульсный характер и учитывают скачки и изломы в искомых функциях. Отметим, что в отличие от гладкой оболочки, получаемая здесь система алгебраических уравнений для коэффициентов членов ряда разложения даже при шарнирном опирании оказывается совместимой в силу неортогональности тригонометрических функций дискретного аргумента при произвольных жест-костях и расположении ребер.
- рассмотрение работы ребристой оболочки как контактной задачи. При этом используется расчленение на гладкую оболочку и подкрепляющие ребра, либо выделяются гладкие панели и ребра, которые стыкуются между собой. Так, например, в оболочках с параллельной системой ребер, нормальных к двум шарнирно опертым сторонам, для каждого гладкого участка ищется решение в виде одинарных тригонометрических рядов с последующим выполнением условий контакта по линиям ребер. Здесь, как и вообще для аналитических решений, ограничения применимости метода обусловливаются трудностями выбора функций, удовлетворяющих различным граничным условиям. Аналитические методы решения еще более усложняются при рассмотрении оболочки, подкрепленной системой взаимно ортогональных ребер.
- разработка численно-аналитических методов расчета упругих тонкостенных пространственных систем с нарушениями регулярности [20, 21] .
- применение методов численного анализа для расчета ребристых оболочек свободно от
О 55 I» £
55 П П
о ы
а
а
«
а б
ряда недостатков, присущих аналитическим решениям. Численные методы решения [22] позволяют учитывать различные контурные условия и условия сопряжения, наличие перекрестных ребер и др. В настоящее время наиболее популярным является МКЭ. Однако существенным недостатком численных методов является отсутствие решения в общем виде.
Исследования в области устойчивости ребристых оболочек, как правило, выполняются с использованием для описания НДС обшивки теории упругих тонких оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, а для описания НДС ребер - теории тонких стержней Кирхгофа-Клебша. Почти во всех работах принимается, что ребра присоединены к обшивке вдоль линий главных кривизн и передают на обшивку реакции, распределенные вдоль этих линий. В линейной постановке используется статистический критерий устойчивости, и задача сводится к решению систем дифференциальных или интегральных уравнений нейтрального равновесия. С целью упрощения задачи в конкретных исследованиях пренебрегается некоторыми факторами. Зачастую во многих исследованиях необоснованно пренебрегается влиянием сдвиговой и крутильной жесткости ребер на НДС тонкостенной конструкции. Однако, как показано в работе [23], где в линейной постановке производится расчет подкрепленной пологой цилиндрической панели с учетом влияния сопротивления тонкостенных ребер на кручение, в некоторых случаях это влияние оказывается весьма существенным.
Постановка задачи и цели исследования
Целью исследования является разработка сравнительно простой и легко реализуемой математической модели для прочностного расчета пологих оболочек, дискретно подкрепленных тонкими ребрами жесткости, которые учитываются при помощи математического аппарата разрывных функций по контактным линиям для оценки влияния учета числа ребер, их шага и крутильной жесткости ребер на напряженно-деформированное состояние пологой оболочки. Данный подход предлагается использовать для получения аналитического решения на первоначальной стадии расчета с целью разработки на его основе рекомендаций по выбору рационального метода для последующего уточненного анализа НДС ребристой пологой оболочки.
Метод расчета
Рассмотрим пологую оболочку двоякой кривизны на прямоугольном плане. Со стороны вогнутости оболочка подкреплена ортогональной сеткой узких ребер, параллельных координатным линиям (рис. 1). Дискретное положение ре-
бер задается при помощи дельта-функций Дирака.
л
Рис. 1. Пологая оболочка, дискретно подкрепленная узкими ребрами
В соответствии с [22] для составления системы разрешающих уравнений вводятся обобщенные усилия и моменты с помощью формул:
Тг = ЛДоф1 + ад» 1) ■в(у ■- у ОI
^ = + МдО ¿сг" 1
эт.
Мг=м,+ Е&щ) ЧУ - и); ш
Е
Щ = Щ + 2 ЦЕнУъЪ + ВД^) в(х - Хп) ,г г-
= - л>+- ад,
I I п
где I, п - количество ребер, параллельных, соответственно, оси х, у.
Подставив в уравнения равновесия ребристой пологой оболочки
дТ; дЗ „
ах* + *дхду * ду
усилия и моменты по формулам (1) и, используя соотношения упругости, получим систему дифференциальных уравнений в перемещениях
+ I- I- =
■Ру + + + к3ачв^ = X,
в
ч?
О
где £
к = к1~\- 2}л,к1_кх -н Ь® ■
_ 1 + р
Введем дифференциальные операторы:
^li = =
-.Ml.
i _ я* gg! lL fe1 *
Г
ls~ 11 ^
j
21 * '
В, &
21 ду
В г/ &
D™l*dx В
Тогда система уравнений (3) в матричной форме принимает вид
LyV = Xf
где /'= 1, 2, 3; j=1, 2, 3;
Е/г= níífW]- j?T = pt
X - свободные члены, учитывающие влияние эксцентричных ребер на пологую оболочку по линиям контакта.
Если ввести вспомогательные функции , где у=1, 2, 3, то полученная система уравнений (4) примет вид
= Хр
где
/Э* ft*
Д1= -+ 2 kLtís-=-s-+ &L д-■
дул
Функции перемещений выражаются через вспомогательные функции следующим образом:
У = луФ,
где
Л1|= W'b'W'to Wh ■ ¿31^1»; Й3|= ¿li^a ~¿ZI ka1
4ь= У j, - y2¡; ¿23=Уз, - у,; Уь' kh V kk - kki k= kk ■ kkv ¥ kk" к Ar
Фт= [<pL
Для поиска решения искомые функции представим в виде рядов:
w = ^'líj (у) cos atx, и = ^ i^tar? cos fay,
*h = У <РпЩ cos fty, у, = £ t Щ (}f) sin Щ ],
^ = -г: № ВТ-
где * А О
Подставив эти выражения в систему уравнений (6), имеем для /'-го члена ряда
ЦЫу) =-|Т ^.[tiMfyj - вд(г)] -ВДф,(у) ff(y -й). í ' '
-EWfowiK)--.felw] - .ъ).
&1Щ(У) - «==
где lí =
dhj{d%4) - ftfj )Ч t ¡^/(йй) - )T2;
Л' jjñjiV^Híííji ¿ЭДАз-Идо/1!}1!
енме полученных уравнений будем искать в виде
где
ад; щШЦм; иудо щт^); щы _
коэффициенты, определяемые из условий совместности деформаций оболочки и ребер по линиям контакта
= (8) = ЧГ® = = Н^Н'^ =
Функция является решением уравне-
ния
и имеет вид
где Ss = Sh<kCX)SÍn{d'X)]
S¿ = sMcaoco з(еЬг>
Cc = Ch(.eX)tQis(fx)i Sj = Sh(.ex)3iaífx}i
o
R и
R
n
fi
(
ы
а
Сап = съ{е$х - с* -ад)^
- действительные ко эффициенты, зависящие от корней характери стического уравнения.
Функция образуется из функции
заменой
X „71*1
. При построении этих функций постоянные интегрирования определяются из граничных условий на контуре оболочки.
Подставив функции (7) в соотношения (6), определяем коэффициенты
из условий (8), которые приводят к системе алгебраических уравнений порядка 4*п*1, где п, l -число ребер каждого направления.
Построив функции перемещений (6), вычисляем усилия и моменты в пологой оболочке по известным формулам технической теории оболочек.
Анализ результатов исследования
По предложенной методике был разработан алгоритм и составлена программа расчета дискретно-подкрепленных пологих оболочек. В качестве примера выполнен расчет квадратной цилиндрической панели размерами: а=1,0 м, Я=5,0 м, Л=0,01м, подкрепленной ортогональными эксцентричными ребрами с размерами поперечного сечения 0,05х0,05м при х=0, у=0, и свободно опертой по двум другим сторонам. Внешняя нагрузка p=10sin(kл^х)sin(kл^y) кН/м2.
Результаты расчета напряженно-деформированного состояния вдоль образующей у=в/2 гладкой оболочки (ГО) и ребристой оболочки (РО) приведены в Табл. 1.
Таблица 1
Результаты расчета цилиндрических пологих оболочек
5
«
а
6
y=a/2 Про- w, гиб м10-3 Момент кНм/м102 Mx, Момент кНм/м104 M12,
x, м ГО РО ГО РО ГО РО
0,00 0,00 0,00 0,00 11,83 2,86 32,23
0,50 0,522 0,519 -6,20 1,16 2,67 30,85
1,00 0,992 0,961 -12,69 -10,26 2,25 26,01
1,50 1,369 1,329 -17,69 -16,69 1,63 18,81
2,00 1, 612 1,570 -20,83 -20,44 0,85 9,83
2,50 1,674 1,657 -21,89 -21,66 0,00 -0,10
3,00 1, 612 1,570 -20,83 -20,57 -0,85 -10,02
3,50 1,369 1,329 -17,69 -17,44 -1,63 -18,95
4,00 0,992 0,961 -12,69 -12,60 -2,25 -26,03
4,50 0,522 0,519 -6,20 -6.55 -2,67 -30,56
5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -2,86 -32,10
Как следует из анализа полученных результатов, в непосредственной близости от ребра жесткости в подкрепленной оболочке изгибающий момент возрастает более чем в 1,8 раза, крутящий момент увеличивается в 11,3 раза, а прогиб уменьшается на 12,5% по сравнению с аналогичными величинами для гладкой цилиндрической оболочки.
Заключение
Предложенный в работе аналитический метод расчета дискретно подкрепленных пологих оболочек и выполненные по разработанной программе численные эксперименты показали, что учет жесткости на кручение эксцентричных ребер целесообразен лишь в случаях близкого расположения ребер к внешнему опорному контуру или установки ребер для окантовки отверстий. По сравнению с существующими комплексами программа характеризуется значительно меньшим количеством неизвестных, простотой вводимой исходной информации, временем вычислений и высокой точностью расчетов. Полученные в данной работе результаты позволяют существенно расширить класс возможных граничных условий, что легко достигается изменением крутильной жесткости контурных ребер в аналитических зависимостях.
Литература
1. Buermann P., Rolfes R., Tessmer J., Schagerl M. A semi-analytical model for local postbuckling analysis of stringer- and frame-stiffened cylindrical panels // Thin-Walled Structures. 2006. V. 44. P. 102-114.
2. Arani G., Loghman A., Mosallaie Barzoki A. A., Kolahchi R. Elastic buckling analysis of Ring and stringer-stiffened cylindrical shells under general pressure and axial compression via the Ritz method // J. Solid Mech. 2010. V. 2, N 4. P. 332347.
3. Кудрявцев В.К. Устойчивость упругих пологих ребристых оболочек / Математические моделирование, численые методы и комплексы программ: Межвуз. Темат. Сб. тр. / СПбГАСУ. -СПб., 2006. - с. 44-48.
4. Карпов В.В., Семенов А.А. Математические модели и алгоритмы исследования прочности и устойчивости оболочечных конструкций, Сиб. журн. индустр. матем., 2017, том 20, номер 1, с. 53-65. DOI: https://doi.org/10.17377/sibjim.2017.20.106
5. Карпов В. В., Игнатьев О. В., Сальников А. Ю. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования. М.: Изд-во АСВ, 2002.
6. Карпов В.В., Кудрявцев В.К. Устойчивость ребристых пологих оболочек при длительном
нагружении. Вестник ВолгГАСУ, сер. Строительство и архитектура, Вып. 6 (21). Волгоград, ВолгГАСУ, 2006. - с.160-168.
7. Карпов В.В., Катышевская А.К. Уравнения в смешанной форме для пологих оболочек, подкрепленных узкими ребрами, при конечных прогибах // Труды молодых ученых, ч. 2. СПбГАСУ. СПб. 2000. С.81-87.
8. Карпов В.В., Катышевская А.К. О погрешности, возникающей при введении ребер по линии // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. / СПбГАСУ. СПб. 1999. С.82-88.
9. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Семенов А.А. Напряженно-деформированное состояние ребристых оболочечных конструкций // Инженерно-строительный журнал. 2017. № 6(74). С. 147160.
10. Филиппов Д.С. Влияние учета поперечных сдвигов на устойчивость ребристых оболочек. // Доклады 57-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных сотрудников инженеров и аспирантов университета, ч. 1. СПбГАСУ. СПб. 2000. с. 44 - 46.
11. Карпов В.В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения: В 2 ч. часть
1. Модели и алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 288 с.
12. Антуфьев Б.А. Локальное деформирование дискретно подкрепленных оболочек М. : Изд-во МАИ, 2013. 182 с.
13. Карпов В.В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения: В 2 ч. часть
2. Вычислительный эксперимент при статическом механическом воздействии. - М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2011. - 248 с.
14. Карпов В. В., Семенов А. А. Математическая модель деформирования подкрепленных ортотропных оболочек вращения. Инженерно-строительный журнал. 2013. № 5 (40). С. 100106. DOI: 10.5862/MCE.40.11
15. Семенов А. А. Алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных орто-тропных оболочек. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2014. № 1. С. 49-63
16. Игнатьев О.В., Карпов В.В., Семенов А.А. Вариационно-параметрический метод выбора рациональных параметров подкрепленных ор-тотропных оболочек вращения // Вестник МГСУ. 2014. № 10. С. 24—33.
17. Karpov V., Semenov A. Comprehensive study of the strength and stability of shallow shells made of fiberglass. AIP Conference Proceedings. 2016. No. 1785, 040022. P. 1-4. DOI: 10.1063/1.4967079
18. Karpov V. V., Semenov A. A. Mathematical models and algorithms for studying strength and
stability of shell structures. Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2017. Vol. 11. Issue 1. Pp: 70-81. DOI: 10.1134/S1990478917010082
19. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Семенов А.А. Напряженно-деформированное состояние ребристых оболочечных конструкций // Инженерно-строительный журнал. 2017. № 6(74). С. 147160.
20. Кобелев Е.А. Метод расчета нерегулярных пространственных систем с учетом нелинейных эффектов // Строительная механика сооружений и мостовых конструкций: Межвуз. темат. сб. тр. Л.: ЛИСИ, 1990. С. 50-56.
21. Голоскоков Д. П. Численно-аналитические методы расчета упругих тонкостенных конструкций нерегулярной структуры/ Д. П. Голоскоков. — СПб.: Изд-во А. Кардакова, 2006. — 271 с.
22. Ильин В. П., Карпов В. В., Масленников А. М. Численные методы решения задач строительной механики. - М.: АСВ. 2005. - 426 с.
23. Коротенко H.A. Закритические деформации пологой цилиндрической панели, подкрепленной тонкостенными ребрами // Исследования по теоретическим основам расчета строительных конструкций. Межвузовский тематический сборник трудов. Л.: ЛИСИ,1998. С.62-69.
The calculation of the discretely supported shallow shells
taking into account the resistance of the torsion ribs Kobelev E.A.
Saint-Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering
The paper proposes an analytical method for calculating the linear-elastic discrete-reinforced flat shells taking into account the resistance of the edges of axial deformation, bending and torsion. On the basis of wide application of the apparatus of generalized functions developed a mathematical model of deformation of shallow ribbed shells under discrete introduction of narrow ribs on the assumption of contact of the ribs with a skin of lines in view of the torsional stiffness of the ribs. The solution of the systems of differential equations in matrix form with coefficients in the form of discontinuous functions and their derivatives in displacements is obtained by means of special functions in the form of rapidly converging series. According to the proposed method, an algorithm was developed and a program for calculating discrete-reinforced flat shells was compiled. Analysis of the results of the performed numerical experiments showed that the torsional stiffness of the eccentric ribs are considered to be important only in cases of close proximity of the ribs to an external control circuit or install rib for the edging holes. Key words: flat ribbed shell; discrete reinforcement; narrow edge; the torsional stiffness of the ribs; contact line; generalized functions. References
1. Buermann P., Rolfes R., Tessmer J., Schagerl M. String-frame and frame-stiffened cylindrical panels // Thin-Walled Structures. 2006. V. 44. P. 102-114.
2. Arani G., Loghman A. A., Mosallaie Barzoki A. A., Kolahchi R. Elastic buckling analysis of the ring and stringer-stiffened cylindrical shells using J. Ritz method // J. Solid Mech. 2010. V. 2, N 4. P. 332-347.
3. Kudryavtsev V.K. Stability of elastic shallow ribbed shells / Mathematical modeling, numerical methods and program
О R U
£
R
n
complexes: Interst. Theme Sat tr. / SPSUACE. - SPb., 2006. - p. 44-48.
4. Karpov V.V., Semenov A.A. Mathematical models and algorithms for studying the strength and stability of shell structures, Sib. journals industry Mat., 2017, volume 20, number 1, p. 53-65. DOI: https://doi.org/10.17377/sibjim.2017.20.106
5. Karpov V. V., Ignatiev O. V., Salnikov A. Yu. Nonlinear mathematical models of deformation of shells of variable thickness and algorithms for their study. M .: Publishing House DIA, 2002.
6. Karpov V.V., Kudryavtsev V.K. Stability of ribbed gentle shells under prolonged loading. Bulletin VolgGASU, sir. Construction and Architecture, Vol. 6 (21). Volgograd, VolgGASU, 2006. - pp. 160-168.
7. Karpov V.V., Katyshevskaya A.K. Mixed-form equations for shallow shells, supported by narrow ribs, with finite deflections. Proceedings of young scientists, Part 2. SPSUAC. SPb. 2000. P.81-87.
8. Karpov V.V., Katyshevskaya A.K. On the error arising from the introduction of edges along the line // Mathematical modeling, numerical methods and program complexes: Interst. the subject. Sat tr. / SPSUACE. SPb. 1999. pp.8288.
9. Karpov V.V., Ignatiev O.V., Semenov A.A. Stress-strain state of ribbed shell structures // Engineering and Construction Journal. 2017. No. 6 (74). Pp. 147-160.
10. Filippov D.S. The effect of taking into account the transverse shifts on the stability of ribbed shells. // Reports of the 57th scientific conference of professors, teachers, research engineers and graduate students of the university, part 1. SPSUAC. SPb. 2000. p. 44 - 46.
11. Karpov V.V. Strength and stability of reinforced shells of revolution: In 2 hours. Part 1. Models and algorithms for studying the strength and stability of reinforced shells of revolution. - M .: FIZMATLIT, 2010. - 288 p.
12. Antufev B.A. Local deformation of discretely supported shells M.: Izd-vo MAI, 2013. 182 p.
13. Karpov V.V. Strength and stability of reinforced shells of revolution: At 2 o'clock part 2. Computational experiment with static mechanical action. - M .: FIZMATLIT, 2011. - 248 p.
14. Karpov V.V., Semenov A.A. A mathematical model of the deformation of reinforced orthotropic shells of revolution. Engineering and Construction Journal. 2013. No. 5 (40). Pp. 100-106. DOI: 10.5862 / MCE.40.11
15. Semenov A. A. Algorithms for studying the strength and stability of reinforced orthotropic shells. Construction mechanics of engineering structures and structures. 2014. № 1. P. 49-63
16. Ignatiev O.V., Karpov V.V., Semenov A.A. Variational-parametric method for selecting rational parameters supported by orthotropic shells of revolution. Vestnik MGSU. 2014. № 10. P. 24—33.
17. Karpov V., Semenov A. Comprehensive study of fiberglass. AIP Conference Proceedings. 2016. No. 1785, 040022. P. 14. DOI: 10.1063 / 1.4967079
18. Karpov V. V., Semenov A. A. Mathematical models. Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2017. Vol. 11. Issue 1. Pp: 70-81. DOI: 10.1134 / S1990478917010082
19. Karpov V.V., Ignatiev O.V., Semenov A.A. Stress-strain state of ribbed shell structures // Engineering and Construction Journal. 2017. No. 6 (74). Pp. 147-160.
20. Kobelev E.A. The method of calculating irregular spatial systems with nonlinear effects // Building Mechanics of Structures and Bridge Structures: Mezhvuz. the subject. Sat tr. L .: LISI, 1990. p. 50-56.
21. Goloskokov D. P. Numerical-analytical methods for calculating elastic thin-walled structures of irregular structure / D. P. Goloskokov. - SPb.: A. Kardakova Publishing House, 2006. - 271 p.
22. Il'in V.P., Karpov V.V., Maslennikov A.M. Numerical methods for solving problems of structural mechanics. - M .: DIA. 2005. - 426 p.
23. Korotenko H.A. Supercritical deformations of a sloping cylindrical panel supported by thin-walled ribs // Studies in the theoretical foundations of the calculation of building structures. Interuniversity thematic collection of papers. L .: LISI, 1998. C.62-69.
Q U
a
s
«
a б
