ПСИХОЛОГИЯ И МАТЕМАТИКА: ПЕРСПЕКТИВЫ ХХI ВЕКА Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 159.99

ПСИХОЛОГИЯ И МАТЕМАТИКА: ПЕРСПЕКТИВЫ ХХ! ВЕКА

PSYCHOLOGY AND MATHEMATICAL STATISTICS: PROSPECTS FOR THE TWENTY-FIRST CENTURY

Абакумова Ирина Владимировна

член-корреспондент РАО, доктор психологических наук, профессор,

Донской государственный технический университет abakira@mail.ru

Дятлов Александр Викторович

доктор социологических наук, профессор,

Южный Федеральный университет avdyatlov@sfedu.ru

Irina V. Abakumova

Corresponding Member of RAO, Doctor of Psychology Sciences, Professor,

Don State Technical University abakira@mail.ru

Aleksander V. Dyatlov

Doctor of Sociological Sciences, Professor,

Southern Federal University avdyatlov@sfedu.ru

Аннотация. Массовое применение компьютеров в анализе данных результатов психологических исследований и простой доступ к программному обеспечению с мощными вычислительными возможностями (SPSS и аналогичные) - главная особенность применения методов математической статистики в психологии. Особенно интенсивно в последнее время стали применяться многомерные методы, которые до недавнего времени рассматривались только как теоретические. Взаимное проникновение математической статистики и психологии привело к развитию новых методов для моделирования и объяснения различных типов психологических данных. Однако этот процесс, по сути, нами воспринимается как «палка о двух концах». Многомерные статистические методы (далее МСМ) предполагают четкое построение модели и жесткие требования к дизайну психологического эксперимента. Популярность МСМ совершенно не делает их проще как в применении, так и последующей интерпретации результатов. Предлагаемая статья - своеобразный обзор современного состояния использования и принципов применения МСМ в психологических исследованиях. В работе представлена классификация по различным критериям методов математическая статистики, наиболее часто применяемых в психологии. Кроме того, была предпринята попытка описать кратко будущее статистических методов в психологических исследованиях.

Ключевые

слова: психологические исследования, анализ данных, многомерные методы матема-

тической статистики.

Annotation. The mass application of computers in the analysis of the results of psychological research and easy access to software with powerful computing capabilities (SPSS and similar) - the main feature of the application of methods of mathematical statistics in psychology. Especially intensively recently began to apply multidimensional methods, which until recently were considered only as theoretical. The mutual penetration of mathematical statistics and psychology has led to the development of new methods for modeling and explaining different types of psychological data. However, this process is essentially a «double-edged sword». Multivariate statistical methods (hereafter MSM) suggest a clear model and stringent requirements on the design of a psychological experiment. The popularity of MSM does not make them easier to apply or interpret. The proposed article is a kind of review of the current state of use

and principles of application of MSM in psychological research. The paper presents a classification according to various criteria of methods of mathematical statistics, the most commonly used in psychology. In addition, an attempt was made to describe briefly the future of statistical methods in psychological research. Keywords: psychological research, data analysis, multidimensional methods of mathematical statistics.

1. Введение.

Цель этой статьи - провести обзор многомерных методов математической статистики, которые применяются в психологических исследованиях. В историческом плане отношения между математической статистикой и психологией берут своё начало в конце XIX-го - начале XX-го века несмотря на то, что еще в III веке до новой эры Аристотель использовал, по сути, многомерный подход к классификации объектов в соответствии с их сходством или различием.

Многомерный статистический анализ (далее по тексту, МСА) имеет свою собственную теоретическую базу, которая оформилась в связке с психологией, и базируется, в своей основе, на трудах Карла Пирсона и Чарлза Спирмена, относящихся к факторному анализу. Не вызывает сомнения то, что появление многомерного статистического анализа основано на идее, имеющей целью ответить на чисто психологические вопросы.

Ретроспективный обзор развития МСА показывает, что период наиболее интенсивного развития их теоретической базы приходится на 20-е - 50-е годы прошлого века. С середины ХХ века и по настоящее время акцент делался и делается, прежде всего, на использование уже разработанных методов. Но наряду с этим, создается и обосновывается и ряд новых моделей, в частности, для анализа и объяснения неметрических данных.

Условно использование методов математической статистически в психологических исследованиях может быть разделено на три этапа в соответствии с глубиной и сложностью используемых моделей, а также - типов данных, с которыми они работают.

Первый этап в использовании статистических методов в психологии связан, прежде всего, с установлением взаимосвязи между явлениями. Свойства шкал, по которым измеряются явления, определяют, будут ли это - коэффициент Пирсона или будут основаны на таблице совместного распределения или х-квадрата. Попытки моделировать взаимосвязи и строить формальную причинно-следственную модель предполагает использование регрессионный анализ и модели лог-линейной регрессии.

На этот первый этап также приходится разработка моделей с латентной переменной. Современный подход к проверке гипотез, планированию эксперимента, анализу мощности и метод формального выбора модели может быть отнесен к этому этапу.

С ростом объема данных и качества их измерения, появляется необходимость новых методов, которые способны показать информацию, содержащуюся в этих данных. Эта потребность знаменует собой второй этап в использовании методов математической статистики. Примечательной особенностью является разработка структурных моделей, имеющих общее название LISREL, представляющих собой статистический программный пакет, используемый в моделировании структурных уравнений (SEM) для явных и скрытых переменных. В них заложена следующая идея: во многих ситуациях целевые переменные в причинно-следственной модели не могут наблюдаться непосредственно. Для расчета целевых переменных могут быть измерены и другие переменные, связанные с изучаемым конструктом, при условии, что структурные модели связывают наблюдаемые переменные с изучаемым конструктом. Другим достижением в применении статистических методов на этом этапе является разработка подходов для анализа неметрических данных и, прежде всего, модель логистической регрессии и её обобщение -модель множественной логистической регрессии. Применение этих моделей выходит за рамки психологии и находит место в таких областях знания как медицина, социология, биология, экономика. Также, необходимо отметить и развитие на этом этапе методов анализа недостающих данных и анализа событий во времени (event history analysis). Особый интерес для психологии представляют иерархические модели, которые появились в середине 80-х годов прошлого века. Эти модели наиболее полно учитывают структуру генеральной совокупности, из которой были извлечены данные для формирования выборки, а при анализе и моделировании этих данных объединяются идеи и классического частотного, и бейесовского подходов.

Установление и моделирование причинно-следственных связей и отношений является одной из главных задач психологии. Математическая статистика избегает заниматься этим во-

просом непосредственно, но у неё есть методы и средства для проверки формальных моделей, поступающих извне. Такие модели, прежде всего, являются результатами психологических экспериментов. Среди современных методов анализа экспериментальных данных, развития претерпели особенно методы, которые предназначены для повторных измерений объекта. Наряду с этим, очевидным является прогресс в развитии существующих и разработке новых методов планирования контролируемых экспериментов.

Третий этап в развитии применения методов математической статистики приобретает очертания в настоящее время. Особый интерес представляют современные методы сбора и генерации огромных массивов данных за короткое время. Классические методы не в состоянии справиться с анализом таких массивов данных. Например, всем известна проблема одновременной проверки многих гипотез, когда с ростом числа гипотез растет и вероятность ошибки первого рода. Одним из первых достижений математической статистики на этом этапе является разработка методов, которые могут устранить эту проблему. Эти методы известны как «ожидаемая доля ложных отклонений» (false discovery rate). Ещё одной тенденцией является разработка новых подходов при анализе качественных и текстовых данных и их ввод в современные статистические пакеты. Совершенствование некоторых традиционных методов также является актуальной задачей современного этапа. В качестве примера можно упомянуть назревшую необходимость усовершенствования в методах анализа неравномерности повторных измерений [Lindsey,1999, с. 22].

Но этот обзор нельзя назвать исчерпывающим, ибо нашей целью было только желание наметить (довольно условно) этапы в развитии применения математической статистики, причем совершенно условно.

В разработке и применении методов МСА, и, в первую очередь, в психологии, наиболее значительно прослеживается влияние и участие представителей трех школ [Сошникова, 1999, с. 19]:

- американской с основными достижениями в области факторного анализа, многомерного шкалирования, новейшими концепциями в прикладной статистике: теорией нечетких множеств, анализом отсутствующих значений, анализом неметрических данных, графическими методами анализа и представлении многомерных данных;

- английской с основными достижениями в области факторного анализа, дискрими-нантного анализа, многомерного корреляционного и регрессионного анализа, многомерными статистическими методами;

- французской, с основными достижениями в области кластерного и корреспондентно-го анализа.

2. Принципы.

Здесь мы попытаемся, прежде всего, описать, чем занимается многомерная статистика. До настоящего времени, к сожалению, не сформировано строгой дефиниции, определяющей, что же такое многомерная статистика. Для последующих рассуждений будем использовать достаточно гибкое и непретенциозное определение, предлагаемое ниже.

Определение многомерной статистики. Под многомерным статистическим анализом (МСА) следует понимать множество формальных методов, которые имеют в основе представление эмпирической информации в многомерном геометрическом пространстве и позволяют моделировать неявные (латентные), но объективно существующие закономерности.

Из предлагаемой формулировки становится ясно, почему геометрические представления играют столь важную роль в применения МСА в психологических исследованиях.

Рассмотрим несколько важных принципов, которые лежат в основе применения методов МСА [Сошникова, 1999, с. 22].

1. Эффект действительной размерности. Этот принцип предполагает, что изучению подлежит не произвольное множество атрибутов объекта, а ограниченный круг, логически связанных и дополняющих друг друга признаков, которые позволяют наиболее полно описать изучаемое явление.

2. Минимальное описание объекта. Этот принцип предполагает максимально лаконичное и строго структурированное описание объекта. Часто это означает, что данные должны быть представлены в матричном виде. Это требование заложено в большинство современных статистических пакетов.

3. Использование обучающей (дополнительной) информации при построении модели данных. Этот принцип дает более точную классификацию объектов, при сравнении изучаемого

явления с уже известными явлениями. Использование такой информации значительно повышает точность статистических выводов.

4. Оптимальный подход при постановке задачи МСА. Имеется в виду рациональным выбор одного или нескольких взаимодополняющих методов, которые при применении незначительных вычислительных усилия приводят к аналитическим результатам с хорошей интерпретируемостью, а также, достаточно полно и надежно представят изучаемые явления и процессы.

Очевидно, что представленные выше принципы являются условными и, в какой-то мере, взаимно переплетающимися. Согласно этим принципам, мы преследуем одну цель - осмысление проблемы и способа, которым эта проблема может быть описана и решена.

3. Методы.

Начнем с классификации методов МСА. Как любая классификация, так и эта, предлагаемая нами, является условной. Прежде всего, классические методы МСА можно разделить на методы с зависимой переменной и методы без зависимой переменной. Эта классификация представлена в таблице 1.

Таблица 1

Классификация классических методов МСА [Сошникова, 1999, с. 22]

В зависимости от наличия зависимой переменной

методы с зависимой переменной методы с независимой переменной

- множественная регрессия - факторный анализ

- частная корреляция - кластерный анализ

- дисперсионный анализ - многомерное шкалирование

- ковариационный анализ - анализ канонических корреляций

- дискриминантный анализ

В зависимости от количества зависимых переменных

одна зависимая переменная несколько зависимых переменных

- множественная регрессия - многомерная множественная регрессия

- дисперсионный анализ - многомерный дисперсионный анализ

- ковариационный анализ - многомерный ковариационный анализ

- дискриминантный анализ (две группы) - множественный дискриминантный анализ

Уже упоминалось, что особый интерес представляют модели с одной или несколькими неявными (латентными) переменными. Классификация классических методов по такому признаку представлена в таблице 2.

Таблица 2

Классификация классических методов МСА по наличию латентной переменной [Jacq, 1998, с. 27]

_Методы без латентной переменной_

- множественная регрессия_

- частная корреляция_

- дисперсионный анализ_

- ковариационный анализ_

- дискриминантный анализ_

- анализ связанности (path analysis)_

_Методы с одной латентной переменной_

- одномерное шкалирование_

- однофакторный анализ_

_Методы с несколькими латентными переменными_

- факторный анализ_

- многомерное шкалирование_

- LISREL_

_Методы с группами латентных переменных_

- анализ канонических корреляций_

- обобщенный анализ канонических корреляций_

В представленных классификациях не отражен один важный момент при выборе подходящей модели данных: способ, согласно которому эти данные измеряются. Предлагаемая классификация отражает свойства соответствующей измерительной шкалы.

Рассмотрим следующие формальные модели данных при предположении, что у нас есть одна или несколько зависимых переменных: У = f (x), где У - это зависимая переменная, Х - независимая переменная, а f - связывающая функция.

Варианты различных комбинаций этих трех компонентов и определяют тип модели. Например, связывающая функция f может быть линейной или нелинейной, и это приводит к соответствующей модели. С другой стороны, если вектор у имеет только один элемент, то у нас будет модель с одной зависимой переменной. Размерности X определяет и размерность модели. Различные варианты отражены в таблице 3.

Таблица 3

Классификация наиболее часто используемых моделей с зависимой переменной

Связывающая функция Переменные

Y (зависимая) X (независимая) Модель

Размер ность Шкала Размер ность Шкала Модель

Линейная 1 метрическая 1 метрическая Простая линейная регрессия

1 метрическая 1 неметрическая Однофакторный одномерный ДА

1 Метрическая > 1 метрическая Множественная линейная регрессия

1 метрическая > 1 неметрическая Многофакторный ДА

1 метрическая > 1 смешенная Ковариационный анализ

> 1 метрическая 1 неметрическая Однофакторный многомерный ДА

> 1 метрическая > 1 метрическая Каноничная корреляция

1 неметрическая > 1 неметрическая Лог-линейный анализ

1 неметрическая > 1 метрическая Дискриминантный анализ

Нелинейная 1 метрическая > 1 метрическая Нелинейная регрессия

1 неметрическая > 1 смешенная Логистическая регрессия

Обратим внимание на то, что все показанные здесь классификации являются условными и неполными. Но, несмотря на это, они полезны, потому что дают возможность исследователю оценить свойства данных, которыми он располагает и выбрать такую модель, которая позволяет описать эти данные лучшее по предварительно выбранному критерию.

Очевидно, описание указанных здесь методов МСА требует значительного внимания. Нам же целесообразно ограничиться перечислением небольшой части источников, посвященных этим методом: [Гнеденко, 2012, с. 376; Дятлов, 1915, с. 78; Романко, 2017, с. 209; Stevens 2002, с. 558;].

4. Новые подходы.

В XIX веке при применении методов математической статистики в психологических исследованиях, в основном, применялся бейесовский подход. В ХХ веке акцент стал смещаться в сторону частотного подхода. Скорее всего, XXI век будет отмечен взаимным проникновением этих двух подходов. Это хорошо видно по уже нашедших применение в психологии иерархическим и MCMC (Markov Chain Monte Carl) моделям. Также, будет продолжено интенсивное применение методов анализа недостающих и неполных данных в психологических исследованиях [Schafer, 1997, с. 436]. Особое место занимают новые методы для анализа повторных измерений. Этот тип измерения уже становятся стандартом при сборе данных в психологии.

Современная вычислительная техника обеспечивает возможность для быстроты принятия и простоты использования графических методов для представления многомерных данных в психологии, известных как perceptual mapping (PM). На основе этих методов разработаны технологии, которые приводят к нормализации размерности. Это может быть как факторный анализ, так и кластерный анализ, многомерное шкалирование, подход дискретного выбора, корреспондентский анализ, дискриминантный анализ и другие [Дятлов, 2018, с. 141; Кляцкин, 2015, с. 259; Козлов, 2018, с. 64; Tabachnik, 2012, с. 243; Симушкин, 2009, с. 68; Наследов, 2016. с. 196; Куликов, 2018, с. 302; Neter, 2004, с. 997; Johnson, 2007, с. 149]. Основной целью RM является выявление скрытых структур, которые могут содержаться в сложных многомерных данных. Основной подход - это, так называемый, биплот. Через создание соответствующей матрицы связи между объектами и их характеристиками графически могут быть представлены взаимосвязи между этими объектами, а также, сгенерированы соответствующие гипотезы. Ниже показан этот подход для типичного примера о предпочтениях к автомобилям. Разные автомашины описываются через несколько важных атрибутов и после этого группе людей, как правило, выборке из изучаемой генеральной совокупности, задают соответствующие вопросы о предпочтениях каждого из этих атрибутов. Часто, как это было сделано и в данном примере, фигурируют важные характеристики респондентов. В этом примере все переменные являются категориальными (неметрическими), а используемый метод - множественный корреспондентский анализ. Биплот, выполненный при помощи статистического пакета SAS, показан на рисунке 1.

Собственники и происхождение автомобиля

см ш

ш

Q.

ш S о

1,5

* большой

1,0 американский * * несемейный с детьми

* среднедоходный

0,5 * семейный

0,0 женский с детьми *

* собственный * японский

* женский * малый

-0,5 * высокий доход

* европейский * спортивный

-1,0 * женский

-1.0 -1.5 0.0 1.0 1.5

ИЗМЕРЕНИЕ 1

Рисунок 1 - Множественный корреспондентский анализ

5. Заключение.

Методы многомерной статистики являются неотъемлемой частью психологических исследований. Использование этих методов не является очевидным и простым, как часто используемые стандартные одномерные методы. Эффективное и актуальное применение ММА предполагает наличие предварительно известных условий:

1) четко сформулированная цель исследования;

2) четко определенная модель отношений между атрибутами (переменными);

3) ясность в отношении шкал, по которым измеряются переменные.

Кроме того, содержательная интерпретация результатов предполагает, по крайней мере, первичное знание математических методов.

По всей видимости, с появлением компьютеров и доступных статистических пакетов роль многомерных методов в психологических исследованиях будет расти. Наряду с этим будут возрастать и требования к подготовке психологов, которые будут намерены использовать эти методы.

6. Благодарности.

Конфликт интересов (Авторы, Абакумова Ирина Владимировна и Дятлов Александр

Викторович заявляют об отсутствии конфликта интересов).

Литература:

1. Гнеденко Б.В. Математические методы в теории надежности: Основные характеристики надежности и их статистический анализ / Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев. М. : КД Либроком, 2019. 584 c.

2. Дятлов А.В. Анализ данных в социологии / А.В. Дятлов, Д.А. Гугуева. Ростов-н/Д. : Издательство Южного федерального университета, 2018. 205 с.

3. Дятлов А.В. Поведенческие науки: применение статистических методов / А.В. Дятлов, П.В. Сажин, Т.Г. Анистратенко. Ростов-н/Д. : Фонд науки и образования, 2015. 242 с.

4. Кляцкин, В.И. Статистический анализ когерентных явлений в стохастических динамических системах. М. : Красанд, 2015. 776 c.

5. Козлов А.Ю. Статистический анализ данных в MS Excel : учебное пособие / А.Ю. Козлов, В.С. Мхитарян, В.Ф. Шишов. М. : Инфра-М, 2018. 80 c.

6. Куликов Е.И. Прикладной статистический анализ. М. : ГЛТ, 2018. 464 c.

7. Наследов А.Д. 1MB SPSS Statistics 20 и AMOS: профессиональный статистический анализ данных. СПб. : Питер, 2016. 416 c.

8. Романко В.К. Статистический анализ данных в психологии : учебное пособие. М. : БИНОМ. ЛЗ, 2017. 312 c.

9. Сошникова Л.А. Многомерный статистический анализ в экономике / Л.А. Сошникова, В.Н. Томашевич, Г. Учебе, М. Шефер. М. : Юнити, 1999. 598 с.

10. Симушкин С.В. Многомерный статистический анализ. Казань : Казанский государственный университет, 2009.114 с.

11. Терещенко О.В. Многомерный статистический анализ данных в социальных науках. Мн. : БГУ, 2012. 239 с.

12. Johnson R.A. Applied multivariate analysis (6th ed.), Pearson Education, Prentice Hall, Inc., New Jersey / R.A. Johnson, D.W. Wichern. 2007. 769 p.

13. Neter J. Applied linear statistical models. 2nd ed. IRWIN, Homewood, Illinois / J. Neter, W. Wasserman, M.H. Kutner. 2004. 1424.

14. Schafer J.L. Analysis of incomplete multivariate data, Chapman&Hall. CRC, Boca Raton. 1997. 444 p.

15. Stevens J. Applied multivariate statistics for the social sciences. 4rd ed. LEA, Mahwah, New Jersey. 2002. 699 p.

16. Tabachnik B.G. Using multivariate statistics. 6th ed. Allyn and Bacon / B.G. Tabachnik, L.S. Fidel. Boston, 2012. 983 p.

17. Jacq J. Multivariate analysis techniques in social science research. from problem to analysis. Sage Publications, London, 1998. 432 p.

Literature:

1. Gnedenko B.V. Mathematical methods in the theory of reliability: the Main characteristics of reliability and their statistical analysis / B.V. Gnedenko, Yu.K. Belyaev, A.D. Soloviev. M. : Libro-kom KD, 2019. 584 c.

2. Dyatlov A.V. Data Analysis in sociology-Rostov-on-don: southern Federal University Press / A.V. Dyatlov, D.A. Gugueva. 2018. 205 p

3. Dyatlov A.V. Behavioral Sciences: application of statistical methods / A.V. Dyatlov, P.V .Sazhin, T.G. Anistratenko. Rostov-on/D. : Foundation for science and education, 2015. 242 p.

4. Klyatskin V.I. Statistical analysis of coherent phenomena in stochastic dynamic systems. M. : Krasang, 2015. 776 p.

5. Kozlov A.Yu. Statistical data analysis in MS Excel : textbook / A.Yu. Kozlov, V.S. Mkhitaryan, V.F. Shishov. M. : Infra-M, 2018. 80 p.

6. Kulikov E.I. Applied statistical analysis. M. : GLT, 2018. 464 p.

7. Legacies A.D. IMB SPSS Statistics 20 and AMOS: professional statistical data analysis. SPb. : Peter, 2016. 416 p.

8. Romanko V.K. Statistical data analysis in psychology : textbook. M. : BINOM. LZ, 2017. 312 p.

9. Soshnikova L.A. Multivariate statistical analysis in Economics / L.A. Soshnikova, V.N. To-mashevich, G. Uchebe, M. Schaefer. M. : Unity, 1999. 598 p.

10. Simushkin S.V. Multivariate statistical analysis. Kazan : Kazan state University, 2009. 114 p.

11. Telesena O. V. Multivariate statistical analysis in the social Sciences. Mn. : bSu, 2012. 239 p.

12. Johnson R.A. Applied multivariate analysis. 6th ed. Pearson Education, Prentice Hall, Inc., New Jersey / R.A. Johnson, D.W. Wichern. 2007. 769 p.

13. Neter J. Applied linear statistical models. 2nd ed. IRWIN, Homewood, Illinois / J. Neter, W. Wasserman, M.H. Kutner. 2004. 1424.

14. Schafer J.L. Analysis of incomplete multivariate data, Chapman&Hall. CRC, Boca Raton. 1997. 444 p.

15. Stevens J. Applied multivariate statistics for the social sciences. 4rd ed. LEA, Mahwah, New Jersey. 2002. 699 p.

16. Tabachnik B.G. Using multivariate statistics. 6th ed. Allyn and Bacon / B.G. Tabachnik, L.S. Fidel. Boston, 2012. 983 p.

17. Jacq J. Multivariate analysis techniques in social science research. from problem to analysis. Sage Publications, London, 1998. 432 p.