CC BY
5© Tregub N.
ШЛЯХИ РОЗВИТКУ СЕМАНТИЧНО1 ГНУЧКОСТ1 ЯК ОДНОГО З КРИТЕРПВ КРЕАТИВНОСТ1 УЧН1В
Н.Л. Трегуб, вчитель, Донецька гмназiя № 70, м. Донецьк, УКРАША
Наводяться деякг прийоми навчанню розв 'язуванню математичних завдань, що сприяють розвитку метафоричност1 та, взагал1, розвитку креативност1 учшв.
Одтею з характерних рис сучасно! методики викладання математики е !! алгортмзащя. Здаеться, нiчого поганого в цьому немае, бо наявнiсть алгоритму щодо розв'язування багатьох задач шкшьного курсу дозволяе довести майже кожного учня до певного рiвня компетентносп та бшьш-менш вдало пiдготувати його до державно! атестацй. Але бiльшою мiрою мета роботи кожного вчителя математики, як i ранiше, - розвинути зд1бност1 учня, щоб у майбутньому в1н м1г розв'язувати задачг самостгйно, тобто знайти ту саму зону найближчого розвитку, про яку писав Л. С. Виготський; прищепити учням ^ерес до вивчення математики; навчити !х бачити красу, естетику математики; розвинути !х мислення та iнтуiцiю; навчити учнiв вис-ловлювати навiть майже неймовiрнi ппоте-зи та обгрунтовувати сво! здогади; сприяти розвитку креативносп кожного учня.
Як вщомо, креативнiсть - це здат-нiсть особистостi до породження орип-нальних iдей та використання нестан-дартних .засобiв вдив^ально! дiяльностi. Серед критерйв та показникiв, якi запропо-нованi американськими психологами Д. Плфордом та П. Торренсом для ураху-вання творчих здiбностей особистостi, особливу увагу, на нашу думку, слщ придiлити семантичтй гнучкостг, тобто здатносп бачити об'ект пiд незвичним кутом зору, та семантичтй сионтартй гнучкостг - здатносп продукувати рiзнома-
нiтнi ще! в незвичайнiй ситуацй, зокрема, в такш, де немае орiентирiв для цих iдей.
За М.А. Холодною [3], одним iз критерйв креативносп е метафоричтсть, тобто готовтсть працювати у "неможли-вому" контексп, схильнiсть використову-вати символiчнi, асоцiативнi засоби для висловлювання сво!х думок, а також умш-ня в простому вбачати складне, а в складному - просте.
Рiвень метафоричносп учнiв досить яскраво може продемонструвати насампе-ред розв'язування так званих "нестан-дартних" (евристичних) задач, тобто задач, для розв'язування яких немае загальних правил, що визначають план !х розв'язування. Для вщшукування способiв зведення нестандартних задач до задач стандартного виду користуються загальними евристиками: iндукцiею, дедукщею, аналопею тощо.
На наш погляд, розвитку метафоричносп, а взагал й розвитку креативносп можуть сприяти, наприклад, такi завдання:
1. Число "осО" або дiлиться на 8, або мае в запис числа цифру 8. Скшьки "оегаГ вщ 1 до 100 ?
2. Нехай х # = х + 1; # х = х - 1. Якому значенню не може дорiвнювати 3 # • # 5 :
а) 1 # • # 9; б) 7 # + # 9;
в) 4 # • # 4; г) 7 # • # 3;
д) 15 # : # 2 ?
3. Вщомо, що с Е < = с< + <2. Знайти значення (1 Е 2) Е 4.
4. Вщомо, що а ® b =
ab a + b
Розв'язати рiвняння х ® 3 = 5 ® 4.
5. Розв'язати в натуральних числах рiвняння а в Ь = 10, якщо
х в у = х + у2.
Учш повинш навчитися досить спокiйно аналiзувати незнайому ситуацш. Так, коли учням в перший раз було запропоновано завдання типу 4, вони не могли навггь зрозум^и, про що йдеться в цьому завданнi й що з ним робити. Тодi вчителем було задано питання: "Як ви гадаете, якщо спитати аборигена з якогосъ племеш Полшези, скiлъки буде, якщо до 3 додати 2, вiн вщповють вам? Безумовно, так. А якщо дати запис "3 + 2", вш зможе дати вщповщь? Безумовно, ш. Чому? "I учнi самi приходятъ до висновку, що абориген просто не зрозумiе знаки цъого запису. Взагаш, позначка "+" - це свггова умовнiстъ. Ми розумiемо, що треба робити з завданням, тому що розумiемо значення цъого знаку "+". Так нехай же тепер умовнiстю буде позначка " © ", яку ми задаемо зараз як таку операцiю: а ® Ь = аЬ
—+Ь ■ Тепер учнi розумшть, як скласти
таке рiвняння х ® 3 = 5 ® 4. Що стосуетъся розв'язання, то це зробити вже дуже легко.
Таю завдання можна розв'язувати як на урощ, так i на факультативних заняттях. Пiсля розв'язування декшькох задач такого типу учнiв у майбутнъому вже не спинять завдання, як на перший погляд здаються зовам незвичними.
Слщ зауважити, що щея деяких iз наведених завдань запозичена iз зару-бiжних видань. У в^чизняних поабни-ках та тдручниках завдання таких типiв зовам вщсутш й тому вони можуть здатися надто складними для учшв, що зустрiчаютъся з ними в перший раз. Але таю завдання сприяють тому, що учш вчаться робити висновки в незнайомш ситуацп; вони повиннi побачити задачу тд незвичним кутом; наприклад, шко-ли, щоб розв'язати задачу, необхщно за
вщомим алгебршчним виразом побачити геометричну штерпретацш цього виразу, чим значно полегшити розв'язання, а може, й знайти единий юную-чий метод розв'язання ще! задача Так на одному з факультативних занять учням 9 класу було запропоновано знайти значення виразу:
л/3+42+1 л/3+42 -1 42+1 -43 1+43-42 2 ' 2 ' 2 ' 2 За цим виразом декiлъка учнiв побачили вiдому формулу Герона для знаходжен-
ня площi трикутника зi сторонами л/3;
л/2; 1. Але цей трикутник - прямокут-ний, й тому його площа дорiвнюе
s = 1 -1 -42 =
2
2
отже значення цього
V2
виразу також дорiвнюе -— .
Геометрична iнтерпретацiя також досить вдало використовуеться тд час розв'язування, наприклад, таких задач:
1. Довести, що
л/а2 + Ь2 +л/ Ь2 + с2 + л/С2+0Т >
> (а + Ь + с)42 якщо а, Ь, с - додатш числа.
2. Знайти найменше значення
Vx2 - x +1 +у]x2 - Хл/3 +1
та
виразу
визначити, при якому значенш х це вщ-буваеться.
3. х, y, z - додатнi числа. Знайти значення х + y + z , якщо
2 2 2 х + xy + y = a ,
y2 + yz + z2 = b2,
z2 + zx + x2 = a2 + b2.
4. Вщомо, що x, y, z - додатш числа та x + y + z = 8. Знайти найменше значення
виразу Vx2 +1 + yj y2 + 4 +V z2 + 9.
5. Знайти значення x, y, z, при яких вираз 2 х - 2 у + z приймае найменше та найбшьше значення, якщо х 2 + у 2 + z 2 = 25.
Для того, щоб тдвести до ще! використання геометрично'1 штерпре-тацп алгебршчних об'ектiв, учителю треба ретельно тдготувати учнiв. Мож-
dz6>
ix2 + y2 + xy ;
на задати 'м, наприклад, таке питания: "Який геометричний змiст таких виразiв:
а; ^ ; б) л/а2 + Ь2 ; в) Я 2 _
г) л/а2 - а +1; д)л/т2 - 3тл/2 + 9 ?"
I якщо учнi зможуть побачити за цими виразами вщповщно знаходження площi трикутника, теорему Шфагора або знаходження невщомо' сторони трикутника за теоремою косинуав, можна переходити до розв'язування задач. Якщо ж учш не готовi до тако'' роботи, то план роботи мае бути шшим. Так, щоб пiдвести учнiв до розв'язання зав-дання 2, наведеного вище, був запропо-нований такий план.
1). Знайти довжину сторони у у трикутнику в випадках а); б); в). а)
2). Знайти штерпретащю B^a3ÍB при додатних значеннях х:
а) л/x2 + x + в) i
1; б) ^
2 x + 4
Ix2 -x
л/3 +1.
3). Знайти найменше значення
виразу л/x2 - x +1 + Vx2 - xV3 +1 .
По-перше, учнi мали вщповюти на питання, чому найменше значення буде досягатися при додатному значенш х.
Пюля цього учнi переходили до геометрично'1 штерпретаци виразу. АС = СВ; Z АСВ = 90°;МС = х; ZMCÄ = 60°; ZMCB = 30°.
л/x2 - x +1 = МА; л/x2 - xV3 +1 = МВ. л/x2 - x + 1 + л/x2 - xa/3 +1 = МА + МВ > АВ = -JäC 2 + BC2 =л/2, тобто л/x2 - x +1 + V x2 - xV3 + 1 > л/2 . Тому
цей вираз приймае найменше значення л/2 ; це вщбуваеться, коли точка М ств-падае з точкою К.
М
У!
4). Щоб знайти значення х, при якому досягаеться найменше значення виразу, треба знайти довжину вiдрiзка СК. Для цього досить розглянути рiвнiсть для площ трикутниюв.
S
abc
säck + sbck
1 äC ■ CB =1 äC ■ CK ■ sin ZäCK +
2 2
+1 BC ■ CK • sin ZBCK;
2
звiдки x = л/3 -1 .
Якщо заняття не присвячено розв'я-занню алгебрачних задач за допомогою геометрично'].' ^ерпретаци, учнi не вiдразу бачать метод розв'язання. Тому "¡нсайт", що треба спробувати "намалювати", вигля-дае надзвичайною iдеею. I учень, який здо-гадався, що треба пщвесги геометричну iдею до розв'язання задач^ пишаеться собою.
Досить щкаво було спостерiгати за учнями тд час розв'язування завдання 3, бо, навпъ здогадавшись, що треба викорис-тати прямокутний трикутник iз катетами а та Ь, учт не одразу зрозумши, що треба знайти. Пюля того, як були зображет вiдрiзки СО = у, АО = х, ВО = 2 таким чином, що ZСОА = ZСОВ = ZАОВ = 120°, задача стала бшьш легкою. Зрозумшо, що треба знайти ОА + ОВ + ОС.
Додавши рiвняння iз завдання 3, отримаемо:
А
1
С
В
1
А
С
В
О)
2 2 2 2 (x + y + z ) + x y + y z + z x =
= 2 (a2 + b2).
2( x + y + z)2 = 2(a2 + b2) + 3( xy + yz + zx).
Постае питання, як знайти x y + y z + z x. I тут знову допомагае площа трикутника.
s = s + s + s •
° abc aoc ^boc ~ aob •
1 ab = — xy - sin120° =— yz - sin120° =
2 2 2 ;
1
= — zx - sin120° 2
xy + yz + zx
ab
2аЬ
sin120° S ' 2(a2 + b2) + 2abA/3. Отже,
la2 + b2 + abV33 .
Тодi 2( х + у + г)2
х + у +
Що стосуеться розв'язування зав-
дань типу 5, то питанням, яке може
наштовхнути думку учшв на правильну
вдею, може бути , наприклад, таке: "Чи
знайомий вам запис: хгх2 + угу2 + гуг2; 2 2 2 2 х + у + г = а ?" Може, тодi хтось з
учшв i згадае, що цi записи зустрiчалися
пiд час вивчення теми "Вектори". Але,
як свщчить практика, якщо часу пiсля
вивчення ще! теми пройшло забагато, i
пiсля цього завдання на повторення
векторiв учнi не розв'язували, то в клас
може не знайтися жодно'1 людини, яка
може зютавити цей алгебршчний запис
iз геометричним змютом формули. Тодi
повнiстю метод розв'язання повинен
дати вчитель, нагадуючи учням змют
цих формул, тобто що XI -х2 + у1у2 + г1• г2
= тп - скалярний добуток векторiв
т( у{, та п( х2; у2; г 2). Тода, вiдомо,
як
x1 x2 + y1 у 2+z1z J =
m - n
m
n
-cos( m; n)
<
m
n
I якщо ввести вектори m(2;-2;1) та
n( x; y; z):
отримаемо
\m\ = 3;
= 3-5 = 15.
|x1 x2 + У1У2+z1 z2\ < m
Отже, найменше значення наведе-ного виразу дорiвнюе - 15, а найбшьше значення 15. При цьому рiвнiсть досяга-еться, коли вектори колшеарш, ix коор-
динати пропорцшш:
x
У
I
2 - 2 1 якщо коефiцiент пропорцiйностi вщ'ем-ний, вираз приймае найменше значення,
С- Лг 10 10 5 тобто - 15, тодi х =--; у =—; г = —.
3 3' 3
Якщо коефщент пропорцшносп додат-
ний, вираз приймае найбшьше значення
и- . 10 10 5 15, i х = —; у =--; г = -.
3 3 3
Але стереотип мислення може бути притаманним навiтъ обдарованим людям. Якщо на одному занята дати учням 3 - 4 задачi з однаковим методом розв'язування, а потсм на тому ж занята дати задачу, зовш схожу з попередшми, то бшьшють запропонують такий же метод розв'язування, який використався в попередшх задачах (закономгрнгсть Шевирьова [1]). Тому для розвитку метафоричности (семантично'1 гнучкосп) учнiв не слщ розглядати на одному заняттi тшьки задачi одного типу; учнi постшно повиннi чекати вiд учителя якоюь пастки.
Так, на одному з факультативних занять пiсля розв'язування декшькох задач типу 5 (вони вс розв'язувалися за допомогою векторiв), учням була запропонована така задача: "Довести, що хоча б два з чотирьох виразiв х у,
У
л/1 - x2 , V(1 - x2)(1 - y2) не
1
перевищують — за модулем." Майже
всi учнi виршили, що треба ввести век-тори. Ця iдея досить продуктивна, але не найкраща, бо за допомогою векторiв ця задача розв'язуеться досить довго. Краща щея - скористатися тригоно-метрiею. Цю iдею висловили тшьки 2 учня, хоч метод використання тригоно-метричних функцiй в аналогтчних ви-падках знайомий був вам учням, присутшм на занята. Якщо позначити
x = sin«,
де
ае
п п
"2;2
тодi
n\ = 5 V1 -x2 = cosa. Аналогiчно y = sin^,
де ве
п п
Позначимо:
.2
тодi V1 - У~ = cos в. a = xy = sinasin в; b = x^l 1 - y2 = sin acos в;
(л8)-
z
c = y V1 - x2 = sin в cos a ; d = <J(1 - x2)(1 - y2) = cosacosв.
Зрозумшо, що
| ad |=| xyj(1 - x 2)(1 - y2) |= =| sin a sin в cos a cos в |=
1sin2a- sin2$ 4 H
< 1 4
Очевидно, що хоча б один i3
B^a3ÏB х-у або -у/(1 - x2)(1 - y2) за
мо-
1
дулем не перевищуе ^. Аналогiчно доводиться, що модуль хоча б одного з
B^a3iB xyj 1 - y2 , y-v/î-2. Отже, хоча б два з даних у задачi
1
виразiв не перевищують — за модулем.
Звичайно, вс так званi "нестандарты" задачi цiкавi, насамперед, обдарованим учням, й розв'язуються найчастiше не на уроках, а на факуль-тативних заняттях. Що стосуеться естетичносп, В.Г. Болтянський пропо-нуе таку форму математично'1 естетики: "...красота = наочшсть + несподiванiсть = iзоморфiзм + простота + несподь вашсть". Саме евристичнi задачi, в яких самий важливий крок найчаспше бувае самим несподiваним, i розвивають мис-лення учнiв, дають 1'м змогу проявити себе, дарують так зване "чуття пере-можностi", що сприяе 1'х подальшiй зацiкавленостi в вивченнi математики.
x 2 не перевищуе
З великою зацiкавленiсгю учт не т1лъки розв'язуютъ еврисгичнi задач^ але й самостшно створюютъ вщповщт завдання. Та на наш погляд, вчителъ математики мае навчити учтв не тшьки розв'язувати, але й створювати задач1, бо, як вщомо, найви-щий ступть творчост1 е створювання задач, а не тшьки 1'х розв'язування [2]. Учитель повинен заохочувати учнiв до ство-рення задач. Звичайно, не кожен учень здатний створити досить щкаву задачу, але практика свiдчитъ, що така робота дуже корисна та щкава для кожного учня, i в той же час приводить до значних успiхiв у зростанн iнтелекту й сприяе розвитку креативносп кожного з них. Всi складет учнями задачi повиннi обов'язково ощню-ватися вчителем та учнями з точки зору правильносп iдеi, цiкавостi, доступностi, посильносп, евристичносп та естетичносп. Найвище задоволення вчитель вiдчувае, якщо учнi самi пробують не тшьки створити задачу, аналопчну до розв'язано'1, але й узагальнити 11, висловити та обгрунтувати ппотезу, запропонувати якусь нову задачу. (Хоч задача може бути добре вщома в математищ, але учт ратше з нею не зус^чалися). Цшеспрямована постановка задачi учнями вщповщае високому рiвню 1'х креативносп.
1. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. - М. : Педагогика. - 1987.
2. Трегуб Н.Л. Створення задач учнями //Матем. в шк. - 2000 - № 2.
3. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. - Томск: Изд-во Том. ун-та. М. : Изд-во "Барс ". -1997.
Резюме. Трегуб Н.Л. ПУТИ РАЗВИТИЯ СЕМАНТИЧЕСКОЙ ГИБКОСТИ КАК ОДНОГО ИЗ КРИТЕРИЕВ КРЕАТИВНОСТИ УЧАЩИХСЯ. Приводяться некоторые приемы обучения решению математических заданий, способствующие развитию метафоричност1 и в целом креативности учащихся.
Summary. Tregub N. WAYS OF THE METAPHORICALNESS DEVELOPMENT AS ONE OF CREATIVE THINKING CRITERIA. This work is devoted to the problems of the development of the semantic flexibility as one of the important criterions of students ' creativity. Some ways to develop the semantic flexibility are demonstrated.
Надшшла до редакцп 17.11.2005р.
