CC BY
25
Фирстов В.Е.1, Амелина Ю.В.2
1 Профессор кафедры компьютерной алгебры и теории чисел ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», доктор педагогических наук, кандидат
физико-математических наук, E-mail: firstov! 951@ gmail . com
2 Аспирант кафедры компьютерной алгебры и теории чисел механико-математического факультета ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского»,
E-mail: ulekkv@ gmail. com
ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ КАНОНЫ МУЗЫКИ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ НА ГУМАНИТАРНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Закономерности музыкального творчества, биоритмы творчества, преподавание математики в гуманитарной области высшего профессионального образования, пермутации, особенности творчества Моцарта, закон Ципфа-Мандельброта.
АННОТАЦИЯ
Рассмотрены канонические закономерности музыкального творчества, реализуемые в процессе преподавания математики на гуманитарных направлениях высшего профессионального образования [ВПО], среди которых биохронологические и корреляционные закономерности музыкального творчества гениальных композиторов, а также групповые представления на примере построения ритмики музыкального произведения посредством пермутаций симметрической группы. Установлено действие канонов эстетического восприятия музыки. Прикладной аспект разрабатываемой проблемы может быть реализован в ВУЗах на гуманитарных факультетах для оптимизации преподавания математики.
Введение. В работе [1] рассмотрены канонические закономерности построения музыкальной шкалы в виде пифагоровой гаммы, реализующей канон красоты в рамках пропорций геометрической прогрессии. Однако каноны эстетики включают не только прогрессии, но также такие постулаты, как гармония, симметрия и ритм [2]. Именно, такой расширенный формат позволяет полнее описывать канонические закономерности музыкального творчества в преподавании математики на гуманитарных направлениях высшего профессионального образования (ВПО). Поэтому здесь также рассматриваются биохронологические и корреляционные закономерности музыкального творчества, а также построение ритмики музыкального произведения, посредством пермутаций симметрической группы [3]. Отметим, что для наших целей данного аппарата, видимо, достаточно, но в некоторых случаях сейчас привлекается аппарат нечетких множеств [4].
1. Биоритмы в музыкальном творчестве Моцарта. Сейчас общепризнанно, что ритмичность биологических процессов является фундаментальным свойством живой материи, которая определяет сущность организации жизни. В XXI веке знаменует бурное развитие хронобиология — наука о временных закономерностях функционирования организма, о биологических ритмах и временных трендах, их зависимости от состояния биосистемы и физиологических механизмах, лежащих в их основе [5].
В исследовании В.Ф. Зайцева [6] на основе так называемого «списка Л. фон Кёхеля» [7] проанализирована динамика двух параметров творческого процесса А.В. Моцарта: продуктивности и поисковой творческой активности. Продуктивность творчества N оценивалась по количеству тактов, написанных композитором за определенный период времени. Для оценки поисковой активности использовался комплексный критерий, учитывающий меру разнообразия выразительных средств и удельный объем незаконченных произведений (проб). Кроме двух указанных компонентов проводилась оценка активности по «разовым» критериям — баллы за новизну жанра (в годы сочинения первой в жизни симфонии, мессы, оперы, концерта и т.д.) и
баллы за новизну впечатлений (творческие контакты, влияния и поездки, соприкосновение с иной музыкальной средой — в Париже, Лондоне и т.п.). В итоге комплексный критерий — численная оценка активности — представлял сумму всех компонентов, умноженных предварительно на фиксированные весовые коэффициенты.
В результате исследования всех сохранившихся сочинений В.А. Моцарта [7] выявлена почти строгая антифазность кривых продуктивности и активности композитора (рис.1). Сбой антифазности наблюдается в 1782-1784 гг., что объясняется перестройкой творческого процесса композитора под влиянием ухода со службы при дворе архиепископа Зальцбургского.
N
1765 1770 1 775 1 7SO 17S5 1790 t, годы
Рис.1. Продуктивность и творческая активность В.А. Моцарта с 1762 по 1791 г.: продуктивность дана в соответствии с максимальным уровнем 1772 г., активность — по комплексному критерию в условных
единицах
Интерпретация результатов исследования основана на некоторых свойствах экологической модели «хищник-жертва», предложенной в 20-х гг. XX в. итальянским математиком В. Вольтерра [8]. Она описывается следующими дифференциальными уравнениями:
dx , . dz , ,,
- = I - С! I .Г . - = I íír - <."■ 11 - (1)
где x и z — это количество жертв и хищников; a и b — соответственно, коэффициенты рождаемости жертв и хищников; с — интенсивность поглощения жертв; d — естественная убыль хищников. Анализ модели показывает [8], что зависимость численностей «хищника» и «жертвы» от времени при взаимодействии имеет периодический характер. При этом оказывается, что из этих зависимостей удается оценить скорость процесса, т.е. время, необходимое на воспроизводство «хищника» в зависимости от быстроты использования пищевых ресурсов (быстроты «выедания»). Эту информацию дает сдвиг фаз между колебаниями численности «хищника» и «жертвы», причем если этот сдвиг равен нулю (синфазность колебаний), то происходит «медленное выедание», если же сдвиг равен 180° (антифазность колебаний), то «хищник» очень медленно реализует пищевые ресурсы и имеет короткий цикл размножения («быстрое выедание»).
По аналогии с экологической моделью, можно прийти к выводу, что Моцарт быстро реализовывал свои идеи и этот факт подтверждается свидетельствами современников, письмами, а также тем, что композитор почти никогда не использовал в новых произведениях материал старых и не возвращался к неоконченным. Как отмечается в [6], такой же характер между продуктивностью и активностью наблюдается у А. Вивальди, Й. Гайдна, Ф. Шуберта, Дж. Россини и Г. Донецетти. Синфазность колебаний указанных параметров наблюдается в творчестве Л. Бетховена, Й. Брамса, А. Дворжака и П.И. Чайковского, для которых характерна медленная реализация замысла.
В творчестве В.А. Моцарта условно выделяют три компоненты: 1) творчество «на заказ»; 2) творчество под влиянием внутренних причин; 3) творчество под влиянием внешних случайных причин (реакция на события и окружение). Лишь вторая компонента, следуя закономерным переходам от подъемов творческой активности к спадам, является периодической. Однако продуктивность в первой компоненте также может сильно зависеть от фазы творческого ритма, т.к. композитор имел свободу выбора заказов и мог варьировать форму и содержание, т.е. объем сочинения. Третья компонента имеет чисто случайный характер и зависит не столько от фазы
творческого периода, сколько от отношения композитора к случившемуся событию.
Определить принадлежность произведения той или иной компоненте оказалось сложно и спектральный анализ был проведен для двух кривых продуктивности, построенных отдельно для сочинений, написанных в мажоре и в миноре. Выяснилось, что продуктивность в мажорных тональностях имеет явную периодичность с величиной периода 7,5-8 лет. Картина временной зависимости продуктивности в минорных тональностях оказалась совершенной иной. Спектр полученной кривой не имел явно выраженных максимумов и минимумов и напоминал «белый шум». На основании этого автор исследования [6] сделал заключение, что все минорные сочинения Моцарта принадлежат именно к третьей компоненте.
Отметим, что имеющиеся независимые исследования творчества выдающихся ученых, писателей поэтов, композиторов, художников обнаруживают творческие периоды 7-8 лет. Поэтому можно высказать предположение, что биоритм с таким периодом является универсальным в творческом процессе. По-видимому, впервые на это было указано в 1925 г. в исследовании Н.Я. Пэрна [9].
2. Структурные особенности композиции в творчестве Моцарта
Изучение творчества Моцарта показало, что, помимо биоритмов «вынужденных» (рис.1), творческому процессу присущи также и ритмы «собственные», которые проявляются в виде взаимозависимости таких параметров композиции как выбор тональностей, музыкальных форм, инструментов и т.п. Как показали исследования [6], «собственные» ритмы связаны с «вынужденными» так, что периоды их совпадают или кратны, однако начальные фазы, как правило, отличаются.
Для изучения «собственных» биоритмов строились соответствующие временные ряды по продуктивности для девяти мажорных и восьми минорных тональностей, а также для каждого из 25 инструментов, использованных Моцартом в период с 1762 по 1791 г. Затем полученные данные представляются в виде корреляционных матриц, построенных по следующему принципу: на пересечении /-ой строки и j-го столбца стоит число а/у тактов в i-м мажоре, миноре или для i-го инструмента, написанных Моцартом в у-м году. Анализ корреляционных матриц позволил установить основные периоды «собственных» биоритмов: 7-8;14-16;21-23 года. Эти данные указывают на величину периода основного колебания в 7-8 лет [9].
Корреляционные матрицы по характерным признакам представляются в виде дерева — графика, у которого начало отсчета совпадает с максимальным коэффициентом корреляции (+1) и полным набором ветвей. Продвижения вдоль оси вправо дают уменьшение коэффициента корреляции и ветви соединяются в точках с абсциссой, равной коэффициенту корреляции между соответствующими тональностями (рис.2;3).
Анализ девяти мажорных тональностей выявил два кластера по три (первый — соль мажор, ре мажор и ля мажор; второй — ля-бемоль мажор, до мажор и ми мажор), к ним последовательно присоединяются остальные, причем последним — фа мажор (рис.2). Слабая связь тональности фа мажор с остальными объясняется тем, что фа мажор — признанная пасторальная тональность. Первый кластер ^-О-А) — тональность ре мажор удобна для скрипки и наиболее распространена в венской школе, а соль мажор и ля мажор — ее субдоминанта и доминанта, соответственно, как наиболее родственные ей тональности.
0,3 0,2 0,1 коэффициент
Рис. 2. Корреляции мажорных тональностей: А5 — ля-бемоль мажор, Es — ми-бемоль мажор, В — си-бемоль мажор, F — фа мажор, С — до мажор, G — соль мажор, О — ре мажор, А — ля мажор, Е — ми мажор
А
О в Е С , Аг
а,
р
Второй кластер — большетерцовые связи (E-C-As), характерны в начале XIX в.; у Моцарта такие связи выявлены в поздний период его творчества [6].
Восемь минорных тональностей расслаиваются на несколько кластеров, два из которых тоже имеют эволюционное значение. Первый кластер включает в себя минорные тональности (ля минор и ми минор), обычные для ранних периодов творчества Моцарта, второй — (си минор, соль минор и фа минор) — характерные для «позднего» Моцарта (рис.3).
0.J 0.1 коэффициент
Рис.3. Корреляции минорных тональностей: f — фа минор, с — до минор, g — соль минор, d — ре минор, а — ля
минор, е — ми минор, h — си минор, fis — фа-диез минор
Выявление внутренних связей в творчестве Моцарта и доказательство их эволюционного характера позволило автору [6] подойти к решению более сложных задач — датировке и определению авторства.
3. Пермутации симметрической группы в ритмике О. Мессиана.
Творчество выдающегося французского композитора Оливье Мессиана (1908-1992) довольно сильно повлияло на концепции европейской музыки второй половины XX в. особенно в части теории композиции [10]. Известно, что теория музыки в XX веке, во многом, складывалась не музыковедами, а композиторами, выступавшими в роли творцов новейших теоретических систем и среди них имена А. Шенберга, П. Хиндемита, Р. Штрауса и др. Свое учение создал также и О. Мессиан. В основном оно сконцентрировано в незавершенном проекте 7-томного «Трактата о ритме, цвете и орнитологии», из которого пока опубликовано четыре тома [11].
В своем трактате Мессиан [11] основательно исследовал структуру музыкального ритма, рассматривая его как основу всей композиции. По Мессиану: «Музыка, таким образом, частично делается звуками..., но также и прежде всего Длительностями, Напряжением и Отдыхом, Акцентами, Интенсивностью и Плотностью, Атакой и Тембром — всем тем, что обобщается словом «Ритм» [10]. Особенность этого исследования состоит в том, что подход Мессиана к построению ритма — это подход математика-пифагорейца, исповедующего тезис: «Все образуется по закону числа».
В одном из подходов к построению ритма Мессиан опирался на так называемый принцип пермутаций (перестановок), являющихся элементами соответствующей симметрической группы. В этом случае полученные в результате перестановок числовые ряды соотносятся с длительностями, что предопределяет практически бесконечное разнообразие ритмических структур композиции. Такой подход используется в ряде оркестровых произведений Мессиана, среди которых особо выделяется симфония «Хронохромия» (1959-60).
1). «Хронохромия» построена на двойном материале, звуковом и временном. Временной материал или ритмика — это 32 длительности, представленные в симметричных перестановках в таблице 1.
2). Звучащий материал или мелодика —пение птиц Франции, Швеции, Японии и Мексики, а также звучание горных водопадов и ручьев в горах французских Альп.
3). Смешивание звуков и тембров осуществляется при помощи длительностей, которые тем самым артикулируются и окрашиваются. Цвет приводит к рассечению Времени. Заголовок «Хронохромия» (от греческого хрома — цвет, хронос — время) переводится как «цвет времени».
4). Произведение устроено наподобие греческих трагедий, с удвоением строф и прибавлением Интродукции и Коды. Оно содержит семь частей, следующих одна за другой: Интродукция — Строфа I — Антистрофа I — Строфа II — Антистрофа II — Эпод — Кода» [10].
9 h f
a
е с
fis d
Таблица 1. Варианты пермутаций 32-го порядка в «Хронохромии» О. Мессиана (цифры сверху — длительности тактов, снизу — соответствующие №№ тактов)
© ь 1 11 ] I и 7 J * I О п *
№ * 1 1 Я Л _г - я К * _* 1-1 Р 1;_ш' ЧЛ -т!- _ ^ н *з
и и 14 О П И № т * 31 3! 19 да
м 1 К & а 4 к а Л J. 23 * 1 & ¡4 14 J 11 ю Л м 71 в
и ь ш Я 1 ^ О N „ 1 1 о- _ш__' 12 к » - И Г а- 0-
Сам Мессиан приводит следующие соображения при построении ритмики «Хронохромии» с помощью пермутаций таблицы 1: «Выберем хроматическую ритмическую гамму из 32-х тридцатьвторых длительностей, взятую со всеми промежуточными длительностями и без пропусков. Если я захочу найти и использовать все пермутации, то мне не хватит жизни, чтобы их написать и тем более исполнить. Требуется выбор, и такой, чтобы в конце концов вернуться к заданному ряду. Поэтому я читаю ритмическую хроматическую гамму в определенном порядке, затем я читаю результат в том же порядке, и снова так же, пока я не вернусь к первоначальному текстуальному порядку. Это делает число перестановок вполне разумным — чуть большим, чем число избранных объектов, а также весьма разнообразным для их употребления в наложениях друг на друга» [10]. По существу, Мессиан неявно изложил теоретико-групповые соображения.
Попытаемся изложить замысел Мессиана, используя язык теории групп, конкретно, группы перестановок или, как это принято в современной алгебре, симметрической группы [3]. Для этого рассмотрим ритмический ряд № 1 в таблице 1. Стоящие в этом ряду длительности можно описать с помощью следующей подстановки:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 д=( 3 28 5 30 7 32 26 2 25 1 8 24 9 23 16 17 18 22 21 19 20 4 31 6 29 10 27 11 15 14 12 13 ) Данная подстановка д — это элемент симметрической группы Sз2, которая содержит 32!
2,61035 элементов. Это огромное число и это обстоятельство, собственно, отмечает Мессиан. Но почему берется именно эта подстановка?
Ответ на него затрагивает довольно тонкие теоретико-групповые представления современной алгебры. Известно, что теория групп, по сути, является математической теорией симметрии и тот факт, что Мессиан при построении композиции использовал такие сложные концепции, говорит о высокой эрудиции этого выдающегося композитора.
Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся теоремой [3], по которой всякая подстановка симметрической группы представляется в виде произведения независимых циклов. В данном случае имеем:
(1,3,5,7,26,10)(2,28,11,8)(4,30,14,23,31,12,24,6,32,13,9,25,29,15,16,17,18,22)(19,21,20)(27) Соответствующие длины циклов в данном произведении: 6, 4, 18, 3, 1. Их НОК (6, 4, 18, 3, 1) = 36. Это означает [3], что подстановка д имеет порядок 36, т.е. д36=е, где е — тождественная подстановка и, следовательно, строя композицию из 36 таких подстановок, получается хроматический ряд по длительностям. Таким образом, подстановка д порождает циклическую подгруппу <g>Sз2, порядок которой равен 36, и, следовательно, при построении ритмики «Хронохромии» Мессиан использует всего 36 подстановок (пермутаций).
Теперь следует выяснить, для чего используются три ритмических ряда в таблице 1, и как они взаимосвязаны. Для этого заметим, что такт 1 в ритмическом ряду № 1 совпадает с тактом 10 ряда № 2, такт 2 ряда № 1 — с тактом 8 ряда № 2 и т.д., в результате получается следующая подстановка:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 . Ь-( 10 8 1 22 3 24 5 11 13 26 28 31 32 30 29 15 16 17 20 21 19 18 14 12 9 7 27 2 25 4 23 6 )
Легко видеть, что Ь-д'1, т.е. ряд № 2 — это подстановка, обратная к ряду № 1. Точно таким же образом для ряда № 3 получается следующая подстановка:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 j-( 26 11 10 18 1 12 3 28 32 7 2 23 6 4 25 29 15 16 21 19 20 17 30 31 13 5 27 8 9 22 14 24 ) Данная подстановка имеет следующее разложение в произведение независимых циклов: (1,26,5)(2,11)(3,10,7)(4,18,16,29,9,32,24,31,14)(6,12,23,30,22,17,15,25,13)(8,28)(27)(19,21,20) Наименьшее общее кратное из длин этих циклов равно 18, и, следовательно, подстановка j имеет порядок 18, т.е. j18-e. В результате порождается циклическая подгруппа 18-го порядка ^><д^. Непосредственно обнаруживается, что gj-jg. В силу цикличности подгрупп <><д>, последнее равенство означает, что подгруппа <]> — есть нормальный делитель в подгруппе <д>.
Приведенные соображения показывают, что Мессиан при построении ритмики «Хронохромии» использовал достаточно тонкие представления из теории симметрических групп и, видимо, именно такой прием композитора позволил передать многообразие нюансов прекрасного птичьего пения. Следует также отметить, что число 27 в рассмотренных подстановках является инвариантом, которое связывается с числом Сатурна, т.е. Хроноса, имея в виду склонность Мессиана к числовой магии.
4. Принципы организации повторов на микроуровне музыкально-го текста. Под таким названием в конце 70-х гг. прошлого века сотрудник Тбилисской государственной консерватории имени Вано Сараджишвили М.Г. Борода защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата искусствоведения [12]. В данном исследовании, опираясь на принятые в музыковедении представления о ритмических и метрических тяготениях звуков друг к другу, автору удалось выделить строго формальную структурную музыкальную единицу, которую автор назвал «формальный мотив» («Ф-мотив»). Введенное представление об Ф-мотиве позволило осуществить разбиение мелодической последовательности на элементы, имеющие некий «музыкальный смысл», и определить частоты встречаемости этих элементов в музыкальных текстах. Таким образом М.Г. Борода проанализировал около сорока музыкальных текстов, созданных за четыре последних столетия. Было установлено, что наборы частот появления Ф-мотивов в отдельном музыкальном тексте подчиняются частотному закону Ципфа-Мандельброта
Рп =
К
(2)
(В +п )у
где рп — частота п-го Ф-мотива в данном музыкальном тексте, К;В — некоторые постоянные, У -фрактальная размерность распределения (2).
На рис. 4 приведены частотные кривые 3-й сонаты Шопена (верхний график) и прелюдии и фуги И.С. Баха из «Хорошо темперированного клавира» т. 2, № 2. Значения постоянных в распределении (2) для данных музыкальных текстов приведены в статье Ю.К. Орлова [14]. В частности фракатальная размерность У равна 0,489 -для 3-й сонаты Шопена и 0,697 — для прелюдии и фуги И.С. Баха. Таким образом, структуризация Ф-мотивов музыкального произведения в рамках закона Ципфа-Мандельброта (2) является способом передачи смысла этого произведения.
т
ц.и ц & где
Рис. 4. Частотные кривые для 3-й сонаты Шопена (верхний график) и прелюдии и фуги И.С. Баха из «Хорошо темперированного клавира» т. 2, № 2 (нижний график). Теоретические кривые изображены сплошными
линиями
Заключение. Новая музыкальная концепция в XX в. связана с новым звукоощущением человека и выражена, например, в музыке А. Шенберга (1881-1945), О. Мессиана (1908-1992) и др. Глава так называемой новой Венской школы Шенберг, вначале, исповедовал музыкальные традиции немецкой и австрийской классики, однако затем пришел к так называемой атональной музыки. Для выражения социального зла композиции Шенберга сознательно насыщаются диссонансами, речитативами, часто и нерегулярно меняющимися темпом и ритмом, что создает ощущение напряжения и хаоса, например, в кантате «Уцелевший из Варшавы» (1947), передающей ужасы фашистской агрессии. Теоретически эти композиции формируются в рамках 12-тоновой музыкальной системы (додекафонии) без какой-либо корреляции связей между ее ступенями, не выделяя тонику и ладовые созвучия.
Мессиан представляет современную французскую школу композиции и является крупнейшим музыкальным теоретиком XX в. Симметрии в ритмическом орнаменте композиций Мессиана часто реализуются с помощью теоретико-группового математического аппарата, выраженного пермутациями симметрической группы, например, при передаче пения птиц в симфонии «Хронохромия». Надо заметить, что именно по вопросам трактовки ритмики Мессиана к нам обратилась одна из выпускниц кафедры теории музыки Саратовской Государственной консерватории имени Л.В. Собинова и, ознакомившись с монографией [10], ей был задан вопрос: «Были ли в окружении Мессиана специалисты в области теории групп ?» Выяснить это не удалось и, если допустить противное, то остается признать у Мессиана задатки математика, как минимум, среднего уровня.
Отдельно отметим, что тема войны также не обошла Мессиана, к которой он обратился в 1940 г. после мобилизации в действуюшую армию, где он вскоре попал в плен. После неудачной попытки побега, он попал в концлагерь в Силезии, где выпросил у немецкого офицера нотную бумагу, и так на свет появился, получивший мировую известность, «Квартет на конец света». Этот
квартет был исполнен за колючей проволокой в концлагере 13 января 1941 г. при 30-ти градусном морозе, на расстроенных инструментах лагерными музыкантами Э. Паскье (скрипка), Ж. ле Булером (кларнет), А. Акока (виолончель) и автором (фортепиано) перед тысячами пленных французов, бельгийцев, ... Впоследствии Мессиан скажет: «Никогда меня не слушали с таким вниманием и пониманием». Это свидетельствует о высокой гражданской позиции Шенберга и Мессиана, а также о большом значении высокой музыкальной культуры на ниве идеалов человеческого бытия.
Данный материал продолжает нашу дидактическую линию [1], направленную на оптимизацию преподавания математики в гуманитарной области ВПО, который следует рассматривать в виде соответствующего образовательного контента.
Литература
1. Фирстов В.Е., Амелина Ю.В. Пифагорейская концепция гармонии в преподавании математики на гуманитарных направлениях высшего профессионального образования. // Перспективы науки и образования, 2015, № 3(15). С.104-110.
2. Волошинов А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000. 399 с.
3. Александров П.С. Введение в теорию групп. М.: Наука, 1980. 144 с.
4. Зубарева Н.Б. Искусство глазами несмежных наук: взаимодействие музыки и поэзии с точки зрения нечетких множеств / / Музыка и время, 2006, №8. С.28-35.
5. Чибисов С.М., Катинас Г.С., Рагульская М.В. Биоритмы и Космос: мониторинг космобиосферных связей. М.: Изд-во «Капитал Принт», 2013. 442 с.
6. Зайцев В.Ф. Биоритмы творчества. Л.: Знание, 1989. 32 с.
7. L.von Köchel. Chronologisch-thematisches Verzeichnis der Werke W.A. Mozarts. Leipzig: Breitkopf und Härtel, 1975. 984 s.
8. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.
9. Пэрна Н.Я. Ритм жизни и творчество. Л.: Петроград, 1925. 143 с.
10. Цареградская Т.В. Время и ритм в творчестве Оливье Мессиана. М.: 2002, Классика — XXI. 376 с.
11. Messiaen O. Traite de Rythme, de Couleur, et d'Ornitologie. T. 1-4. — Paris, 1994 — 1997.
12. Борода М.Г. Принципы организации повторов на микроуровне музыкального текста: автореф. дисс. ... канд. искусствоведения. — Тбилиси, 1979. — 30 с.
13. Мандельброт Б. Теория информации и психолингвистическая теория частот слов // В кн.: Математические методы в социальных науках. — М.: Прогресс, 1973. — С. 316-337.
14. Орлов Ю.К. Невидимая гармония //Число и мысль. Вып.3.М.: Знание, 1980.- С.70-106.
