Рабочий орган вибрационных машин как динамический гаситель колебаний Текст научной статьи по специальности «Физика»

По результатам исследования, приведенным в табл. 1 и табл. 2, видно, что для исследованных щеток плотность материала, модули упругости первого рода при изгибе и смятии несколько отличаются. Это связано с различием зернистости абразива и структуры материала щеток. Для инженерных расчетов полученные параметры

могут использовать средними для щеток типа С и средними для типа А.

Полученные материалы необходимы для аналитического определения сил, действующих в процессе обработки, показателей качества обработанной поверхности и производительности процесса.

Статья поступила 29.02.2016 г.

Библиографический список

1. Димов Ю.В., Подашев Д.Б. Скругление острых кромок деталей машин полимерно-абразивными щетками // Вестник ИрГТУ. 2012. № 11. С.48-52.

2. Справочник металлиста. Т. 2 / Под редакцией С.А. Чернавского. М.: Государственноеи научно-техническое издательство машино-

строительной литературы. 1958-975 с. 3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: пер. с английского / под ред. Г.С. Шапиро. 2-е изд. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 560 с.

References

1. Dimov Iu.V., Podashev D.B. Skruglenie ostrykh kromok detalei mashin polimerno-abrazivnymi shchet-kami [Rounding sharp machine part edges by polymer-abrasive brushes]. Vestnik IrGTU - Proceedings of Irkutsk State Technical University, 2012, no. pp. 48-52.

2. Spravochnik metallista [Metalworker's Guide]. Vol. 2, Moscow, 1958, 975 p.

3. Timoshenko S.P., Goodier J.N. Teoriia uprugosti [Theory of Elasticity]. Moscow, 1979, 560 p.

УДК 534-16; 531.8;62.752; 621.01; 621.8.02 й01: 10.21285/1814-3520-2016-4-24-39

РАБОЧИЙ ОРГАН ВИБРАЦИОННЫХ МАШИН КАК ДИНАМИЧЕСКИЙ ГАСИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ

© С.В. Елисеев1, Н.К. Кузнецов2, Е.В. Каимов3, Х.Д. Нгуен4

13,4Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15. 2Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Предлагается методологическая основа для построения математических моделей вибрационных технологических машин. Развивается подход, в рамках которого вибростенд в виде твердого тела на упругих опорах имеет инерционный вибровозбудитель, установленный на одном конце рабочего стола. Силовое возмущение совпадает с местом расположения упругой опоры. На втором конце рабочего стола размещается рабочая площадка стенда. Центр размещения рабочей площадки совпадает с линией действия второй упругой опоры. Показано, что при определенном выборе массоинерционных параметров стенда инерционное возмущение вибровозбудителя регламентируется параметрами динамического гасителя колебаний. В качестве динамического гасителя колеба-

1

Елисеев Сергей Викторович, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, e-mail: [email protected]

Eliseev Sergey, Doctor of technical sciences, Professor, Chief Researcher of the Scientific-Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: [email protected]

2Кузнецов Николай Константинович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой конструирования и стандартизации в машиностроении, e-mail: [email protected]

Kuznetsov Nikolay, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Design and Standardization in Mechanical Engineering, e-mail: [email protected]

3Каимов Евгений Витальевич, младший научный сотрудник, e-mail: [email protected] Kaimov Evgeniy, Junior Researcher, e-mail: [email protected]

4Нгуен Хуинь Дык, аспирант, e-mail: [email protected] Nguyen Huynh Duc, Postgraduate, e-mail: [email protected]

ний выступает рабочий стол вибростенда. Разработана математическая модель вибростенда и необходимые для расчетов аналитические соотношения. Для оценки динамических возможностей вибростенда введена специальная функция, представляющая собой передаточную функцию межпарциальных связей в виде отношения координат положения стола. Настройка вибрационного поля, которое формируется как однородное, осуществляется путем выбора массоинерционных параметров, связанных с моментом инерции рабочего стола, его массой и расположением центра тяжести. Для контроля параметров динамического состояния механической колебательной системы используются передаточные функции и частотные характеристики. Исходная математическая модель в виде системы дифференциальных уравнений переводится на основе преобразований Лапласа в операторную форму с последующим получением необходимых частотных функций. Концепция управления параметрами вибрационного поля основана на использовании эффектов динамического гашения колебаний. В рамках этой концепции предлагается использование динамических взаимодействий, распределенных таким образом, что вибровозбудитель передает энергию колебаний в рабочую зону, которая, в свою очередь, служит динамическим гасителем колебаний для самого возбудителя. Такой подход позволяет создать условия для снижения нагрузок на возбудитель и обеспечить необходимый уровень управляемости в выборе параметров вибрационного поля рабочей зоны вибростола. Приведены результаты численного эксперимента. Предлагается методика расчета. Показана возможность обеспечения в конструкции вибростенда условий функционирования рабочего органа (площадки вибростенда) при минимальной динамической загрузке инерционного вибровозбудителя, работающего в режиме динамического гашения колебаний.

Ключевые слова: вибрационный технологический комплекс; динамическое гашение колебаний; парциальные частоты; отношение амплитуд.

VIBRATION MACHINE ACTUATOR AS A DYNAMIC ABSORBER OF OSCILLATIONS S.V. Eliseev, N.K. Kuznetsov, E.V. Kaimov, H.D. Nguyen

Irkutsk State University of Railway Engineering, 15 Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russia. Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

A methodological basis is proposed to build mathematical models of vibration technological machines. An approach is developed according to which a vibrobench in the form of a solid on resilient mounts has an inertial vibroactivator mounted on one end of a work table. Disturbance in the force coincides with the location of the resilient mount. The working platform of the bench is located on the other end of the work table. The center of working platform location coincides with the line of action of the second resilient mount. It is shown that under the certain selection of mass-inertial parameters of the bench inertial disturbance of the vibroactivator is regulated by the parameters of a dynamic absorber of oscillations. The vibrobench work table acts as a dynamic absorber of oscillations. A mathematical model of a vibrobench and analytical ratios required for calculations are developed. A special function that represents by itself the transfer function of interpartial relationships in the form of the correlation of work table location coordinates is introduced to estimate dynamic potential of the vibrobench. Setting of a uniform vibration field is carried out by the selection of mass-inertial parameters connected with the inertia moment of the work table, its weight and gravity center location. Transfer functions and frequency characteristics are used to control the parameters of the dynamic state of the mechanical oscillating system. The initial mathematical model in the form of the system of differential equations is transformed into an operator form on the basis of Laplace's transformations with the subsequent derivation of required frequency functions. The concept of control of vibration field parameters is based on the use of the effects of dynamic absorption of oscillations, within which the use of the dynamic interactions is proposed. The latter are distributed in such a way that the vibroactivator transfers the energy of oscillations to a working zone which, in its turn serves as a dynamic absorber of oscillations for the activator itself. Such approach allows to create conditions allowing to reduce the loads on the activator and provide the necessary controllability level in choosing the vibration field parameters of the vibrotable work zone. The article provides the results of the numerical experiment and the calculation procedure. It shows the possibility to ensure in the vibrobench design the conditions for the operation of an actuating element (vibrobench platform) under the minimum dynamic loading of the inertial vibroactivator operating in the mode of the dynamic absorber.

Keywords: vibration technological complex; dynamic absorption of oscillations; partial frequencies; amplitude correlation

Введение

Вибрационные технологические процессы и соответствующее оборудование и машины широко используются в разных отраслях промышленности для решения задач упрочнения и модификации свойств поверхностей деталей, перемещения, сортировки и обработки сыпучих материалов,

проведения испытаний на прочность, что стимулирует интерес к вопросам поиска способов и средств управления динамическим состоянием технологических комплексов [1-3]. Взаимодействие элементов вибрационных систем, так же как и конструктивно-технические решения по вибрационному возбуждению колебаний рабочих ор-

ганов, отличаются большим разнообразием и существенно зависят от структуры вибрационных полей вибрационных машин или вибростендов [4],. Вибрационное инерционное возбуждение находит широкое применение в различных производственных процессах, однако такие подходы обладают определенными недостатками, что, в частности, связано с размещением в условиях вибраций достаточно сложных устройств для генерации возмущений [5].

В предлагаемой статье развивается подход к построению вибрационных технологических комплексов, заключающих в себе возможности разделения функций рабочего стола и реализующих технологический процесс возбуждения вибраций, в котором используются идеи передачи энергии в режимах динамического гашения колебаний.

Описание технологической установки. Постановка задачи исследования

Рассматривается вибростенд, который состоит из подвижного рабочего блока в виде жесткого невесомого стрежня (стержня с малым моментом инерции). По концам стержня в точках B и C расположены соответственно сосредоточенные массы m1 и m2. Эти массы опираются на упругие элементы с жесткостями ^ и Рабочий блок, по существу, представляет собой твердое тело массой M и моментом инерции J относительно центра тяжести т. О. Расстояние до центра тяжести т. О составляет ^ и !2 (рис. 1).

Элементы системы стержень AB и трос C1D - соответственно позиции 1 и 7 на рис. 1 - обеспечивают вертикальное

1

2

3

4

движение рабочего тела AB - позиции 2, 3, 4, 6. Рабочая поверхность 2 предназначена для реализации процесса виброупрочнения деталей. Вибровозбудитель 6 представляет собой устройство с двумя дебалансами. Шарнир C имеет приспособление 5 для компенсации продольных составляющих колебаний стержня CB.

Шарниры A, B, ^ и D обеспечивают возможности вращательных движений (обеспечиваются повороты стержней). Стержень C1D имеет приспособление 8 для натяжения троса, который регулирует приведенную жесткость системы. Упругие элементы ^ и ^ обладают линейными свойствами. Массоинерционные элементы m1 и m2 являются составляющими рабочего блока как твердого тела.

В расчетной схеме используются две системы координат, связанные с неподвижным базисом (опорные поверхности - I и II на рис. 1). Это у1 и у2, а также уо и ф; при этом у0 - координата центра тяжести; ф - угол поворота относительно центра тяжести. Предполагается, что центр колебаний не лежит на прямой BC, а точка О находится на перпендикуляре к прямой BC. В связи с этим

M = m1 + m2, но J Ф m1 ¡1 + m2 ¡22.

При расчетах используются кинематические соотношения:

5

Уо

У1

a =

Q 1 ' /

т. C

\

Уо = ayx + Ъуг; ф = c-(y2 - у);

у = Уо - liф; у 2 = Уо+l2ф;

(1)

и

l1 + l2

; Ъ -

l

l1 + l2

7

; c -

8

1

l1 + l2

/777

02

т. D,

У2 m

2

Рис. 1. Расчетная схема вибрационного технологического стенда

6

2

Вибрационный возбудитель имеет неуравновешенную массу m0 и эксцентриситет г. Рассматриваются малые колебания в плоскости; трос С10 - элемент 7 с натяжным устройством 6 может создавать постоянные усилия на время рабочего цикла работы вибростенда. Силовое возмущение является гармоническим Q2 = (m0)'•rш2•sin wt и направлено по вертикали. В первом приближении расчетная схема на рис. 1 представляет собой твердое тело массой M и моментом инерции J относительно центра тяжести, опирающееся на упругие опоры жесткостями к1 и к2.

Задача исследования заключается в изучении динамических свойств системы при возмущении по координате у2^2), отражающем внимание к соотношениям координат у1 и у2 при различных частотах, а также значениях параметров системы в ситуации, когда по координате у2 становится возможным режим динамического гашения колебаний, а по координате у1 реализуются колебания динамического гасителя.

Построение математической модели

Если пренебречь продольными колебаниями вдоль линии расположения характерных точек A, B, С, С1 и D, то после составления выражений для кинетической и потенциальной энергий получим уравнения движения системы в координатах У1 и У1.

ух ■ \^Ма2 + Зс2 }р2 +кг +у2-(МаЬ-Л2)р2 =0;

(2)

y2{(Mb2+Jc2)p2+k2\ +y1-(Mab-Jc2)p2 =Q.

(3)

В уравнениях (2), (3) массоинерци-онные свойства отображаются моментом инерции J и массой тела M, сосредоточенных в точке O центра тяжести. Отметим, что центр тяжести на самом деле находится на прямой, проходящей через точку O. Центр тяжести может находиться выше или ниже точки O, при этом выполняется условие J Ф m112 + m212.

С другой стороны, твердое тело может быть представлено невесомым стержнем, на концах которого находятся материальные точки массой m1 и m2. В этом случае центр тяжести не должен лежать на стержне. Поэтому при рассмотрении конкретных ситуаций необходимо определиться, будет ли m1 /2 + m2 /2 > 0 или m1 /2 +

+ m2 /22 < 0. При выполнении условия m1 /2 + + m2/2 = 0 система становится вырожденной и распадается на две независимые частоты. Исходя из приведенных соображений, выстраиваются соотношения между

9 9 9 9

m1, m2, Ма + Jc и МЬ + Jc . Структурная схема системы с силовым возмущением по координате у2 приведена на рис. 2, где р = уш - комплексная переменная, значок (~) означает изображение переменных по Лапласу [5].

Запишем передаточные функции системы:

ß2

A

(4)

(Ma2 + Je2) p2 + k

(5)

где

A = [(Ma2 + Je2) p2 + k x[(Mb2 + Je2) p2 + k2 -(Je2 - Mab)2 pA

является частотным уравнением.

Отметим, что возможны некоторые преобразования:

(Ma2 + Jc2)p2 = (Ma2 + Mab + +Jc2 - Mab)p2 = [Ma + (Jc2 - Mab)]p2,

а также

(Ma2 + Jc2)p2 = = [Ma + (Jc2 - Mab)]p. Тогда структурную схему на рис. 2 можно представить, как показано на рис. 3. В данном случае R = Jc2 - Mab > 0.

Рис. 2. Структурная схема вибростенда в координатах ух и у2

Jc2 - Mab )p2

1

[Ma + (jc2 - Mab) P2 + k

~if

(jc2 - Mab )p:

D2 -0-

Ql

Mb + (jc2 - Mab)]p2 + k

Рис. 3. Структурная схема вибростенда в форме, соответствующей цепному виду

Для вибростенда, расчетная схема которого приведена на рис. 1 для структурных схем на рис. 2 и 3 в системе координат у1 и y2, характерно то, что связь между парциальными системами имеет инерционный тип.

о

При выполнении условия Jc -- Mab = 0, как было выше отмечено, система распадается на два независимых блока

9 9 9 9

с параметрами Ma p + k1 и Mb p + k2. В этом случае движение по координатам y1 и y2 становятся независимыми. Такой режим работы для технологического вибростенда не рассматривается. Для случая, определяемого условием Jc2 - Mab > > 0, возможен режим динамического гашения колебаний на элементе m2 на частоте

редается массоинерционному элементу m1, то есть на координату y1, что составит

Ух=-

&

(je2 -Mab)p2 '

(7)

Оценка значений (7) может быть проведена при 02 = (т0)'гш2. В этом случае амплитуда колебаний по координате у1 составит

У1 =

mr

m0r

Jc2 - Mab

(А + h )2

(8)

j - Ml l

1

G)2~

ÖUH' Ma + (Jc2 - Mab )

( ) (6)

= k1 Ma2 + Jc2'

В этом случае движение по координате y2 становится равным нулю (или y2 ^ 0). При динамическом гашении колебаний по координате y2 вибрационная энергия от инерционного возбудителя пе-

Из (8) следует, что при J - Ml1l2 ^ 0 амплитуда y1 будет возрастать. Так как частота динамического гашения определяется выражением (7), то при Jc2 - Mab = 0 частота динамического гашения cCL будет

равна частоте собственных колебаний парциальной системы Mbp2 + k2 при «зануле-нии» межпарциальной связи. Таким образом, регулирование величины y1 как амплитуды колебаний рабочей площадки вибро-

стенда целесообразно вести путем изменения момента инерции J или жесткости к1.

Особенности математических моделей

Соотношения между движениями по координате у1 и у2 могут интерпретироваться как рычажные связи, и это проявляется в формах колебаний, которые создаются внешним гармоническим воздействием и сохраняются при изменении частоты внешних колебаний (имеется в виду форма колебаний) до определенного значения частоты внешнего возмущения, после чего происходит образование другой формы колебаний. Отношение координат — в опе-

Уг

раторном виде может быть получено из структурной схемы на рис. 3 и при входном воздействии Q, приложенном к элементу т2, определяется выражением

wl2{p) = K =

У 2

(Jc1 - Mab ) p2

(9)

Ma +

( Je2 - Mab)] p

+ k

где р = уш - комплексная переменная, значок (~) над переменной соответствует изображению по Лапласу [5].

При подстановке р = уш в (9) получим:

У1

(Je2 - Mab )•

о

У 2 -

Ma + (Je2 - Mab)] - о2 + k

,, (10)

откуда можно найти, что парциальная частота системы определится как

2 2 П = Оин.=

k

Ma + [ Je2 - Mab]

(11)

График — (ю) на рис. 4 в диапа-

У 2

зоне изменения частоты внешнего воздействия от 0 до шдин имеет отрицательное значение; после перехода ш = шдин отно-

шение

А

У2

становится положительным и

стремится при ш ^ м к пределу, определяемому выражением

У 2

Je2 - Mab

(12)

Ma + (Je2 - Mab)

< 1.

В диапазоне частот 0 - шдин форма колебаний такова, что рычажная связь соответствует представлениям о связях, создаваемых рычагом второго рода. При переходе через критическое значение частоты внешнего воздействия, которое совпадает с частотой динамического гашения, происходит смена формы колебаний, а координаты у1 и у2 начинают изменяться в противофазе. В этом случае отношение координат соответствует представлениям о связях, формируемых рычагом второго рода. При дальнейшем увеличении частоты внешнего возмущения отношение координат — стремится к пределу (12) при возУ 2

мущении по массе т2. Таким образом, график —(ю) в диапазоне изменения часто-

У 2

ты внешнего воздействия от 0 до шдин имеет отрицательное значение; после перехо-

У1

да ш = шдин отношение — становится по-

У 2

ложительным и при ш ^ м стремится к пределу (12) [6, 7].

При приложении силового возмущения Q2 к массе т2 (координата у2) переда-

У1

точное отношение рычажной связи — от-

У2

рицательно, как следует из рис. 4, что означает движение по координатам у1 и у2 в противофазе. Центр колебаний находится в частотном диапазоне 0 - шдин. Чем ближе находится частота внешнего воздействия к частоте динамического гашения, тем боль-

У

Рис. 4. График зависимости — от частоты ш при выполнении условия (10)

У 2

ше будет передаточное отношение рычажной связи. При этом амплитуда колебаний инерционного возбудителя (координата y2) будет достаточно мала, тогда как координата движения y1 будет значительно больше, что позволяет реализовать (в определенном смысле) своеобразную перекачку энергии к рабочей части вибростенда - так можно назвать массу m1 (позиция 2 на рис. 1) с установочной площадкой 3 (рис. 1) по отношению к вибрационному возбудителю m2 (позиция 5, рис. 1).

Величина амплитуды колебаний по координате y1 определяется выражением (8). На рис. 5 приведены графики y1(w) и y2(w) при возбуждении по координате y2 и выполнении условия Jc2 - Mab > 0.

При w ^ м график зависимости yi(w) стремится к пределу:

(Jc2 - Mab )• m • r

(13)

MJc

(Jc2 -Mab +Mb\-mn-r

MJc

Отношение (13) к выражению (14) соответствует пределу

А У 2

(р -> оо) =

Jc2 - Mab Ma + Jc2 - Mab

, (15)

приведенному на рис. 4.

На графиках у1(ш) и у2(ш) (рис. 5) можно отметить некоторые соотношения координат у1 и у2 при частотах, определяемых из выражения

w12{p) = ^ =

У 2

(Jc2 - Mab)j

(16)

Map2 + (Jc2 - Mab) p2 + kx

У

При — = 1 получим:

У 2

2 k2 с =■

Ma

(17)

Ух

В свою очередь, при — = -1 иско-

%

мая частота определяется как

2

С10 =

k

Ma + 2 (Jc2 - Mab ) '

(18)

Рис. 5. Графики зависимостей амплитуд колебаний вибростенда от частоты внешнего воздействия: кривая 1 - зависимость у1(ш); кривая 2 - зависимость у2(ш)

Характерным для взаимного расположения на рис. 5 является пересечение

2

кривой 1 и кривой 2 при частоте ю и отношении амплитуд, равном +1. Особенности системы Отдельным вопросом в оценке динамических свойств является наличие условия

А

У 2

Jc2 - Mab < 0. В этом случае

-(je1 -Mab)р2

(19)

Ma-(jc -Mab)р1

(20)

что приводит к несколько иным формам соотношений. Частота динамического гашения колебаний определится как

°L =

k

Ma -(Je2 - Mab)'

При этом график ^r(co) примет вид,

(21)

У 2

В отличие от рассмотренного выше

случая, график —(со) будет иным по

У 2

сравнению с графиком на рис. 4, в частности, он будет являться зеркальным отражением по форме, но параметры графика будут другими. То есть изменятся частота динамического гашения шдин и частоты собственных колебаний ш1 и ш2; иными также будут и частоты, при которых будут соблюдаться соотношения:

А = 1И A = _i.

У 2

У 2

Кроме того, будут другими и предельные значения при увеличении частоты возмущения w ^ м [8].

График зависимостей у1(ш) и y2(w) показан на рис. 7.

Влияние параметров инерционной межпарциальной связи

Выше рассматривались особенности динамических свойств при разных значениях соотношения (Jc2 - Mab), которое может быть представлено в виде двух неравенств:

показанный на рис. 6.

Рис. 6. График зависимости — (со ) при выполнении условия (Jc2 - Mab)< О

У 2

Рис. 7. Графики зависимостей у1(ы) и у2(ш) от частоты возмущения: кривая 1 - у1(ы); кривая 2 - у2(ы) при условии (Jc2 - Mab) < 0

Jc2 - Mab > 0 ; Jc2 - Mab = 0 ; Jc2 - Mab < 0.

(22)

(23)

(24)

Для учета влияния условий (22)-(24) используются следующие выражения:

(Je2-Mab) р2

A

(25)

г, Г Ма + (jc2- Mab VI р2 + к

а

(26)

wl2{P)=^=

У 2

( Je2 - Mab) p2

(27)

Ma + (Je2 - Mab)] p2 + k

A = {[Ma + (Je2 - Mab)] p2 + k } x x |[Mb + (Je2 - Mab)] p2 + k } --(Je2 - Mab)2 p4.

(28)

Для построения математической модели используются следующие параметры:

M = 150 кг; a = 0,1 м; b = 0,9 м; J = 286 кгм2;

Ma = 15 кгм; Mb = 135 кгм; R = 4 кгм2; l1 + /2 = 4 м.

На рис. 8 построена диаграмма, позволяющая выбирать параметры вибростенда (например, a и b или массоинерци-онные параметры J и M), которые обеспечивают необходимые соотношения амплитуд колебаний по координатам у1 и y2.

Если принимать значения /1 и /2, используя кривые I и II на рис. 8, то /1 + /2 = 4 и для такой точки соотношение J / m делает (Jc - Mab) = 0. В этом случае в системе межпарциальная связь зануляется и, как это было отмечено выше, движение по координатам y1 и y2 происходит независимо. Если значения /1 и /2 будут выбраны внутри контура, образованного кривыми I и II, то (Jc2 - Mab) > 0. При выборе значений /1 и /2 в зонах между кривой II и осью абсцисс, а также между кривой I (рис. 8) и прямой, параллельной оси абсцисс и выходящей из точки / = 4 на оси ординат, выполняется условие (Jc2 - Mab) < 0.

Рассмотрим более подробно, как изменяются некоторые частотные характеристики при разных значениях

(Jc2 - Mab) = R.

1. Если R > 0, то

n2 =

Mb + Je2 - Mab

При R < 0

2 k2 n =■ 2

Mb - R

Отметим, что n2 > n2 , т. е. измене-

R>0 R<0

ние парциальной частоты, на которой от-

У

ношение амплитуд — = +1 пропорцио-

У 2

нально изменению соотношения (Jc - Mab). В случае

R > 0 частота п+1 находится правее границы собственной частоты w2, а при R < 0 - в межпарциальной зоне частот подсистем п1 и п2.

2. Если R > 0, то

n22 =

k

Ma + (Je2 - Mab )

При R < 0

2

П2 = 1

Ма - Я

Отметим, что < п\ , т. е. измене-

Я>0 Я<0

ние парциальной частоты, на которой отношение амплитуд JУL = -1 обратно про-

У2

изменению

соотношения

порционально

(Jc2 - Mab). В случае R > 0 частота п-1 находится в зоне частот п1 и п2, а при R < 0 - правее границы собственной частоты w2.

2

3. При R = 0

2 2 И+1 = n+1

2 2 n_j = n_j

R>0 R<0 R>0 R<0

В данном случае система распадается на две независимых подсистемы и инерционные связи отсутствуют.

На рис. 9 и 10 приведены зависимости собственных частот от жесткостей упругих элементов при различных соотношениях (Je2 - Mab).

Асимптотическое приближение кривых на некоторых графиках определяется близостью собственных и парциальных частот. Прямолинейность зависимости шсоб.2 (k2) для каждого из случаев R объясняется полученными значениями собственных частот и расположением кривых на одном графике. Точность расчетов по оценке частот колебаний системы в стационарном режиме (« 30 Гц) и амплитудах колебаний обеспечивается в пределах 5-7 %, что соответствует регламентам технической эксплуатации комплекса.

Заключение

На основании приведенных графиков можно сделать следующие выводы:

1) парциальные частоты систем близки к собственным частотам, но не выходят за их пределы;

2) на парциальной частоте п2 наблюдаются малые значения амплитуды колебаний, т.е. обеспечивается режим динамического гашения на вибровозбудителе;

3) в зависимости от соотношения параметров а, Ь и J изменяются значения частот, при которых рабочий орган выполняет функции рычагов первого и второго родов: при Я > 0 рабочий орган ведет себя как рычаг первого рода в зарезонансной области и как рычаг второго рода - в межрезонансной области; при 1 < 0 рабочий орган ведет себя как рычаг первого рода в межрезонансной области и как рычаг второго рода - в зарезонансной области;

4) при увеличении жесткостей упругих опор к и к2 собственные и парциальные частоты увеличиваются согласно квадратичной зависимости;

5) при настройке вибрационного стенда от жесткости к1 зависят значения верхних границ парциальных и собственных частот рабочих частей, а от жесткости к2 - нижние границы парциальных и собственных частот;

6) при изменении инерционного параметра 1 в меньшую сторону уменьшаются и значения собственных и парциальных частот.

l, м

Jc2 - Mab < 0Q)

Jc2 - Mab > 0 ©

Граница Jc2 - области параметров -Mab = 0

^^T^TJc2 - Mab < 0® li |

J M

Рис. 8. Диаграмма соотношения параметров Jc и Mab (при (lt + ¡¡) = 4 м)

4

3

2

1

0

2

1

3

4

а)

«соб.1, рад/с

»1= 107,29 рад /с 110- ¿2 = 1600000 Н/м

105 -100 - «1 = 92,91 рад/с 95 - * к2= 1200000 Н/м

90 -85 - п\ = 75,86 рад / с 80 1 1 ... . ¿2 = 800000 Н/м

75 -7065 -60- «1 = 53,64 рад / с 55 _ / / / ^2 = 400000 Н/м

50 - /

45 - /

40-

35 -

30-

25 -

20-

15 -

10-

5 - а=0.1 6 = 0.9 Я=4

2.x 105 4 х 105 6.x 105 8.x 105 1.x 106 1_2х106 1.4х10б 1.6x10"

*1,Н/м

б)

в)

г)

Рис. 9. Зависимости собственных частот колебаний системы при (Jc - Mab ) > 0: а, б - верхнего и нижнего значений от жесткости упругого элемента kt; в, г - верхнего и нижнего значений от жесткости упругого элемента k2

а)

Ысо6.1, рад/с

1600000 Н/м

115-

110- •

»1 = 102,78 рад/с 105- # ¿2= 1200000 Н/м

1009590- »1 = 83,92 рад/с 85. У / ¿2 = 800000 Н/м

80-

75- /

70- /

65- «1=59,34 рад/с / / ¿2=400000 Н/м

55- г

50- /

45- /

40- /

35- /

30-

25-

20-

15-

10-

5- в = 0.2 6 = 0.8 Л = -6.4

о 2.Х 105 4.Х 105 6- х 105 8.Х 105 1.x 106 1.2х10б 1.4Х104 1.6x10е

*1.Н/м

б)

в)

г)

Рис. 10. Зависимости собственных частот колебаний системы при (Jc2 - Mab) < 0: а, б - верхнего и нижнего значений от жесткости упругого элемента kl; в, г - верхнего и нижнего значений от жесткости упругого элемента k2

Полученные результаты вычислительного моделирования отражают параметры технологического вибрационного комплекса для прочностных испытаний технических объектов на одном из пред-

приятий региона, которому переданы методические материалы и рекомендации данной работы.

Статья поступила 30.03.2016 г.

Библиографический список

1. Пановко Г.Я. Динамика вибрационных технологических процессов: монография. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006. 176 с.

2. Елисеев А.В., Сельвинский В.В., Елисеев С.В. Динамика вибрационных взаимодействий элементов технологических систем с учетом неудержива-ющих связей. Новосибирск: Наука, 2015. 332 с.

3. Копылов Ю.Р. Динамика процессов виброударного упрочнения: монография. Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2011. 568 с.

4. Вибрации в технике: справочник: в 6 т. М.: Машиностроение, 1981. Т. 4: Вибрационные процессы и машины. 509 с.

5. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Ме-хатронные подходы в динамике механических коле-

бательных систем. Новосибирск: Наука, 2011. 384 с.

6. Каимов Е.В., Пнев А.Г., Елисеев С.В., Елисеев А.В., Сигачев Н.П., Нгуен Х.Д. Методика расчета параметров вибрационного технологического комплекса. Иркутск, 2015. 30 с. Деп. в ВИНИТИ РАН 05.10.2015, № 159.

7. Елисеев С.В., Кузнецов Н.К., Каимов Е.В. К вопросу о теории рычажных связей в динамике механических колебательных систем // Вестник ИрГТУ. 2015. № 12 (107). С. 30-40.

8. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба В.Б., Нгуен Д.Х. Соотношения координат движения элементов механических колебательных систем как форма проявления рычажных связей // Системы. Методы. Технологии. 2015. № 3 (27). С. 7-14.

References

1. Panovko G.Ia. Dinamika vibratsionnykh tekhnolog-icheskikh protsessov [Dynamics of vibrational technological processes]. Moscow-Izhevsk, 2006. 176 p.

2. Eliseev A.V., Sel'vinskii V.V., Eliseev S.V. Dinamika vibratsionnykh vzaimodeistvii elementov tekhnolog-icheskikh sistem s uchetom neuderzhivaiushchikh svi-azei [Dynamics of vibrational interaction of technological system elements considering unilateral constraints]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2015. 332 p.

3. Kopylov lu.R. Dinamika protsessov vibroudarnogo uprochneniia [Dynamics of the processes of shock vibrating hardening]. Voronezh, IPTs "Nauchnaia kniga" Publ., 2011. 568 p.

4. Vibratsii v tekhnike [Vibrations in machinery]. in 6 vol. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1981, Vol. 4: Vi-bratsionnye protsessy i mashiny [Vibrational processes and machinery], 509 p.

5. Eliseev S.V., Reznik lu.N., Khomenko A.P. Mek-hatronnye podkhody v dinamike mekhani-cheskikh kolebatel'nykh system [Mechatronic approaches in the dynamics of mechanical vibration systems]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2011. 384 p.

6. Kaimov E.V., Pnev A.G., Eliseev S.V., Eliseev A.V., Sigachev N.P., Nguen Kh.D. Metodika rascheta par-ametrov vibratsionnogo tekhnologicheskogo kompleksa [The methodology of vibrational technological complex parameter calculation]. No. 159, 2015. 30 p. (In Russian, unpublished).

7. Eliseev S.V., Kuznetsov N.K., Kaimov E.V. K voprosu o teorii rychazhnykh sviazei v di-namike mekhanich-eskikh kolebatel'nykh sistem [To the theory of lever ties in mechanical oscillating system dynamics]. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universi-teta - Proceedings of Irkutsk State Technical University, 2015, no. 12 (107), pp. 30-40.

8. Belokobyl'skii S.V., Eliseev S.V., Kashuba V.B., Nguen D.Kh. Sootnosheniia koordinat dvizheniia elementov mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistem kak forma proiavleniia rychazhnykh sviazei [Ratios between motions of coordinates for elements of mechanical oscillation systems as a form of lever-type relations]. Sis-temy. Metody. Tekhnologii - Systems. Meth-ods.Technologies. 2015, no. 3 (27), pp. 7-14.