R-функции в компьютерном моделировании дизайна 3D-поверхности автомобиля Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 6 (36) 2011

Д. А. Лисин, аспирант отдела Прикладной математики и вычислительных методов Института проблем

машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины, г. Харьков

К. В. Максименко-Шейко, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник отдела прикладной математики и вычислительных методов Института проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного

НАН Украины, г. Харьков

А. В. Толок, докт. техн. наук, профессор, заведующий кафедрой инженерной графики Московского

государственного технологического университета «Станкин», Москва

Т. И. Шейко, докт. техн. наук, профессор, лауреат Государственной премии Украины в области науки и техники, заведующий отделом прикладной математики и вычислительных методов Института проблем

машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины, г. Харьков

R-функции в компьютерном моделировании дизайна 3D-поверхности автомобиля

Методы математического моделирования широко применяются в задачах трехмерного проектирования. К числу наиболее многообещающих относится метод И-функций.

Введение

Первое, что бросается в глаза человеку при взгляде на автомобиль, это, разумеется, его дизайн. Наибольшим успехом на рынке обычно пользуются модели, не только отличающиеся превосходными техническими характеристиками, но и наделенные своего рода «харизмой», способные вызывать эмоции. Креативные дизайнеры нуждаются в программных продуктах, позволяющих легко создавать и менять эмоциональную составляющую их разработок. Быстроту изменения форм автомобилей можно сравнить с эволюцией форм самолетов, для которых главным и объективным фактором развития формы является скорость. Форма автомобиля постепенно становилась более лаконичной и стала своего рода скульптурной. На изменение формы большое влияние оказывают новая технология производства и материалы. Современные формы приобретают характер собственной ценности.

Важный элемент разработки новых изделий — создание их трехмерных моделей для систем автоматизированного проектирования и конструирования [1]. Как пра-

вило, на практике приходится иметь дело с объектами сложной формы, что затрудняет построение моделей и их последующую дискретизацию. В настоящее время существует несколько подходов и технологий [2 - 4] к описанию геометрических объектов (ГО) разнообразной формы. Они могут быть классифицированы следующим образом:

• параметрическое описание поверхности, когда на определенном входном языке или в определенном формате описываются граничные сегменты, задающие замкнутую геометрическую фигуру;

• твердотельное геометрическое моделирование, когда форма объекта восстанавливается по чертежам трех ее проекций;

• композиция топологической модели как некоторой совокупности базовых топологических примитивов и эйлеровых операций над ними.

У каждого из этих подходов есть свои достоинства и недостатки. Параметрическое описание границ сложного трехмерного ГО — процесс трудоемкий. Твердотельное моделирование не всегда позволяет получить модель, пригодную для последующей

№ 6 (36) 2011

дискретизации. Композиция модели из базовых примитивов ограничена их набором, и с ее помощью невозможно описать произвольный геометрический объект. Следовательно, есть необходимость в альтернативном подходе к описанию сложных ГО, особенно неклассической формы.

Одна из возможных альтернатив — применение математического аппарата теории R-функций [5 - 7], который позволяет аналитически описать границу произвольного ГО. Процесс ее описания сводится к заданию некоторой функции от координат, принимающей нулевые значения на границе области, положительные внутри области и отрицательные вне области. Визуализация построенных уравнений поверхностей ГО в 3D осуществляется как в системе РАНОК [7], так и в новой системе быстрой визуализации 3D-объектов, описанных математическими средствами теории R-функ-ций.

Цель работы — разработка методики дизайн-проектирования легковых автомобилей с применением R-функций и компьютерных программ для визуализации построенных уравнений с возможностью в дальнейшем проанализировать зависимость аэродинамических свойств легкового автомобиля от формы кузова и выработать рекомендации для дизайнера по проектированию внешних форм на ранних стадиях проекта.

Аналитическое и компьютерное моделирование кузова автомобиля

Визуализация функции, заданной в неявной форме, — весьма трудоемкий процесс, прежде всего за счет необходимости нахождения достаточного количества опорных точек для построения триангуляции. В качестве среды для создания системы, визуализирующей такие функции, был выбран пакет МАТ1_АВ, прежде всего из-за встроенных в него средств триангулирования и создания изоповерхностей, а также из-за возможности получить объектный код С++.

Входным языком для задания в неявной форме уравнений границ ГО является язык МАТ_АВ, в который добавлены функции, реализующие R-операции системы {Я0}, а именно, R-конъюнкция или пересечение rfAND (Ш2) = 4 а0 4 = 4 + 4 -Ф? + 42, R-дизъюнкция или объединение rfOR (^ Д2) = = f v0 4 = f + 4 + 4 + 422 и отрицание ^ОТ ^1) = -41. Пример функции, описывающей поверхность клапана (рис. 1), приведен на рис. 2.

Как уже было сказано, наиболее трудоемкая часть процесса визуализации функции — получение опорных точек для триангуляции. Для качественной визуализации клапана на рис. 1 потребовалось задать более 15 миллионов опорных точек. Для того чтобы ускорить процесс визуализации

I £

1

I

I

.<3

со

I

Рис. 1. Клапан

К) 1-6,

ИО-КГЦ тет •ИШТ^уЛ);

Т ■ Т?Т -ЫЦ >! 1 4ИУси№0 ¿¿П-ЯО'МЧШХ

т-тегмод

МШ-в^имОП^НИтр^И^эг^ТП^ип

с?*п)иах

ддл.тст-мш,

Х11 «ЛОЧлвСМ! <> ЗЧдоДОСХ

УНШСшгдолц

имжадикпод^тоод

^«•-(гмнсисг 25^СГЙ0М1-7М1( «г-чо 09-(1Ю-2 ? 5К1-0 5 Д г -С 5»

NN(11;

УчПИММ*« 5*

Рис. 2. Функция, описывающая поверхность клапана

-ч ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 6 (36) 2011 ' -

и уменьшить объем используемой памяти, область построения ГО (описанный вокруг ГО прямоугольный параллелепипед) разбивается на определенное количество подобластей, вычисления в каждой из которых ведутся независимо с применением распараллеливания вычислений.

Самый большой, дорогой и ответственный узел легкового автомобиля — его кузов. Он определяет не только основные потребительские свойства (скорость, комфорт, эстетическое восприятие автомобиля в целом и т. д.), но и безопасность водителя и пассажиров, поэтому требования к кузову неуклонно повышаются. Рассмотрим поэтапное моделирование кузова автомобиля (рис. 3) с использованием математического аппарата теории R-функций. Будем вводить буквенные параметры для геометрических характеристик кузова, чтобы была возможность быстрого и наглядного изменения параметров.

Арки:

5

о §

е

со <0

£ и

0

1

со §

§

1

I!

ч £

о

€

€

0

1

а

I §

со

Рис. 3. Внешний вид проектируемого автомобиля

Крыша:

= 1-у2а-2 -(7-71)2Ь-2;

Г = (( + 4 у2 а-4 + 4(7 - ^ Ь-4 )-1/2, где а1, Ь1, — параметры крыши.

- У (У2 + У)

Багажник: Г2 = (2 - 7)л0

у2

где у2, 72 — параметры багажника. Капот:

С3 - аз у - Ьз г (у з - У )(у - У 4)

г = ■

Л

аз2 + Ьз2

Уз - У 4

где аз, Ьз, сз, Уз, у4 — параметры капота. ю12з = (< v0Г2 v0 Гз)л0 7 = 0 — поверхность крыши, багажника и капота.

и =

<6 =

(У + У5 )2 + 72 - (хк2 - Ха )2 - Х2 ;

2Га V0 2 ((2 - Ха) ;

(У - Уб )2 + - а (Хк2 - Ха )2 - Х"

2г

2 (Хк2 - Ха )

где га, у5, у6 — параметры арок.

«56 = <5 Л0 <6 = 0; ЮЬкка = Ю12з Л0 Ю56 = 0;

2 2 х: - х2

ЩевН = ЮЬкка Л0 '

2 =0 — поверхность

крыши, багажника и капота с арками (рис. 4), где х, — промежуточный параметр ширины машины.

Время счета 2з,з2 с. Скругление:

к = г2 - х2 - у2; ьь = х2 -(у - Уь)2

2г.

2гь

гк, гь, Уь — параметры скругления багажника и капота.

Ю,к = ЮЬкка Л0 Л0 ГЬ = 0 ,

^2 = Л0 )Л0 ГЬ = 0 — поверхность со скругленным багажником и капотом (рис. 5). Время счета 2з,з5 с.

Боковые поверхности:

Г = 1-

1 (Х - ХЬ )2 ( - 7ь )2 ;

1 _ 2 |_2 '

ь:

ии

Г + 4(( - Хь) + 4(( - 7Ь)

Г +4 а4 +4 Ь4

^22 = 1-

1 (Х + Хь )2 ( - 7ь )2 ;

' 2 , 2 '

ь2

ГЬ2 = '

ии

22

Г 2 + 4( + Хь)2 + 4( - 7ь)2 Г 4 а4 + 4 ЬЬ

0

ь

а

ь

0

80 у

№ 6 (36) 2011

а1 = 8, Ь = 4, zл = 4 , у2 = 15, z2 = 5,

З3 =2,5, Ьз = 10, Сз = 60, Уз = 18, У4 = 1,

Га = Я У5 = 6 Уб = 7, Хк2 = 4 Ха = 1 = 6

а, = 9, Ь = 4, z1 = 4, у2 = 14, z2 = 4, З3 =2,5, Ьз= 10, Сз = 702 Уз = 182 У4 = 1, Га = 2, У5 = 6 Уб = l, Хк2 = 4, Ха = 1 = б

Рис. 4. Поверхность крыши, багажника и капота с арками

I £

1

I

I

.<3

со

I'

гк = 17; Гь = 14; Уь = 2 гк = 18; Гь = 16; Уь = 2

Рис. 5. Поверхность со скругленным багажником и капотом

Ьь = з; Хь = 5,5; Zb = 2;

^ = 18; h2 = б; ^ = 1з8; ^ = 6,5

h1 = 18; ^ = 6; h3 = 1з8; h4 = 6,5

Рис. 6. Полная поверхность кузова

81

№ 6 (36) 2011

ff _ hx - h2 Z + h3 _

«

test4 = «test3 V0 «78910 = 0 — П0ВеРхн0СТь

Vhf+hf

ff _ -h1x - h2 z + h3; ff _ h2 - x2

ff _ I ; ff5 _ '

Jhf+h

2h

f7 _

f8 _

f9 _

I

о §

i2 CO <0

s

u

0

1

CO §

§

1

I!

4

I

s

О §

§

0

1

5

i Si

an i

2( -e) 0

«78910 _(( V0 f9 )V0 (( V0 f10 )_ 0,

кузова с колесами (рис. 7а). Время счета 23,78 с.

Окна:

fo1 _

(( 2 t \2 ^ |1-y2 (Z - z)

где аь,Ьь,4Ь,= h1,h2,hg,h4 — параметры боковой поверхности.

ЮЬ = (( А0 444 А0 445 ) V (4Ы v0 4Ь2 ) = 0

ю,ейд = ю8к а0 юь = 0 — полная поверхность кузова (рис. 6). Время счета 23,91 с.

Колеса:

(а -£)2+ У 5 )2 - Z 2 А (4к1 - 4)( - ^^ 2 ) . 2(( -е) 4к1 -4к2

(а -£)2-(У - У 6 )2 - ^ А (4к1 - 4)(4 - 4к 2 ) .

2 (а -е) 4к1 - 4 к2

(а -£)2-(У + У 5 )2 - Z2 А (4к1 + 4)(~4 - 4к 2 ) .

2 (а -е) 4к1 - 4к2

4 =(а_-е)2-(У-Уб)2 -z2 , (4к1 + 4)(-4-4к2).

410

W

УО

А0 (Z - h5 )

У2 - d2 2d

fo2 _ ((ox - o2Z + o3) а0 (-o1x - o2 Z + o3)) А0 ((hho1 - Z)(-ho2 + Z));

«o _ fo1 а0 fo2 _ 0,

где yo, zo, zh, h5,d,o1,o2,o3,ho1,ho2 — параметры окон.

«test5 _ («test3 V0 «78910 ) А0 «° _ 0 — ПоВерХность кузова с колесами и окнами (рис. 7б). Время счета 23,91 с.

Фары:

a _

fa _

fa3 _

1 (x - xf )2 (z - Z )2'

1-(x + Xf) (z - f

b?

1 (x - xf) (z - f

/ 2 ^

d2

где ra -e, y5, y6, x^, xk2 — параметры колес.

fa4 _

1 (x + xf)2 (( - f

/ 2 ^

d2

а)

e_ 0,2, у5 _ 6, y6 _ 7, xk 1 _ 6,5, xk2 _ 4 y0 _ 8, z0 _ 4, zh _ 3,5, h5 _ 5, d _ 0,5,

o1 _ 3, o2 _ 1, o3 _ 21, ho1 _ 7,5, ho2 _ 5

Рис. 7. Поверхность кузова: а — с колесами; б — с колесами и окнами

82

z

o

b

a

a

c

c

№ 6 (36) 2011

а)

X, = 4,5,zt = 2,а, = 2,Ь, = 0,5,с, = 1,5, б, = 0,5,У, = 12 Рис. 8. Поверхность автомобиля: а — вид сзади; б — вид спереди

f = (( vq fa )v (( v fa ),

где xf, zf, af, bf, cf ,df, yf — параметры фар.

W = (ю

W5 Vq f ) = 0 — П0ВеРХН0СТЬ аВТ0-

мобиля с фарами (рис. 8).

Построенная математическая модель поверхности автомобиля имеет 42 варьируемых параметра.

Отметим, что при реализации задачи обтекания следует выбирать уравнение поверхности, изображенной на рис. 7а.

Кроме собственно визуализации функций в системе предусмотрена возможность получения и визуализации триангуляции поверхности ГО. На рисунке 9 представлена триангуляция поверхности автомобиля по 125 000 опорным точкам (при большем количестве опорных точек сетка слишком густа для визуализации).

Рис. 9. Триангуляция поверхности автомобиля

При исследовании задачи обтекания и формировании нестандартного дизайна автомобиля предлагается следующая использующая блендинг на каркасе методика построения уравнений поверхностей с непрерывной функцией кривизны.

Нормализованное уравнение отрезка прямой на интервале -а < х < а имеет сле-

дующий вид: fo =

f = У > o, f =

fTf2 - f

2

2 2 a - x

2a

2 > 0.

+ f,2 > 0, где

Рассмотрим уравнение семейства кри-

( - х)(а2 + х)

вых ю = -г + —--- - р2 = 0 с пя-

Р1

тью рабочими параметрами а, а1, а2, р1, р2, нормализовать которое можно по формуле

Ю

юп =

д/ю2 + (Vœf

Вычислим

= 0.

2

(V»)2=(t+

2

(V»n)2 =

дюп ~дх~

2

дюп

2

\ "У /

Э2 юп Э2 юп и Аюп = _ „ +

Эю \дУ /

л Э2 ю Э2ю Эх2 Эу

Эх2 Эу2

при a = 5; a1 = 8; a2 = 5,3; p1 = 40; p2 = 0,1.

1 â

1

I

I

BQ i

-ч ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 6 (36) 2011 ' -

I

о §

Е

со <0

£ и

0

1

со §

§

1

I!

ч £

о

€

€

0

1

а

I §

со

На рисунке 10 представлены линии уровня исследуемых функций.

Анализ результатов позволяет отдать предпочтение нормализованной функции юп (х, у ) = 0. Выполнив подстановку

у ^^у2 + г2 , получим семейство нормализованных уравнений поверхностей тел вращения юп(х,^у2 + г2 ) = 0, представленных на рис. 11, при фиксированных значениях а = а2 = 5, р2 = 0,1.

Поверхности, изображенные на рис. 11, можно использовать при проектировании корпуса подводной лодки, фюзеляжа самолета и др., а также спроектировать автомобиль с кузовом нестандартной формы (рис. 12) с последующей триангуляцией поверхности (рис. 13).

Заключение

Проведенные исследования показали, что метод R-функций и новая система визуализации построенных уравнений удобны для математического моделирования геометри-

(Ую)

ческих объектов в 3D, в частности кузовов автомобилей и деталей машиностроения. Изменение буквенных параметров в построенных уравнениях может привести к существенному изменению дизайна кузова. При этом в работе не ставилась цель получить какие-то оригинальные отточенные формы. Задача сводилась к исследованию возможностей метода и новой системы визуализации уравнений. При наличии навыков построить математическую модель с буквенными параметрами новой машины можно за 0,5 ч., а процесс визуализации уравнения занимает 30 - 100 с. Система позволяет полученный на экране геометрический объект разворачивать во всех направлениях и триангулировать его поверхность. Результаты исследования позволят внедрить новые приемы для дизайн-проектирования легковых автомобилей, когда компьютерные технологии все больше и больше приходят на автомобильные производства, а ранняя стадия проектных работ максимально снизит вероятность ошибок при изменении формы автомобиля на позднем этапе, тем

юп

(Уюп)

Дсо

Рис. 10. Картины линий уровня исследуемых функций

Дюп

ю

№ 6 (36) 2011

p1 = 10, a1 = 6

p1 = 20, a1 = 6

p1 = 40, a1 = 6 p1 = 40, a1:

Рис. 11. Семейство поверхностей тел вращения

I ä

1

I

I

.<3

00 i

Рис. 12. Поверхность «автомобиля»

Рис. 13. Триангуляция поверхности

самым сократит расход времени и денежных средств на доработку. Предложенная методика построения уравнений поверхностей с непрерывной функцией кривизны может быть использована при проектировании корпусов подводных лодок, фюзеляжей самолетов и др.

Список литературы

1. Желтов С. Ю, Князь В. А. Современные подходы к трехмерному сканированию объектов сложной пространственной формы // 3-й Всероссийский семинар «Лазерно-компьютерные технологии создания деталей сложной формы». М.: ГосНИИ авиационных систем, 2003.

2. Лисняк А. А., Гоменюк С. И. Применение R-функций для геометрического моделирования объектов сложной формы // Радюелектронка. 1нформатика. УправлЫня. 2009. № 2. С. 76 - 81.

3. Адамов А. ADEM: подготовка к третьему тысячелетию // САПР и графика. 2000. № 12.

4. Ермилов В., Харин В., Шалак М. Концептуальные геометрические модели. Ижевский государственный технический университет. Кафедра систем автоматизации проектирования. Ижевск, 2004.

5. Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. Киев: Наук. думка, 1982. — 552 с.

6. Максименко-Шейко К. В. R-функции в математическом моделировании геометрических объектов и физических полей. Харьков: ИПМаш НАН Украины, 2009. — 306 с.

7. Максименко-Шейко К. В., Мацевитый А. М, Толок А. В., Шейко Т. И. R-функции и обратная задача аналитической геометрии в трехмерном пространстве // Информационные технологии. 2007. № 10. C. 23 -32.

85