Расчет динамики электромагнита в программе Matlab Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.313

PAC4FT ДИНАМИКИ КТРОМАГНИТА R ПРОГРАММ F M ATI AR

А. С. Тгтевосяи, А А. Тгтевоеяк. H. В. Захарова Омский сосу дарственный технический университет, г. Омск, Россия

Аннотация - В статье рассматривается пример решения важной технической задачи в области проектирования электромагнитных устройств, а именно численный расчет динамических характеристик электромагнита в программном обеспечении МА'ИАВ. На базе сушеетвуюпшх метоэпк расчета по луч е-нм нюижшчи'к'ир кыражннин дли ¡ш'нкш .щнимики :4.№кг1|1111\1»1ни1а, |Ы«1>а1нм »нм прукч урнмн гчрмм, иишилиющие имиииииини)' людьмиров;«ы11%. Ре^улынлы нигльнниш миде.шривиним нил держалки см натурными исследованиями, полученными в лабораторных условиях. Результаты расчета могут быть использованы в задачах проектирования, а также в задачах оптимизации конструкции электромагнитов по выбранным критериям оптимальности.

Ключевые слова: электромагнит, обмотка, динамические характеристики, быстродействие, коэффициент полезного действия, тяговое усилие.

Основными характеристиками электромагнита, подлежащими определению. являются зависимость электромагнитной силы (тягев ого усилия), действующей на якорь, потокоеиепления. температуры обмотки ст зна-чеипи тока е обмопче. рабочего зазора (иди ходе якоря) и времени [1-2] Наиболее общими являются дипамиче ские характеристики ЭМ. которые уплывают шмепесшя намагничивающей сиди электромагнита в процессе сгс срабатывания за счет действия ЭДС самоиндукции и движения якоря. Для некоторых типов электромагнитов (быстродействующие электромагниты, электромагнитные Енсраторы н т. п.} знание динамических характе-

ригшк ЯШИГНЯ »ГоСЦПГЛКНММ ДЛЯ ИСЧМГДОНННИ! ри(м)ЧГШ 11]И1ЦПЧЛ ДИНЛМИЧГТКИГ Ха|1ИК-|Т]1И<:1ИКИ ЭМ lipryt-(Т1икликil' ; «>1н:й :<анигнм<н:гн иг нргмгни

- iülOBUlO усилия F j(|),

- тока i(t):

- потокосцеплешся обмотки <f(t);

- перемещены x(t);

- скорости лкоря v(t).

Динамической характеристикой ЭМ является также зависимость потокоеиепления обмотки от тока v(i).

Эти ЛЛВИГИТЧГПСТИ обычно опрг-дг.тятлте Ч при Г рл 6,"ГОДИЛ НИИ ЧГГКТрОЧТЛ-НТТТЛ при РГО вкпочгнтт ИЛИ ОТК.ПОНГ-НИИ ДИНИМИЧГСКИГ ХИрИК'1Г]1ИГ1К11Н ЭМ Mil A Ht) определять, испоимух МГШДМ |[|ИЧИЧГ(:К1)Г«> МЛкГГИрОКИНИМ и математического моделирования.

Электромагнит является сложным объектом для моделирования, поскольку отличается разнообразием кон-струкгавиых решении к происходящих в нем физических процессов. Подробная математическая модель ЭМ для определения его динамических характеристик имеет большое число пешвестпых параметров и требует больших вычислительных ресурсов при анализе 13 J

Т RR-TF4HF

Б. ПОСТАНОВКАЗАДАЧИ

Рж гмсприм услпкнуш «хгму нгк;тш]хн() :«лгь ipouai нитп, ич:>(|}>имгннук> ни риг 1

t -жсспвиш >

■ РУАННЫ

■ (»АННЫ

Хг' < чу

Рис. 1. Условная схема электромагнита

В схеме приняты условные обозначения: 5 - ключ б иепи оомэтхи намагничивания:

К - ключ в цепн собмотки с короткозамкнутымн \»/к внткамн; и(1) — напряжение на входе. в общем случае изменяющееся оо времени: 1) - ток и сбмопсе; 5(1) - текущий (пзменяюшпнся »с времени) рабочий боз дуттип-тт за юр. х(/ I - ход якоря. определяемый от фиксированной точки отсчета Э; Ф® - переменный магнит ный лоток: К. I; активное сопротивление и индуктивность обмотки ЭМ: Э^ф- эффективная площадь иопереч-

Н11111 1-.ГНГНИ* 1ПИХ'ШШ1НН010 МИ1 НИ П111]КЖО,;1г1 (г. унгтм М1»Ф4 ИЦИГНТЛ ЧИНОЛНГНИИ С '1ЯЛЬК»), ^ — ЧИСЛО КИГК11К

обмотки ЭМ; 111 я- масса якоря; 6а начальный воздушный зазор; 5К - конечный воздугпг.т заэор. с — жест кость пружины.

После включения цепн напряжение источника гопания уравновешивается активным пгденнем напряжения н протнво-ЦДС обмотки 14—/]:

и(1)=1(0 ьД, (1)

dt

где V = \|/(1, х) — пстокосцепленне обмотки, зависящее от тока н перемещения якоря.

В начальном положении чко^т Гх — 0) [шАнчий :«:«1|1 риигн ннчаньном^ «саф)' 5(0) = бы итирый агжх и-тельно велнк. Поэтому- магнитную цепь мозено считать ненасыщенной, а индуктивность обмотки постоянной. При движении якоря х(1) > 0 раоочии зазор уменьшается по закону

5С0 = Зн-х(0. (2)

г. индуктивность оЗметхи увеличивается. характеристики *]'(■) = 1|г(1 х)|х_С0П5- становятся более крутыми, при ьо^расгиннм юка м^же. иасгушиь на.ыщснис магниюироиодн (ье-шыздыос 1ь ^(1) — х)| х =(Х Т1Ч| )- Полому в общем случае характеристики и(1) = х)|х-сопЛ моп>т представлять семейство кривых, построенных прн онкенровапных значениях переменной х :ю стрелке [о; , где хп--.у = бн бк.

Ич У]МКНГНИЧ Г4ЛКК1}1ИЧГ<-.К()1Ч1 ]>ПНН1]КГ«'ИЯ. Г11|К1КГ/и1ИК011Э КЯЖДОП1 1ЮЛП* ГННЧ якоря Н ИШГрЖШГ

0<х <йн — 1>к. нетрудно получить уравнение баланса энергии. учитывающего особенности преобразования

■>ЛГК1]И1Мг11НКГН(1Й «НС*|11 ЧИ К ]ЖНКХ ЧгКГШХ ЭМ I ]>И ,|.КИЖГНИИ И КС 1]1М С Ч1Ш ЦГЛКК) уиН'.)ДИМ обг чисти уриниг-

ния (1) на произведение 1 • с1т, тогда получим

и 1<Й - II • + 1с1у .

" 1 о

где 11' - электрическая энергия источника питания: К энергия. расходуемая на нагрев обмоточнего

провода и рассеиваемая в окружающую среду; энергия, передаваемая о магнитную систему ЭМ магнит ным полем

Очевидно. что лоследиее слагаемое о правой части получеспюго уравнения определяет суммарпую энергию, затрачиваемою на движение якоря н изменение энергии магнитного поля, поэтому можно записать

к1у-1эмс1х+<1>Ум. (3)

где Рэм - электромагнитная сило, действующая на якорь: <1\УМ - изменение энергии мапппного поля. Еэмс1х -миишичакш рабша но шгремешеыши мьорл.

Равенство энергий (3) можно рассматривать как уравнение для определения электромагнитной силы . Действительно, зная выражение энергии магнитного поля

XV

найдем изменение оперпш магшгпюго поля за время 01. вычислил ее дифференциал

где $ - селение стального сердечгыка. па котором находится обмотка ЭМ. .Индуктивность обмотки ЭМ зависит от хола якоря

Ч> о*-*

Нача льное лечение нндухлшшосш ибмшки ЭМ (ирн ию1хешин перемещении ххорх х = 0 ) будег откуда |лс,8\ч ' = Х^Од. и тогда индуктивность

(9)

Ь(х) = *'НЕ = 1 . (10)

он -х а -Ьх

V ИНКТрГН/ЧЯ инлуктняног.пч (ягли<пшл. ойрлткля ИНДуГТИИЖХ"ти) похгптки ' )М

Г(х) = 1Г1 (х) = а - Ьх. (11)

где а = —. Ь = —-— - коэффициенты полинома первого порядка

ш. тьсрия

Очевидно, что зависимость инверсной индуктивности обмотки от перемещения якоря Г(\) при отсутствии кягыщгния чогнитклй цггти Г)М и учгтг тлпучиплння млгнтгтнгию потока и рабочем мяорг й оудет тллло отличаться от прямой линки нл Ьольтттгй части холл якоря одняко гг наклон и коэффициенты лппрокс имируктщего шшнииа (а. Ъ) сущесчаенни имешах Для их ииределених ишшо ирименнгь с.кгдунлцую схему расчеха.

— -ПК.ленным меюдо» и помощью иакеха ир-чуамм для ПК рассчшахь махан 1ние ноле ЭМ с у чехом ис! никои деомехрин ею глл1 иихной снсдемы, хараыерлеххх* исио.дыуе.мых маишхных махерналса и й-^нных 1ра-

пичиых условий при выбранном рабочем токе 1р и фиксированных значениях перемеакпнн якоря. задавае мых в диапазоне 0 < X < 5Н - 0К;

— ио ре^ульгахам расчета махнкхнохо пола при фиксированном рабочем ¿адоре аычле.хихь черед хклохосцеи-ленне нлн запас энергии магнитного поля индуктивность (инверсную индуктивность) обмотки ЭМ:

- построшь график зависимости Г(х I при выбранном рабочем токе 1р и аппроксимировать его прямой гашиеп. вычислю) коэффициенты алщ>01:снмир>ю1лего полинома:

- сравнить козфф:шие1гты аппроксимащш зависимости Г(х). нолуче1шые па основе чнелешюго расчета

магнитного поля, с коэффициентами 1а. Ь). полученными из расчета мггнпгнои цеик контактора без учете выпучивания маппггпого потока.

Независимо от способа определения коэффшшеитос (а.Ь) зависимость инверсной индуктивности -Г(.т) обмотки от перемещения якоря записывается одинаковым образом, с значит, выражение (б) может быть использовано для расчета электромагнитной силы с учетом выпучивания магнитного потока в рабочем зазоре, характеристик испольяуеммх тч/тчитных млтгрилгглк и пгтиннпй теометрки чслгиитной гигтрмы ')м ' огда ■ц|гк1ромл1 ни I няч сила Пудет

1-2 <1ь(х)_ 1. 2 Ь Грч

М=21р ах V» (а_Ьх)2'

Для предупреждения оншбки расчета электромагнитной силы при м&тых значениях рабочего зазора, осо-Ьенно в кокне хода якоря У. = дн с>л . нспользук>1 формулу Максвслла. Ьслн мпгннтнос поле в рабочем зазоре раьномерно н 1.о.1.-о_:ы нендсышенны, ш формула Максвелла дли силы а одном задире имес: аил.

С13)

-Ц0

Учитывая силы, действующие на якорь, получим следующее уравнение движения якоря, пренебрегая склон трения

¿V <11

где ^ — + С • X - сила сжатия (растяжения) возвратной пружины: Ед - сила начального сжатия (растяже-

т,,я —= 1?эм+Ря-рЕр •

(14)

ння) возвратной пружины: с жссгкость пружины: V скорость яхеря: Ря = Шя 2 зссяксря: Шя масса

/ у

подвижных частей, приведенных к якорю: Н = 9.81 м/ с - ускорение свободного падения.

Принимая во внимание выражение (1 5), запишем

т / ¿1 с1Ь(х) с!х _ , . ё1 . <ИХх) —- = Ь(х) — +1 -—--= Цх)--ЬI-— V где г - скорость движения якоря

<И ей ёх <11 <11

Тогда уравнение (1) электрического рпвнозескя ебьюткн ЭМ примет еих

и(Т) - 1(Т) ■ а + Цх) ■ — 1 ^^ V, ' & С1Г

а полная система уравпешш, характеризующая изменение во времени тока в обмотке и движение якоря, будет состоять из уравнений (14) и (15)

П^ЮДиффгрГН |иругм уракнгниг- (10) но мг-ргмг-нной *

аь(х) ъ

(а-Ъх):

С учетом выражения (16) уравнение (15) примет вид:

(16)

и<0 = К0-н.+———+ь ь

■ V-

а-Ьх А (я-Ьх)2

Подставим выражение электромагнитной сипы (12) в уравнение движения якоря Г14). тогда получим:

¿V 1 .2 111т — = —Г—

* (а - Ьх Г4

(17)

(1*)

Для совместного решения объединим уравнения (17) и (18) в систему уравнений, приведем ее к нормальной форме Копта, тогда пояучпм

— = 1а-Ьх) ¿Г 4

и(|)— Кл—-

(а-Ьх)"

iv

(iv

Л: т -

I.2

о

(с Ьх)-

тт+Шяё-^о+сх)

(19)

ах л

- V.

Полученную систему уравнений необходимо решить для следующих условий:

а) до начала движения якоря определить Цт), НцДТ), а также токтрогаиня и время трогапия Г ^. При этом начальными условиями в момент времени I — 0 будут

х = 0. 1 = 0. V = 0, — = 0 ;

Л

б) в процессе движения якоря, когда 0 < X < 5Н - 5К и время \ -р ±Х< 1Ср. требуется определить ¡(,). х(0. у(г). «Ш. ЬЭы Ю. гок срабатывания . зремя срабатывания ТСр.

Начальными условиями я момент времени трпгянни X — 1 тр булут

х-Ог ток трогания i , v-0, — - 0 б) при остановке якоря требуется определите i(l) при начальных условиях в момент времени I = 1,-j,

я ? ¿v

* = = V —0. —-о

С математической точки зрения давную систему уравнений можно охарактеризовать как линейную систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами третьего порядка, так как она имеет три независимых переменных состояния (ток i. скорость движения якоря V и перемещение якоря X ). Для таких систем уравнений общее решение не существует. Их решение может быть получено только численными методами с использованием пакетов прикладных программ расчета электромагнитного поля для ПК. Однако система уравнений (19) имеет аналитическое решение, нэ только в тех случаях, когда якорь неподвижен, то есть до

начала движения якоря при изменении времени 0 ^ L ^ I ^ и при его остановке, начиная с момента времени

1 > I

с р

IV. МОДЕЛИРОВАНИЕ

Фри гнеты йпшЬпк-мидели формирочииич i рлкыч чипей дифференциальны* ураинеиий. кх(\н*щих к

систему, псказаиы па рис. 2 и 3 [81.

На рис. 2 показан фрагмент $1ши1йгк-модели. задающий начальные условия до начала лзижения якоря, в процессе движения якоря и при остановке якоря по окончании времени срабатывания контактера на включение

О

ь

GD

rwl

CD-i

►0

fcclh Firclioní

<Z>

tl6

» X

,—. г* Л.

Haití funetionJ

U6

■Зэ:с 11

>X

♦ T-

Te

1 1

2 е

Рис. 2. <1»рагмент Siimilnik-мсделн для расчета временных зависимостей скорости и перемещения якоря

На рис. 3 приводится фрагмент Smiuliri-модели. определяющий время трогания при включении конгакгора на постоянное напряжение.

1АШ1Г

SuteyíUrí

Риг 3 Фр;нмен1 ЯнгпЛтк-модели дли определении начальных углпкий