CC BY
9
УДК 626.74:626.142.2
РАБОТА ПЕРЕДАЧИ ПРИ ОТСУТСТВИИ СКОЛЬЖЕНИЯ МЕЖДУ ГПЦ И ШКИВАМИ
Г.Л. Козинов1, Г.И. Старостин2
'ГОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет»
660049 Красноярск, пр. Мира, 82; e-mail: pts@sibstu.kts.ru
2ГОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»
Красноярск, пр. Свободный 82
В системе нить - шкивы, в нашем случае гибкая пильная цепь (ГПЦ) - шкивы, действуют три силы: сила н а-тяжения нити; текущее усилие, действующее по касательной в точке контакта нити со шкивом; текущее усилие, действующее по нормали. Для их определения известно два уравнения равновесия. Но, поскольку неизвестных три, необходимо третье уравнение - уравнение совместного деформирования нити и шкивов. Работа посвящена выводу этого уравнения.
Ключевые слова: нить, шкивы, гибкая пильная цепь, силы, уравнения
In system a string - pulleys, in our case flexible catting circuit (FCC) - pulleys, operate three forces: force of a te n-sion of a string; the current effort working on a tangent in a point of co ntact of a string with a pulley; the current effort working on a normal. For their definition it is known two equations of balance. But, as unknown persons three, the third equation - the equation of joint deformation of a string and pulleys is necessary. Work is devoted to a conclusion of this equation.
Key words: a string, pulleys, flexible catting circuit, forces, the equations
ВВЕДЕНИЕ
Под термином ГПЦ понимается гибкая пильная цепь, состоящая из каната, или иного гибкого несущего органа, и резцов кольцевой формы одетых на несущий орган (Козинов, 1999).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Передачи гибкой связью (ремнем, канатом) ш и-роко применяются в лесной отрасли. Работа передач гибкой связью возможна при отсутствии скольжения в месте контакта гибкой связи со шк ивами и при образовании и развитии зоны скольж е-ния. Поэтому, разбив эту задачу на две, опред елим силовые параметры, возникающие в сис теме.
Рассмотрим схему взаимодействия ГПЦ и шк ивов в любой (текущий) момент времени.
На рис. 1: T, T1, T2 - текущее натяжение ГПЦ на дугах обхвата; натяжение ведущей и вед омой ветвей ГПЦ, Н; dT 1, dT2 - приращения усилия в бесконечно малом по длине элементе ГПЦ, на ведущем и ведомом шкивах, Н; Rl, R2 - радиус ведущего и ведомого шкивов, м; dф - бесконечно малая по величине часть угла обхвата ведущего и ведомого шкивов, рад; N , N1, N2 - текущее усилие действующее по нормали; усилия, действу ю-щие по нормали на ведущем и ведомом шкивах, Н; Е , Е1, Е2 - текущее усилие, действующее по касательной; усилия, действующие по касател ь-ной, на ведущем и ведомом шкивах, Н; V - линейная скорость движения ГПЦ, м/с; М - момент сопротивления, действующий на ведомом шкиве,
Нм; 10 - длина ГПЦ, м; £ 2 - межосевое расстояние между центрами ведущего и ведомого шкивов, м;
£1 - межосевое расстояние между центрами ведущего и ведомого шкивов различного диаметра, м; ф - текущий угол обхвата ГПЦ ведущего и ведомого шкивов, рад; 0 - полный угол обхвата ГПЦ ведущего и ведомого шкивов, рад; фо - часть угла обхвата, образовавшаяся при различных ди а-метрах ведущего и ведомого шкивов, рад; Тн , Тс
- усилия в набегающей и сбегающей ветвях ГПЦ, Н; То - монтажное натяжение ГПЦ, Н.
ПРИНЯТЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
Для решения задачи сделаем некоторые пре д-положения.
1. ГПЦ можно рассматривать как нить, п о-скольку “нить - материальная линия, кото-рая под действием внешних сил может принимать любую форму” (Щедров, 1961).
В соответствии с этим определением будем считать ГПЦ:
1) идеальной нитью (то есть ГПЦ не сопроти в-ляется изгибу и кручению);
2) растяжимой нитью (то есть коэффициент растяжимости ГПЦ / Ф 1, так как в выражении, /
=1+Т/ЕБ, Т Ф 0 . Здесь 5 - сечение нити; Е - модуль упругости материала ГПЦ);
3) нитью, подчиняющейся закону Г ука (то ест ь будем рассматривать работу ГПЦ в пределах у п-ругости - до наступления пластических деформаций);
Рисунок І - Расчетная схема передачи
4) однородной нитью (то есть будем считать,
что линейная плотность V ГПЦ в любой точке
V(l) постоянная, ц = ,л= lim^ ^ = const. Здесь w М dl
dm масса элемента ГПЦ длиной dl.
2. Материал обода футеровки шкива является упругим, а металлическая часть абсолютно жес ткой.
3. Усилие от шкива к ГПЦ передается за счет силы трения, причем, если Ft < kN + ко, то ГПЦ и шкив в зоне контакта деформируются совместно, если Ft = kN + ко, то происходит скольжение ГПЦ относительно шкива, где к - коэффициент трения ГПЦ о шкив; ко - коэффициент, учитывающий сцепные качества ГПЦ с футеровкой.
4. Шкив имеет покрытие, которое при действии касательной нагрузки упруго сдвигается в танге н-циальном направлении, а под действием нормальной нагрузки упруго смещается в нормальном н а-правлении.
5. В зонах совместного смещения ГПЦ и футеровки уравнения совместного смещения имеют вид:
- для ведущего шкива:
T і - T» = - A,™ - Bd^JNl (Іф dф
- для ведомого шкива:
T2 - Tc = Л2 — - B2 d N2
(і)
іф
іф
(2)
где Ai , Bi - коэффициенты, определяемые из условия совместного деформирования ГПЦ и
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Определим коэффициенты Л1, Б1 В соответствии с предположением (1) имеем уравнение равновесия ГПЦ на поверхности шк ивов в виде (Щедров, 1961)
1Т' (ф )-Е (ф )-Рп = 0 К
1Т (ф )- N (ф )- Рт = 0, (3)
К
где Рт - сила инерции, Н; Рп - центробежная сила, Н; причем:
Px = max
Pn = man ,
(4)
где &п , ШТ - нормальное и касательное (тангенциальное) ускорение, м/с; ^ - погонная масса ГПЦ, кг/м; 8 - угловое ускорение, рад/с; Шш -частота вращения шкива, рад/с; ? - шаг постановки резцов, мм.
Уравнение (3) содержит три неизвестных функции Т (ф ) , N (ф ), Е (ф ) .
Для их определения необходимо иметь три уравнения, одно из которых уравнение совместн ого деформирования ГПЦ и шкива.
Для его вывода рассмотрим схему сил, дейс т-вующих на элемент ГПЦ в месте контакта ее со шкивами, (рис.2).
Рисунок 2 - Схема сил, действующих в месте контакта ГПЦ со шкивами: а - для ведущего шкива; б - для ведомого шкива
В точке набегания ф = 0 соответствующие точки ГПЦ и шкива совпадают и не скользят друг относительно друга. (рис.1).
При повороте шкива на угол ф :
1) В ГПЦ за счет изменения натяжения Т — Тн в точке ф произойдет смещение ин , относительно точки набегания, которое - в соответствии с законом Гука - записывается следующим образом
АТ = Т — Тн = ЕБ
ёин
Rdф
(5)
где Е - модуль Юнга, несущего элементы ГПЦ, Н/м2; 5 -площадь поперечного сечения несущего элемента ГПЦ, м2; М , к2 - толщина резиновой футеровки на ведущем и ведомом шкивах, м; К 01, К 02 - радиус металлической части ведущего и ведомого шкивов, м;
2) внешняя поверхность шкива за счет измен е-ния касательного усилия Е — Ен - получит в точке ф смещение иш относительно точки набегания.
Условие совместного деформирования ГПЦ и шкива имеет вид:
Пн = иш.
(6)
Зависимость смещения иш - от изменения усилия Е — Ен - определим из решения следующей задачи.
Рассмотрим элемент шкива с малым углом dф , (рис.1).
Для резиновой футеровки имеем соотношения
ди 1 да
8гф =--------------------1-,
дг г дф
(7)
где 8Гф - сдвиг резиновой части; и (г ,ф),
Ш (г,ф) - компоненты смещения в системе коорд и-нат (г,ф).
Из (7), интегрируя по г , выразим
к к 1 Р
и (г, ф) = I" 8гфёг - I"-<Шёг + и (К 0, ф), (8)
К0 К 0 г рф
На основании предположения 2 (об абсолю тной жесткости металлической части шкива) им еем
и^о,ф ) = 0, а ^о,ф) = 0,
(9)
Поскольку смещение иш определяется равенством иш (ф) = и (К,ф), то, учитывая (8) и первое равенство (9), получим
R R 1 д
Пш = [ 8гфdг — [-----------а
г дф
R0 Rо'
(10)
Далее считаем, что
а) деформация 8 Г ф обусловлена равномерным сдвиговым напряжением Т (постоянным в пределах рассматриваемого элемента), действу ющим на внешней поверхности шкива (г = К) , причем
X =
Е (ф) — Ен
Ь
(11)
где Ь - ширина шкива, м; Ен - усилие Е в точке набегания,
б) радиальное смещение Ш обусловлено равномерным давлением Р , действующим на внешней поверхности шкива (г=К), причем
Р =
N (ф) — Ын
Ь
(12)
где Nн - значение усилия N в точке набегания.
Тогда: - для определения зависимости
8Гф = /(т ) используем решение задачи о чистом сдвиге;
- для определения зависимости Ш = /(р) используем решение задачи Ламе (Безухов, 1968).
На основании предположения (2) и в соответс твии с рис. 1 , имеем для сдвига закон Гука.
Рисунок 4 - Схема для определения постоянных интегрирования, по методу Ламе
Напряжение ог связано со смещением а законом Г ука (Безухов, 1968)
Еш (да а
ог =--------- —I-------+\ш —
1 + V2 ш \^дг г
из которого после подстановки (16) получаем
ог =
Еш
Рисунок 3 - Схема сдвиговых напряжений
1 + Vі
(1 + Vш )—1 — (1 — Vш)
(18)
8гф =--------Хг, ф г
Ош
Удовлетворяя первому условию (17), и на осно-(13) вании зависимости (16) получим
где ТГ,ф - касательное (сдвиговое) напряжение, причем ТГ, ф | Г = К |= Т , Ош - модуль
сдвига резины, Н/м2, причем
Ош = Еш / 2(1 + \ш) , где Еш - модуль Юнга резины, Н/м2; \ш - коэффициент Пуассона резины.
Так как Т принято постоянным в пределах элемента, то справедливо равенство ТГ,фГ = тК , откуда
Хг, ф =
xR
г
(14)
Учитывая выражения (11) и (14), из (13) получаем искомую зависимость
8гф
R Е — Еш
(15)
ЬОш г
Решение задачи Ламе имеет вид (Безухов, 1968)
. —1
а = —1г Ь----------
г
(16)
где — 1, —2 - постоянные интегрирования, определяемые из краевых условий:
а (R0,ф) = 0 , ог(R) = — Р ,
(17)
—lRо Ь-= 0, откуда —2 = ——lR02 , (19)
Rо
и подставляя в (3.18), получим
Еш
ог =
1 —V '
1 + Vш + (1 —Vш)
,Я02
—1,
(20)
Удовлетворяя теперь второму условию (17) , и на основании (20) получим
Еш
1 —V ш
получим
1 + Vш + (1 — Vш)
ЧД02
я2
—1 = — Р , откуда
—1 = —
1 — Vш
Еш[1 + Vш + (1 — Vш) Д02/К 2 ]
Р,
(21)
В итоге, подставляя выражения для Л1 , Л2 из (20), (21) в (16) и учитывая (12), получим искомую зависимость
СО
= — С (Ы — Ын )| г —
2
(22)
где
С =
ЬЕшЦ + Vш + (1 — Vш) Rо2/Д2 ]
ш
1
2
г
ш
г
Используя (22) , выражаем второй подынтегральный член уравнения (10
1 ^ = _СЫ' (1 - Л
г дф
(23)
Найденные зависимости (15) и (21) подставляем в (10), получаем
,.= ESI_vш■)R—R)
.. ЕБ. (Я Ї п
—/=-1п— |>0, Ві= ^ п>0
ЬОи \Е0) ьE(l+vш)R! +(1—ш)Я2]
При малых толщинах футеровки можно пол ь-зоваться упрощенными формулами для Л1, Б1, а
ЕБЫ ЕБН 2
з: —і = ■
0^1^
Ві =
О 2Ь 2 Я 2
иш =
= Я(Е — Ен) 1 dг
ЬОш я г
Я 0
Rо2
Іп^ |(Е — Ен) + СЫ ЬОш I Яf ’
Я — Яо + Яо |---------------------
Я Яо
г=
1 1
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученные условия совместности деформаций ГПЦ и шкивов, являются недостающими уравн е-ниями, позволяющими определить все три сил овых параметра в уравнениях равновесия ГПЦ на п о-верхности шкивов (3)
1n(-Я-|(Е — Ен) + С Ы — Rо)2Ы(24) ЬОш I Rо ^ ’ RV ’
ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Подставив (24) в (6) и далее в (5), получаем у с-ловие совместного деформирования ГПЦ и шк ива в виде (1) и (2),где:
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК
Козинов, Г.Л. Беззажимная распиловка древесины ги б-кими нитями: дисс.... докт. техн. наук: 05.21.01. / Г.Л. Козинов. - Воронеж, 1999.-345с.
Щедров, В.С. Основы механики гибкой нити [Текст]/ В.С. Щедров. - М.: Машгиз. 1961.-170 с.
Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести [Текст] / Н.И. Безухов. - М.: Высшая школа. 1968. - 512 с.
2
г
Я 0
Поступила в редакцию 10 апреля 2008 г. Принята к печати 27 августа 2008 г.
