ПРЯМОЙ РАСЧЕТ ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩИХ ФИЛЬТРОВ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов

УДК 621.372.54 Оригинальная статья

https://doi.org/10.32603/1993-8985-2022-25-6-6-21

Прямой расчет полосно-пропускающих фильтров

Е. Н. Червинскийн

АО «НПП "Пирамида"», Санкт-Петербург, Россия

н enchervinsky@mail.ru

Аннотация

Введение. При расчете полосно-пропускающих фильтров (НПФ) элементы цепи могут быть определены преобразованием параметров фильтра нижних частот (ФНЧ), являющегося прототипом синтезируемого фильтра. В ряде случаев синтезируемый ППФ не имеет прямого прототипа в низкочастотном диапазоне. К таким фильтрам можно отнести, например, ППФ с узлами, привязанными по постоянному току к нулевому потенциалу, и некоторые другие типы фильтров. Фильтры могут рассчитываться непосредственно приравниванием коэффициентов передаточной функции (ПФ) синтезируемого фильтра и преобразованной ПФ ФНЧ и решением полученной системы уравнений.

Цель работы. Разработка методики непосредственного расчета ППФ с полюсами затухания. Материалы и методы. Простейшая схема ППФ с полюсами затухания может быть образована двумя последовательно соединенными Г-образными полузвеньями на параллельных контурах. Такой фильтр реализуется лишь при определенных требованиях к характеристикам затухания. При переходе к схемам ППФ с дополнительным параллельным контуром в поперечной ветви и последовательным контуром в продольной ветви указанные ограничения снимаются. В статье разработана методика расчета инверсных и квазиэллиптических ППФ П-образного и Т-образного типа, не имеющих ограничений при выборе минимального затухания и неравномерности амплитудно-частотной характеристики (АЧХ).

Результаты. Приведены аналитические выражения ПФ ППФ 6-го и 10-го порядков. Получены соотношения, позволяющие уменьшить число уравнений системы для определения параметров фильтра. Для П- и Т-образных ППФ 6-го порядка получены выражения индуктивностей контуров через центральную частоту и емкости фильтров, что позволило выразить через емкости ПФ и дополнительно сократить количество уравнений системы. Приведены примеры прямого расчета ППФ 6-го и 10-го порядков.

Заключение. При преобразовании ПФ ФНЧ частоты реализуемой АЧХ, лежащие по обе стороны от центральной частоты ППФ, связаны известными соотношениями. Учет этого обстоятельства позволяет исключить из рассмотрения уравнения системы, приравнивающие коэффициенты числителей передаточных функций, и уменьшить общее число уравнений. Параметры, число которых превышает число уравнений системы, выбираются произвольно из ряда стандартных значений, что значительно повышает точность воспроизведения реализуемой АЧХ.

Ключевые слова: передаточная функция, преобразование частоты, полосно-пропускающий фильтр, инверсный фильтр, квазиэллиптический фильтр

Для цитирования: Червинский Е. Н. Прямой расчет полосно-пропускающих фильтров // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2022. Т. 25, № 6. С. 6-21. doi: 10.32603/1993-8985-2022-25-6-6-21

Конфликт интересов. Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Статья поступила в редакцию 15.06.2022; принята к публикации после рецензирования 05.11.2022; опубликована онлайн 29.12.2022

© Червинский Е. Н., 2022

6

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2022. Т. 25, № 6. С. 6-21 Journal of the Russian Universities. Radioelectronics. 2022, vol. 25, no. 6, pp. 6-21

Radio Electronic Facilities for Signal Transmission, Reception and Processing

Original article

Direct Calculation of Band-Pass Filters

Evgeniy N. Chervinskiy

JSC SPE "Piramida", Saint Petersburg, Russia Henchervinsky@mail.ru

Abstract

Introduction. When calculating band-pass filters (BPF), the circuit elements can be determined by converting the parameters of prototype low-pass filters (LPF). In a number of cases, the synthesized BPF does not have a direct prototype in the low-frequency range. Such filters include, e.g., BPFs with nodes tied to zero potential and other types of filters. Filters can be calculated directly by equating the coefficients of the synthesized filter transfer function (TF) and the realized TF obtained from the low-pass filter TF by the frequency conversion followed by solving the corresponding system of equations.

Aim. To develop a methodology for direct calculation of band-pass filters with attenuation poles. Materials and methods. The simplest scheme of BPF with attenuation poles can be formed by two sequentially connected T-shaped half-links on parallel circuits. Such a filter is realized only at certain requirements upon attenuation characteristics. When switching to BPF schemes with an additional parallel circuit in the transverse branch and a sequential circuit in the longitudinal branch, these restrictions are removed. In this paper, we develop a method for calculating inverse and quasi-elliptical BPF of n-shaped and T-shaped type, which have no restrictions when selecting the minimum attenuation and unevenness of the amplitude-frequency response (AFR).

Results. The TF analytical expressions of the 6th and 10th order BPF were derived. Relations were obtained that allow the number of equations of the system for determining the filter parameters to be reduced. For n- and T-shaped 6th order BPFs, representations of circuit inductances through the central frequency and filter capacitances were obtained. This made it possible to express transfer functions through capacitances, at the same time as reducing the number of equations of the system. Examples of direct calculation of the 6th and 10th order PPFs were given. Conclusion. When converting TF of LPF, the frequencies of the realized AFR at both sides of the central BPF frequency are connected by certain relations. This fact makes it possible to eliminate the equations of the system that equate the coefficients of transfer function numerators, thereby reducing the total number of equations. Parameters, whose number exceeds that of the equations of the system, are selected arbitrarily from a number of standardized values. As a result, the accuracy of reproducing the realized frequency response is significantly improved.

Keywords: transfer function, frequency conversion, band-pass filter, inverse filter, quasi-elliptic filter

For citation: Chervinskiy E. N. Direct Calculation of Band-Pass Filters. Journal of the Russian Universities. Radio-electronics. 2022, vol. 25, no. 6, pp. 6-21. doi: 10.32603/1993-8985-2022-25-6-6-21

Conflict of interest. The author declares no conflicts of interest. Submitted 15.06.2022; accepted 05.11.2022; published online 29.12.2022

Введение. В [1] представлена методика расчета параметров полосно-пропускающих фильтров (ППФ) с полюсами затухания без предварительного расчета параметров инверсного и квазиэллиптического фильтров нижних частот (ФНЧ) - прототипов ППФ. Методика разработана на основе метода преобразования частоты [2-11]. В ряде случаев синтезируемый ППФ не имеет прямого прототипа в низкочастотном диапазоне. К таким фильтрам можно отнести, например, ППФ с узлами, привязан-

ными по постоянному току к нулевому потенциалу [12, 13], а также другие типы фильтров. Фильтры могут рассчитываться непосредственно приравниванием коэффициентов передаточной функции (ПФ) синтезируемого фильтра и реализуемой ПФ, полученной из ПФ ФНЧ преобразованием частоты, и решением полученной системы уравнений.

Цель настоящей статьи - разработка методики непосредственного расчета ППФ с полюсами затухания.

Методы расчета полосно-пропускающих фильтров. Рассмотрим ППФ четного порядка 2п П-образного типа с параллельными контурами (рис. 1) и Т-образного типа с последовательными контурами (рис. 2).

Фильтры имеют полюсы затухания в полосах задерживания. На схемах обозначены: ивх и ивых - комплексные амплитуды входного и выходного напряжений; г и Я - активные сопротивления; Ц, С;, I = 1, 2, ..., 2п _1 - индуктивности и емкости контуров; Ку - коэффициент усиления усилителя. Отношение Ц/вых /£/вх , записанное в виде отношения полиномов от нормированной переменной 5н = у юн = у ю/юо (ю -текущая угловая частота, ®0 - центральная частота фильтра), есть ПФ фильтра порядка 2п (2 )

Н (5н ), определяемого степенью полинома

знаменателя 2п. На частотах резонанса параллельных контуров в продольных ветвях П-образной схемы и последовательных контуров в поперечных ветвях Т-образной обеспечиваются полюсы затухания, при этом значения амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) ППФ равны нулю. Искомые параметры фильтров могут быть определены в результате решения системы уравнений, образованной приравниванием коэффициентов ПФ ППФ и реализуемой ПФ с требуемыми характеристиками при одинаковых степенях комплексной частоты 5н.

Запишем ПФ ФНЧ п-го порядка (п = 3, 5, .)

с частотой среза юс и р полюсами затухания в виде отношения произведения двучленов и мно-

гочлена степени n:

H

( n ) LP p

( ) =

К ( sH + a )( sH + a2 )•••

a( n-1)/2

n-1

sh + bn-1sH

где коэффициенты К, ai,

-b1SH a2,

(1)

a( n-1)/2,

Ъп_1, ..., ¿1, ¿0 - вещественные положительные числа. АЧХ ФНЧ обращается в ноль в точках юн 10 =44 = ю10 / юс.

Реализуемую ПФ ППФ порядка 2п с центральной частотой о>0 = юс и добротностью Я можно получить из ПФ ФНЧ с помощью преобразования переменной [6]

^ 6(4 +1/4), (2)

где = у - мнимая часть нормированной комплексной частоты частотной оси ППФ, (ю^ = ю/юо - угловая частота, нормированная

относительно центральной частоты ю0 ). Добротность Я - величина, равная отношению ®0 к полосе пропускания ППФ на уровне АЧХ 1Д/2.

Нормированной частоте юн соответствуют две нормированные частоты [7]:

<1,2 1 + ю^/(462) + юн/(26); юн > 0, связанные соотношениями

Vю н1ю н2 = 1; юн2 _ юн1 = юн/6.

0-

Uв-

0-

^-УУ"!»^^ ^ ^-ГЛ-'-у-у^ ^^.у-у-у^,^

Cf.

Co

R

Рис. 1. П-образная схема ППФ с параллельными контурами Fig. 1. П-shaped circuit of a bandpass filter with parallel circuits

Ку

|—0

Ub -0

вых h0

Рис. 2. Т-образная схема ППФ с последовательными контурами Fig. 2. Т-shaped circuit of a bandpass filter with serial circuits

г

L

L

5

9

Табл. 1. Реализуемые передаточные функции ППФ 6-го и 10-го порядков с полюсами затухания

Tab. 1. Realizable transfer functions of bandpass filters of the 6th and 10th orders with attenuation poles

On = 6

HBp) р ( sh . K = 6sh sh4 +[ 0 VQ )s0+l]/ +1 ( sH+sh )+f3+Qy j(4+sH к011 ■I )4+l]

On = l0

hbpp ( sh где ©l0 = = (K/Q) Sh {4 + sH0 +(bj Q )( sH Q + Obol Q [ 4 + ( ai + ^2 ) + Sh ) + (5 + b3 3 + kj Q5 ) sH Q 2](s6 Q2)(s8 +1 + s° ) + \ 6 + 2 ( ai + a2 )/Q 2 + HSh2 ) + ( AbJ Q + b^ Q3 )( SH7 aia2 Q 4 ] + sH )+(i0 S4 + l}/®!0 + 3b^ Q 2 + Q 4 )( sH + Sh4 ) +

Покажем возможность решения поставленной задачи на конкретных примерах. Применим преобразование (2) к ПФ ФНЧ (1) 3-го и 5-го порядков. Реализуемые ПФ ППФ 6-го порядка Я^р р (5н ) и 10-го порядка Я^р р (5н )

представлены в табл. 1 (штрихи в обозначениях переменной 5н опущены). Индекс "р" указывает на наличие полюсов затухания.

Расчет полосно-пропускающих фильтров шестого порядка. На рис. 3 приведена схема ППФ 6-го порядка, составленная из двух последовательно включенных Г-образных полузвеньев на параллельных контурах. ПФ фильтра ЯВр р (5н) представлена в табл. 2.

Для приведения ЯВр р (5н ) к виду Я^р р (5н )

Рис. 3. Схема ППФ 6-го порядка, составленная из двух Г-образных полузвеньев на параллельных контурах

Fig. 3. Sixth order bandpass filter circuit composed of two Г-shaped half-links based on parallel circuits

выразим ПФ ППФ через емкости Q-C4. Из

сравнения числителей формул ЯВр р (5н)

(табл. 2) и Я^ р (5н) (табл. 1) следует связь

между элементами контуров в продольных ветвях фильтра:

Табл. 2. ПФ ППФ 6-го порядка с двумя Г-образными полузвеньями на параллельных контурах Tab. 2. Transient function of a 6th order bandpass filter with two Г-shaped half-sections based on parallel circuits

On = 6 (рис. 3)

"BP p ( ) =f 4 + + LC Sh2 + 4, * !/( S6 + VH +1+ VH + VH + Vh + h ),

ю0 rvBP p ^ Ю0 L2C2L4C4 ®0 L2C2L4C4 )/

где vB6Pp = QC2 + С1Сз + С2Сз;

J _СС2 + (С + С2 )(Сз + С4 ) , С2 + Сз

5 ®0 RvBp рС4 юо rVBp p

i + LL (C + C2 )+ LL (Cl + Q )+L2L3 (C2 + Q ) + C2 + C3 + C4 4 ,2 in m2T T r A6) + „2 ~.,(6)

ro0 L4C4 ®0 LL2L3VBPp ro0 rRVBPpC4

[LL (L + L4 )(Ci + C2 )+ L1L3L4 (Cl + C3 + C4 )+ L2L3L4 (C2 + C3 + C4 )] r+Li \_LL3 (C2 + C3 ) + ( L + L3 ) L4C4 ] R

ю0 rRLiL2L3L4vV B6p) pC4

LL (Cl + Co)+ L1L3 (Cl + C3)+ LL (Co + C3)+(L + Lo + L3)L4C4 | L2L3 + L2L4 + L3L4

Jo " ,4 T T T T c,(6) ^ ' „А^т T T c,(6)

ю0 L1L2L3L4VBP pC4 ю0 rRL2L3L4VBP pC4

ю0 RL1L2L3L4VB6P pC4 ю0 rL2L3L4VB6p) pC4

J0=

( L + Lo )( L + L4 )+ L3L4 + Lo + L3 ) RL1L2L3L4V L + Lo + L3

®6 L1L2L3L4VB6p) pC4

3

1 (ю0 Z2C2L4C4 ) = 1.

Приравняем множители при 1/R, 1/r коэффициента Ij (см. табл. 2) соответствующим множителям коэффициента /5 и множитель при 1/rR коэффициента /2 соответствующему множителю коэффициента /4. Тогда система четырех уравнений относительно неизвестных Lj- L4 запишется следующим образом:

Подставив Lj-L4 в p (5н), найдем выражение ПФ ППФ через емкости Cj-C4 :

Нир рс (5н) (табл. 3). Выражение ПФ через

емкости подчеркивается нижним индексом "С". Приравняв коэффициенты при одинаковых

степенях переменной в ПФ H

(6)

BP pC

( *н )

«4 L2C2L4C4 = 1; ( L1 + L2 )( L3 + L0 )+ L3 L0 = L1L2 L3L0 = œ0° [C1C2 +( Ci + C2 )( C3 + Co )];

tVT3 = ®4 ( C2 + C3) C0;

l2 l3 L0 L2 L3 + L2 L0

L3 L0

L2 L3 L4

Решение системы имеет вид

= « (C2 + С3 + C0).

Li = -

( C2 + С3)2

2 «0

L =

L =

Ci(C2 + С3)2 + C2C3 (C2 + С3 -С0)

C2 + С3 ;

« C2C0 C2 + С3 ;

«0 C3C0 1

(3)

¿4 =-,

ю0 (С2 + С3 ) Из выражений для Ь2 и Ь3 (3) следует в частности, что резонансные частоты второго и третьего контуров одинаковы и равны одной из двух частот бесконечного затухания:

1 _ 1 ю0

4ЦС ~ 4ЦС; " ^ с2+С3 )/С4'

(табл. 3) и Н]Ир) р (5н) (табл. 1), получим систему пяти уравнений для определения семи неизвестных параметров фильтра - г, Сц, С2,

С3, С4, Kу, Я:

кус2

«0 rvBP p

к Q;

( C2 + C3 )2 + C02

( C2 + C3 ) C0

= 2-

Q2

2

T — z

751 = Q'

1 + ( C2 + C3 )2 + C02 (C2 + C3 ) C0 , C2 + C3 + C0

(4)

« rRV BP pC0

= 3-

Q2

733 =

QQ

3

При решении системы два параметра задаются произвольно.

Четвертое уравнение системы (4) с учетом второго уравнения преобразуется к виду

C 2 + C3 + Cq « rRV BP pCo

b1 - a1 Q2

Табл. 3. ПФ ППФ 6-го порядка с двумя Г-образными полузвеньями, выраженная через емкости фильтра Tab. 3. Transfer function of a 6th-order bandpass filter with two Г-shaped half-sections, termed via filter capacitances

2n = 6 (рис. 3)

H

(6)

BPpC

( ^ н ) =

KyC2

4 (C 2 + C3 )2 + C Q2 2 1 + (C2 + C3 ) Cq *н + ^

«0 rVBP p 4 + 751 (^ + ^ ) + 142 (4 + ^ ) + 73з4 + 1 '

где 7 = С1С2 + (С1 + С2 )(С3 + С4 ) + С 2 + С3 ; 7= 1 +(Ck±C3.£±C±. + C 2 + C3 + Cq ;

ю0 RvB6P pC4 ю0 ™ВР p (C2 + C3) C4 ю0 rfivBp pC4

33

2 , 2C1C4 + C2 , C2 (2C2C3 + C2CQ + 2C32 ) | (C2 + C3 )2 + C,

«0 RC0 «0 R*Bp pC4 Щ R (C2 + C3 )2 ^ p

«0 rvB6p pC4

0-

0-

Co

K

ha

U вых h0

Рис. 4. П-образная схема ППФ 6-го порядка с полюсами затухания Fig. 4. П-shaped circuit of a 6th order bandpass filter with attenuation poles

вых t-0

Рис. 5. Т-образная схема ППФ 6-го порядка с полюсами затухания Fig. 5. Т-shaped circuit of a 6th order bandpass filter with attenuation poles

Поскольку левая часть равенства всегда положительна, система уравнений совместна при условии Ьу - а1 > 0 или

Ь > ау. (5)

На рис. 4 и 5 приведены П-образная и Т-образная схемы ППФ 6-го порядка с дополнительными параллельным контуром в поперечной ветви и последовательным контуром в продольной ветви соответственно (элементы ¿5, С 5 ).

ПФ ППФ 6-го порядка с параллельными

™ яВррГ р (*н) и реализуемой Я^ р (*„). Во втором и третьем уравнениях сравниваются коэффициенты /рГ1 и /рГ5 при 5н и соответственно (табл. 4): во втором уравнении записаны условия равенства сомножителей при 1/ г, в третьем - то же для сомножителей при 1/Я. В четвертом уравнении приравниваются сомножители при 1/(гЯ) коэффициентов /рг2 при

и

H

Вр рг р (5н ) и последовательн^1ми ЯВ6р} 8Г р (5н ) контурами приведены в табл. 4. Примем в качестве неизвестных параметров Ьу, Ь, ¿3, ¿5. Система уравнений для П-образной схемы относительно неизвестных имеет вид

и /pr4 при -V

Решение системы имеет вид

ш4 L0C0L4C4 = 1;

LoL3 +(lo + L3 )(L4 + L5 )

L =(Co + C3 + Q )/ {»6 L4 C|C4 - Ц QQ (Co + C3 + Q ) + +ш0 [ CiCo +( Cl + Co )(C3 + Q )]};

L =-

l

Lo L3 L4 L5 = ш4 [( Co + C3 )( Q + C5 ) + Q C5 ] ; (Ll + L0 )(L3 + L4 ) + LL4 _

L3 =

Ш L4C0C4

L_

(6)

LlL L3 L4 = ш4 [ ClCo +( Cl + Co )(C3 + Q )] ; L0L + L0 L4 + L L4 _

{ш4 L4 x

Lo l3

= ш0 (C0 + C3 + C4)•

ш0 L4 (Co + C3 + C4 ) - œ° L°QQ -1 L5 =[ш0L2 (Co + C3 + Q)]/{c x[( Co + C3 )(Q + C5 ) + Q C5 ]--ш° La (Co + C3 + Q) +1}.

в знаменателе

В первом уравнении приравниваются свободные члены многочленов в скобках числителей ПФ

Свободный член /рГо

р рг р (5н ) при подстановке найденного решения тождественно равен единице при любом

H

г

L

R

5

Табл. 4. ПФ ППФ 6-го порядка с параллельными и последовательными контурами Tab. 4. Transfer functions of a 6th order bandpass filter with parallel and series circuits

2n = 6 (рис. 4)

H(6) ( „ )- K у C2C4 „ f „4 + L2C2 + L4C4 „2 + 1

H BP pr pl-M = (6) „н|„н + 9 тгт r Sh + 4 тГТГ

ю0 rvBP pr p l Ю0 L2C2L4C4 ю0 L2C2L4C4

где vB6P pr p = (C,C2 + CC3 + С2С3 ) (С + С5 ) + (С + С2 )С4С5 ;

„н + Ipr5„H +7pr4„H +Ipr3„H +Ipr2„H +Ipr1„H + 7pr0 ),

'pr5

(C2 + C3 ) (C4 + Ch )+ C4CH | C1C2 +(Ci + C2 )(Сз + C4 ) _

(6 )

ю0 rvBP pr p

ю0 Rv

,(6 )

0 ^VBP pr p

Pr4 2 (6)

ю0 vBP pr p

(C2 + C3 ) (C4 + Ch ) + C4C, (Ci + C3 ) (C4 + CH ) + C4C5 (Ci + C2 ) (C4 + CH )

L3

C1C2 +(Ci + C2 )(C3 + Ch ) C1C2 +(Ci + C2 )(C3 + C4 ) C2 + C3 + C4

rR

7Pr3 „3 v(6)

ю0 vBP pr p

1 f C4 + CH C4 + CH C2 + C3 + C5 C2 + C3 + C4

r \ Ln

L3

l Г C2 + C3 + C4 + C1 + C3 + C4 + C1 + C2 + C1 + C2

RI L 1

Pr2 „4, ,(6)

(C4 + Ch

L2 L3 L4

L + L2 + L3 , C2 + C3 + ch , C2 + C3 + C4 , C + C3 + cH , C1 + C3 + C4

L1L2 L

L1L4

Lh

L2 L4

L2 LH

+ (C + C ) L + L4 + LH + 1 LL3 + L2L4 + L3L4

11 2' L3LoLH rR L2L3L4

Pr1 „5, ,(6)

L2 L + (L2 + L3)(L4 + Lh) | (L1 + L2)(L3 + L4)+ L3L4■

rL2 L3 L4L h

RL1L2L3 L4

_( L + L2 )( L3 + L4 + LH )+ L3 ( L4 + LH )

'Pr0 6 T T T T T (6)

ю0 L1L2L3L4L5vBP pr p

2n = 6 (рис. 5)

H(6) ( „ )_ K у L2 L4R f „4 + L2C2 + L4C4 „2 "BP sr (6) Лн I Лн + 2

1

ю0 L2C2L4C4 ю0 L2C2L4C4

6 + - 5 + - 4 + - 3 + - 2 + -

"Ssr0 ),

ГДе vBP sr p _ (L1L2 + LlL + LL ) (L4 + L5 ) + (L1 + L2 )L4L5;

_ _ (L2 + L3 )(L4 + LH ) + L4LH + n L1L2 + (L + ¿2 )(L3 + L4) "srH r (6 ) +R (6 ) ' ю0 v BP sr p ю0 vBP sr p

1

-^4 "

/6)

( L2 + L3 ) ( L4 + LH )+ L4LH , (L + L3 ) ( L4 + LH )+ L4LH , ( L + L2 )( L0 + LH ) , LL2 +( L1 + L2 )( L3 + LH )

C1

C2

C3

C4

L1L2 + ( L1 + L )( L3 + L4 )

C

+ rR ( L2 + L3 + L0 )

Jsr3 3 (6)

®0 vBP sr p 1

. L4 + LH + L4 + LH + L2 + L + LH + L2 + L + L4 |+ Rf L + L + L0 , L1 + L + L0 , A+k ^ L1 + L

C2

C3

Co

Ch

Ci

C2

C3

Co

^г2 o (6)

ю0 vBP sr p

+ rR C2C3 + C2C4 + C3C4

(L + L ) C1 + C2 + C3 + L2 + l + LH + L2 + L + L4 + L + l3 + lh + L + l3 + Lo +(l + ) c3 + Co + ch

C1C2C3

C1C4

clcH

C2C4

c2cH

c3c4cH

C2C3C4

5 (6) ю0 vBP sr p

C2C3 + (Cp + C3)(Co + C5 ) + r (Ci + C2)(C3 + Co)+ C3C4

C2C3C4C5

C1C2C3C4

я _(Ci + C2 )(C3 + Co + C5 ) + C3 (Co + C5 ) ^sr0 6 (6)

ю0 vBP sr pC1C2C3C4C5

1

1

1

значении , что указывает на отсутствие ограничений вида (5) при реализации.

Выразим ¿4 через нормированные полюсы

затухания ППФ 0^01, юн02 . Положим

¿4 = 1/(х2 ®2 С4 ), (7)

где х может принимать только два значения: Х1 = 0^01 или х2 = 0н02 . Используя формулы преобразования частоты, получим:

_ Та1

Х1,2 = Д+

al

4Q 0Q

+ -

В табл. 5 приведены ПФ ППФ порядка 2п = 6: П-образного с параллельными контурами - яВ*р рг с (5Н ) (см. рис. 4) и Т-образного с последовательными контурами -ЯВр 8г с (5н) (см. рис. 5), выраженные через емкости и коэффициент %. ПФ получены подстановкой формул для ¿1- ¿5 в полные выражения ЯВр}рг р (5н ) и ЯВр}8Г р (5н ). КоэффиЦи-(8) ент при 5н в числителях ПФ с учетом (8) пре-

Окончательно формулы для определения индуктивностей П-образного ППФ (схема рис. 4) принимают вид

L =

ш0 x

+

[( CO + C3 + Q )Х4 ]/{ CO ( CO-С3Х0-Q x° )(l-Х0 ) Cl (Co + C3 + Q)x4]};

+

Lo =

0 n ш0 C0

(9)

L3 =

ш0

[(С2 + Сз + С4 )х2 - С2 - С4 х4 ]' ¿5 =(С2 + С3 + С4X х"С|х4-(С2 + Сз + С4 ) С4 х2 +

+ (С2 + Сз)(С4 + С5) + С4С5 ]}.

Индуктивности Т-образной схемы ППФ с последовательными контурами (см. рис. 5) при (7) определяются по формулам

L =

+

{[Cl (l-x0 ) + Co ] Co (С3 + С4 ) +

[Cl (x4 -Х0 ) + Co ] C3Q }/[ш0 CiCo x x( C0C3 + CoC4 + C3Q )] ;

Lo =

0 n ш0 C0

L5 =

L3 =[(С4Х0-CO ) C3 (l-Х0 ) + +CoQ Х0 ]/{ш0 СоС3С4Х0};

{[C0C3-(CO +C3 ) СХ ] С5 (l-Х0 ) +

(С0С3 + С0С4 + С3С4 ) С4Х4 }/[ш0 x x( С0С3 + С0С4 + С3С4 ) С4С5Х4

образуется в тождество

4 i 4 1

х* +l _Х0 +l = 2 + Ol

0 " 0 Г)0 '

xI xo Q

что позволяет исключить из системы уравнение вида (х4 + 1)/х2 = 2 + а^ 2 (табл. 5). Из сравнения ПФ ЯВ6р}рг с ( 5н ) и ЯВр}8г с ( 5н ) с

ЯВВр р (5н ) видно, что оставшееся число уравнений в каждой системе равно 4 при 8 неизвестных: Ку, г, С1, С2, С3, С4, С5, Я. Для

решения системы уравнений для каждой из схем, представленных на рис. 4 и 5, задают коэффициент х и четыре параметра схемы. Исключение уравнений, приравнивающих коэффициенты числителей ПФ, предполагает задание номиналов емкостей С2 и С4 продольных ветвей фильтра и точный расчет индуктивно-стей ¿2, -¿4 по (6) и (7). При произвольном задании номиналов г и Я решением системы являются числовые значения Ку, С, С3, С5.

Пример 1. Рассчитаем параметры ППФ 6-го порядка с параллельными контурами с центральной частотой Юо = 105 рад/с и добротностью Q = 10. В табл. 6 приведены коэффициенты ПФ вида (1) ФНЧ 3-го порядка, пересчитываемой в реализуемую ПФ ППФ с помощью преобразования (2). В зависимости от значений

коэффициентов Я-рр (5н) является ПФ инверсного ФНЧ (ИФНЧ) Я-рр (5н) или квазиэллиптического ФНЧ (КФНЧ) Я-^р (5н). Расчет выполнен в соответствии с методикой, изложен-

х

2

Х

2

Х

Табл. 5. ПФ ППФ 6-го порядка с параллельными и последовательными контурами, выраженные через емкости Tab. 5. Transfer functions of a 6th order bandpass filter with parallel and series circuits termed via capacitances

2n = 6 (рис. 4)

J(6) ! „ \ _ f C2C4

,(6)

H bp pr C ( 'н ) - Kу

»0 rvBP pr C

4

4 X +1 2 !

X2

IЛ

(6)

BP pr C,

где vB6Ppr с - (CjC2 + С(з + С2Сз)(С4 + С5) +(( + С2)С4С5;

(6) _ r [CÇ2 + (С + С2 ) (Сз + С4 )] + R[(С2 + Сз ) (С4 + С5 ) + С4С5 ] ( . Лbp pr с - sh + vsh + М"

»0 rRvBp pr с

+^3 +

[(С: + С2)С42 + С22(С4 + С5)](С2 + Сз + С4) + [CÇ2 + (( + С2)(Сз + С4)]С&2(х2 -2) + 2С22С42(l-х2)

vB6p) pr с (С2 + С3 + С4 )

(С2 + С4)2 +(2С2 + Сз + 2С4)Сз + С2 [(С2 + Сз)(С4 + С5) + С4С5](l -2х2) -2С42х2 | ( 4 + 2ч ,(6) +С2 „(6) ¡г ^ ,,4 4 Л+ *н>

rRvB6P pr с (С2 + Сз + С4 )

vB6P pr с (С2 + Сз + С4 )х4

Ш^"ВР pr с V.2 1 ^з 1 ^4/ VBP pr с V.2 1 ^з 1 ^4/Л

2[(С2 + Сз)(С4 + С5) + С4С5] + С42 (l -X2)2 + 2[СС + (С: + С2)(Сз + С4)]х4 + С22(l -х2} з +.

(6) + С (6) 4 Гн + 1

» - ®0 RvBP pr сХ

2n = 6 (рис. 5)

H(6) ( s )- K »0 ^с1сзс5 s I s4 , X +1 2 + 1|/Л(6) H BP sr с I'M - Kу (6) 'н I sh + Y~ SH + 1 I / ЛBP sr с,

vBP sr с V X jj

где vB6P sr с - (С + С2 )Сз + (С + С2 + Сз )(С4 + С5 );

(6) 6 С [С2Сз + (С2 + Сз)(С4 + С5)] + R[(С1 + С2)(Сз + С4) + СзС4]С5 , 5 .

ЛВР sr с - 'н + »0 (6 \'н + sh) +

v(6) vBP sr с

+ |з + » Г«С1 С2Сз ^ 2С + Сз )С ] + С + Сз )2 С2 С5

[ vBP sr с (С2Сз + С2С4 + СзС4 )

+С

С22 [(С1 + С2 + Сз)С4 + С2Сз]С5 + С1 [С2(Сз + С4 + С5) + СзС4]С4У + С1СзС5(с2 -Са1}) , _2ч2 I ( 4 2.

(6) , s 4 I1 X J Д 'н + V +

vBP sr с \С2Сз + С2С4 + СзС4)С2С4Х

+ )»0 rC

С^СзСъ (1 -X2 ) + 2 [С2Сз + (С2 + Сз )(С4 + С5 )] С4Х4

vBP sr сС4Х4

р С1СзС4 (1 - X2 ) + 2С2 [(С1 + С2 )(Сз + С4 ) + СзС4 ] 1 з ,

+ »0 R-(6-С5 | sh + 1

vBP sr сС2 1

ной в [14]. Исходным параметром при расчете коэффициентов Н-^р (5н) является минимальное затухание в полосах задерживания 5. При расчете коэффициентов Н^рр () дополнительно задается неравномерность АЧХ в полосе пропускания 55.

При реализации схемы, представленной на рис. 3, условию (5) удовлетворяют параметры ПФ

ИФНЧ при 5 = 14 дБ и КФНЧ при 5 = 10-6 дБ, 5 = 14 дБ. Для расчета параметров инверсного ППФ (ИППФ) примем С3 = 150 нФ, г = 180 Ом. В результате решения системы (4) получаем для ИППФ следующие значения параметров:

Ку = 18.8; С1 = 12.86 мкФ; С2 = 14.24 мкФ; С4 = 12.38 мкФ; Я = 10 Ом. Для квазиэллиптического ППФ (КППФ) при С3 = 150 нФ, г = 220 Ом получим: Ку = 22.7; С1 = 12.76 мкФ; С2 = 14.33 мкФ; С4 = 12.47 мкФ; Я = 10 Ом. Индуктивности контуров определяются по формулам (3). АЧХ ИППФ Я^р р (юн) и КППФ

Нир р (юн) по схеме, приведенной на рис. 3, -

модули Яир р (5н ) - представлены на рис. 6.

Для реализации схемы, представленной на рис. 4, с параметрами 5= 30 дБ, 55 = 0.1 дБ положим г = Я = 100 Ом, С2 = 620 нФ;

+

Табл. 6. Коэффициенты ПФ ИФНЧ и КФНЧ 3-го порядка Tab. 6. Transfer functions coefficients of the inverse low-Pass filter and quasi-elliPtic low-Pass filter of the 3rd order

S, дБ s, дБ К ai b2 bi ba bi - ai

ИФНЧ

- 1O 0.790936 0.057960 2.296981 0.300101 1.790935 0.060137

30 0.200950 5.976366 2.067690 2.117080 1.200950 -3.858886

КФНЧ

0.000001 1O 0.7900202 2.203708 2.276600 0.096000 1.773O81 0.052312

0.1 30 0.166806 0.007160 1.017290 1.018891 0.731107 -2.988269

НБР ргр () и НБР 8гр ()). Поэтому в табл. 7 приведена ПФ только П-образного ППФ

с параллельными контурами Н-^^Р?Ргр (5н ).

Сократим количество уравнений для определения параметров фильтра, составленных приравниванием коэффициентов ПФ

H

(10)

БР ргр (5н) и НБр Р () при одинаковых степенях переменной . С учетом формул преобразования нормированной частоты юн :

C4 = 430 нФ. При Q = 10 возможные значения нателях ПФ и 1/r о R в числителях ПФ (ср. коэффициента х Х1 = 0.885210, х2 = 1.129676 -для ИППФ; х1 = 0.900528, х2 = 1.110460 - для КППФ. Примем для обеих схем Х = Х2 и приведем полученные значения емкостей к стандартному ряду. Решение для ИППФ: Ку = 2.01;

С1 = 1.6 мкФ; С3 = 1 мкФ; С5 = 300 нФ. Для КППФ получим К у = 2.35; С1 = 1.1 мкФ;

С3 = 820 нФ; С5 = 1 мкФ. Индуктивности рассчитаны по (9).

АЧХ ИППФ #Bp prp (юн) и КППФ

#BP prp К) - модули #ВР ргр ) - представлены на рис. 7.

Расчет ППФ 10-го порядка. На рис. 1 и 2 представлены схемы П-образного и Т-образного ППФ 10-го порядка с элементами L1Q-L9C9. Схемы фильтров дуальны в том смысле, что их ПФ могут быть получены одна из другой с помощью взаимных подстановок: Li о Ci, Ci о Li; r о 1/r, R о 1/R в знаме-

ю

'н1,2

юн юн 1 + -^. OQ2 2Q

могут быть определены две пары контуров, связанных соотношениями: ю4 ЦСЦС^ = 1, к = 2, 4, 6, 8, обеспечивающими решение системы уравнений с требуемой точностью. Из приведенных соотношений следует очевидное

равенство ю0 Ц2С2 Ц4С4 Ь^С^ Ь%С% = 1.

¿7(6)

H H

BP p =

(6) BP p

0.75

0.50

0.25

0

0.5

1.0

1.5

Рис. 6. АЧХ ИППФ и КППФ по схеме, приведенной на рис. 3, с расчетными значениями емкостей и индуктивностей

Fig. 6. Amplitude-frequency characteristics of inverse and quasi-elliptical bandpass filters according to the scheme given in Fig. 3 with calculated caPacitances and inductances

¿7(6)

H

BPpr p

S (6)

H

BPpr p 1.0

0.8

0.6

BPpr p

0.0 -

0.2

0

0.75 0.875

1.0

1.125

Рис. 7. АЧХ ИППФ и КППФ по схеме, приведенной на рис. 4, со стандартными значениями емкостей и расчетными значениями индуктивностей

Fig. 7. Amplitude-frequency characteristics of inverse and quasi-elliptical bandpass filters according to the scheme given in Fig. 4 with standard caPacitances and calculated inductances

ю

н

Табл. 7. ПФ ППФ 10-го порядка с полюсами затухания с параллельными контурами (рис. 1) Tab. 7. Transfer function of a 10th order band pass filter with attenuation poles based on parallel circuits (Fig. 1)

„(10) = KyC2C4C6C8 H BP pr р -— "(Ю

8 , L2C2L0C0 ( L6C6 + L8C8 ) + ( L2C2 + L0C0 ) L6C6L8C8 6 su +---2-------■

ю0 L\2C2 LQCQ L6C6 L8C8

+ L2C2 (L0C0 + L6C6 + L8C8 ) + L0C0 (L6C6 + L8C8 ) + L6C6L8C8 0 + L2C2 + L0C0 + L6C6 + L8C8 2 + + 0 S-н + 6 ^н +

ю0 L2C2 L0C0L6C6 L8C8 ю0 L2C2 L0C0L6C6 L8C8

+ 8 ( 4° + 7pr9sïi + 7pr8s!i + Ipr7SH + Ipr6s<B. + ^prf5! + Ipr4sQ + Ipr3sii + Ipr2sн + ^prA + 7pr0 ),

ro0L2C2L0C0L6C6L8C8 J/ где vBV0)prp -[(CQ + С1С3 + С2С3)(С4 + С5) + (Ci + С2)C4C5]Сб(С8 + С9) +

+[(СА + С1С3 + С2С3 )(Со + С5 + С6 ) + (С1 + С2 ) Со (С5 + С6 )](С7С8 + С7С9 + С8С9 ) ;

1 [[СА +(С1 + С2 )(С3 + Со )J[C5C6 + (С5 + С6 )(С7 + С8 )] + (С1С2 + С1С3 + С2С3 ) Со (С6 + С7 + С8 )

рг9 (10)

«0 vBP pr p

R

[(С2 + С3)(Со + С5 + С6) + Со (С5 + С6) J(CA + С7С9 + С8С9) + [(С2 + С3 )(Со + С5 ) + С0С5 JC6 (С8 + С9) I

!pr8 =

1

.2, ,(10)

С2 + С3 + С1 + С3

L1 L2 <[(С6 + С7 )(С8 + С9 ) + С8С9 ] +

(С4 + С5) + С4С5 +| Со+С5 + + С3 + Со

L1L2

Со+С5 С3+С5 С3+Со^(С1 + С2)+Lq+LLс1С2

L0 L5

L3 Lo

С2 + С3 + С4 + С1 + С3 + С4 + L3 + L0 (с + С ) L1 L2 L3L4

С6 (С7С8 + С7С9 + С8С9 ) +

L6 + L-7

L6 L

(С8 + С9

+ С6 + С7 + С9 + С6 + С7 + С8

L9

(С1С2 + С1С3 + С2С3 )Со +

(С5 + С7 )(С8 + С9 ) + С8С9 + \ Q + С9 + С7 + С9 + С7 + С8 |(А + А ) +

+^81^9 С5С6 L8L9

[С1С2+А + С2 )А+Со )]+

[А+С3 )(Со + С5 )+С4С5 ](С6 + С7+С8 )+а+С3+Со ) С6 (С7+С8 ) 1

pr7

С2 + С3 , С1 + С3

3d (10)

«0 RvBP pr p

<(C6 + C7 + C8 ) +

(Со + С

L + L2

rR

\ С о + C5 C3 + C5 C3 + Со

5 )+^ CoC5 + | ^^ + + |(C1 + C2 CA

lq + L5

C2 + C3 + C0 + C1 + C3 + C0 + L3 + L0 (q + C2 ) L1 L2 L3L0

C6 (C7 + C8 ) + LL7 + LL + LL (C1C2 + C1C3 + C2C3 )Cq +

L6L7 L8

Q + C7 + C8 + ^ (Cl + C6 )][C1C2 + (Q + C2 )(C3 + CQ )j| + -

^ {

.3 _ ,(10)

L2 + L3

L2L

(Cq + c5

C2 + C3 + C5

C2 + C3 + Cq

[(Q + C7 )(C8 + C9) + C8C9] + L2L +L2L0 + L3Lq C6 (C7C8 + C7C9 + C8C9 ) +

L2 L3LQ

(C5 + C7)(C8 + C9) + CjC9 | \C8 + C9 , C-7+C9 C7 + С

_ + | -=1+^-Z.+

L6 v L7 L8 L9

L6 + L7 (q + c9 ) + C6 + C7 + C9 , C6 + C7 + C8

L6L7 L8 L

1_ f( L1 + L2 )( L3 + lq )+ L3L0

--^ -C^ 1 C-7C0 + C7Cn + cocn 1 + -

L1L2 L3

C2 + C3 + C5 C2 + C3 + C0 C1 + C3 + C5 C1 + C3 + C0 L3 + L0 + L5

РГ^ «0 vBP'pr p{ L1L2L3L0

jC + C6 ) + LLLL9 C5C,

(C2 + C3 ) Cq };

_L1 + L2 + ¿3

(C2 + C3 + Cq ) +

"C6 (C7C8 + C7C9 + C8C9 ) +

(Со + C5 ) +

L1L0 L1L5 L2 Lq L2L5 L3L0 L5

[ C2 + C3 , C1 + C3 , L3 + L5

<[(C6 + C7 )(C8 + C9 )+ C8C9 J-

L1

Lo

L3L5

L(C1 + C2 )

(C1 + C2 )

О+С, co +

C2 + C3 + C0 + C1 + C3 + C0 + L3 + L0 (q + c2 )

L3L0

(C5 + C7 )(C8 + C9 )+ CjC9

L1

L0 + L5

L0L5L6

C1C2 +(C1 + C2 )(C3 + C5 + C6 ) , L5 + L6 C1C2 +(C1 + C2 )(C3 + Со ) ■

(C1C2 + C1C3 + C2C3 ) +1 + + ! Co + Cs + C6 + L-+L° C0 (C5 + C6 ) -

1 1 2 1 3 2 3 I L1 L2 L3 ) L7 L1L2L7 01 5 6;

L0 L7

L5L6

L7

(C8 + C9 ) +

c2+c3 + q+c^ ^ c0 +| q4±cl + ç3±ql + !(c1 + c2 )+ l4+ll c1c2

V L1 L2 y v L3 L0 L5 J L0L5

C6 + C7 + C9

r

1

+

Продолжение табл. 7 Continuation of the tab. 7

C6 + c7 + с

c2 + сз + c4 С + сз + c4

Ц ) V ¿1

Ц + ¿4 ( С 7 + C9 С 7 + С ^

L2

(С + C2 )C6 +

L9

C7 + C9 ,C7 + Q l(c5 + c6) + V+i9 c5c6

¿8 ¿9

I ¿8 Ц

X (C4 + C5 + C6 )](( + С(з + С2Сз ) +

c4 + c5 + c7 + c9 c4 + c5 + c7 + c8 l7 + ll + l9

¿6 ¿8 L6L9 ¿7 ¿8 ¿9

C5 + C7 + C9 C5 + C7 + C8 L7 + Li + L

¿6 ¿9

¿7 ¿8 ¿9

-(C5 + C6 )

(Q + C2 ) C4I +

1

юп rRv

,(10) BP pr p

¿2 + Ц (С + С ) + C2 + Сз + C5 + C2 + Сз + C4 ¿2 Ц ¿4

L,

(C6 + C7 + C8 ) + L2Lз + L2L4 + LзL4 X

xC6 (C7 + C8 ) + L¿7 + ¿6Ц + ¿7¿8 (c2 + Сз )C4 +

/pr5 »5 Rv(10)

»0 RvBP pr p

L6L ¿8 ¿1 + ¿2 + L

C5 + C7 + C8 + L7 + L8 ¿6 ЦЦ

(C5 + C6 )

¿2 /з/4

(C2 + Сз + C4 )

(C4 + C5 ) + L-+LL IC5 + C4 | + Lз + L4 + L5 (C1 + c2 ) +

Ц/2Ц ЦЦ V ¿4 ¿5 ) ЦЦЦ5

¿4 + ¿5 IC2 + Сз + С + Сз ¿4 ¿5 I ¿1 ¿2

IC2 + Сз , С1 + Сз , С1 + С2 .С

(С6 + С7 + С8 ) + (L + ¿2)(Ц + ¿4)+ ^ С6 (С7 + С8 ) + L6L7 + LsL + L7L8 X

ЦЦ2/з/4 ¿6 ¿7 ¿8

V ¿1 ¿2

<((5 + C6 )]

¿з

О+Сз+С C1 + Сз + C4 , C1 + C2

¿1

¿2

¿з

C5 + C7 + C8 , L7 + L8

¿6

Сз + C5 + C7 + C8 + LL+Ll(Сз + C5 + C6 ) + (¿5 + ¿6 )(¿7 + ¿8 )+ ¿7¿8 ( + Q)

¿4 ¿6 L4L7L8 ¿5 ^6L1 ¿8

¿7 ¿8

(C1 + C2 ) +

+ ( ¿4 + ¿5 ) ( ЦЦ + ¿6 ¿8 + ¿7 ¿8 ) + L4L5 ( ¿7 + ¿8 ) ( ( I +_l_

- - - - - 12 I S ,(10)

¿Lз

+ (¿2 + Ц )(¿4 + ¿5 )

L2L^4L5

¿2 + ¿з IС4 + С5 + С7 , С4 + С5 + С6 V С2 + Сз + С5 + С7 , С2 + Сз + С5 + С6 , L5 + L6 + L7

¿4 L5L6L7 ¿8

»0 rvBP pr p

(С6 + С7 ) +

¿2 Ц

¿6

¿7

¿4 ¿6

¿4 ¿7

¿5 ¿6 ¿7

<(С2 + Сз + С4 )](С8 + С9 )+( ¿2 + ¿з )( L4L5 + L4L6 + L5L6 )+ ¿2 ¿з ( ¿5 + ¿6 ) (( +

Ц2Ц/4/5/6

¿2 + ¿з (с + c ) + С2 + Сз + С5 + С2 + Сз + С4 С6 + С7 + С9 + L2L3 + L2L4 + L3L4 q (( + q ) +

сЦ+Сз ) С4 +(С2 + Сз + С4 )(С5 + С7 + С9 ) + l2 + ¿з

¿2 /з/9

L6L8

+¿7 + Ll + ¿9 (С2 + Сз ) ¿7 L 12 з;

(С4 + С5 ) С6 +

Q + С5 + С + Сз + С5 (С6 + С7 + С8 ) +

¿2 ¿зЦ4Ц8

(С7 + С8 ) +

С6 (С7+ Ci ) | (С2 + Сз ) С4

¿9

L4L9

L4L9

L6L9

С5 + С7 + С8 С6 + С7 + С8 I С2 + Сз + c4 l7 + L8 + L

/pr4 »6 v(10) 1 »0 vBP pr p 1

-c4 (c5 + c6;

L6 L5 ) ¿9 L7L8L9

1_|( ¿1 + ¿2 + Ц )( L4L5 + L4L6 + L5L6 )+( ¿1 + ¿2 ) Ц ( ¿5 + ¿6 )

L1L2 Ц/4/5/6

C8C9 +

( ¿1 + ¿2 ) Ц +( ¿1 + ¿2 + Ц )( ¿4 + ¿5 ) c + ( ) + ¿1 + L, + /з | C4 + C5 + C7 + C4 + C5 + C6 | + L1 + ¿2 x

¿1Ц2ЦзЦ4 ¿5

L1L2 ¿з

¿7

L1L2 L4

Сз + C5 + C7 , Сз + C5 + C6 (¿з + ¿4)(¿5 + ¿6 + ¿7 )+ ¿5 (¿6 + ¿7 )

L6 ¿7 ) /з/4/5/6/7

(C1 + C2 )+ [ ^ + C |

L4L6 ¿7 V L1 ¿2 )

<(Cg + q ) + [ ¿1 + ¿2 + /з C4 + C5 + C2 + Сз + C5 + C2 + Сз + C4 + C1 + Сз + C5 + C1 + Сз + C4 + V LШ2 ¿з L1L4 ¿1/5 ¿2 L4 ¿2 L5

, ¿з + ¿4 + ¿5 С1 + С2 С6 + С7 + С9 , С6 + С7 + С8 V ( L + ¿2 )( ¿з + ¿4 )+ ¿з/4 c (С7 + С9 , С7 + С,

Ц/4

¿5

¿9

L1L2 /з/4

¿9

С2 + Сз + С4 С1 + Сз + С4 и + l4 С1 + С2 С5 + С7 + С9 С5 + С7 + С8I (L5 + L6 + l7 с8 + c9

L1L6

L2L6

/з/4 L6

¿9

L5L6

¿7

¿7 + Li + /9 C5 + C6C2 + Сз + С4 , С1 + Сз + С4 V ¿6 ¿7 +( ¿6 + ¿7 )( Li + ¿9 ) ( С2 + Сз . С1 + Сз С

¿7 ¿8

¿1

¿2

¿6 ¿7 ¿8 ¿9

L

( ¿з + ¿4 )( ¿7 + Li + ¿9 ) С5 + С6 , ¿6 ¿7 +( ¿6 + ¿7 )( Li + ¿9 ) ( С, Сз | , ( ¿5 + ¿6 )(/7 + ¿8 + ¿9 )+ ¿7 ( ¿8 + ¿9 )

¿з

Ц ¿4

¿5-6

Окончание табл. 7 End of the tab. 7

<Сз + Q)] С + C2 + (¿4¿5 + ¿4L6 + ¿5L6 )(¿7 + L + ¿9 ) + (¿4 + ¿5 )¿7 (Li + ¿9 ) qq| + L7L8L9 L4L5L6L7L8L9 |

1 | ¿2 ¿з +( ¿2 + /з )( ¿4 + ¿5 ) C6 + C7 + C8 , L2 + из ( C4 + C5 + C7 + C8 , L7 + Ll C4 + C5 + C6

»6 rRvBp0)pr p | ¿2/з/4 /5 LL V ¿6 /7

C2 + Сз + C5 + C7 + C8 + U7 + Ll C2 + Сз + C5 + C6 + (¿5 + ¿6)(¿7 + Li )+ L7L8 C2 + Сз + C4 I L4L6 L7L8 ¿4 L5L6L7 ¿8

/з __1_

P »7 Рл/Ю)

»0 RvBP pr p

(¿1 + ¿2)(¿з + ¿4 + ¿5) + ¿з (¿4 + ¿5) (Q + Q + Q) + ¿1 + ¿2 + ¿з X L1L2 /з/4 ¿5 Ц1/2Ц3

( + С5 + С7 + Cl , L7 + LL (4 + С5 + Сб ^ С2 + Сз + С5 + С7 + CL , С1 + Сз + С5 + С7 + CL

V ¿6 ¿7 ¿8 У L1LnLб ¿2 ¿4 ¿6

¿7 + Ll Г Q+C+Cs+Q Q + Сз + С5 + С6 ^ , (¿5 + ¿6 )(Ц + Li )+ ¿7-8 ( С2 + Сз + (4

^¿j ¿8 V L1 ¿2 ) ¿5 L6L7 Ц V ¿1

С, + Сз + С4 | , (¿з + ¿4 + ¿5 )(L6¿7 + L6¿8 + ¿7¿8 ) + (¿3 + ¿4 ) ¿5 (¿7 + )

I '(Cl + c2 )

¿2 ) L3L4 ¿5 L6 ¿7Ц

(/2/з + /2/4 + L3Lп )( ¿5 + ¿6 + ¿7 ) + ( ¿2 + ¿з ) ¿5 (¿6 + ¿7 ) ( + ^ ) +

1

»7 rvBi^^p [ /2/3/4/5/6-7

¿2L3 +(¿2 + L3)(¿4 + ¿5) (C6 + C7 + C9 + C6 + C7 + Cl | + L2 + L3 (С4 + C5 + C7 + C9 +

L2L3LпL5 V ¿8 L9 ) L2L3 V L6LL

Q + C5 + C7 + CL , L7 + LL + /9 Q + C5 + C^Y, C2 + C3 + C5 + C7 + C9 ^2 + C3 + C5 + C7 + CL

L6L9 L7LL ¿9 ) ¿4 L6 Ц ¿4 L6L9

+ ¿7 + Ц + ( + C3 + C5 + C6 )+( ¿5 + ¿6 ¿7 + ¿8 + ¿9 )+ ¿7 ( ¿8 + ¿9 ) ((2 + C3 + (4 ¿4 ¿7 L8L9 L5L6L7L8L9

j _ 1 J[(L + ¿2)(L3 + L4)+ L3L4](L5 + L6 + ¿7) + (L + ¿2 + ¿3)L5 (L6 + ¿7) ^ ,, ч /pr2 _ »0vBV0)prp I /1/2/3/4/5/6/7 c +C9)+

+ (L + ¿2)¿3 +(¿1 + ¿2 + ¿3)(L4 + L5)ГC6 + C7 + C9 + C6 + C7 + Cl V Ll + L2 + L3 x L1L2 L3L4 L5 V ¿8 ¿9 J L1L2L3L6

+ (4 + C5 + C7 + CLI + (Ц + ¿2 + ¿3)(¿7 + ¿8 + ¿9)+ Q + Q)+ LL + Ц ,

V ¿8 ¿9 ) L1L2L3L7L8L9 LпLбLLL9

Г C, CL V Ll + L2 f C3 + C5 + C7 + C9 , C3 + C5 + C7 + CL | , L7 + LL + L9 ( С2 + C3 + C5 + C6 ^

I L, ¿2 ) /,/2 V /4—6 ¿l /4/6—9 ) /4/7—8 /9 I L,

Ct + C3 + C5 + C61, (L5 + ¿6)(¿7 + ¿8 + L,)+ Ц7(¿8 + L,)fC2 + C3 + С4 , Ct + C3 + (4

¿2 ) Ц5Ц6Ц7Ц8Ц9 V L1 ¿2

[(¿3 + Ц4)(Ц5 + L6)+ Ц5Ц6](Ц7 + ¿8 + ¿9) + (Ц3 + Ц4 + Ц5)¿7 (¿8 + ¿9) ,

-(Cl + С2 )[ +

L3L4 Ц5 L6 6/7 ¿8 ¿9 |

+ (Ц2Ц3 + Ц2Ц4 + LL)[(Ц5 + Ц6 )(Ц7 + ¿8 )+ -¿7Ц ] + (¿2 + ¿3 )Ц5 (Ц6Ц7 + Ц6/8 + Ц7/8 ) .

»0 rRL2ЦЦ4Ц5Ц6ЦL8vB1P> pr p

_ [( ¿1 + ¿2 )( ¿3 + ¿4 )+ ¿3— ][( ¿5 + ¿6 )( ¿7 + ¿8 )+ ¿7- ] +( L + ¿2 + ¿3 ) ¿5 ( L6L7 + LL + L7L8 ) Jpr1 9 (10) +

»0 RL1L2ЦзЦ4Ц5Ц6Ц7¿8vBP pr p

+ (L2L3 + LL + ¿3—)¿5 (¿7 + ¿8 + ¿9) +[Ц2Ц3 +(¿2 + ¿3)(¿4 + ¿5 )][Ц6Ц7 +(L6 + ¿7)(¿8 + ¿9 )] .

»9 гЦ2ЦзЦ4Ц5 L6Ц7Ц8 L9vB1p>)pr p

Jpr0 _ 10 1 (10) {[(/1 + ¿2 )(¿3 + ¿4)+ /3Ц4][(¿5 + ¿6)(L7 + ¿8 + ¿9 )+ ¿7 (/8 + )] "

»0 Ц1Ц2ЦзЦ4Ц5Ц6L7L8L9vBP pr p

+ ( ¿1 + ¿2 + ¿3 ) ¿5 [L6L7 +( ¿6 + ¿7 )( ¿8 + ¿9 )]}

Введем обозначения:

Х11, 12

= 1 + -

*i - Va!.

4Q2 2Q

Х21, 22={1+'

где в символах " +" знак "-" относится к переменным Х11, Х21, а знак "+" - к переменным Х12, Х22. Положим, например,

4 111

œ0 ^2C2L6C6 = 1; L2 = ~2-; L6 =

ш0 C2

4 X2l

œ0 L4C4^SCS = 1; L4 =

1

2

œo C4

; L =

2 2 Х21 œ0 C6

2 2 n Х11 œ0 Cs

Подставив выражения ¿2, ¿4, ¿6, ¿8 в коэффициенты числителя Н™ (5н ), получим

следующие тождества (ср. с Н—р ()):

^рг62 = [¿2С214С4 (¿6С6 + 18С8 ) + (¿2С2 +Х4С4 )х

ХЧС6 ¿8С8 ]/ ( ю2 ¿2С2 Ь4C4Ь6C6Ь8C8 ) _

_ ¿2С2 + ¿4С4 + ¿6С6 + ¿8С8 _ ю0 Ь2C2Ь4C4Ь6C6Ь8C8

_ХЦ±! + = 2 + ^. + 2 + ^ = х21 х21 е2 е2

= 4 +

Д1 + а2 .

Q2 '

^pr4 = [L2C2 (L4C4 + L6C6 + ) + + L4C4 (L6C6 + LsCs ) +

+L6C6LSCS ]/(œ4 L2C2L4C4L6C6LSCS ) =

Л.4 , AL.4

f

= 2 +

= 2 +

V

Х11 +1

2 + ^ Q2.

Х11

2+

. Q2.

Х21+1 2

Х21

Л

=6+2 aL^+a1a2

Q2 Q

4

При других начальных условиях эти тождества также выполняются.

Полученные тождества позволяют исключить из системы уравнения, приравнивающие

коэффициенты при sj, sj, sj, sj в числите-

лях ПФ tfgp0)prp () (табл. 7) и Я^ ()

(табл. 1), и сократить тем самым количество уравнений для определения параметров фильтра с 15 до 11 при 21 неизвестном: Ку,

Lb Cj, ..., L9, C9, rи R.

Задавшись номинальными значениями емкостей в продольных ветвях фильтра C2, C4, Cg, Cg, соответствующие значения индуктив-ностей найдем по приведенным формулам для выбранных начальных условий. Зададим также номинальные значения сопротивлений r и R. Оставшиеся 11 параметров - Ку, Lj, Q, L3,

C3, L5, C5, Lq, C7, L9, C9 - найдем в результате решения системы 11 уравнений.

Пример 2. Рассчитаем параметры КППФ 10-го порядка, изображенного на рис. 1, с центральной частотой ©о = 105 рад/с, добротностью Q = 10 и параметрами АЧХ: 5 = 0.1 дБ, 5 = 35 дБ. Коэффициенты реализуемой ПФ ЯвРр (5н) [14]: К = 0.088248; a1 = 1.582984; a2 = 3.319079; b4 = 1.576800; b3 = 2.428532; b2 = 2.048719; b1 = 1.260154; b0 = 0.461008. Система 11 уравнений для определения Ку и

10 параметров в поперечных ветвях фильтра имеет вид

KуC2C4C6C8 _ К

»0 rvBp0)prp = Q;

7pr9 =7pr1 = b4¡ Q; 1pr8 =1pr2 = 5 + ¿3/ Q2; 1pr7 =1pr3 = 4 b4/ Q + b^ Q3; 1pr6 =1pr4 = 10 + 3 Й3/Q2 + bj Q4; 1pr5 = 6 b4¡ Q + 2 b^ Q3 + b^ Q5; /pr0 = 1

Положим r = R = 100 Ом и примем значения емкостей в продольных ветвях ППФ: C2 = 1300 нФ; C4 = 560 нФ; C6 = 820 нФ; C§ = 560 нФ. Для принятых ранее начальных условий расчетные значения индуктивностей составляют: L2 = 64.1 мкГн; L4 = 157.5 мкГн;

г (10),

1

H (10)

-"BPpr р 1.0 0.8 0.6 0.0

0.2

0

0.75

i

0.875

1.0

1.125

H (10)

-"BPpr ст 1.0 0.8 0.6 0.0

0.2

0

0.75

J_J.

0.875

1.0

L=_L

1.125

Рис. 8. АЧХ КППФ, приведенного на рис. 1, с расчетными параметрами (а); со стандартными емкостями (б)

Fig. 8. Amplitude-frequency characteristic of a quasi-elliptical band-pass filter according to the scheme given in Fig. 1

with design parameters (a) and standard capacitances (б)

¿6 = 146.3 мкГн; ¿8 = 202.5 мкГн. Решение системы уравнений: Ку = 4.18; С1 = 1045.2 нФ; 1Л = 112.5 мкГн; С3 = 1505.2 нФ; ¿3 = 70.4 мкГн; С5 = 861.1 нФ; ¿5 = 116.3 мкГн; С7 = 171.0 нФ; ¿-7 = 368.4 мкГн; С9 = 669.1 нФ; ¿9 = 141.4 мкГн.

Переход к номинальным значениям емкостей из ряда Е24 может вызвать существенное отклонение расчетной АЧХ от реализуемой. В этом случае АЧХ корректируется изменением значений индуктивностей.

После перехода и изменения значений индук-тивностей имеем: С = 1000 нФ; ¿у = 118.1 мкГн; С3 = 1500 нФ; ¿з = 70.7 мкГн; С5 = 820 нФ; ¿5 = 122.2 мкГн; С7 = 160 нФ; ¿1 = 383.0 мкГн; С9 = 680 нФ; ¿9 = 139.5 мкГн. АЧХ КППФ 10-го порядка с параллельными контурами приведены на рис. 8: а - Н-р'р.р, (юн) с расчетными

значениями параметров; б - Н-^^.^ (юн) со

стандартными значениями емкостей и скорректированными значениями индуктивностей.

Заключение. Реализуемая ПФ ППФ формируется из ПФ ФНЧ с требуемыми характеристиками затухания с помощью преобразования переменной. При преобразовании частоты реализуемой АЧХ, лежащие по обе стороны от центральной частоты ППФ, связаны определенными соотношениями. Учет этого обстоятельства позволяет исключить из рассмотрения уравнения, приравнивающие коэффициенты числителей передаточных функций. Для ППФ 6-го порядка, рассмотренных в статье, число уравнений системы дополнительно сокращено за счет выражения всех индуктивностей через центральную частоту и емкости фильтров. В результате количество уравнений системы равно 4 при 13 искомых параметрах фильтра. Для расчета ППФ 10-го порядка число уравнений равно 11 при 21 неизвестном. В обоих случаях параметры, число которых превышает число уравнений, выбираются произвольно из ряда стандартных значений [15], что значительно повышает точность воспроизведения реализуемой АЧХ.

со

со

н

н

Список литературы

1. Червинский Е. Н. Расчет полосно-пропускающих фильтров с фиксированными частотами бесконечного затухания // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2022. № 4. С. 23-40. doi: 10.32603/ 1993-8985-2022-25-4-23-40

2. Попов П. А. Расчет частотных электрических фильтров. М.-Л.: Энергия, 1966. 216 с.

3. Zverev A. I. Handbook of filter synthesis. New York: John Willey and Sons, Inc., 1967. 576 p.

4. Херреро Д., Уиллонер Г. Синтез фильтров / пер. с англ. под ред. И. С. Гоноровского. М.: Сов. радио, 1971. 232 с.

5. Van Valkenburg M. E. Analog filter design / CBS College Publishing. Fort Worth, 1982. 608 p.

6. Джонсон Д., Джонсон Дж., Мур Г. Справочник по активным фильтрам. М.: Энергоатомиздат, 1983. 128 с.

7. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров / пер. с нем.; под ред. Н. Н. Слепова. М.: Радио и связь, 1983. 752 с.

8. Winder S. Analog and digital filter design. 2nd ed. New York: Elsevier Science, 2002. 450 p.

9. Thede L. Practical analog and digital filter design. Norwood: Artech House, Inc., 2004. 267 p.

10. Hercules G. Dimopoulos Analog electronic filters. Theory, design and synthesis. Dordrecht: Springer, 2012. 498 p.

11. Paarmann L. D. Design and analysis of analog filters: A signal processing perspective. Dordrecht: Springer, 2014. 456 p.

12. Кубалова А. Р., Томашевич С. В. Синтез и моделирование микроволновых фильтров. СПб.: Изд-во СПбГУТ, 2012. 215 с.

13. Кубалова А. Р., Томашевич С. В. Синтез и конструирование микроволновых фильтров. СПб.: Изд-во СПбГУТ, 2018. 287 с.

14. Червинский Е. Н. Расчет передаточных функций фильтров с равноволновыми на отрезке и бесконечном полуинтервале амплитудно-частотными характеристиками // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2014. № 4. С. 13-28.

15. ГОСТ 28884-90 (МЭК 63-63). Межгосударственный стандарт. Ряды предпочтительных значений для резисторов и конденсаторов. М.: Стандар-тинформ, 2006. 13 с.

Информация об авторе

Червинский Евгений Наумович - доктор технических наук (2008), старший научный сотрудник (1985) АО «НПП "Пирамида"» (Санкт-Петербург). Автор 88 научных работ. Сфера научных интересов - системы точного времени.

Адрес: АО «НПП "Пирамида"», ул. Орджоникидзе, д. 42, Санкт-Петербург, 196143, Россия E-mail: enchervinsky@mail.ru

References

1. Chervinskiy E. N. Calculation of Band-Pass Filters with Fixed Frequencies of Infinite Attenuation. Journal of the Russian Universities. Radioelectronics. 2022, vol. 25, no. 4, pp. 23-40. doi: 10.32603/19938985-2021-25-4-23-40 (In Russ.)

2. Popov P. A. Raschet chastotnykh elektricheskikh fil'trov [Calculation of Frequency Electric Filters]. Moscow, Energia, 1966, 216 p. (In Russ.)

3. Zverev A. I. Handbook of filter synthesis. John Wil-ley and Sons, Inc., N. Y, London, Sydney, 1967, 576 p.

4. Herrero J., Willoner G. Synthesis of Filters. Freny-tice-Hall, inc., Englewood Cliff N. J., 1966, 232 p.

5. Valkenburg M. E. Analog Filter Design. CBS College Publishing, 1982, 608 p.

6. Jonson D., Jonson J., Moore H. A Handbook of Active Filters. New Jersy, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, 1980, 128 p.

7. Saal R. Handbuch Zum Filterenwuef, AEG - Te-lefunken, Berlin, 1979, 663 p.

8. Winder S. Analog and Digital Filter Design. 2nd ed. New York, Elsevier Science, 2002, 450 p.

9. Thede L. Practical Analog and Digital Filter Design. Artech House, Inc., 2004, 267 p.

10. Hercules G. Dimopoulos Analog Electronic Filters. Theory, Design and Synthesis. Springer, 2012, 498 p.

11. Paarmann L. D. Design and Analysis of Analog Filters: A Signal Processing Perspective. Dordrecht, Springer, 2014, 456 p.

12. Kubalova A. R., Tomashevich S. V. Sintez i modelirovanie mikrovolnovykh fil'trov [Synthesis and Simulation of Microwave Filters]. SPb, Izd-vo SPbGUT, 2012, 215 p. (In Russ.)

13. Kubalova A. R., Tomashevich S. V Sintez i konstruirovanie mikrovolnovykh fil'trov [Synthesis and Design of Microwave Filters]. SPb, Izd-vo SPbGUT, 2018, 287 p. (In Russ.)

14. Chervinskiy E. N. Computation of Transfer Functions of Filters with Equiwave at the Section and Infinite Half-Interval Amplitude-Frequency Characteristics. J. of the Russian Universities. Radioelectronics. 2014, no. 4, pp. 13-28. (In Russ.)

15. GOST 28884-90 (IEC 63-63). Mezhgosudar-stvennyi standart. Ryady predpochtitel'nykh znachenii dlya rezistorov i kondensatorov [Interstate Standard. Rows of Preferred Values for Resistors and Capacitors]. Moscow, Standartinform, 2006, 13 p. (In Russ.)

Information about the author

Evgeniy N. Chervinskiy, Dr Sci. (Eng.) (2008), Senior Scientist (1985) in JSC "NPP "Piramida" (Saint Petersburg). The author of 88 scientific publications. Area of expertise: precision time systems. Address: JSC "NPP "Piramida", 42, Ordzhonikidze St., Saint Petersburg 196143, Russia E-mail: enchervinsky@mail.ru