CC BY
58
УДК 530.145:510.58:519.68 К. А. Валиев
КВАНТОВЫЕ КОМПЬЮТЕРЫ: СМЕНА ПАРАДИГМЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
(кафедра квантовой информатики факультета ВМиК)
1. Введение. Статья посвящена изложению принципов работы квантовых компьютеров и их элементов. Рассматриваются так называемые идеальные квантовые компьютеры, не взаимодействующие с окружением и поэтому не подверженные процессам декогеренизации квантового когерентного состояния. Показано, что квантовый компьютер является вероятностным цифровым компьютером с аналоговым управлением. Сравнение с классическими компьютерами позволяет отметить следующие источники преимуществ квантового компьютера: экспоненциально большое пространство состояний квантового компьютера; интерференция векторов состояний, описываемых вектором в комплексном пространстве; запутанность состояний кубитов в компьютере. Кратко описаны найденные к настоящему времени эффективные квантовые алгоритмы.
Наличие взаимодействия с окружением и декогеренизация состояний квантового компьютера является принципиально важным фактором, ограничивающим возможность ведения длительных квантовых вычислений. Применение квантовых методов коррекции ошибок является необходимым и, вероятно, достаточным условием построения реального квантового компьютера. За недостатком места эти важные вопросы остаются за пределами статьи.
2. Алгоритмы: классы их сложности. Чтобы решить задачу, компьютер, классический или квантовый, выполняет определенную последовательность операций (инструкций). Описание этой последовательности операций называется алгоритмом решения задачи. Задача характеризуется ее размером га, равным, например, числу разрядов двоичного числа, над которым выполняется алгоритм. Алгоритм реализуется некоторой схемой операций Nn, зависящей от га; схема iV„_|_i получается из Nn на основе простых правил.
В теории сложности алгоритмов для классических компьютеров принято разделять алгоритмы на эффективные и неэффективные. Алгоритм относится к классу эффективных, если схема Nn состоит из полиномиального числа операций 0(rarf), d = const, га — размер задачи. Время выполнения эффективного алгоритма возрастает с размером задачи полиномиально: tn ~ nd. В данном случае используемым для решения задачи ресурсом является время работы компьютера. К другим ресурсам относится объем памяти компьютера, а также (в случае квантового компьютера) точность выполнения операций. Эффективный алгоритм должен использовать полиномиальное количество ресурсов, являющихся ограниченными. Эффективные алгоритмы называются также полиноминальными (класс Р).
Эффективным алгоритмам класса Р противопоставляются неэффективные, требующие экспоненциально больших ресурсов (времени, памяти, точности). Например, если tn ~ 2", то алгоритм причисляется к неэффективным алгоритмам. Примером задачи, для которой не найдено эффективного алгоритма решения на классическом компьютере, является задача о вычислении простых множителей больших га-разрядных чисел (задача о факторизации чисел)1. Лучший известный вероятностный алгоритм факторизации для классических компьютеров требует 2av/"log" операций [1, 2].
В 1994 г. Шор (Shor) построил алгоритм полиноминальной сложности решения этой задачи на квантовом компьютере; необходимое число операций — 0(п2 loglogralog(l/e)); здесь е — вероятность ошибочного результата вычислений [3]. Результат Шора был сенсационным. Он опровергал так называемый тезис (эмпирический закон) Черча-Тьюринга: все компьютеры эквивалентны в том смысле, что переход от одного компьютера к другому не изменяет класса сложности задачи. Тезис был сформулирован для множества классических компьютеров. Тезис оказался нарушенным, когда в множество компьютеров включили квантовые.
Такой результат не оказался неожиданным для физиков. Информация не является только математическим или логическим понятием. Она имеет физический носитель, кодируется, хранится, обрабатывается, передается, записывается, стирается путем изменения состояния носителя информации.
1 Доказательства того, что эффективный классический алгоритм этой задачи не существует, не найдено.
Информация физична (information is physical [4]). Поэтому неудивительно, что квантовые методы обработки информации (вычислений) обладают иными свойствами, чем классические методы. Наличие глубокой связи между физикой и информацией обнаруживается при сопоставлении термодинамической энтропии в физике и информационной энтропии Шеннона в теории информации, они совпадают с точностью до постоянного множителя.
3. Биты и кубиты. Словами бит и кубит обозначаются как единицы классической и квантовой информации, так и классические и квантовые системы, являющиеся носителями одного бита (кубита) информации. В современных классических компьютерах существуют биты памяти, хранящие информацию, и управляемые биты в схемах, обрабатывающих информацию. В магнитной памяти ЭВМ битом является намагниченная область магнитной пленки; двум направлениям намагниченности соответствуют значения 0 и 1 бита информации. Переключение 0 —> 1 или 1 —> 0 требует преодоления энергетического барьера между двумя состояниями намагниченной пленки; именно наличие барьера обеспечивает надежность хранения информации. В оперативной памяти ЭВМ носителем информации является транзисторная схема. Примером управляемого бита, используемого в системах обработки информации ЭВМ (процессорах), является инвертор, построенный на двух транзисторах. В инверторе входное напряжение [7ВХ управляет напряжением UBых на выходе: если [7ВХ соответствует значению О (1), то f/вых соответствует 1 (0). Инвертор выполняет логическую операцию NOT. В описанных ячейках состояния 0 и 1 разделены энергетическим барьером. Более того, состояния с минимальной энергией являются аттракторами, к которым система эволюционирует из множества состояний, окружающих аттрактор. Надежность хранения информации и безошибочность процессов обработки информации в классических компьютерах обеспечиваются наличием энергетического барьера, разделяющего два аттрактора, представляющих состояния 0 и 1.
Базовым элементом квантового компьютера (носителем квантовой информации) является квантовый бит (кубит). В системах квантовой связи информация передается или путем физического переноса кубита — носителя информации, или методом телепортации квантового состояния кубита. В качестве кубита может быть избрана любая квантовая система с двумя состояниями, характеризуемыми ор-тонормированными волновыми функциями |</Jo) и \<~pi). Удобным примером кубита является ядерный (или электронный) спин I = 1/2, который в постоянном внешнем магнитном поле В имеет два уровня энергии Eq = —l/2hjB и Е\ = l/2hjB, соответствующих направлениям спина по полю или против поля (рис. 1). Волновые функции = \IZ = 1/2) и \ц>\) = |Iz = —1/2) являются собственными функциями оператора полной энергии спина в магнитном поле В: H = —hyBIz.
Рис. 1. Два состояния спина могут использоваться как состояния кубита
4. Гильбертово векторное пространство состояний кубита. Выше приведен пример выбора двух ортонормированных состояний квантовой системы в качестве базисных состояний |0) и |1) кубита. По этому базису можно разложить любое нормированное к 1 состояние \ф) кубита:
\<р) = а |0) + Ь |1).
И2 + \Ь\2 = 1.
(1)
Состояние (1) выражает принцип суперпозиции квантовой механики как линейной теории: если состояния |0) и |1) суть решения уравнения Шредингера для системы, то любая суперпозиция этих решений также есть решение этого уравнения.
Множество векторов состояний \ф) образует гильбертово двумерное векторное пространство кубита. Компоненты двумерных векторов |0), |1), |ф) записываются в виде столбцов:
|0> =
|1) =
| ф) = а
+ Ъ
= а|0) + Ь|1).
(2)
Состояния |0) и |1) служат ортами в двумерном гильбертовом пространстве кубита. Проекции | ф) на орты равны амплитудам а и Ь в суперпозиции: (0|г/>) = а, (1\ф) = Ь. В общем случае а и Ь — некоторые комплексные числа:
а = |а| ехр(г<^а), Ь = \Ь\ехр(г(^ь).
Тогда \ф) = ег1Ра (|а| |0) + \Ъ\ е1^ч>ъ~ч>а^ |1)). Общий фазовый множитель ехр(г<,оа) не влияет на результаты измерений состояния кубита, и фаза <ра может иметь произвольное значение. Отсюда следует, что вектор |ф) определяется двумя вещественными параметрами, например |а| и ((рь — <*Ра)- Значения |а|2 (|6|2 = 1 — |а|2) определяются путем многократного измерения в базисе |0), |1) кубитов из ансамбля, приготовленного в состоянии |ф), как вероятности результатов измерений Р(|0)) = |а| , Р(|1)) = \Ь\ . Разность фаз (¿ръ — фа) амплитуд может быть определена из экспериментов интерференционного типа.
Преобразования вектора | ф) =
в другой вектор |ф') =
являются однокубитовыми кван-
товыми операциями в квантовых вычислениях. Геометрически такое преобразование есть вращение
. Оператор вращения II представляет собой унитарную
вектора | ф) до совпадения с вектором | ф') =
2 X 2-матрицу:
= U
. Из общего вида матрицы U =
ае Ье~
ае
(а, Ь, и, V — вещественные
числа) следует ее унитарность, если а2 -\-Ъ2 = 1. Матрица вращения на угол ср вокруг оси z, направление которой в системе Oxyz задано единичным вектором с компонентами р = sin в cos (р, q = sin в sin íp, г = cos# имеет вид (1):
с — irs — (q + ip)s (q — ip)s с + irs
где с = cos j, s = sin у.
U(<p-,p,q,r) =
(3)
X{v) =
Из (3) легко получить матрицы вращений вокруг осей х, у, z:
iip/2 Q
С —IS
— is С
Y(<p) =
с —s
Z(cp) =
0
,-iip/2
2 / У2
0 0
Y
У2 V^
-1 1
(4)
В качестве стандартных однокубитовых операций в квантовых вычислениях часто используются преобразования, выраженные матрицами:
X =
0 1
1 о
Y = i
-1 О
Z =
1 о
О -1
-i
U{v) =
1 о
О eiip
(5)
Легко проверить, что
X
ЕЕ NOT
Z
а
-Ь
Н\0) = Н
а
be1v
V2
(|0) + |1)), Н\1) = Н
V2
(|0>-|1>). (6)
С точностью до общего фазового множителя X = Х(тт): операция отрицания NOT выполняется вращением (поворотом) спина (квазиспина) кубита вокруг оси Ох на угол тг.
Вращение вектора в пространстве Гильберта непрерывно: при своем вращении на конечный угол вектор |ф) проходит через непрерывную последовательность промежуточных ориентаций. Матрицу поворота на конечный угол можно представить как упорядоченное произведение матриц поворотов на бесконечно малые углы [1]. Непрерывность переходов является принципиальным отличием квантовой механики, положенным в основу ее аксиоматической формулировки [5].
Кубит живет одновременно в абстрактном двумерном векторном пространстве Гильберта и в трехмерном эвклидовом пространстве. (Аналогичное утверждение справедливо и в отношении квантового компьютера как совокупности кубитов.) Вычислительные процедуры совершаются в гильбертовом пространстве как преобразования вектора состояния: \ф') = и\ф). Одновременно физические процессы в квантовой системе, избранной в качестве кубита, описываются в трехмерном эвклидовом пространстве. Мы должны уметь выполнять физические операции в лабораторной системе координат Oxyz, приводящие к необходимому преобразованию U вектора состояния кубита в гильбертовом пространстве. Эту задачу решает следующая теорема [1].
Теорема. Произвольное унитарное преобразование кубита U в гильбертовом пространстве может быть представлено как произведение трех вращений в эвклидовом пространстве:
U = exp(ia)Rn(P)Rm(y)Rn(6),
где п,т — два непараллельных единичных вектора в системе координат Oxyz, a Rn{9) — матрица (оператор) вращения вокруг оси п на угол в.
В условиях реального эксперимента оси п, т удобно совместить с осями эвклидовой системы координат Oxyz. Тогда возможны z — у- их — у-разложения [1]:
U = ега Rz(fi)Ry(-f)Rz(8), (z — у-разложение),
U = ега Rx(fi) Ry(y) RX(S), (х — у-разложение).
Подставив в z — у-разложение матрицы вращений Rz-, Ry и перемножив, получим
U ~€ V sin (?) cos (?) е*^)/2 J ' ^
Задав вращение U в гильбертовом пространстве матрицей
и = ега faexp(-iu), -bexp(iv)\
у6ехр( — iv), аехр(ги) J ^ '
и потребовав тождества матриц (8) и (9), найдем:
íl\ íl\ с u + v U — V
а = cos J , b = sin J , /3 = —. (10)
Таким образом, произвольное преобразование с параметрами (9) вектора состояния кубита может быть выполнено как последовательные вращения вокруг осей z, у, z лабораторной системы координат на углы S, 7, /3 согласно (10).
Состояние кубита \ф) = а |0) + Ь |1) может быть отображено в точку на поверхности 3-мерной единичной сферы Блоха в эвклидовом пространстве; сферические координаты точки (в, (р) связаны с а, Ь равенствами cos(#/2) = а, е%ч> sin(#/2) = b (а можно считать действительным числом ввиду ненаблюдаемости общей фазы). Такое взаимнофизическое соответствие означает изоморфизм групп вращений в 2-мерном гильбертовом и трехмерном эвклидовом пространствах: SU(2) рй 50(3). Приведем также определение скалярного произведения векторов \<рч) = a¿ |0) + 6¿ |1) и |ípj) = aj |0) + bj |1):
(VjlVi) = a*jai + b*jbi-Геометрически оно определяет "угол" в между векторами: соя в = (<pj\(pi).
5. Квантовая когерентность векторов состояния. Состояния квантовой системы, описываемые векторами состояния |ф), называются чистыми (pure). Понятие когерентности в квантовой физике определяется аналогично понятию когерентности в оптике: волновые функции (векторы состояния) квантово-когерентных систем способны к интерференции. Знаменитый эксперимент по наблюдению дифракции электронов на двух щелях по сути является экспериментом по выявлению квантовой когерентности орбитальной волновой функции |ф(г)) свободного электрона. Чистым (когерентным) состояниям противопоставляются так называемые смешанные состояния, которые нельзя описать векторами состояния. Чистые и смешанные состояния квантовых систем принципиально различаются по
признаку когерентности: чистые состояния когерентны, смешанные — некогерентны. Добавим здесь, что вектор чистого состояния дает полное описание квантовой системы в том смысле, что все, что мы можем знать о системе, содержится в векторе состояния. Смешанные состояния описываются матрицей плотности, в которой часть информации о системе утеряна, следовательно, смешанные состояния не дают полного описания квантовой системы.
Интерференция амплитуд состояний является типичным процессом в квантовых вычислениях. Продемонстрируем это на примере простого вычисления на двух кубитах в начальном состоянии |00) (первый и второй нули отвечают состояниям 1-го и 2-го кубитов). Пусть вычисления заключаются в последовательности операций iii-f^-HiNOTi:
|00) |10> ± (|0> - II))! |0)2 1 (|0> - II»! (|0> + |1))2 ^
2\/2 [|00) (1 " 1} + |10) (1 + 1} + |01) (_1 + 1} + |П) (1 + 1)]' (П)
Суммы амплитуд при состояниях |00) и |11) равны нулю, так как здесь интерференция амплитуд деструктивная, тогда как для амплитуд при |10) и |11) наблюдается конструктивная интерференция.
6. Запутанные состояния квантовых систем. Квантовые системы часто являются композитными — они состоят из двух и более подсистем. Даже если система в целом находится в чистом состоянии (описывается волновой функцией), составляющие ее подсистемы могут находиться в смешанном состоянии и описываться матрицей плотности. Условием такого результата является то, что чистое состояние системы должно представлять собой так называемое запутанное (entangled) состояние составляющих систему подсистем.
Продемонстрируем сказанное на примере композитной системы, состоящей из двух кубитов, А и В. Проведем над этой системой два последовательных унитарных преобразования, в результате чего два кубита окажутся в запутанном состоянии:
\Ф?пВ) = |0>А |0>в ^ (|0)А + \1)А) |0>в ^^ (|0)А |0>в + \1)А |1>в) = \Ф1В). (12)
Конечное состояние в виде произведения волновых функций кубитов А и В:
Ф^^ = (|0)а |0)в + |1)л |!)в) запутанно, так как не может быть представлено
фф \ф)л IФ)в'1 нельзя подобрать такие
|ф)А = сна |0) + /3а |1) и |ф)в = ав |0) + /Зв |1), чтобы имело место равенство = \Ф)а IФ)в-
Теперь найдем матрицы плотности, описывающие в отдельности кубиты А и В. Матрица плотности композитной системы АВ есть
рлв \Ф1В> (Ф1ВI = \ [|0)А (0\А |0>в <0|в + |0)А |0>в (1\А (1\в + \1)А |1>в (0\А <0|в + \1)А |1>в <1|в <1|в].
(13)
Приведенная матрица плотности для первого кубита А получается взятием следа матрицы по состояниям кубитов В:
РВ = ТгВРАВ = (0В\рав\0)В + {1В\РАВ\1)В = \ (|0>л (0|А + |1>л Ш = I1- (14)
Аналогичный результат получим для рв- рв = (1/2)/- Состояния кубитов А и В оказываются смешанными; смесь составлена из чистых состояний |0) и |1) с вероятностями р|0) = р\\) = 1/2.
В классической физике информация, дающая полное описание системы как целого, достаточна для полного описания и частей целого. В квантовой механике это правило не выполняется, если целое находится в так называемом запутанном состоянии. При этих условиях информация, дающая полное описание целого, недостаточна для полного описания частей, из которых состоит целое. Запутанность является сердцевинным свойством квантовых систем. Из существования запутанных систем вытекает нелокальность квантового описания природы [1]. Запутанность служит важнейшим ресурсом в квантовой информатике: использование запутанных состояний обеспечивает выполнение протоколов квантовой телепортации, криптографии и вычислений. Поэтому явление запутанности сейчас привлекает большое внимание исследователей. Удивительно, что в стандартных учебниках квантовой
механики о запутанности в квантовых системах даже не упоминается [6], хотя запутанные состояния были обнаружены еще в 1935 г. в знаменитых работах Шредингера [7] и Эйнштейна с сотрудниками [8].
7. Идеальный квантовый компьютер. Схема квантового компьютера представлена на рис. 2 [9]. По существу квантовый компьютер представляет собой регистр из п кубитов, управляемых внешними (классическими) сигналами. Квантовый компьютер встроен в классическое окружение, состоящее из классического компьютера и генератора импульсов, управляющих эволюцией кубитов, а также средствами измерений состояния кубитов. В ходе вычислений к регистру п можно добавить другие регистры, играющие вспомогательную роль (апсШав).
Рис. 2. Схема квантового компьютера
Назовем идеальным квантовый компьютер, состояния которого всегда когерентны. Это означает отсутствие взаимодействия компьютера с окружением, создающим шумы и нарушающим когерентность вектора состояния компьютера (декогерентизация). Во-вторых, в идеальном квантовом компьютере внешние сигналы осуществляют точное управление. Вектор состояния \ф) квантового регистра из п кубитов представляет собой разложение по 2" базовым состояниям регистра (¿1,...,г„), ¿1,г2,.. .,г„ = {0,1}:
IФп)= ^ ■ ■ -,гп) • (15)
¿1 ,...,«„
Суперпозиция \ф) является вектором в 2"-мерном векторном пространстве; (¿1,..., гп) принимает все значения 2" базисных векторов (ортов) этого пространства, а^...^ — проекции вектора |ф) на направления ортов (¿1,.. .,гп)- Все, что мы можем знать о физической системе, содержится в векторе его состояния |ф). Все, что мы можем сделать с системой, — преобразовать его начальный вектор состояния |фгП) в другой вектор Поэтому процесс вычислений на квантовом компьютере рас-
сматривается как преобразование начального вектора состояния компьютера |фгП) в конечный вектор состояния путем умножения вектора |фгП) на унитарную матрицу размерности 2" X 2":
\ф}) = и{2п х2п)\фт). (16)
Удобно полагать, что в начальном состоянии компьютера все его кубиты находятся в состоянии |0): |фм) = 1О1О2,..., 0„). Эту операцию называют инициализацией. Состояния |ОхО2, • • •, 0„) можно добиться охлаждением кубитов до сверхнизких температур или путем измерений и управления состоянием кубитов.
Алгоритм решения задачи заключен в матрице преобразования 11(2" X 2"). Классическая информация о решении задачи содержится в конечном векторе состояния | ф^', она должна быть получена измерением кубитов. Чтобы решать задачи на квантовом компьютере, надо изготовить необходимое количество кубитов, инициализировать их, осуществить управление их квантовой эволюци-
ей, чтобы выполнить преобразование II \фгП), и измерить состояния кубитов, описываемых вектором \фу) = и\фгп).
Анализ вопроса о ресурсах квантового компьютера, дающих ему неоспоримое преимущество по сравнению с классическим компьютером, проведем исходя из уравнения (16) работы компьютера. Введем сначала более экономные обозначения вектора состояния \ф). Базисное состояние \i\i2, ■ ■ - ,гп) представляет собой га-разрядное двоичное число |ж), разряды которого совпадают с числами • • - ¿п>
2™-1
I = {0,1}. В этих обозначениях \фп) = ^ ах \х). Суперпозиция \фп) содержит 2" слагаемых, предало
ставляющих собой разложение вектора \фп) по базисным функциям |ж), 0 ^ х ^ 2" — 1. Ограниченный физический ресурс, а именно небольшое количество га рй 103 частиц (кубитов), создает экспоненциально большой, 2" = 21000 -и- 2300, математический информационный ресурс квантового компьютера. Именно в этом обстоятельстве заключено основное преимущество квантового компьютера перед классическим компьютером.
Следствием из принципа суперпозиции является 2"-кратный квантовый параллелизм вычислений. Действительно, изменение состояния только одного кубита перестраивает всю суперпозицию. (Поскольку набор базисных функций \х) постоянен, перестраиваются все 2" проекций ах вектора
Сравним эти факты с возможностями регистра классического компьютера. Классический регистр из га бит может находиться только в одном из 2" состояний, поскольку в классическом мире нет принципа суперпозиции. Другими словами, состояние классического регистра одномерно. Изменение состояния одного бита переводит регистр в другое одномерное (и близкое по значению) состояние. Ресурсы классического компьютера экспоненциально малы по сравнению с ресурсами квантового компьютера.
Гильбертово пространство состояний |ф) есть пространство комплексных чисел. Это означает, что амплитуды ах в разложении |ф) = \х) суть комплексные числа: ах = \ах\ехр^срх). При
сложении векторов |ф) + |ф') = ^~2(ах + а'х) \х) происходит интерференция квантовых амплитуд:
ах + а'х= [(|ах| + |<4|) со8<р~ + i {\ах\ - |<4|) зт <р~] ег1р* , = (<рх ± <р'х)/2. (17)
В ходе квантовых вычислений интерференция амплитуд происходит повсеместно и автоматически. Поэтому некоторые авторы представляют себе квантовый компьютер как сложный интерферометр для амплитуд вектора состояния квантового компьютера.
8. Квантовый компьютер — цифровой компьютер с аналоговым управлением. Анализ уравнения |фу) = и \ф{) для квантового компьютера позволяет установить принципы работы и управления квантовым компьютером. Начальное состояние = 101 ... 0П) не содержит никакой информации ни о задаче, ни о способах ее решения. Всю информацию о решаемой задаче и алгоритме ее
2™ -1
I Л
решения содержит матрица преобразования 17. Наконец, конечный вектор состояния \фу) = ^ ах \х)
х=0
содержит информацию о решении задачи. Получить эту информацию мы можем, измерив в базисе |0),
|1) состояние каждого из га кубитов компьютера в состоянии |фу). Выполнив измерение, мы найдем
2
любое из значений — 1с вероятностями
аР
, как это следует из общих принципов кванто-
вой физики. Возникает вопрос, как могут разные числа х представлять решение задачи, если решение должно быть единственным. Действительно, только одно значение является решением, остальные \х) ф являются ошибочными. Чтобы идея квантового компьютера имела реальный смысл, квантовый алгоритм должен приводить к |фу) такому, что вероятность найти правильное решение р8 = |а5|2 -и- 1, тогда как сумма вероятностей всех ошибочных решений мала: ^ |аж|2 <С 1- Все
Хфё
придуманные к настоящему времени квантовые алгоритмы обладают описанным свойством. Итак, квантовый компьютер дает цифровое решение задачи в с определенной вероятностью, т.е. он является цифровым вероятностным компьютером.
Теперь выявим способ управления квантовым компьютером. В ходе квантовых вычислений происходит преобразование начального вектора состояния = ^ ах^ \х) в конечный вектор |фу) =
х
= X} ах \х) через непрерывный ряд состояний. Базисный набор состояний \х) сохраняется неизмен-
X
ным. Динамика состояния компьютера передается изменениями во времени амплитуд ах(Ь), являющихся аналоговыми величинами, принимающими непрерывный ряд значений в интервале 0 ^ \ах\ ^ 1.
Управлять компьютером значит управлять процессами ax(t), т.е. по способу управления квантовый компьютер является аналоговым компьютером. Такое сочетание свойств — аналоговый способ управления, вероятностный характер представления цифрового решения — не присутствует ни в одном типе классических компьютеров. Квантовый компьютер выглядит "минотавром" в мире компьютеров, сочетая несовместимые в классическом мире свойства аналоговых и цифровых классических компьютеров.
На заре развития вычислительной техники (1950-1960) аналоговые (классические) компьютеры успешно дополняли цифровые ЭВМ. В последующие годы они были вытеснены цифровыми ЭВМ из-за невысокой точности получаемых решений. Аналоговые переменные — токи и напряжения — удавалось контролировать только с точностью порядка Ю-2. По современным оценкам, параметры управляющих кубитами сигналов (импульсов) должны контролироваться с точностью 10-5^10-4. Такую дорогую плату должны будут заплатить создатели квантовых компьютеров за сюрприз встречи с "минотавром" — цифровым компьютером с аналоговым управлением. Высокая точность операций необходима, чтобы справиться с проблемой декогерентизации квантовых состояний компьютера.
9. Как реализовать квантовый алгоритм? Уравнение работы квантового компьютера с п кубитами описывает преобразование \ipf) = U(2" X 2") \фг), где \фг), \ipf) — векторы с 2" компонентами. При значениях п = 103 умножение U \ipi) становится недоступным для самых быстрых (~ 1012 операций/сек) компьютеров. Еще более трудной представляется физическая реализация преобразования \Фг) ~~^ IФ^- Путь к реализации квантовых алгоритмов обнаруживается, если существует возможность разложения матрицы U(2" X 2") в упорядоченное произведение матриц 2-го и 4-го порядков:
U(2" х 2") = f] Ut(2 х 2) ® Uj(22 х 22). (18)
Возможность такого разложения (с точностью, достаточной для вычислений) детально обсуждается в работе [1].
Выше было показано, что матрица второго порядка преобразует двумерный вектор состояния одного кубита: т.е. каждая матрица [/¿(2 X 2) в разложении описывает операцию на том или другом отдельном кубите компьютера. Матрицы U(22 X 22) преобразуют четырехмерные векторы состояния пар кубитов:
\фг) = а00 |00) + «ю |Ю> + а01 |01) + ап |11) ^ |ф,) = а'00 |00) + а'10 |10) + а'01 |01) + а'п |11). (19)
Следовательно, количества сомножителей 2-го и 4-го порядков в разложении (18) определяют количество однокубитных и двухкубитных операций, необходимых для реализации алгоритма. Для условия эффективного алгоритма необходимо, чтобы полное число операций было полиноминальным от числа "задействованных" кубитов в компьютере: Nop = Р(п). Если число операций возрастает экспоненциально с размером задачи (числом задействованных в решении задачи кубитов компьютера), то алгоритм относится к классу неэффективных.
10. Универсальные наборы элементарных операций. Однокубитные операции описывают вращение отдельного кубита: а |0) + /3 |1) —> а' |0) + /3' |1). Характер двухкубитных операций требует дополнительных разъяснений. Двухкубитная операция предполагает взаимозависимость состояний двух кубитов, своего рода управление (control) одного кубита (контролируемого) другим (контролирующим). Такого рода взаимозависимость требует наличия физического взаимодействия между кубитами, включаемого на время выполнения операции (или существующего постоянно).
Среди двухкубитных операций выделяют операцию "Контролируемое-НЕ" (Controlled-NOT = = CNOT). Пусть контролирующий кубит будет первым, контролируемый — вторым. Тогда операция CNOT характеризуется следующей таблицей состояний входных и выходных кубитов:
Входное состояние |оо> |01> |10> 111)
Выходное состояние |00> |01> 111) |10>
Как видно, в операции СМОТ второй кубит инвертируется (|0) —> |1), |1) —> |0)), если первый находится в состоянии 11). Диаграммный символ операции приведен на рис. 3. Горизонтальные линии
изображают ось времени для 1-го и 2-го кубитов, вертикальная линия — взаимодействие кубитов. С помощью таблицы операции легко вычислить |V>i2)> если
\фг) = |0> + ft |1>, |ф2) = а2 |0> + /32 |1) : |^12> = («1«2) |00> + «!/32 |01> + /3!«2 |11> + /3!/32 |10> .
Рис. 3. Диаграмма операции "Контролируемое-НЕ"
Обобщением контролируемой операции является операция С — С/, где U — любая однокубитная операция; она выполняется над вторым кубитом, когда контролирующий кубит находится в состоянии
|1). В частности, U может быть операцией изменения фазы: U = ^ • Тогда
\фг) = а\0) + /3\1) +
Интересен случай, когда U = /(фг), где / — некоторая функция. Тогда
\фг)\ф2) ^^\Ф1)\Ф2® 1{Фг)) ■
Однокубитные операции (континуум вращений) вектора состояния кубита плюс двухкубитная операция CN0T составляют универсальный набор операций, позволяющий осуществить любое преобразование вектора состояния компьютера. С точки зрения практической реализации наличие континуума операций в наборе неудобно. Максимальной простотой исполнения будет обладать некоторый дискретный набор операций. В качестве такого набора предлагается, например, набор, состоящий
из однокубитных операций: преобразования Адамара Н, фазового вентиля U(ir) = ^ ^^ = Z,
фазового вентиля U(ir/4) и двухкубитового вентиля CN0T [1].
Физическая реализация квантовой операции всегда сопровождается некоторой погрешностью исполнения S. С учетом этого обстоятельства теория квантовых операций должна строиться как теория аппроксимаций. Определим ошибку Е при выполнении операции U [1]:
E(U,V) = m^\\(U-V)m\. (21)
Здесь U — матрица идеального преобразования, V — матрица реального (с погрешностью) преобразования, |ф) — пространство векторов состояний системы. Погрешности последовательности операций Um .. .U2U1 суммируются в смысле неравенства [1]:
т
E(Um .. .U2U1}Vm .. .У2Уг) <: J2E(Uj>VJ)- (22)
S=1
Можно убедиться в универсальности дискретного набора операций Н, Т = U(ir/4), U(ir), CNOT, показав возможность выполнения с их помощью любого однокубитного вращения U с заданной точностью е. Выполним последовательные операции НТН и Г, представляющие собой вращения сферы Блоха вокруг оси Ох на угол 7г/4 и вокруг оси Oz на угол 7г/4 [1]:
ТНТН = ехр ехр ■ (23)
Вычисление показывает, что такие два вращения эквивалентны одному вращению Rn{9) на угол в, определенный равенством cos | = cos2 |г, вокруг единичного вектора п с компонентами
ra(cos(7r/8),sin(7r/8),cos(7r/8))/(l + cos2(7r/8))1/2.
Далее убеждаются в том, что любой угол вращения а вокруг п будет достигнут с точностью не хуже г/3 посредством п вращений на угол 9\
E(R-n(a),Rnn(e)) <е/3. (24)
Здесь доказательство основано на том, что результирующие углы к вращений в& = (кв) mod 2тг заполняют пространство углов вращения (0, 2тг) равномерно.
Наконец, произвольное унитарное преобразование U состояния может быть представлено тремя вращениями вокруг осей п, то, п, каждое из которых может быть аппроксимировано щ, щ, Щ вращениями на дискретный угол 9\
E(U, R£ (0)HR% (e)HR^ (в)) < е. (25)
Чтобы достичь точности £ в выполнении однокубитной операции, надо затратить 0(logc(l/e)) операций из дискретного набора (теорема Соловей-Китаева). За деталями вычислений мы отсылаем читателя к монографии [1].
Двухкубитная операция CNOT при физическом исполнении включает в себя кроме однокубитных операций процесс свободной эволюции двух кубитов под воздействием гамильтониана их взаимодействия. В процессе свободной эволюции один кубит управляет другим, используя энергию взаимодействия.
В заключение отметим, что произвольное унитарное преобразование состояния компьютера требует 0(п24") операций из универсального набора, т.е. число операций экспоненциально велико [1]. Квантовые алгоритмы считаются эффективными, если они требуют полиномиального числа операций.
11. Осцилляции Раби между состояниями кубита и однокубитные операции. В качестве кубита выберем частицу со спином I = 1/2. Дискретные состояния спина в постоянном магнитном поле В с энергиями Ни>о = и Ни>1 = + |-//-В выберем в качестве базисных состояний кубита:
|0) = = |'0—1 /2}- Управление кубитом совершается с помощью линейно-поляризованного
переменного магнитного поля: Н¡п4 = —^1хкх{£) = — /¿/ж/го сое+ </?). Поле кх{£) рассматривается как классическая переменная.
Решение уравнения Шредингера
-= {-ц1хВ - ц1х1г0 собИ + ср)) (26)
ищем в форме суперпозиции состояний |0) и |1) с переменными амплитудами Со(£), С\{£):
|Ф(Ь)) = С„(*) |0) + (Ь) |1>е"г^. (27)
Проведя стандартные вычисления, для Со и С\ получим уравнения:
{С'о = гЫСг [ег54+г^ + )
\с\ = ШС0 + -"о]*+«¥>] . >
Здесь обозначено: = (/¿12^0/^) — частота Раби, /¿12 = ц(0\1х\1) = 1/2// — матричный элемент перехода, 6 = и — (а^ — шо) — расстройка частоты внешнего поля от резонанса.
Слагаемые справа, осциллирующие на высокой частоте и + (а^ — шо) ~ 2и, обычно отбрасывают как несущественные. При точном резонансе (5 = 0) и начальных условиях Со(0) = 1, С^О) = О решение системы (28) имеет вид:
С0 = соз(т), Сг = -1&т(Ще~г1р. (29)
Решения описывают стационарные осцилляции Раби для заселенностей состояний кубита |0) и |1):
|Со(^)|2 =С082(Ш) = ^(1 + со8(2т)), \С\(г)\2 = ^(1 -С08(2Ш)). (30)
В импульсном режиме, выключив в заданный момент времени управляющее поле, получим любое заданное значение амплитуд Со(£), С\{Ь), а значение разности фаз амплитуд а^(С1/Со) = (у + (р) определяется начальной фазой управляющего поля. Полная перекачка заселенности с одного уровня
на другой совершается за время г = тг/2£1: |С0(т) | = 0, |Ci(r)| = 1. Эта операция соответствует выполнению вентиля NOT: NOT |0) = |1).
12. Классическая и квантовая информация в квантовой системе. Рассмотрим вектор состояния кубита \ф) = а |0) + /3 |1) со следующей точки зрения: сколько информации и какой — классической? квантовой? — содержится в кубите, находящемся в этом состоянии? Поставив эти вопросы, мы сталкиваемся с фундаментальными проблемами определения понятия информации (классической, квантовой) применительно к квантовым системам. Не имея возможности в данной статье излагать эти вопросы детально, примем следующую интуитивную форму определения классической и квантовой информации, содержащейся в кубите в состоянии |ф) = а |0)+/3 |1) [11, 12]. Отнесем к классической части ту информацию, которую мы получаем в классической форме при измерении состояния кубита. Действительно, при измерении кубита в базисе |0) и |1) мы получаем 0 или 1. Следовательно, неизвестное нам состояние кубита содержит максимально 1 бит классической информации.
Значения компонент а, /3 вектора |ф) характеризуются тремя аналоговыми величинами: модулями |а|, Щ и разностью фаз <р> = arg(/3/a). Информацию, содержащуюся в амплитудах а, /3, отнесем к квантовой части информации, содержащейся в кубите в состоянии |ф) = а |0) + /31 [11]. Она не может быть получена при однократном измерении состояния кубита. Чтобы определить |а|, |/3|, нужно провести бесконечное количество измерений над ансамблем частиц в состоянии |ф) и определить вероятности -Р(О) и Р{ 1) результатов испытаний: Р{0) = |а|2, Р{ 1) = |/3|2. Для определения разности фаз ip необходимы измерения интерференционного типа. Полное определение вектора состояния принято называть томографией квантового состояния [1].
Аналоговый характер квантовой информации имеет принципиальное значение для квантовой теории. Она выражает тот факт, что множество квантовых состояний образует континуум; любые два состояния из этого континуума могут быть преобразованы друг в друга непрерывным образом посредством унитарного преобразования. Харди показал, что приняв в системе аксиом теории вероятностей возможность непрерывного (continious) преобразования состояний друг в друга вместо скачкообразного (jump) перехода в классической теории вероятностей, мы можем интерпретировать квантовую механику как квантовую теорию вероятностей [5].
Из сказанного в предыдущих пунктах следует, что процессы квантовых вычислений протекают в пространстве аналоговых переменных, т.е. амплитуд ах при базовых состояниях \х) системы, составляющих квантовую информацию в системе.
Квантовая теория информации строится во многом по аналогии с теорией классической информации Шеннона [1]: аналогично информационной энтропии Шеннона вводится квантовая энтропия фон Неймана. Как энтропия Шеннона характеризует количество информации, содержащейся в среднем в одном сигнальном символе X, появляющемся с вероятностью Р(Х), так энтропия фон Неймана характеризует информацию в квантовых состояниях рх, выступающих в качестве сигнальных символов и появляющихся с вероятностью Р(рх) [1]. Свойства энтропии фон Неймана отличаются от свойств энтропии Шеннона, если рассматривать квантовые состояния рх со свойствами, отличными от свойств классических систем, такими, как неполная различимость неортогональных состояний, запутанные (entangled) состояния композитных систем и др. [1].
13. Классические вычисления на квантовом компьютере. Завершим статью рассмотрением вопроса о вычислениях на квантовом компьютере. Легко убедиться в том, что квантовый компьютер способен выполнять все вычисления, доступные классическому компьютеру, с равной эффективностью. Доказательство этого утверждения построено на использовании классического трехбитового логического вентиля Тоффоли, обладающего свойством обратимости, и его квантового аналога (рис. 4).
Классический вентиль Тоффоли в одиночку образует классический универсальный набор логических вентилей. Равным образом квантовый вентиль Тоффоли эквивалентен универсальному набору квантовых логических вентилей. Отсюда следует, что на квантовом компьютере можно выполнить любые классические вычисления [13].
14. Квантовые алгоритмы. К настоящему времени открыты и подробно исследованы три класса квантовых алгоритмов:
Рис. 4. Схема классического и квантового вентилей Тоффоли
1) так называемые алгоритмы с квантовыми скрытыми подгруппами преобразований абелевых групп; к ним относится алгоритм Шора факторизации чисел [3];
2) алгоритмы с усилением амплитуд; их представителем является алгоритм Гровера поиска объекта в неструктурированной базе данных [14];
3) алгоритмы для моделирования квантовых систем на квантовом компьютере [15, 16, 19].
Алгоритмы классов 1 и 3 предусматривают применение дискретного преобразования Фурье. При
выполнении на классическом компьютере дискретное преобразование Фурье требует экспоненциально большого числа операций. На квантовом компьютере преобразование Фурье выполняется за полиномиальное количество (га2) операций. Поэтому квантовые алгоритмы 1-го и 3-го классов демонстрируют экспоненциальное ускорение решения задачи по сравнению с алгоритмами, выполняемыми на классических компьютерах.
Принцип работы алгоритма Гровера — усиление амплитуды состояния, соответствующего искомому объекту. Пусть целое число хз является индексом искомого объекта. Поставим ему в соответствие базисное состояние (ж^) в векторе состояния |ф) = ^сх \х) квантового регистра. Итерационный
X
процесс при выполнении алгоритма Гровера построен так, что интерференция амплитуд увеличивает амплитуду сХз; остальные амплитуды схфхз уменьшаются. После у/Й итераций сХз достигает значения \сХз | ^ 1 (М — число объектов в базе данных). Измерение состояния регистра после л/Н итераций (операций) с вероятностью |сЖ5| ~ 1 определяет индекс х5 искомого объекта. Поиск объекта в классическом случае требует N операций (перебор всех объектов). Поэтому говорят, что в квантовом алгоритме Гровера достигается квадратичное ускорение решения задачи поиска.
Математики исследуют возможности построения новых классов эффективных квантовых алгоритмов, например для решения так называемой проблемы изоморфизма графов. Чем больше будет найдено эффективных квантовых алгоритмов, тем больше будет стимулов к реализации идеи квантовых компьютеров. Автор статьи как физик считает, что возможность эффективного решения задач квантовой физики есть достаточное основание для создания квантового компьютера. Поучительным примером малоразмерного на трех кубитах алгоритма является протокол квантовой телепортации неизвестного квантового состояния [17, 18]. Схема протокола телепортации представлена на рис. 5.
Нл Мл
СШТЧз
А В
Рис. 5. Схема протокола телепортации
15. Заключение. Современный этап исследований в области квантовых компьютеров и квантовых вычислений является этапом разработки фундаментальных проблем. Предложено много вари-
антов реализации кубитов как базовых элементов квантовых компьютеров; часть этих предложений исследована экспериментально [9, 20] (ионы в ловушках; электроны в квантовых точках; ядерные спины в молекулах жидкости; ядерные спины атомов 31Р в кремнии; атомы и фотоны в резонаторах; сверхпроводниковые мезаструктуры).
Важнейшим вопросом в экспериментальных исследованиях кубитов является возможность наращивания их числа в составе компьютера ("масштабируемость" компьютера до значений порядка 103). На этом пути предстоит преодолеть не только технологические проблемы изготовления квантовых чипов, состоящих из большого числа взаимодействующих между собой кубитов. Фундаментальной проблемой является потеря квантовой когерентности состояния квантового компьютера: время сохранения этой когерентности убывает с ростом числа кубитов в компьютере [20]. Разработаны квантовые методы коррекции ошибок в квантовом компьютере, позволяющие в принципе сохранять необходимый для вычислений уровень квантовой когерентности его состояния. Идет напряженный поиск других способов преодоления негативного эффекта декогерентизации состояния квантового компьютера. От успеха этих поисков во многом зависит то, когда завершится этап разработки фундаментальных проблем квантовых компьютеров. Итогом этого этапа должен быть выбор одного из путей реализации квантового компьютера как главного. Вероятнее всего, для этого придется создать несколько прототипов квантовых компьютеров по разным технологиям, сравнить их и выбрать один наиболее "технологичный" для дальнейшей разработки.
Квантовый компьютер, если он будет построен, дополнит наши вычислительные ресурсы, войдя в состав суперкомпьютерных систем в форме квантового спецпроцессора. Мы будем обращаться к нему при решении задач, для которых не найдены эффективные классические алгоритмы, но найдены квантовые эффективные алгоритмы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Nielsen М.А., Chuang L. L. Quantum computation and quantum information. Cambridge University Press, 2000.
2. Ekert A., Hayden P., Inamori H. Basic concepts in quantum computation. Lanl e-print. 2000. Quant-ph/0011013.
3. Shor P. W. Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring // Proc. 35th Annual Symposium on the foundation of Computer Science. IEEE Computer Society Press. Los Alamitos. CA. 1994. P. 124.
4. PI en i о M.B., Vit el Ii V. The physics of forgetting: Landauers erasure principle and information theory. Lanl e-print. 2001. Quant-ph/0103108.
5. Hardy L. Quantum theory from five reasonable axioms. Lanl e-print. 2001. Quant-ph/0101012; 2003. Quant-ph/0307235.
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика, нерелятивистская теория. М.: Физматгиз, 1963.
7. Schrodinger Е. Die gegenwartige situation in der quantenmechanic. Naturwissenschaften. 1935. Bd. 23,5. P. 807-812.
8. Einstein A., Podolsky В., Rosen N. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? // Phys. Rev. 1935. 47. P. 777-780.
9. Валиев К.А.,Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежда и реальность. M.; Ижевск: Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.
10. Yariv A. An introduction to theory and applications of quantum mechanics // John Wiley & Sons. 1982. N 4. P. 148.
11. Galvao E.F. Foundations of quantum theory and quantum information applications. Lanl e-print 2002. Quant-ph/0212124.
12. Holevo A. Bounds for the quantity of information transmitted by a quantum communication channel // Problems of Information Transmission. 1973. 9. P. 177-183.
13. Chatterjee A. Introduction to quantum computation. Lanl e-print 2003. Quant-ph/0312111.
14. Grover L. Quantum mechanics helps in finding a needle in haystack // Proc. 28 Annual ACM Symposium on the Theory of Computation. New York: ACM Press, 1996. 212.
15. Feynman R. P. Quantum mechanics and quantum computers // Int. J. Theor. Phys. 1982. 21. N 467.
16. Lloyd S. Universal quantum simulators // Science. 1996. 273. N 1073.
17. Bennett С.Н., Brassard G.,Crepeau C.,Jozsa R., Peres A.,Wootters W.K. Teleporting unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channel // Phys. Rev. Lett. 1993. 70. N 30. P. 1895-1899.
18. Yi m s i r i w at t an a A., Lomonaco S.J. Generalized GHZ States and distributed Quantum Computing. Lanl e-print 2004. Quant-ph/0402148.
19. Abrams D.S., Lloyd S. Quantum algorithm providing exponential speed increase for finding eigenvalues and eigenvectors // Phys. Rev. Lett. 1999. 83. N 24. P. 5162.
20. Bouwmeester D., Ekert A., Zeilinger A. The Physics of Quantum Information. Springer-Verlag, 2000.
Поступила в редакцию 23.06.04
УДК 517.956.4, 517.958:535.14 В. А. Чушкин
ОБ АТТРАКТОРЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ОПТИЧЕСКОЙ ФУРЬЕ-ФИЛЬТРАЦИИ1
(кафедра математической физики факультета ВМиК)
1. Введение. В современной адаптивной оптике интересным и многообещающим объектом для исследований являются нелинейные оптические системы (ОС) с пространственно-распределенной обратной связью, содержащие оптический блок фурье-фильтрации (см., например, [1-4]). В простейшем случае фурье-фильтрация осуществляется с помощью системы двух тонких линз с общей фокальной плоскостью, в которой установлен пространственный фильтр (см. [1-3, 5]) или управляемый пространственный модулятор света (см. [4]). Для широкого класса моделей таких систем, описываемых нелинейным параболическим функционально-дифференциальным уравнением (ФДУ) с оператором дискретной фурье-фильтрации, в [6, 7] изучены различные постановки начально-краевых задач и возможности управления фурье-фильтром на конечном интервале времени. Вместе с тем в задачах адаптивной оптики важно иметь представление о динамике системы на неограниченном временном промежутке, а также уметь оценивать сложность предельных при £ —> +оо пространственно-временных режимов, одной из характеристик которой является хаусдорфова размерность аттрактора [8, 9].
Настоящая работа посвящена исследованию при £ —> +оо динамики ОС с дискретным фурье-фильтром. Основной результат состоит в доказательстве существования компактного аттрактора и получении верхней и нижней оценок его хаусдорфовой размерности.
2. Постановка задачи и вспомогательные утверждения. Пусть х = (х\,х2) £ О С Я2, О —
выпуклая ограниченная область с кусочно-гладкой границей ЗГ2; (5т = О X (0,Т); И — ограниченная
выпуклая область в пространстве В2 или Д3; Ьр(0) — комплекснозначное пространство Лебега с нормой \\-\\ЬР{в), 1 ^ р ^ +оо; Н = Ь2 (£1) — гильбертово пространство со стандартным скалярным произведением (•,-)я и соответствующей евклидовой нормой ||-||я, ,£Р(Г2) — пространство Соболева порядка в > 0 (см. [10, гл. 1, п. 9]), С(Г2) — пространство непрерывных в О функций с нормой
11^11с(?Т) = тах|и(ж)|. Обозначим через Н2>1'8(С}т), где целое число в ^ 1, гильбертово пространство
всех принадлежащих £2((5т) функций, у которых существуют и принадлежат £2((5т) обобщенные производные да\^а^р при всех (целых и неотрицательных) «2, /3 таких, что «1+02+2/3 ^ 2в (см.
[11, гл. III, § 7,^.1])._
1 Работа выполнена при финансовой поддержке АРОЭК (грант СИОР 11Р0-1391-МО-03) и РФФИ (код проекта № 0401-00619).
