ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА С ВЕСАМИ МАКЕНХАУПТА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 4 (2023). С. 42-60.

УДК 517.5

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА С ВЕСАМИ МАКЕНХАУПТА

О.Л. ВИНОГРАДОВ

Аннотация. В работе устанавливаются прямые и обратные теоремы теории приближений в пространствах Лебега Lp,w с весами Макенхаупта w на оси и на периоде. Классическое определение модуля непрерывности может не иметь смысла в весовых пространствах. Поэтому в качестве модулей непрерывности, в том числе нецелого порядка, используются нормы степеней отклонений средних Стеклова. Выводятся свойства этих величин, часть которых аналогична свойствам обычных модулей непрерывности. В добавление к прямым и обратным теоремам получены соотношения эквивалентности между модулями непрерывности и К и Д-функционалами.

Доказательства основаны на оценках норм сверточных операторов и не используют максимальную функцию. Это позволяет установить результаты при всех р £ [1, не исключая случай р = 1. Применявшиеся ранее методы, использовавшие в том или ином виде максимальную функцию, непригодны при р ^ 1. Кроме того, подход на основе сверток позволяет получить результаты одновременно в периодическом и непериодическом случае. Константы за редким исключением не указываются явно, но всегда контролируется их зависимость от параметров. Все константы в оценках зависят от [w]p (характеристики Макенхаупта веса w), а иная зависимость от w и р отсутствует. Нормы сверточных операторов оценены в терминах [w]p явно. Методы данной работы могут быть применены к доказательству прямых и обратных теорем в более общих функциональных пространствах.

Ключевые слова: наилучшие приближения, модули непрерывности, веса Макенхаупта, свертка.

Mathematics Subject Classification: 41А17, 42А10

1. Введение

1.1. Обзор результатов. Распространению классических теорем теории приближения (см., например, [1]) с пространств Lp на более общие пространства функций посвящено немало работ. Назовем лишь некоторые [2]- [7], непосредственно относящиеся к теме данной статьи, т.е. пространствам Лебега Lp,w с весами Макенхаупта w. В ряде работ эти вопросы изучались в более общих весовых пространствах, включающих Lp,w как частный случай (пространствах Орлича и Лоренца, пространствах Лебега с переменным показателем); см., например, [8], [9] и библиографию в [7], [9].

В перечисленных источниках рассматриваются пространства периодических функций (за исключением [3]) и случай р > 1 Константы в оценках зависят от [w]p (характеристики Макенхаупта веса w £ и от р. Из-за зависимости констант от р результаты в

O.L. Vinogradov, Direct and inverse theorems of approximation theory in the Lebesgue

spaces with muckenhoupt weights.

© Виноградов О.Л. 2023.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-11-00178, https://rscf.ru/project/23-ll-00178/. Поступила 6 июня 2023 г.

такой форме не переносятся на случай р = 1, даже если т Е А1. Тем самым теоремы в классическом, т.е. безвесовом случае не являются следствиями этих оценок.

Такое положение вызвано не сутью дела, а методами доказательств, как то использование максимальной функции, ограниченности преобразования Гильберта, приближений с помощью сумм Фурье и других методов, непригодных при р ^ 1. Вместо этого мы показываем, что прямые и обратные теоремы получаются как следствие оценок норм операторов свертки с симметрично убывающими ядрами.

Подход к оценкам сверток, не использующий максимальную функцию, применялся еще в оригинальных работах Розенблюма [10] и Макенхаупта [11]. Затем он был развит в серии работ Нахмана и Осилепкера [12]- [15] в связи с линейными методами суммирования рядов Фурье периодических функций. Результаты в [12]- [15] верны при всех р Е [1, но константы в оценках (по крайней мере в формулировках) тоже зависят от р. Случаи различных показателей, двухвееовые, многомерные и векторнозначные обобщения, изучавшиеся в указанных источниках, в настоящей работе не рассматриваются.

Мы за редким исключением не указываем константы явно, но всегда контролируем их зависимость от параметров. Все константы в оценках зависят от а иная зависимость от т и р отсутствует. Кроме того, мы используем единый подход и получаем результаты одновременно в периодическом и непериодическом случае.

1.2. Обозначения. В дальнейшем С, К N — множества комплексных, веще-

ственных, неотрицательных вещественных, целых, натуральных чисел соответственно; Т = [-ж,ж]. Если из контекста не следует противное, пространства функций могут быть как вещественными, так и комплексными. Функции доопределяются в точке устранимого разрыва по непрерывности, в остальных случаях полагаем 0 = 0, Эквивалентные функции отождествляются. Через С(а,0,...) обозначаются величины, зависящие только от указанных параметров, не обязанные совпадать даже в пределах одной формулы.

Неотрицательная, измеримая, почти везде конечная и почти везде положительная функция называется весом. Если р Е [1, т — вес, то Ьр,ш (К) есть пространство суммируемых на К с р-й степенью и весом т функций, с нормой

II/ 1и = ЦI/1^)1/Р.

Аналогично определяется пространство 2^-периодических функций Ьр,т (Т), Норма в нем обозначается так же, а вес т тоже считается 2^-периодическим, Символ Ьр,т означает Ьр,т(К) или Ьр,т(Т). Аналогичный смысл имеет обозначение Единичный вес в обо-

значении опускаем и пишем просто Ьр, ||Р и т.п.

Далее, Еа и Ест-0 — множества целых функций экспоненциального типа не больше а и меньше а соответственно,

ла(/)р,т = т£ 11 / -

дьЕо-

есть наилучшее приближение функции $ Е функциями из Еа в простране тве Ьр,т] аналогично определяется величина Ла-0(/)р,ад. В периодическом случае Ла(}) совпадает с Е[а\ (/) (_ целая часть числа ст) — наилучшим приближением f тригонометрическими многочленами степени не выше а.

Говорят, что функция Р: К ^ [0, симметрично убывает, если она четна и убывает на М+ Есл и К: М ^ С т0 чеРез К * обозначается горбатая мажоранта функции К, т.е. такая симметрично убывающая функция, что 1К | ^ К *. Чере з V обозначается множество суммируемых на К симметрично убывающих функций, а через V* — множество функций, имеющих суммируемую горбатую мажоранту.

Далее, хе — характеристическая функция множества Е7

I гЧ 2

Я/(х) = т f (X - г) Бн,т/(X) = вн!(X + т)

Ъ 3-и/2

двусторонняя и сдвинутая функции Стеклова первого порядка функции / с шагом Ъ > 0, к / — односторонняя функция Стеклова. Как обычно, если и — оператор, то 1!т означает его т-ю степень, 11° = I есть тождественный оператор. Свертка и преобразование Фурье нормируются равенствами

f * д(х) = [ f (х - 1)д(1) <И, Т!(у) = [ f (1)е-г^ Я. ./к ./к

При такой нормировке Та * д) = Т/ ■ Тд.

2. Свертки в весовых пространствах

2.1. Оценки сверток через характеристики Макенхаупта. Для заданного на К веса т положим

Мг

т{ fe ^ w) fe ^ w Р-1У } ' р е

где верхние грани берутся по всевозможным отрезкам в К, а |Q| — длина отрезка Q. Если [w]p < то говорят, что вес w удовлетворяет условию Макенхаупта Ар или принад-

лежит классу Макенхаупта Ар. Со свойствами весов Макенхаупта можно познакомиться в [16], [17]. По неравенству Гёльдера функция р м- [w]p убывает, откуда классы Ар расши-

Ббльшая часть применений весов Макенхаупта связана с максимальными функциями и сингулярными интегральными операторами, однако эти вопросы не играют роли в настоящей работе. Единственным важным для нас свойством весов Макенхаупта будет оценка

\\f*K IU <в\\к Mf\\p,w. К еП. feLp>w. (2.1)

где константа В зависит только от [w]p.

Хорошо известно следующее характеристическое свойство весов Макенхаупта [17, § 5.2.1]. Пусть ß — борелевская мера на К Р е [1. К е К, K£(t) = (|), Если для всех

f е Lp,dß неравенство

\\f*Ke\\p4ß ^ В\\КMf\\p,d, (2.2)

выполняется с константой В, не зависящей от е, то dß(x) = w(x) dx, где w е Ар. Обратно, если w е Ар и dß(x) = w(x) dx, то неравенство (2.2) выполняется с константой В, не К

Обозначим

К

Bp[w] = sup

\\p,w

/еьр^,кеп \\К\\1\\,/ \\р,ш

Тем самым Вр[и>] есть наименьшая не зависящая от К константа В в неравенстве (2.1). Из этого определения сразу следует неравенство

\\!*К\и ^Вр[ад]\\К*\\1\\/\\р,и,, К еК*, . (2.3)

Многие классические ядра: Стеклова, Фейера, Рогозинского, Балле Пуссена, Пуассона и

К*

В безвесовом случае ад = 1 общеизвестна оценка

||/* К||р ^ \\К||хII/||р, К е ^(К), / е Ьр,

совпадающая с (2,3) для К е V, Однако если К е V* \ V, то ЦК*||1 может быть существенно больше, чем ЦК||ь Приведем пример. Пусть т е К, к > 0 К = ^Х(-т-н/2,-т+н/2) — сдвинутое ядро Стеклова первого порядка. Тогда К * = ^ Х(-\т\-ь/2,\т\+ь/2)- Отсюда

и* *|1=1+2^,

что велико, если величина сдвига \т| велика то сравнению с шагом к. В частности, для одностороннего ядра Стеклова (г = к/2) переход к горбатой мажоранте увеличивает норму вдвое.

Отметим, что при фиксированном т = О семейство операторов [Б^,,тне ограничено в пространствах Ьр,,Ш7 не замкнутых относительно сдвига, В самом деле, возьмем функцию / е Ьр^, такую что / ^ О и /(■ + т) е Тогда Б^т/ ^ /(■ + т) при к ^ 0+ почти везде, откуда по теореме Фату

" Цш / (Я,/(Х))РЮ(Х) > \ Пг + хМх) лх = +».

^0+ У К J^SL

Тем более не ограничено всё семейство операторов [Б^т}теж,н>0-

В следующей лемме константы Вр[ад] оцениваются через характеристики Макенхаупта,

Лемма 2.1. Пусть р е [1, 1 + 1 = 1 ад е АР. Тогда

БрМ ^ 2т1п{р,1 }[ад];/р. (2.4)

Если, кроме того, ад е А1; то Вр[ад] ^ В\/р[ад] и

^ г п 8над&) г , , .

П1 [ад] = вир евввир —-гт— ^ [ад]ь (2,5)

н>о геж ад(ч

Доказательство. 1, Сначала докажем лемму для пространств Ьр^ш(К), Обозначим

<ЭХ = [х - 1/2, х + 1/2], <3 = Qо.

Не умаляя общности, можно считать, что f ^ 0, Достаточно доказать оценку (2,1) для ядра К = хя- Действительно, поскольку величина [ад]р не меняется при масштабировании, доказанное будет верно для ядер Стеклова К = ^Х\-ь/2,н/2\-> а тогда и для линейных комбинаций ядер Стеклова с положительными коэффициентами, В общем случае приблизим ядро К е V возрастающей последовательностью таких линейных комбинаций и перейдем к пределу по теореме Леви,

1,1, Для любого веса А по неравенству Гёльдера

(/ * Хя)р(х) =( I Ар [ Гад\)( I ад-я/рХ-д/р\Ррд.

Интегрируя по ж и меняя порядок интегрирования, находим

/(/ * Хя)р(х)ад(х) йх <[([ Г(г)ад(г)\(г) ( I ад-д/р\-,1/рУ/д ад(х) йх

= / !р(1)ад(1)Щ1 (*) ¿1,

¿К

где

(2.6)

1 (*)=/(/ ад-д/р^-д/р)Р/дад(х)дх.

1,2, Пусть р € [2, , Положим Л = 1. По определению величины [т]р имеем 1(Ь) = [ т-*/р) т(х) ¿х ^ [ш\р [ т) т(х) ¿х.

¿Яг \^Ях ) ¿Яг \^Ях )

Обозначим через левую, а через 0+ правую половину отрезка Если х € то фх Э Поэтому

/ I т) т(х) ¿х ^ I т(х) ¿х + / I / т(х) ¿х = 2,

¿Яг \^Ях ) ¿Я- {¿Я- / ¿я+ /

откуда 1(Ь) ^ 2[т]р. Подставляя эту оценку в (2,6), получаем требуемое.

(\р/ч

( т-д/р ) , Аналогично, разбивая отрезок пополам, находим

/Рл~Я/Р = [ т-я/р(и){ [ т-Я/Р\ ¿и ^ 2.

)х ¿Ях \^Яи )

Следовательно,

Л(г)1(г) ^ 2р/дЛ(г) т(х)(Ь ^ 2р/д[т\р.

¿Яг

Остается подставить эту оценку в (2,6),

1,4, Пусть т € Аь Докажем неравенство (2.5). Обозначим его среднюю часть через С[т]. При всех к > 0 имеем

Г 1 гх+к/2

IIЯ/¡1,™ = 1 Ю ¿т(х) ¿х

¿М к ¿х-Н/1

1 гг+И/2 \ г

¡(¿)[т т^ё-х) а ^ С[т\ ¡(г)т(г)а. к Ь-Н/2 у ¿М

Отсюда следует неравенство В1[т\ ^ С[т] и его точность. Оценка С[т] ^ [ т] 1 очевидна. Оценка Вр[т\ < В\/р [т] вытекает из неравенства Гёльдера

( / *ку ^ ЦКцр/ар * К)

или из интерполяционной теоремы Рисса-Торина.

2, Для доказательства леммы в периодическом случае нужны лишь небольшие изменения, Пусть функция f и вес т имеют пер под 21. Напомним, что по-прежнему К € Ь1(М), а свертка определяется как интеграл по всей оси. Тогда в формуле (2,6) внешние интегралы берутся по [—1, С] и используется равенство

( х, ) ¿ х = ( х, ) ¿ х ,

¿-¿¿Ях ¿-¿¿Яг

2

для ядра К = хя- Масштабированием получаем, что если неравенство (2,4) верно для ядра К и функций / и т периода 21, то оно верно для ядра К^ = ^К(^) и функций ¡(к^) и т1/и = кт(к) периода 21/к. Поскольку [т1/ь\Р = МР, а£ произвольно, мы получаем (2,4) для всех ядер Стеклова, Завершается доказательство аналогично, □

Точные константы в весовых неравенствах (2,1) неизвестны, В [10] впервые был получен критерий ограниченности некоторых операторов свертки, в том числе с ядрами Стеклова, Пуассона и Фейера, в пространствах Ьр,ш (Т), Макенхаупт [11] показал, что этот критерий эквивалентен условию Ар. В [11] получено неравенство (2,1) для средних Стеклова в ЬРуШ (М) с константой | • 31/р [т\1р, а в Ьр,ш (Т) — с константой 3 • 61/р [т\1р. Затем из

прямые и обратные теоремы теории приближений

47

него выведено неравенство (2,1) для интегралов Пуассона без указания константы. Неравенство (2,1) в Ьр,т(Т) для ядер класса V* получено в [14] и [15] с двусторонней оценкой Вр[ад] х С(р)[ад]р/р■ То наблюдение, что неравенство (2,1) для средних Стеклова влечет неравенство с той же константой для всех ядер К е V, в неявном виде имеется в [17]. Анализ рассуждения Стейна приводит к оценке сверху Вр[ад] ^ 21+ р [ад]р/р. Там же имеется оценка снизу Вр[ад] ^ 1[ад]р/р, Из доказательства в [15, теорема 1] следует та же оценка снизу. В [18, лемма 2.18] доказано неравенство (2.1) для средних Стеклова в Ьр,т (М) с константой вида С(р)[ад]р/р и отмечено, что показатель 1/р, вообще говоря, уменьшить нельзя. Укажем еще очевидную оценку снизу Вр[ад] ^ 1. В [14], [15], [17], [18] имеются также многомерные и двухвееовые обобщения, которых мы не касаемся.

Следствие 2.1. Пусть р Е [1, ад Е Ар, К Е V*, / € Ьр,ш, а > 0. Тогда

X(/ * К)р>У) ^ Вр[ад]Ы \\(К - Ка)*|1ЛСТ(/)Р>У) ^ Вр[ад]\\К*\К (/)Р>У).

К а

В этом неравенстве Аа и Еа можно заменить на Ла-о и Есг-0.

Доказательство. Докажем левое неравенство, правое тривиально. Для любых функций ¡а Е Еа П Ьр^ж Ка Е Еа П V* будет

X(/ * к)р,ш = ((/ - и) * (К - ка))р,ш.

Остается воспользоваться оценкой (2.3) и перейти в правой части к инфимуму по и Ка. Неравенство для Ла-0 доказывается аналогично. □

2.2. Оценки горбатой мажоранты. В приложениях ядро К обычно задается в терминах преобразования Фурье и может зависеть от параметров. Для применения леммы 2.1 требуется знать, имеет ли ядро К суммируемую горбатую мажоранту, и уметь оценивать ее Ь1-норму. Некоторые элементарные оценки собраны в следующей лемме.

Лемма 2.2. Пусть

К(Ь) = 2пТ-1(р(Ь)= [ р(у)еиу <1у.

им

1. Если у Е ^(Е), то 1К(*)| ^ У\\ъ

2. Пусть в — 1 Е N существует абсолютно непрерывная ^(а-2) и функции <р,..., ^(5-1) стремятся к нулю на бесконечности. Если вариация р^-1^ (обозначим ее \\^(5-1)\\1у) конечна, то 1К(¿)| ^ |£|-8\\^(8-1)\\1. В частности, если ^(5-1) абсолютно непрерывна, а ^ Е ^(Е), то ^(^ ^ |*И\р(в)\\1.

3. Пусть

<р(у) = с(гу)-а + <Р1(У) (2.7)

или

<Р(У) = ФГ + ЫУ), (2-8)

где с Е С, а Е (0,1), Е Ь1(М). Тогда, соответственно

^ ^^ пет|г|"-1 + М'

или

^ т ^ Гт) иа-1 + \\1.

Доказательство. Первое утверждение очевидно, второе получается интегрированием по частям. Третье вытекает из равенств

[ \у\-аеиУ dy = П аж \t\a-\ Jr Iwcos ^

(i у)-ае *»dy=\ ^ ' ]> 0' JR [0' t< 0.

□

Из леммы 2,1 следует, что функции f из классов Lpw локально суммируемы и

" ' LЯ

Поэтому можно говорить об их преобразовании Фурье в пространстве умеренных распределений S

Пусть а > 0 $ G R. Производная Вейля-Надя порядка (а, в) фупкции f G Lpw определяется в Фурье-образах равенством

?f(«fi) (у) = ег \y\aTf(y). (2.9)

Легко проверить, что при а G N будет f(a>a"> = f(a\ f(a'a-1) = f(а\где f — тригопометриче-

а > 0

а

Покажем, что равенство (2.9) имеет смысл в пространстве S'. В безвесовом случае это сделано в [19]. Запишем

pi^ signal, \а

j fsign,\у\а = (1+ уу б 2 \У\

(1+ у2)?

При достаточно больших 0 множитель —(1+есть преобразование Фурье функции из V*. В этом легко убедиться с помощью интегрирования по частям и леммы 2.2. Поэтому он определяет оператор свертки из Ьр,т в Ьр,т. Умножение на бесконечно гладкую функцию медленного роста (1+ у2)13 — непрерывная операция в 5', Поэтому равенство (2.9) определяет линейный непрерывный оператор из Ьр,т в 5',

Символами шР"^ обозначаются классы Вейля-Надя, то есть множества функций f из Ьр<т таких что f(a,в) € Ьр,и). В периодическом случае при их определении нет нужды прибегать к распределениям, поскольку равенство (2.9) можно понимать как равенство коэффициентов Фурье. При в — а получаются соболевские классы

V) --V

Множество с нормой

\\ + || ¡{а,в)\\р^

— банахово пространство. Это доказывается стандартно, как и для соболевскпх пространств.

2.3. Неравенства между сверточными операторами. Опишем схему применения лемм 2.1 и 2.2. Пусть операторы и и V со значениями в пространстве Ьр,т задаются в терминах преобразований Фурье как мультипликаторы:

Ти/(у) - и(у)Т/(у), ^¡(у) - у(у)Т/(у). (2.10)

Требуется оценить \\иf \\р,т через IV¡\\р,т- Если функция

>р — и или >р — и — 1 (2.11)

есть преобразование Фурье функции К Е V*, то

и/ = V/ * К ми и/ = V/ + V/ * К

и верна оценка

\\-Uf |и ^ Вр[ад]\\К*\hWVf \\Ргт (2.12)

или

\\-Uf \\Ргт ^ (1 + Вр[ад]\\К*\\1)\\У/\\р,т ^ ВР[Ш](1 + \\К*\\1)\\У/\\Ргт (2.13)

соответственно. Во втором случае мы для краткости и единообразия увеличиваем слагаемое 1 до Вр [ад], Убедиться, что К * Е ^(М), и проследить, как норма *\\1 зависит от параметров, можно с помощью леммы 2.2 (нормировка в лемме 2.2 отличается множителем 27т). Утверждения 1 и 3 леммы 2,2 имеет смысл применять при малых ¿, а утверждение 2 — при больших ¿.

Поясним подробно, как комбинируются неравенства для сверток. Пусть

и/ = V! + V/ * Къ V/ = + * К2. (2.14)

Тогда

\\lJf\\р,т ^ (1 + Вр[ш]\\к;\\1)\\V/\\Ргт, (2.15)

\\У!\\Р,т ^ (1 + ВрН\\к*2\\1)\\ш!\и. (2.16)

Буквальная подстановка (2.16) в (2.15) дает

\\-Uf\\Ргт ^ (1 + Вр[ш]\\КЦ\1 )(1 + Вр[ад]\\К*\\1^|\и. (2-17)

Однако если вместо этого скомбинировать еверточные представления (2.14), получим

и/ = Wf + * (Кг + К2 + кх * К2), \\и/\\р^ ^ (1 + Вр[ад]\\(К1 + К2 + К2 * Кх)* \ \ \\р^

^ (1 + Вр[ад]( \\ К* \\ 1 + \\ К2* \\ 1 + \ \ (К2 * К1)* \\ 1)) || Wf \\р,ш.

Поскольку свертка симметрично убывающих функций симметрично убывает, функция К* * К* будет горбатой мажорантой для К2 * К1. Отсюда

\ \ и/\\ ^ ^ (1 + Вр[ад](\\ К** \\ 1 + \ \ К* \\ 1 + \ \ К** \\ 1 \\ К** \\ \\Ргт. (2.18)

Константа в неравенстве (2.18), вообще говоря, меньше чем в (2.17) за счет того, что Вр[ад] не возводится в квадрат. В безвесовом случае, когда Вр[ад] = 1, это различие исчезает.

Аналогично, неравенства (2.12) комбинируются друг с другом и с (2.13) без возведения Вр[ад] в квадрат.

3. Отклонения средних Стеклова как модули непрерывности

3.1. Модификации модулей непрерывности. Пространства вообще говоря, не замкнуты относительно сдвига: из включения f Е Ьр,т те следует, что /(• + ¿) € Ьр,т. Поэтому классическое определение модуля непрерывности может не иметь смысла в весовых пространствах. Вместо модулей непрерывности в литературе использовались величины,

построенные с помощью усреднении:

■Н

П21)(р= йир

П22(Мр^ = 8пр ||(/ -Би)У

\

(Ш — ^ ж7 — &)вЧв]/ \7=1 /

р,"1

и' ° I |р,1у

П13)(/,Ь)р,1 = вир

0<и<И

1 г ■ 1

и

!А70!^

0

р,чи

где АЦ / есть обычная разность вперед. Модуль П(1) использовался, например, в [2], [4]- [7], модуль П(2) — в [2], [7], [9], модуль П(3) — в [3], [8], В этих формулах а > 0 не обязательно целое.

Пусть р Е (1, Ьр,т = Ьр,т (Т), а Е N. В [2] доказана эквивалентность соответству-

ющему Х-функционалу (см. далее теорему 4,6) модуля П21\ в [3] — модуля П13) (а также в пространствах Ьр,ш па произвольном промежутке), в [7] — модуля ^22 и тем самым эквивалентность п22), ^ и п22 друг другу- На нецелые а этот результат распространен для П21М6] и сформулирован для П22 в [7] (см, комментарии в §5 настоящей работы). Константы в оценках зависят от а, р и [ад]р.

Как известно [20, глава 8], в безвесовом случае при всех г Е N Р Е [1, и / Е Ьр верны соотношения

вир II (/ - %)/||р X ||(/ — БИ)/||р х К)р,

0<и<И Р Р

вир 1 (I - Зги,и) Др х 11 (I - Б'И, ь)/Н х ш1(л h)р,

где — классические модули непрерывности, а константы зависят только от г. Подчеркнем, что для эквивалентности модулю непрерывности первого порядка нужна односторонняя функция Стеклова,

Далее мы определим семейство величин типа п!^ и П12) на основе отклонений средних Стеклова любого, а не только первого порядка и установим их свойства. Мы покажем, что если опустить переход к верхней грани, получится эквивалентная величина. Оценки верны при всех р Е [1, +то), а константы зависят от [ад]р и других параметров, но не от р. Модуль П23) в настоящей работе обсуждаться не будет.

При всех к Е Ни h > 0 в силу симметричного убывания ядер Стеклова

\ \ Б* / \ \ р,1 ^ Вр [ад] \\ ¡-\\р,1. (3.1)

В безвесовых пространствах Ьр нормы операторов Стеклова равны 1, что позволяет определить а-ю степень отклонений I — БИ и I — Б^ь (г Е Н) при любом а > 0, не

обязательно целом, равенствами

(/ — БИ)1 = ^2(—1)кС&к, (3.2)

к=0 <х

— ^ ь Г = £(—11)кс1БИкь. (3.3)

к

к=0

Оценка (3.1) позволяет принять равенство (3.2) за определение и в весовых пространствах Ьр,ш. Действительно, ряд в правой части абсолютно сходится по операторной норме,

откуда следует корректность определения и оценка

те

\\(1 — Я,Щ ^ 1 + £ 1Ска 1ВрН ^ 1 + (2™ — 1)ВрЩ. к=1

Здесь [а] — шт{п € Ъ : п ^ а}. Сходимость ряда операторов в (3,3) неочевидна. Поэтому мы воспользуемся другим способом и определим операторы ( I — ЯН)а и (I — Я, 2 )а в " " " Н, 2 терминах преобразований Фурье,

Запишем преобразования Фурье ядер Стеклова:

2 Ъч I елУ — 1

ТЯ^(у) — йу*^ 2 ТПу), ТЯн,2М — Т!(У).

Отсюда для функций f € Ьр имеем

( 2 Ъу 4 г 4 " 2

(I - ^ )7 — 1 + ! "К, Т к (у) —[1 - (

(I — -%Г/ — } + / * К, ТК (у) — (1 —(Ъ-Х) — 1, (3.4)

Г\ "

— 1. (3.5)

По лемме 2.2 будет К € V*. Поэтому равенства (3.4) и (3.5) определяют линейные непрерывные операторы в пространствах т.е.

\\(1 — ^н)а!\\р,ад, № — ^2)7\\р>т ^С(г,а)Вр[ш]\\П\р,ш. (3.6)

При этом определения (3.2) и (3.4) равносильны.

3.2. Свойства модифицированных модулей непрерывности. В следующей теореме собраны свойства степеней отклонений средних Стеклова, часть которых аналогична свойствам обычных модулей непрерывности. В безвесовом случае эти свойства следуют из принципа сравнения линейных операторов [20, глава 8].

Теорема 3.1. Пусть р € [1, +гс>), и> € Ар, / € Ьр^, г,т € N Ъ> 0 0 < 0 ^ а. Тогда \\^ — ЯНН)7\\р^ ^ С(г,т, а)Вр[ш]\\(1 — Б?)"/\\р>т, (3.7)

\ \ (1 — 2 П Ь ^ С (г, т, а)ВрН\\(I — ^ )7 \1 , (3.8)

| (I — ЯгХн )7 \\р>т < С (г, а, \)Вр[и,]\\(1 — ЯН )У , (3.9)

\\ (1 — Як\\р>* < С(г, а, А)врМ\\(I — ^2)7\\рт (3.10)

(в (3.9) и (3.10) константы ограничены по А на, любом отрезке);

1 4(1 — Ян)к1 \и ^ \\(7 — ЯН,2)2к/ \

Ур [^ \ 2

С (г, к)Вр[и;]"4 н<>\\р,™^\\\ н, 2 ¿\\р,-ш

^ С (Г, к)Вр М\\(/ — Ян )к1 \\ ^, к€ N.

Кроме того, если / € шр^^, то

К7 — Ягн )7\\Р,* ^ С (г ,0 )Вр [и,]Ъ23\\(/ — ЯН Г-3/(23,0)\\р,ад (3.12)

и, в частности, при 0 — а

(! — ЯН)7\\р,ш ^С(г,а)Вр[и]Ъ2а\\/(2",0)\\р,ад, (3.13)

а если / € Шрз2, то

\\р,» ^С(г)врМъ3и1—8:,§) ^(3)\р,ад (з-14)

и, в частности, при [ = а

НС — ^ 2П ^ (г>а)ВР[ь,Щ . (3.15)

Доказательство. Все соотношения теоремы доказываются одним и тем же способом, описанным в п. 2.3. Мы в каждом случае запишем функции и, V и < из представлений (2.10) и (2.11) и поясним, как применяется лемма 2.2. Напомним, что К = Т-1<.

Сразу заметим, что константы не зависят от Н, поскольку при различных Н неравенства получаются друг из друга масштабированием. Поэтому можно считать, что Н =1.

1. Неравенство (3.7). Имеем

и(у)=(1 — (^1п ) , ^(у)=(1 — () ,

< = ^ — 1. Если г > 1 и т > 1, то функция < суммируема вместе со всеми производными. Если т > г = 1 или г > т = 1, то

<р(у) = ±а 2йт| + ф1(у), У 2

где функция <1 суммируема вместе со всеми производными.

2. Неравенство (3.8). Имеем

*>= 0 — (^ )•)' . = (! — .

< = ^ — 1. Если г > 1 и т > 1, то функция < суммируема вместе со всеми производными.

т > = 1 > т = 1

е— 1

<(У) = ±а-:- + <1(У),

где функция <1 суммируема вместе со всеми производными.

3. Неравенство (3.9). Имеем

и(у) = {1 — (^)) ' ^)=(1 — (^2) ) '

< = ^ — 1. Ввиду неравенства (3.7) достаточно доказать (3.9) при каком-нибудь одном значении г, например, при г = 2. Тогда функция < суммируема вместе со всеми производными, причем ^-нормы производных непрерывно зависят от Л.

4. Неравенство (3.10). Имеем

(1—(^-УГ (1—(^)У-

< = ^ — 1. Ввиду неравенства (3.8) достаточно доказать (3.10) при каком-нибудь одном значении г, например, при г = 2. Тогда функция < суммируема вместе со всеми производными, причем ^-нормы производных непрерывно зависят от Л.

5. Неравенство (3.11). Ввиду неравенств (3.7) и (3.8) достаточно доказать (3.11) при г = 2. Имеем

(1—(^)Т (1—(2-1)У.

Функции ^ — 1 и ^ — 1, взятые в качестве < суммируемы вместе со всеми производными.

6. Неравенство (3,12), Имеем

-о \ г\ Р

2^У \\ „.Л.Ч 1.12Й . и

и(у)={\ — (281п 2) ') , <У) = \у\2", < V

Ясно, что достаточно рассмотреть 3 Е (0,1/2). Функция р представляется в виде (2,8) и имеет суммируемые производные. По утверждениям 2 и 3 леммы 2,2 будет К * Е Li(R), 7, Неравенство (3,14), Имеем

<У)=(1 -(, "(у) = (гуГ, (р = 1.

Ясно, что достаточно рассмотреть 3 Е (0,1^, Функция р представляется в виде (2,7) и имеет суммируемые производные. По утверждениям 2 и 3 леммы 2,2 будет К * Е L^R), □

Следствие 3.1. В условиях теоремы, 3.1

sup ||(/ -s:)af \l ^С(r,a)Bp[w]\\(I -Srh)af \\ ,

0<u<h ' '

sup W (I - S:,f)7WPш ^ С(r, a)Bp[w]\\(I - Sh 07 0<:<h 2 '' '2

h ' ■' "p,w

Сделаем несколько замечаний к теореме 3,1,

1, Из разложения

1-8% = (I + ... + 8™-1)(1 -Б,) и симметричного убывания ядер Стеклова следует оценка

Ш - 8%)/\\р,„ ^ (1 + (т - 1)Вр[ш])\\(I - 8Н)!\\р,„.

2, Подчеркнем, что не только оценка (3,11), но и оценки (3,7)-(3,10) двусторонние, поскольку противоположные неравенства получаются переменой ролей параметров,

3, Рассмотренные модули непрерывности эквивалентны:

|(/ -Sh)af\L ^ f,h)P,w < ВДf, h)p,w ^ С(a)Bp[w]\\(I -Sh)af .

^2а( I, ^)р,ш ^ а (

Здесь первые два неравенства очевидны, а третье верно по следствию 3,1 и теореме 3,1,

4. Прямые и обратные теоремы

4.1. Прямые теоремы. Для доказательства прямых теорем в качестве приближающего оператора можно использовать средние типа Балле Пуссена, которые определяются следующим образом.

Возьмем функцию г/: К ^ К со свойствами: г] бесконечно дифференцируема, четна, г](у) = 1 при 1у1 ^ 2, г](у) = 0 при 1у1 ^ 1. Для / е Ьр,т положим = / * (Т-1(г](-))), Ясно, что е и потому

( I )р,ы ^-/г ( У )р,'и>.

Теорема 4.1. Пусть ре [1, и> е Ар, / е Ьр^, г е N а,гу,о > 0. Тогда

Л-( /)р,ы ^ С(г,а,<у)Вр[1и]А-(( 1-8^У А , (4.1)

V V а / / р,т

Л-( /)р,ы ^ С(г,а,<у)Вр[ш]А,((1-8к *Аа А . (4.2)

V V ' 2ст / / р,т

В неравенствах (4.1) и (4.2) Аа можно заменить на Аа-0.

Доказательство. Положим и(у) = 1 - г] (-

^=(1 - е - юот ■ -(т)' )'■

Ввиду неравенств (3.7) и (3.8) достаточно доказать теорему при каком-нибудь одном значении г, например, при г = 2. Тогда функции <pj = ^ - 1 суммируемы вместе со всеми

производными. По лемме 2.2 будет Kj = е К*, причем нор мы НК*^ не зависят

от а. Применяя следствие 2,1, получаем перавенетва для Аа- Неравенства для Аа-0 получаются предельным переходом, □

Следствие 4.1. Пусть р Е [1, ад € Ар, <у,а > 0 0 < [ ^ а. Если £ ЕШг

Л, ( /и ^ С(г,а,[, 7)Вр[т] а¿(Ь — в^у- ,

а V а / р.т

(2/3,0)

то

[ = а

Аа( ^ С(а)Вр[ад]—(/(2а,0))

' Р,1и '

а если / Е то

А( ^ С(г, а, [, 7)Вр[т]а^А^^ — Б^,^ ^ /(/3))

р,'ш

[ = а

Аа( ¡)р,ш ^ С(а)Вр[ад]—(/(а))

а"

' р,т

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

В неравенствах (4.3)-(4.6) жо^но зшиенмть но Лст-0.

Для доказательства надо сопоставить теорему 4.1 с неравенствами (3,12)-(3,15), Следующая лемма говорит, что если не обращать внимания на константы, то неравенства типа Бернштейна и Рисса — простые следствия оценки сверток. Отметим, что неравенство Бернштейна верно для более широкого класса весов (см. [21]).

Лемма 4.1. Пусть р Е [1, ад Е Ар, а,^,а > 0 в Е Ш, Т Е Еа П Ьр^. Тогда,

Нт(а,в) Нр,ад ^С (а, в)Вр[ш]аа\\Т\\р,т, (4.7)

НТ (2",0) ||рШ ^ С (г, а, 7)Вр[ад]а2" (7 — )"т , (4.8)

|Т(а) Нр,ад ^ С (г а 7)Вр[ад]а" || (/ — Щ, ^ )"т | . (4.9)

р,'ш

Доказательство. Докажем неравенство (4.7). Положим д1(у) = ег\у\а при у Е [—1,1]. Продолжим функцию на Ш до преобразования Фурье функции ^ из V*. По лемме 2.2 такое продолжение существует. Тогда

Т(а,в)(х) = а" [ Т(х — Ь)аК1 (аЬ) М,

¿Ш

откуда по лемме 2.1 следует (4.7) с константой \\К*\1.

Неравенства (4.8) и (4.9) доказываются аналогично, с помощью функций

92(У) = \у\

2а

(

2а . 1Щ 1--вт

2 а

)

9з(у) = (^ У)а( 1 —

1 — ег2а - м

V ^ )

□

Следствие 4.2. Пусть р Е [1, ад Е Ар, а,^,а > 0 Т Е Еа П Ьр,т.

Тогда

? ух а

I - в -ух ) Т

I — в ух ух

р,и>

Т

^ С(Т,а)Вр[ад](7^)2а\\Т\\ ^ С (г ,а)Вр[ад](7 п)а\\Т \\

р,т ■>

р,'ш

р,т ■

(4.10)

(4.11)

Доказательство. Неравенство (4.10) следует из (3.13) и (4.7) при 9 = 0, & неравенство (4.11) — из (3.15) и (4.7) при в = а. □

а

а ' 2а

Прямая теорема 4,1 вместе с леммой 4,1 позволяет уточнить поведение констант в оценках (3,9) и (3,10): порядок роста констант по Л такой же, как и в классическом случае.

Теорема 4.2. Пусть р е [1, ы е Ар, / е Ьр,ш, г е N а,Л,к > 0. Тогда

(I - 8хн)а1 ||р,ш ^ С (Г ,а)ВрН(1 + Л2а)\\(1 - 8Н )а!

\р,1и '

^ - 8км)7 ^ С(г, о)Вр[т](1 + Л°)|| (I - X 07

\р,1и

(4.12)

(4.13)

Доказательство. Докажем (4.12). Положим о = В силу (4.1), (3.13) и (4.8) (при ^ = 1)

имеем

I (I - БЫ/||р,ш ^ || (I - 8гхн)а(1 - V-)/1|_ + ||(/ - Я^ГУ-/1

\р,т

р,т 2 а|

^ С (г ,а)ВрНЦ(1 - 8Н )а/1| ^ + С (г ,а)Вр[ш]Л2°Ц(1 - 8Н )а/

\р,1и

Неравенство (4.13) доказывается аналогично, с помощью (4.2), (3.15) и (4.9). Отсюда мы можем уточнить информацию о константах в теореме 4.1.

□

Следствие 4.3. Константы в неравенствах (4.1) и (4.2) удовлетворяют, соответственно, оценкам

С (г, а^ С (г,а)(1+ >у-2а), С (г ,а, ч) ^ С (г,а)(1 + ^-а).

Г.И. Натансон и М.Ф. Тиман [22] уточнили неравенство Джексона в пространствах Ьр(Т):

\

П-1 / ]\

l[Ej (/)р ^ С(а)ша1 /,-)

j=o ^ '

а е N.

Мы запишем аналогичное уточнение в интегральном виде.

Следствие 4.4. Пусть р е [1, ы е Ар, f е Ьр,т, г е N а, к > 0. Тогда,

1пАи(Лр,^и?! ^ С(г,а)(1 + Г2а)ВрН |(¡-Б^У/ 1 1п Аиа)р,ы (и^ ^ С(г,а)(1 + 1-а)Вр[т] || (7 - ,^ /

р,т

(4.14)

(4.15)

Доказательство. Докажем (4.14). Заменяя в (4.1) о на и, а 7 на ^ находим

1 -

- 1пАи(/)р,ш (и 0 3 о

^ 1п |с(г,а) +

^ [ 1п (1 + (^)-2а) а + 1п|с(г,а)Вр[ы] (/

(? Г)

Вр[ы]АА[ 1-Як f

О I

и

р,'ш

Имеем

/ 1п(1 + (^)-2а) а ^ 1п((1 + 7-2а)Г2а) а = 2а + 1п(1+7-2а) . ио ¿0

Потенцируя, получаем требуемое. Неравенство (4.15) доказывается аналогично.

□

р

1

1

4.2. Обратные теоремы. Как обычно, из неравенств типа Бернштейна и Рисса выводятся обратные теоремы.

Теорема 4.3. Пусть р Е [1, ад € Ар, / Е Ьр^, г Е N а, а > 0. Тогда

(1-81) ^С(г,а)В>]-^ Г МЛР,™ ¿и2а,

\ ° / р.т -2а J0

1 ла

(

1-81 А ^С(г,а)Вр[Ш]— Аи(ЛР,-^и0

2<т/ р.т -а а

Теорема 4.4. Пусть р Е [1, ад е Ар, / Е Ьр.ш, а, а > 0 6 Е Ем

Аи(¡)р,-ш <1иа <

Тогда f Е и

/ г+ж

II /^Ь ^ С(а, в)ВМ[1

(/(а,е))Р,-. ^ С (а, д)ВРн(ааАа (¡)р,ш + ^(/)р,ад Следствие 4.5. В условиях теоремы 4-4 при г Е N и 3 > 0 будет

^ С(г,а,3, в)Вр[ю]

р.т

X

(

I А'и(/)р,гш + I А-и (/)р.гш

О ■

(' -81.6)">

(а.в)

^ С(г,а,3, в)Вр[ю]

р.т

/ 1 Г<У Г+Ж

\-ё к Ли^)р^йиа+[3 + У МЛр,™ &и

Доказательства теорем 4,3 и 4,4 стандартны (см., например, [1]) и потому опускаются. При этом используются неравенства (3,6) и (4.7)-(4.11). Абстрактная схема доказательства обратных теорем имеется в [23],

В периодическом случае интегралы в правых частях неравенств превращаются в суммы. Например, при а Е N будет

1 Га 1 а-1

Ааи)р,^и2а = ((к + 1)2а -к2а)Ак(Л^. а - к=0

Использование интегралов удобно для единообразной формулировки обратных теорем в периодическом и непериодическом случае (см, [23]),

Как известно, при р Е (1, прямые и обратные теоремы допускают уточнение [4], Однако к этим уточнениям мы не добавим ничего нового, поскольку в них зависимость констант от р вызвана уже не методом доказательства, а самим видом неравенства.

Обозначим через / функцию, тригонометрически сопряженную с f (преобразование Гильберта /), Если р Е [1, f Е Ьр.,т то f можно определить как главное значение

интеграла

/(,) = ! / Ш-Л.

к.Е,-Ь

0

а

0

Тогда f (x) существует и конечно при почти всех х. При р Е (1, + го) будет f Е Lp,w и, более того, оператор тригонометрического сопряжения непрерывен в Lp,w [24] (см, также

? !(У) = HsiS f(y)-

Доказательство следующей теоремы 4,5 основано на известной идее перехода к первообразной (см, [1, п. 5,9]),

Теорема 4.5. Пусть р Е [1, w Е Ар, f Е Lp,w и

ГdU

М f)p,w — < (4.16)

Ji у

Тогда при любом а > 0 будет (I — V*) f Е Lp,w и

~ / Сdu \

А*((I — V*)/)^w ^ CBp[ww]yA*(f)p,w + J Au(f)p,w—) .

Доказательство. Функция у м- -щ (1 — г] (*;)) есть преобразование Фурье некоторой функции К Е V,*. Положим F = f * К. Тогда F Е Lp,w и F(1,0) = (I — V*)f Е LPtw, откуда F Е Wpw ■ По неравенству (4.4)

Au(F)ptw ^ ^Mf — V*f)p,w. (4.17)

Отметим, что Au(f — V*f)p,w = Au(f)p>w при и ^ а. По условию (4.16) будет

/ AU(F)p,w du < 0

По теореме 4.4 (при а = В = 1) имеем F Е Wp^, откуда —F' = (I — V*) f Е Lp,w. По той же теореме

Л*((/ — V*) f)pw = A*(F')pw < CBp[w](aAa(F)р^ + £+ AU(F)р^ du^J .

Остается применить неравенство (4.17) (как объяснялось в п. 2.3, при комбинировании неравенств Bp[w] не возводится в квадрат). □

Включение (I — V*) f Е Lp,w содержательно лишь при р = 1. Однако в формулировке и доказательстве теоремы 4.5 не использовалось существование f в том или ином смысле. Оператор f м (I — V*)/, понимаемый как единый оператор, корректно определен и непрерывен из Lp,w в S'. В Фурье-образах это умножение на (—i sigпу) (1 — rq (*:))■

В периодическом случае, если f Е Lp,w (T), то ряд Фурье функции (I—V*) f и трпгономет-

а < 1

упрощаетея: f Е Lp,w (T), В непериодическом случае при р = 1 этого заключить нельзя. Пример

i*1 1 _ cos х

f(x) = (1 — t)cosxtdt =---,

Jo x2

~ Г1 _ '

/ \ I / - \ 7 x sm x

j(x)= (1 — t)smxtdt =

i o x2

показывает, что условие (4.16) не обеспечивает включения $ Е Ь^ (К) даже в безвесовом случае и что вычесть из f целую функцию нулевого типа (в частности, постоянную) недостаточно для включения.

4.3. К и Д-функционалы и модули непрерывности. Установим эквивалентность К и Д-функцпоналов модифицированным модулям непрерывности. Результаты такого типа в безвесовом случае можно найти, например, в [25], а для весовых пространств — в [6], Определим семейство К и Д-функцноналов равенствами

Ка,е (f,h)p,w = inf {\\f-g\\p,w + Г || g(a,t

„CW( a>в) У

в) L" 11 " ,,p,w

Ra,e (f, h)p,w = inf r U\f- g\\p,w + he|| </(e>e)||pJ .

Теорема 4.6. Пусть р Е [1, ад € f Е ЬР:Ш, г Е N а, к > 0. Тогда

На - ^)у||рш X К2а,с(/,к)р,ад X Д2а,с(, (4.18)

Ш.1 - ^|)7||р,ш х Ка>а(¡, к)р^ х Ка>а(¡, К)р^. (4.19)

Константы в оценках имеют вид С(г,а)Вр[щ\.

Доказательство. Докажем (4.18). Неравенство К ^ Д тривиально. Докажем, что

Я2а,о(МР,т ^ С(г,а)В>]||(/ )а!||р,ш.

Возьмем а = 1 и запишем

п

R2a,0(f,h)p,w ^ \\ f-Vaf\\p/w + h2a H(Vaf)(2a'0)l

\p,w

^C(r,a)Bp[w]ll(I -Sh)af ||р>ш + C(r,a)Bp[w]ll(I - Sh)aVaf ||p>w.

Мы оценили первое слагаемое по неравенству (4.1), а второе — по неравенству (4.8). Остается воспользоваться ограниченностью семейства {Va}:

||(/ - Shrvaf HptW = |V(/ - Sh)af ||p>w ^ CBp[w]H(i - shГ7||p>w. Докажем, что

||(7 -Sh Tf HP,W < C (r ,a)Bp[w]K2a,0( f,h)p,w. Для любой функции g E по неравенствам (3.6) и (3.13) имеем

К1 - ShTfHPtW ^ ||(/ - Sh)a(f - g)HPiW + ||(/ - Sh)agHptW

^ C(r, a)Bp[w] \\ f - g\\PtW + C(r, «)Bp[w]h2»|g(2a'0) ||p>w.

Соотношение (4.19) доказывается аналогично. □

5. Заключительные замечания

В [7], [9], [26], [27] использовалась серия близких утверждений, названных результатами о переносе (transference results). Отметим, что статья [27] посвящена приближению в пространствах Lp,w (R) и затрагивает случай р =1. Сформулируем одно из таких утверждений [9, теорема 3.6] применительно к пространству Lp,w(T), Пусть р E [1, w E Ар. Для f E Lp,w (T) и простой функции G положим

г-ж

Ffta(u) = I f(u + x)|G(x)|dx.

Если f,g E Lp,w (T) и неравенство

sup lFf,G(u)l ^ Ci sup lFg,G(u)l (5.1)

— Ж

выполняется с некоторой абсолютной константой С\ для всех простых функций С, то неравенство

\\И\р,Ы < С2\\д\\Р,'ш тоже выполняется с некоторой константой С2, зависящей от р и №.

Это утверждение неверно. Действительно, зафиксируем т Е К и положим д(Ь) = ¡(Ь+т). Тогда, очевидно, неравенство (5.1) обращается в равенство при С\ = 1, а отношение \\/\\р,ад к \\(у'\р,ад может быть сколь угодно большим, если пространство Ьр,т не замкнуто относительно сдвига. Поэтому утверждения, доказывавшиеся с помощью этого приема, требуют иного доказательства. Те из них, которые касаются пространств Лебега с весами Макен-хаупта, доказаны в настоящей работе.

В заключение отметим, что методы данной работы могут быть применены к доказательству прямых и обратных теорем в более общих функциональных пространствах. Если удается установить оценки сверток типа (2.1), результаты §3 и §4 получаются автоматически. Для наглядности мы ограничились пространствами Лебега с весами Макенхаупта,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.Ф. Тиман. Теория приближения функций действительного переменного. М.: ГИФМЛ. 1960.

2. Э.А. Гаджиева. Исследование свойств функций с квазимонотонными коэффициентами Фурье в обобщенных весовых пространствах Никольского-Бесова. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Баку, 1986.

3. N.X. Kv. Moduli of mean smoothness and approximation with Ap-weights // Annales Univ. Sci. Budapest. 40, 7-48 (1997).

4. R. Akgiin. Sharp Jackson and converse theorems of trigonometric approximation in weighted Lebesgue spaces // Proc. A. Razmadze Math. Inst. 152, 1-18 (2010).

5. R. Akgiin. Polynomial approximation in weighted Lebesgue spaces // East J. on Appr. 17:3, 253266 (2011).

6. R. Akgiin. Realization and characterization of modulus of smoothness in weighted Lebesgue spaces // Алгебра и анализ. 26:5, 64-87 (2014).

7. R. Akgiin. Gadjieva's conjecture, K-functionals, and some applications in weighted Lebesgue spaces 11 Turk. J. Math. 42:3, 1484-1503 (2018).

8. Y.E. Yildirir, D.M. Israfilov. Approximation theorems in weighted Lorentz spaces // Carpat. J. Math. 26:1, 108-119 (2010).

9. R. Akgiin. Jackson type inequalities for differentiable functions in weighted Orlicz spaces // Алгебра и анализ. 34:1, 1-34 (2022).

10. M. Rosenblum. Summability of Fourier series in Lp(dp) // Trans. Amer. Math. Soc. 105:1, 32-42 (1962).

11. B. Muckenhoupt. Two weight function norm inequalities for the Poisson integral // Trans. Amer. Math. Soc. 210, 225-231 (1975).

12. А.Д. Нахман, Б.П. Осиленкер. Оценки весовых норм, некоторых операторов, порожденных кратным,и тригонометрическими рядами Фурье // Изв. вузов. Матем. 4, 39-50 (1982).

13. А.Д. Нахман. Теоремы типа Розен,блюм,а, - Макенхоупта для кратных рядов Фурье вектор-нозначных функций // Изв. вузов. Матем. 4, 25-31 (1984).

14. А.Д. Нахман. Элементарные оценки, весовых норм, операторов свертки // Изв. вузов. Матем. 10, 76-79 (1989).

15. A.D. Nakhman. Weighted norm inequalities for the convolution operators // Вестник Тамбовского гос. тех. ун-та. 15:3, 653-660 (2009).

16. Е.М. Дынькин, Б.П. Осиленкер. Весовые оценки, сингулярных интегралов и, их приложения II Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. 21. М.: ВИНИТИ, 42-129 (1983).

17. Е.М. Stein. Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality and oscillatory integrals. Princeton: Princeton Univ. Press. 1993.

18. S.M. Buckley. Estimates for operator norm,s on weighted spaces and reverse Jensen inequalities // Trans. Amer. Math. Soc. 340:1, 253-272 (1993).

19. G. Wilmes. On Riesz-type inequalities and К-junctionals related to Riesz potentials in RN // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1:1, 57-77 (1979).

20. R.M. Trigub, E.S. Belinskv. Fourier analysis and approximation of functions. Boston - Dordrecht -London: Kluwer Academic Publishers. 2004.

21. D.S. Lubinskv. Weighted Markov - Bernstein inequalities for entire functions of exponential type // Publ. de l'institut Mathématique. Nouvelle série. 96 (110), 181-192 (2014).

22. Г.И. Натансон, М.Ф. Тиман. Средние геометрические последовательности наилучших приближений // Вестник Ленннгр. ун-та. Сер. мат., мех., астр. 19, 50-52 (1979).

23. О.Л. Виноградов. О константах в абстрактных обратных теоремах теории приближений II Алгебра и анализ. 34:4, 22-46 (2022).

24. R. Hunt, В. Muckenhoupt, R. Wheeden. Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform // Trans. Amer. Math. Soc. 176, 227-251 (1973).

25. Z. Ditzian, V.H. Hristov, K.G. Ivanov. Moduli of smoothness and К-junctionals in Lp, 0 < p < 1 // Constr. Approx. 11:1, 67-83 (1995).

26. R. Akgiin. Direct theorems of trigonometric approximation for variable exponent Lebesgue spaces // Rev. de la Union Mat. Arg. 60:1, 121-135 (2019).

27. R. Akgiin. Exponential approximation of functions in Lebesgue spaces with Muckenhoupt weight / / Пробл. анал. - Issues Anal. 12(30):1, 3-24 (2023).

Олег Леонидович Виноградов,

Санкт-Петербургский государственный университет, Университетская наб., 7/9, 199034, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]