Ранжирование альтернативных вариантов развития системы и построение функции полезности в многофакториом анализе Текст научной статьи по специальности «Математика»

свою чувствительность уже на периферическом уровне в зависимости от внутренних потребностей организма. Системная роль сенсорных рецепторов в рамках функциональной системы репродуктивного поведения заключается в координации динамики физиологических и поведенческих реакций с особенностями биогенеза половых феромонов.

ЛИТЕРАТУРА

Анохин П.К Биология и нейрофизиология условного рефлекса / М.: Медицина, 1968. Судаков К.В. Функциональные системы организма / М.: Медицина, 1987. — 437с. Дмитриева Т.М. Основы сенсорной экологии / М.: изд-во РУДН, 1999. — 168с. Есаков А И., Дмитриева Т.М. Нейрофизиологические основы тактильной рецепции / М.: Медицина, 1971. — 130 с.

Есаков АИ. Настройка рецепторов в системной деятельности организма. Физиологический журнал CCCP,LXXIV, 1,1998,С. 17-24.

Дмитриева Т.М. Экологические особенности сенсорного обеспечения организма. В кн. Сенсорный дефицит и работоспособность организма. — Иркутск, 1974. — С. 179-188. Дмитриева Т.М., Воинова И.В. Особенности роста и энергетического обмена на ранних этапах постнатального развития байкальского омуля // Экологическая энергетика животных. — Пущино, 1988. — С. 62-64.

Дмитриева Т.М., Николаева Т.М., Голубцов КВ. Необонятельная хеморецепция черного хариуса // Сенсорные системы. — М., 1987. — С. 146-153.

Косицын Н.С., КлименковИ.В., Дмитриева Т.М. Адаптивные перестройкив системе обонятельного анализатора рыб в разные фазы репродуктивного поведения // ДАН СССР. - М., 1990. - С. 739-743.

Минор А.В., Васильева B.C. Электрофизиологическое исследование рецепции полового феромона хряка // Журнал эволюционной биохимии и физиологии. — 1980. - т.254. - С. 1494-1497.

Хапаева П.Ю., Дмитриева Т.М., Зинкевич Э.П. Влияние андростенона на обонятельное восприятие и физиологические процессы у человека / Вестник РУДН, 1999, - №3, - С. 136-144.

Katsel Р., Dmitrieva Т Kozlov Yu. & Valeev. Sex pheroraones of male yellowfm Baikal sculpin (Cottocomephorus giewingki): isolation and chemical studies. J. of Chemical Ecology, 1992, — v.18, 11, — 2003- 2009 p.

Katsel P, Dmitrieva Т., Kozlov Yu. The functional properties of steroids sex pheromones of the male yellowfin Baikal sculpin.. (P.W. McDonald (ed)) Chemical Signals in vertebrates Yl, Oxford University Press, New York.— 1991. — 137-140 p.

Дмитриева Т.М., Остроумов В.А. Половые феромоны и репродуктивное поведение рыб. — Иркутск: изд-во ИГУ, 1992, — 96 с.

THE SYSTEMS MECHANISMES OF CHEMOSENSORY COORDINATION OF ADAPTIVE BEHAVIOR

T.M. Dmitrieva

Ecological Faculty, Russian Peoples' Friendship University,

Podolskoye shosse, 8/5, 113093, Moscow, Russia

There is considered of the systems role of chemosensory receptions in functional systems of reproductive behavior, in coordination of dynamic the physiological and the behavioral reactions this peculiarity of biogenesis of the sex pheromones.

РАНЖИРОВАНИЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ ВАРИАНТОВ РАЗВИТИЯ СИСТЕМЫ И ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ В МНОГОФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ

В.И. Горелов, Т.Н. Ледащева

Экологический факультет, Российский университет дружбы народов, Подольское шоссе, 8/5, 113093, Москва, Россия

Проведено обобщение метода парных сравнений альтернатив на случай непрерывного множества альтернативных вариантов развития системы и получена модификация метода введением весов сравнения. Приведено обоснование модифицированного метода парных сравнений с точки зрения системы аксиом Эрроу с учетом интенсивностей сравнения.

В настоящее время все более широкое применение во всех сферах человеческой деятельности получает системный подход, базирующийся на целостном видении объектов, явлений и процессов. В частности, при решении различных социальных, экономических, экологических задач анализ социо-эколого-экономических систем позволяет получить оптимальное решение с учетом всех факторов, обеспечивающих устойчивое развитие, что необходимо в условиях современного мира.

Системный подход можно разбить на два этапа: 1) построение и моделирование системы, и 2) собственно анализ и определение оптимальной схемы управления системой. На каждом из этапов встречаются существенные трудности, как в реализации, так и в научном обосновании, в особенности при решении слабоструктурированных и плохо формализуемых задач. В настоящей статье мы рассмотрим некоторые вопросы анализа слабоструктурированных когнитивных систем.

При поиске оптимальной схемы управления системой мы обычно имеем дело с проблемой выбора наилучшего в некотором отношении решения из имеющегося (сгенерированного на предыдущем этапе) набора альтернативных вариантов развития. При этом допустимо также получить с помощью общих методов анализа небольшое число альтернативных решений, при котором становится возможным их неформализованный анализ человеком, так что окончательный выбор может осуществить уже непосредственно лицо, принимающее решение. Оценка поведения системы и вариантов действий производится обычно по нескольким параметрам, причем проблему создает так называемая противоречивость отдельных показателей, так что при улучшении одного показателя другой обычно ухудшается. Простейшим примером такой совокупности факторов является качество и стоимость продукта. Таким образом, речь вдет о так называемой задаче многокритериального выбора. Если при этом каждой альтернативе требуется поставить в соответствие либо одну качественную характеристику — одну из градаций на качественной шкале, либо количественную оценку — число, обеспечивающее измерение абсолютной ценности альтернативы или ее сравнительную ценность с другими, то речь идет о задаче многокритериальной оценки (Федулов Ю.Г., 1998).

Итак, рассмотрим динамическую систему, для которой имеется множество А оцениваемых альтернативных вариантов развития, появляющихся вследствие принятия одного из возможных управленческих решений. Пусть возмож-

но смоделировать исследуемую систему, получив количественное выражение результатов того или иною варианта развития в виде значений параметров системы, по истечении некоторого контрольного времени после принятия решения. При этом результаты различных вариантов развития системы оцениваются с помощью факторов с номерами 1,...,п из множества I, которые могут входить в число параметров системы или являться совмещенными параметрами. Факторы являются независимыми и, вообще говоря, противоречивыми; для простоты изложения мы также считаем их равнозначимыми.

Таким образом, каждой альтернативе а соответствует вектор 5 в «-мерном пространстве, координатами которого являются значения факторов для этой альтернативы (векторная оценка альтернативы). Для каждого фактора Р можно построить ранжировку Р, альтернатив из множества А: будем обозначать аРД если альтернатива а предпочтительнее альтернативы Ь по фактору /' (т.е. значение соответствующей координаты вектора 5 выше в случае, если требуется максимизировать значение фактора / и ниже в противном случае).

Для обозначения набора ранжировок (Рь...,Рп) будем использовать термин «профиль». Основной проблемой является определение по данному профилю «наилучшей» альтернативы или, что является зачастую более трудной задачей, упорядочение по предпочтению всех альтернатив, т.е. согласованная ранжировка. Правило построения последней по профилю называется функцией согласования (Робертс Ф.С., 1986).

Существует несколько критериев оценки альтернатив, которыми можно руководствоваться при построении согласованной ранжировки (например, метод парных сравнений, критерий Парето, минимаксный критерий и т.д.). Проблема заключается в том, что они часто дают совершенно разные результаты, причем для каждого критерия можно построить примеры, в которых их применение неприемлемо с некоторой точки зрения. Таким образом, определить, какой из критериев следует использовать, очень сложно. Для того, чтобы обосновать выбор или построение функции согласования для произвольного профиля при многофакторном анализе, мы можем выписать условия, которым такая функция должна была бы удовлетворять, а затем выяснить, удовлетворяет ли конкретная функция этим условиям. В теории группового принятия решений роль таких условий играют аксиомы Эрроу.

В рассматриваемой нами ситуации многофакторного анализа аксиомы Эрроу принимают следующий вид.

Аксиома 1 (положительная связь сравнений альтернатив по факторам и в согласованной ранжировке)-, если функция согласования определяет по данному профилю, что а предпочтительнее Ь, то это предпочтение сохранится, если профиль изменить следующим образом:

результаты сравнений в ранжировках по факторам для пар альтернатив, отличных от а, не меняются;

результат сравнения для альтернативы а и любой другой альтернативы может измениться только в пользу а.

Аксиома 2 (независимость несвязанных альтернатив): пусть А — произвольное подмножество множества альтернатив А. Если при изменении профиля результаты попарных сравнений среди элементов Г сохраняются, то согласованные ранжировки, получающиеся для исходного и измененного профиля, на альтернативах из А должны совпадать.

Аксиома 3 (значимость факторов): для каждой пары альтернатив а и Ь существует профиль, для которого в согласованной ранжировке а предпочтительнее Ь.

Аксиома 4 (отсутствие доминирующего фактора): не существует такого фактора, при котором — если относительно него а предпочтительнее Ь при любых а и Ь из А, то и в согласованной ранжировке а предпочтительнее Ь, независимо от результатов сравнений по другим факторам.

Имеет место следующая теорема (Робертс Ф.С., 1986, с.382):

Теорема Эрроу о невозможности. Пусть множество альтернатив А содержит не менее трех элементов, количество факторов п не менее двух и Рп(А) — множество всех профилей на А для и факторов. Тогда функции согласования, определенной на Рп(А) и удовлетворяющей аксиомам 1-4, не существует.

Причиной такого положения может быть недостаточная обоснованность аксиом. Рассмотрев систему аксиом более критично, мы можем убедиться, что аксиомы 1, 3, 4 представляют собой естественные условия для того, чтобы функция согласования была объективной и учитывала все факторы. Что же касается аксиомы 2, утверждающей, что результаты попарных сравнений альтернатив, не входящих в подмножество .4, и их сравнений с альтернативами из А, не связаны с результатами сравнений альтернатив из А, то на первый взгляд она кажется обоснованной. Однако при более глубоком анализе оказывается, что эта аксиома ошибочна. Нетрудно привести примеры ситуаций, в которых эта аксиома оказывается противоречащей нашим представлениям о справедливости. Это связано с тем, что она исключает из рассмотрения в исходных данных интенсивности предпочтения одной альтернативы перед другой.

Таким образом, оказывается необходимым учитывать больше информации, включая в рассмотрение интенсивность предпочтений разных альтернатив. Введение этой информации в структуру аксиомы при качественном ранжировании альтернатив, как в теории группового принятия решений, затруднительно и может привести к значительному ее усложнению. Но применительно к нашей задаче многокритериального анализа это можно сделать, например, следующим образом.

Прежде всего, определим понятие интенсивности предпочтений. Определенного мнения о том, как следует сравнивать два значения х и у нет: в некоторых ситуациях удобно использовать разность х-у, в других — отношение х/у. В первом случае результат сравнения инвариантен относительно преобразований вида <р (х) = х+0, во втором допустимыми будут преобразования вида <р (х) = ах, а>0. Мы рассмотрим общий случай, для которого интенсивность по разности и интенсивность по отношению являются частными приложениями: будем считать, что интенсивность сравнения является инвариантом группы преобразований вида <р (х) = ах+Д а>0. Отметим при этом, что при сравнении значений альтернатив на факторах интенсивность следует определять одним и тем же способом.

Определение. Интенсивностью сравнения значений альтернатив а=(а1,...,ап) и Ь=(Ьі,...,Ьп) на факторе I* будем называть число Ца,Ь), инвариантное относительно группы преобразований множества альтернатив вида:

<р(а)=аа+р, а>0, р=(рь..., /Зп)

Аксиома 2 теперь может быть заменена следующей аксиомой:

Аксиома 2' (независимость несвязанных альтернатив): Пусть А — произвольное подмножество множества альтернатив А. Если при изменении профиля интенсивности попарных сравнений среди элементов А сохраняются, то согласованные ранжировки, получающиеся для исходного и измененного профиля, на альтернативах из А должны совпадать.

Рассмотрим с точки зрения полученной системы аксиом метод парных сравнений оценки и ранжирования альтернатив.

Этот метод многокритериального выбора состоит в составлении матриц парных сравнений конечного числа альтернатив для каждого из факторов. Имеем множество оцениваемых альтернатив А={А/’1=1,...,т} и множество факторов Р*, к=1,...,п. При этом предположим, что факторы с номерами /с=7,...,л, требуется максимизировать, то есть их значения увеличиваются при улучшении показателей, а факторы с номерами к= лг+7. ...,л требуется минимизировать. Каждый элемент матрицы 5* для фактора Р* к=1,...,п1, определяется по правилу

о* _ ¿»у -

0, если ак1 < ак]

1, если аы >ак]-

/,У = 1

где (ак1), к=1,...,п — вектор альтернативы А,-. Для факторов с номерами к= п1+формула инверсируется.

Затем все матрицы парных сравнений суммируются. После этого можно просуммировать баллы, набранные каждым из вариантов, получив оценки варианта (Горелов В.И., Карелова ОЛ., 2000). Нетрудно видеть, что получен-

1 4 к

ная таким образом оценка ьй альтернативы будет иметь вид М ( 7) >

ы 1

где гр —число альтернатив, уступающих /-Й альтернативе по А:-му фактору (т.е. таких альтернатив Ар что ак]<ак1, если требуется увеличение значения к-го фактора и ак]>ак, в противном случае).

Нетрудно доказать, что метод парных сравнений как функция согласования удовлетворяет аксиомам 1,3,4. Однако такая оценка приводит в некоторых случаях к неудовлетворительным результатам. Это связано с тем, что при нахождении оценки методом парных сравнений мы учитываем лишь качественные результаты сравнения альтернатив. По этой же причине мы не можем применить к этому методу аксиому 2'.

Таким образом, не отказываясь полностью от метода парных сравнений, который является удобным для практического применения методом оценки альтернатив и удовлетворяет требованиям по крайней мере трех из четырех аксиом для функции согласования, необходимо модифицировать его таким образом, чтобы учитывалась информация об интенсивности предпочтений. Этого можно достичь с помощью введения весов сравнений, что и будет сделано ниже.

Нередко возникает ситуация, когда имеется бесконечное или даже непрерывное множество альтернативных вариантов. Для последнего случая рассмотрим обобщение оценки при помощи метода парных сравнений.

Пусть снова А={А, / ¡=1,...,т} - множество (конечное) альтернатив, оцениваемых, как и раньше, с помощью и факторов. Каждый элемент этого множества можно изобразить точкой в и-мерном пространстве в системе координат, осями которой служат факторы /*. Пусть теперь А-{а} - непрерывное односвязное множество альтернатив, включающее А как подмножество. В силу естественных ограничений на возможности развития любой реальной системы, значения альтернатив на факторах не могут быть сколь угодно велики, а значит, множество будет лежать внутри некоторого п-мерного параллелепипеда, ограниченного гиперплоскостями Р^=Р„ и Р^Р^, к=1,...,п, где

Р*н и Р'в соответственно наименьшие и наибольшие возможные значения альтернатив на факторе Р\ Для простоты изложения рассмотрим множество альтернатив, занимающее весь параллелепипед, и построим оценку произвольной альтернативы а из этого множества. Заметим, что при этом значения Р'н и Р*в полагаются достижимыми.

Пусть для фактора Р* требуется возрастание значения при улучшении ситуации. Аналогом введенного выше числа г!' — количества точек, лежащих «ниже» точки Аі относительно фактора Рк, очевидно, в случае непрерывного множества является мера множества точек, лежащих «ниже» точки а, т.е.

ЧИСЛО , , /

Г {а) = (ак -Рн)' П (рв - РИ) при к=1............"»■

1*к

Для к= п ] +1,, п аналогично получаем

/ (а) = (/>„* -ак)-тК-РІ).

1*к

Разделив все полученные числа на объем параллелепипеда, получаем оценку альтернативы следующего вида:

п\ Л — Р ^ ”1 Р ^ — п

М(а) - У н - + V -«■ ■ *

¡ПРк-Рк ь Рк-Рк •

£-1 Гв * и к-)ц Гв ГИ

Можно несколько упростить процедуру сравнения, если сразу нормировать векторы альтернатив по формулам

к = 1....я,

ак

ак Рн

рк _ 5 в н

Рв~ак і і

-рГ-*' к = п1+]’-*п

в я

Тогда рассматриваемый параллелепипед трансформируется в единичный куб, а оценка альтернативы а будет проводиться по формуле:

/7

М(а) = XX . (1)

*=1

Если теперь сравнить две альтернативы а и Ь из рассматриваемого множества, то процедуру сравнения, опираясь на оценку альтернатив по формуле (1), можно описать следующей формулой:

М(а)-М(Ь) = ¿(5,. -Ьк),

к=\

причем число (ак - Ък) есть результат сравнения альтернатив по фактору Рк.

Индуцируя полученный результат на конечное множество альтернатив А, мы естественным образом вводим в структуру метода парных сравнений веса сравнения, отражающие интенсивность предпочтений. Элементы матрицы сравнения для фактора і* с учетом весов будут вычисляться по формуле:

о/с '—-

О ,у — Окі — сіщ .

Таким образом, мы получаем модифицированный метод парных сравнений, при котором оценкой альтернативы A¡ из множества А при помощи метода парных сравнений с весами называется сумма элементов /'-й строки матрицы S:

т

М(А,) = 1>у (2)

У-1

Теорема 1. Оценка альтернативы А, из конечного множества А при помощи метода парных сравнений с весами эквивалентна оценке по формуле (1).

Действительно, как было показано выше, из оценки по формуле (1) следует определение весов в методе парных сравнений, а значит, и оценка по формуле (2). Обратно, преобразуя оценку альтернативы при помощи метода парных сравнений с весами, получаем:

пт п т п п т

ЩА) = IЁйь- - %) = -1%) = - 1ХЛ •

к=1 j=1 ¿=1 у=1 к=1 к=1 j=1

п т

Поскольку числа т и У У й^ постоянны для конкретного множества А,

к=1;=1

то эта оценка эквивалентна оценке по формуле (1), то есть приводит к той же согласованной ранжировке.

Замечание. Нормирование альтернатив при введении весов сравнения обязательно, т.к. в противном случае оценка не будет содержательной. Этот факт следует из теории содержательности, но может быть интерпретирован и на вербальном уровне: если значения факторов измеряются в разных единицах, то невозможно получить осмысленную оценку, просто складывая их.

При переходе к непрерывному случаю, заменяя операцию суммирования операцией интегрирования по единичному кубу, нетрудно доказать следующую теорему:

Теорема 2. Обобщением на непрерывный случай оценки альтернативы при помощи метода парных сравнений с весами является оценка по формуле (1).

Для полученной модификации метода парных сравнений справедлива

Теорема 3. Пусть функция согласования строится на основе формулы (1) по следующему правилу: альтернатива А считается более предпочтительной, чем альтернатива В тогда и только тогда, когда М(А)>М(В). Тогда эта функция согласования удовлетворяет аксиомам Эрроу 1,3,4 и аксиоме 2'.

В многофакторном анализе удобно использовать понятие функции полезности, т.е. функции, сопоставляющей каждому альтернативному варианту развития системы некоторое действительное число таким образом, чтобы более предпочтительным вариантам соответствовали более высокие значения. Учитывая введенное в теореме 3 отношение предпочтения, можно считать, что формула (1) задает функцию полезности, обобщающую метод парных сравнений с весами.

Мы можем аналогичным образом получить функции полезности на основе любого критерия выбора, при котором строится количественная оценка альтернатив. Эти функции могут обладать различными свойствами, более или менее соответствующими поставленной цели многокритериального анализа. Сравнивая различные функции полезности, мы приходим к выводу, что наиболее объективной является функция, обобщающая метод парных сравнений. Так, например, применение оценки с помощью минимаксного критерия

приводит к противоречию, когда равноценными признаются решения, одно из которых хотя бы по одному частному критерию превосходит другое, в то время как значения их на остальных критериях совпадают. Критерий Парето помимо неудобства в использовании (особенно при количестве факторов больше 5), обладает существенным недостатком, заключающимся в сильной компенсационное™ оценки. То есть для того, чтобы скомпенсировать уменьшение значения одного фактора, другой фактор мы можем увеличить на значительно меньшую величину.

Таким образом оказывается, что наиболее удовлетворительные результаты в общем случае многокритериального анализа дает функция полезности на основе метода парных сравнений с весами. Этот метод наиболее удобен и с точки зрения практического применения; в частности, к нему можно применять методы линейного программирования.

ЛИТЕРАТУРА

Федулое Ю.Г., Петров А.В. Подготовка и принятие управленческих решений // Российская академия государственной службы при Президенте РФ, 1998 - с. 140 Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам // М., «Наука», 1986 - с. 379 Горелов В.И., Карелова О.Л. Математическое моделирование в экологии // М., изд-во. РУДН, 2000 - с.61

RANGING OF ALTERNATIVE VARIANTS OF DEVELOPMENT OF SYSTEM AND CONSTRUCTION OF FUNCTION OF UTILITY IN THE MULTIFACTORIAL ANALYSIS.

V.I. Gorelov, T.N. Ledashcheva

Ecological Faculty, Peoples ’ Friendship Russian University,

Podolskoye shosse, 8/5, 113093, Moscow, Russia

Generalization of a method of pair comparisons of alternatives in case of a continuous set of alternative variants of the system development is carried out and modification of a method by introduction of weights of comparison is obtained. The verification of the modified method of pair comparisons is given from the point of view of Arrow axiom system with the account of intensity’s of comparisons, e-mail: vgorelov®eco.pfu.edu.ru