Прямой метод синтеза системы управления рабочим органом манипулятора при неполных измерениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50

ПРЯМОЙ МЕТОД СИНТЕЗА СИСТЕМЫ УПРАОЛЕНИЯ РАБОЧИМ ОРГАНОМ МАНИПУЛЯТОРА ПРИ НЕПОЛНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

С.А. Краснова, В.А. Уткин, А.В. Уткин, Нгуен Тхань Тиен

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва

Предложены прямые процедуры синтеза автономного управления положением рабочего органа манипулятора. Разработан метод допредельной иерархии управлений, позволяющий обеспечить заданную точность слежения в условиях неопределенности оператора объекта управления и действия внешних неконтролируемых возмущений. Для решения проблемы информационного обеспечения применен наблюдатель состояния на скользящих режимах, позволяющий за теоретически конечное время получить оценки неиз-меряемых переменных и имеющихся неопределенностей.

ВВЕДЕНИЕ

Для решения проблемы отслеживания программных траекторий рабочим органом (схватом) манипулятора достаточно изученные методы планирования и управления манипуляторами в пространстве обобщенных координат не находят непосредственного применения. Известные методы управления в пространстве координат схвата почти всегда требуют решения в реальном времени обратных задач кинематики и динамики, которые в редких случаях имеют аналитическое и однозначное решение [1]. В настоящей статье предлагается принципиально другой подход к решению данной проблемы, основанный на декомпозиции выходного отображения механической системы и не требующий решения обратных задач в реальном времени.

1. МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим динамическую модель жесткого манипулятора с п степенями свободы:

Я1 = «2>

•2 = Н~\и - С(Я1, я2)я2 - С(Я1) + Г|(0], (1)

где я1 є Q с Яп — вектор угловых положений манипулятора, Н(я1) є Япхп — положигельно-оп-

ределенная симметрическая матрица инерции, C(qv q2) е Rnx n — матрица центростремительных и кориолисовых сил, G(q1) е Rn — вектор гравитационных сил, u е Rn — вектор обобщенных моментов, развиваемых исполнительными устройствами, n(t) е Rn — внешние неконтролируемые ограниченные возмущения.

Многозвенная конструкция манипулятора заканчивается сменным рабочим органом — схва-том. Вектор пространственной ориентации схвата описывается нелинейными гладкими функциями угловых положений звеньев y1 = h(ql), y1 е Y1 с Rm, Q1 ^ Yj, m < n. Ставится задача отслеживания программного движения y1c(t) е Rm, заданного в терминах рабочего пространства схвата y1d е Y1; предполагается, что вектор-функция y1d(t) и ее производные ограничены. Задача слежения сводится к задаче стабилизации невязки e1(t) = y1(t) — y1d(t),

e1 е Rm и решается в зависимости от технологических требований либо в асимптотике

lim e,(t) = 0, (2)

t ^ то

либо с заданной точностью

||e1|| < 81 = const (3)

на основе представления модели (1) в блочно-канонической форме управляемости относительно выходных переменных y1.

2. ВЫХОДНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что отображение Q1 ^ Y1 однозначно, но не взаимнооднозначно, так как конкретной ориентации схвата могут соответствовать различные конфигурации манипулятора. Кроме того, как известно rank/, где J(q1)mxn = = dh/dq1, может быть разным в различных точках пространства Q1.

Будем полагать, что rank/ = m Vq1 е Q1 с Q1, за исключением конечного числа особых точек q*. В случае избыточной размерности m < n объекта управления предполагается, что базисному минору матрицы /(q1) (т. е. выходным переменным y1)

при q1 е Q1 можно поставить в соответствие одну

и ту же группу базисных координат q1 е Rm (q1 =

= col(q1, q1), где q2 е Rn m — свободные координаты), выбранную из предметных соображений. В противном случае следует соответствующим образом разделить программную траекторию на участки, которым будет соответствовать различная структура замкнутой системы управления.

Суть процедуры отображения модели (1) в блочно-канонической форме управляемости относительно выходных переменных заключается в двухкратном дифференцировании выходных переменных в силу системы (1) и сделанных предположений:

y 1 = /(q1)q2 = y2,

y2 = /"'(q1, q2)q2 + /(q1) q2 =

= /'(q1, q2)q2 + /(q1)H-1[u - Cq2 - g + n =

= A(q1, q2) + B(q1)u + B(q1)n, (4)

где A = /'(q1, q2)q2 - /(q1)H-1(q1)[C(q1, q2)q2 + G(q1)], B = /(q1)H 1(q1), rankH 1(q1) = n ^ rankB(q1) = m

Vq1 е Q1 ; Jmxn = (/j'), Jm x n = (/г>' ), /г>' = (d/y/dq1)q2.

Поставленная задача (2) или (3) решается в терминах системы (4) на основе блочного подхода [2—4]. Сопутствующая задача, которая здесь не рассматривается, заключается в управлении несвязанными координатами q2 е Rn - m в пространстве обобщенных координат (1) стандартными методами (см. например, статью [4]).

3. БАЗОВЫЕ АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ

3.1. Общий закон управления

В предположении об определенности входных каналов авторами разработаны методы синтеза автономного управления выходными переменными, реализующие алгоритмы различной сложности, что обусловлено возможностью и целесообразностью установки тех или иных измерительных устройств.

Система (4) состоит из двух элементарных блоков, в каждом из которых размерность вектора состояния совпадает с размерностью вектора виртуального или истинного управления, что позволяет разделить задачу синтеза на независимо решаемые подзадачи размерности m. В силу системы (4) запишем дифференциальное уравнение относительно невязки:

e 1 = y2 - y 1d . (5)

В системе систем (5) вектор у2 трактуется как виртуальное управление, выбираемое в виде y2 =

= -K1e1 + y 1d, где K1 = diag{k1;}, k1; > 0, (i = 1, m) —

коэффициенты обратной связи, обеспечивающие заданные темпы сходимости (2). Для обеспечения выбранного управления требуется решить задачу стабилизации невязки

e2 = y2 + K1e1 - y 1d . (6)

С учетом выражения (6) уравнение (5) принимает вид

e 1 = -K^1 + e2. (7)

Обеспечение асимптотической сходимости переменной (6), т. е.

lim e2(t) = 0, (8)

t ^ то

приведет к решению задачи (2); обеспечение заданной точности

||e2|| m б2 = const (9)

приведет к обеспечению заданной точности в системе (7). Задачи (8) и (9) решаются в системе

<?2 = A(q1, q2) + B(q1)u + B(q1)n +

+ ^(-К^ + e2) - y 1d (10)

с помощью управления u. С учетом, что q1 = col( q1,

q1), расщепим вектор управления Bu = B1(q1)u1 +

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

т-' і

+ B2(q1)u2, u1 е Rm, detB1 ^ 0 Vq1 е Q1, и представим систему (10) в виде

e 2 = ф(0 + B^q^up (11)

где ф(^) = A(q1, q2) + B2(q1)u2 + B(q1)n + K1(-K1e1 + + e2) - y 1d.

Широко распространенная концепция синтеза задачи стабилизации системы (11) состоит в обеспечении автономного управления, т. е. развязывания по управляющим воздействиям общего движения системы на подсистемы, описывающие динамику отдельных выходных переменных и последующего независимого синтеза задач стабилизации в этих подсистемах. Далее представлены разработанные авторами методы автономного управления в системе (11) в предположении, что элементы матрицы B1(q1) известны.

Общий закон управления имеет вид

B^q^u! = U0(e2) - ф(-), (12)

где U0(e2) = col(U0(e21), ..., U0(e2m)) — стабилизирующая обратная связь, компенсирующая перекрестные связи; ф(^) — вектор-функция, роль которой состоит в компенсации имеющихся неопределенностей. Моменты (12) играют в системе управления двойную роль, поскольку одновременно являются задающими воздействиями для отработки исполнительными устройствами (ИУ), что накладывает ряд ограничений на их выбор. Требуется, чтобы вектор-функции, составляющие управление (12), были ограничены и непрерывно дифференцируемы k раз по всем своим аргументам, где к — относительная степень динамической модели ИУ, составленной относительно моментов, приведенных к валу ИУ.

Введем обозначение невязки

e3 = B1(q1)u1 - U0(e2) + ф(-), e3 е Rm. (13)

Существенно, что при данном подходе реализуется возможность выбора различных комплектных ИУ, в которых независимо решается задача слежения за заданными значениями управляющих моментов (стабилизация невязки (13)) либо в асимптотике

lim e3(t) = 0, (14)

t —— то

либо с заданной точностью

||e2|| < 83 = const. (15)

3.2. Линейная стабилизирующая обратная связь

В системе (11) сформируем комбинированное управление

B1(q1)u1 = -K^ - ф(-), (16)

где ф(-) = со1(ф1, ..., ф^ K2 = diag{k2.}, k2. > 0,

i = 1, m . Замкнутая система (11), (16) с учетом выражения (13) примет вид e2 = -K2e2 + e3. Обеспечение условия (14) в системе управления ИУ приведет к следующим соотношениям: e3 ^ 0 ^ e2 ^ ^ 0 ^ e1 ^ 0 ^ y1 ^ y1d.

Для реализации управления (16) требуется измерять координаты q1 и q2 и оценивать в реальном времени с высокой точностью и быстродействием компенсирующую составляющую ф(^), что предполагает параметрическую определенность оператора объекта управления, вычисление величин y 1d (t) и y 1 d (t), построение адекватной модели возмущений (в предположении об их гладкости). Покажем, что требования к объему априорной информации об объекте управления и среде его функционирования, а также к объему вычислений, выполняемых в реальном времени, можно существенно сократить, если добавить в контур обратной связи наблюдатель состояния на скользящих режимах [5]. Данный наблюдатель (для его построения достаточно измерений угловых координат q1) позволяет за теоретически конечное время получить оценки преобразованных переменных, линейных комбинаций составляющих оператора объекта управления (минуя их непосредственное вычисление) и имеющихся неопределенностей при условии их ограниченности, а именно:

|фг] < F = const > 0, F = max{F}, i = 1, m . (17)

Для системы (7), (11) наблюдатель состояния имеет вид

*1 = K1z1 + z2 + vp z2 = B1(q1)u1 + v2, (18)

где z1, z2 е Rm — вектор состояния, v1, v2 — корректирующие воздействия наблюдателя, которые выбираются в виде разрывных функций так, чтобы решить задачу стабилизации системы, записанной относительно невязок s1 = (h(q1) - y1d) - z1 = e1 - z1,

s2 = e2 - z2, s1, s2 е Rm, которая в силу уравнений (7), (11) и (18) имеет вид

Б1 = -K1E1 + Е2 - v1, Б 2 = ф(-) - v2. (19)

В первом уравнении системы (18) сформируем разрывные корректирующие воздействия v1 = = M1signE1, где здесь и далее M1 = diag{m1;}, signE1 = = col(signE11, ..., signE1m), что приведет к возникно-

вению в первом уравнении (19) за конечное время t1 > 0 скользящего режима на многообразии S1 = = {e1 = 0} ^ z1 = e1 при выполнении условий

m1i > |e2.|, i = 1, m . Согласно методу эквивалентного управления [6] при t > t1 из уравнения статики имеем оценки E1 = e2 - v1eq = 0 ^ v1eq = e2, значения

которых получим с выходов линейных фильтров первого порядка вида

^Т1 = -т1 + v1, Т1 е Rm, Ц1 > 0,

lim Т1 = v1eq. (20)

Ц1 — то

Полученные значения (20) используются для формирования разрывных корректирующих воздействий во втором уравнении (18), что при

v2 = M2signE2, m2i > F, i = 1> m приведет к возникновению за теоретически конечное время t2 > t1 скользящего режима на многообразии S2 =

= {e2 = 0 П S1} ^ z2 = e2. Из уравнения статики имеем оценки E 2 = ф(-) - v2eq = 0 ^ v2eq = ф(^), значения которых получим с выходов линейных фильтров

^2 Т 2 = -т2 + v2, Т2 е Rm, ^2 > 0,

lim Т2 = v2eq. (21)

^2 —— то 4

Закон управления (16) при наличии наблюдателя состояния (18) и фильтров (20) и (21) реализуется в виде B1(q1)u1 = -K2z2 - т2. Данное выражение является сигнальным (а не аналитическим) заданием для отработки ИУ.

Объем информационного обеспечения можно еще больше сократить, если сформировать управление без компенсирующей составляющей в виде

B1(q1)u1 = -k2e2, (22)

где для простоты изложения к2 = const > 0. Для реализации закона управления (22) достаточно измерений q1 и редуцированного наблюдателя на скользящих режимах вида

z 1 = -Кд + vr (23)

С учетом уравнения (7) получим уравнение относительно невязки E1 = -K1e1 + e2 - v1. При

v1 = M1signE1, m1;. > |e2i|, i = 1, m за конечное время возникнет скользящий режим на многообразии S1 = {e1 = 0} ^ z1 = e1. Из уравнения статики имеем

оценки E1 = e2 - v1eq = 0 ^ v1eq = e2, значения которых получим с выходов фильтров (20). С учетом уравнений (23) и (20) управление (22) примет вид B1(q1)u1 = -к2т1.

Для реализации управления (22) в отличие от управления (16) не требуется определять компенсирующую составляющую ф(^), достаточно убедиться в ограниченности ее компонент (17). Существенно, что в данном случае класс допустимых возмущений n(t) может быть расширен за счет негладких функций времени. Роль коэффициента к2 в замкнутой системе (11), (22) заключается в подавлении имеющихся неопределенностей, что приведет к выполнению условия (9) и, соответственно, решению задачи слежения с заданной точностью (3). С целью более тонкой настройки, для неопределенностей системы (11) введем мажорирующую функцию

Ы m L0 + L1||e1|1 + L2||e2|1,

L0, L1, L2 = const > 0. (24)

С помощью второго метода Ляпунова покажем, что существуют такие значения к1 = к1г = = const > 0, к2, при которых в замкнутой системе (7), (11) и (22) выполняются соотношения (3) и (9). Введем квадратичную форму в виде суммы квадратичных форм:

V = V1 + V2 = 1 ef e1 + 1 e2T er (25)

Для производной первого слагаемого квадратичной формы (25) справедлива следующая оценка: V = ef e 1 = ef (e2 - k^) m ||e1||(||e2|| - к^П).

Неравенство V < 0 обеспечивается вне окрестности ||e1|| m ||e2||/k1 m 81 при к1 > ||e2||/81, откуда при фиксированном значении k1 = k1 определяется точность (9), которую требуется обеспечить в системе (11), (22):

||e2|| m k181 = б2 = const. (26)

Для второго слагаемого производной квадратичной формы (25) в силу выражений (11), (13),

(22), (24) и (26) справедлива оценка: V, = e2 e2 =

= ef (ф(0 + e3 - k2e2) m ||e2||(L0 + L1||eJ 1 + L2||eJ +

к1

+ ||e3|| - k2||e2||) < 0 вне окрестности ||e2|| m 82 при

k22 > L0/( k181) + L1/ k1 + L2, k23 > ||e3||/( k^), k2 = = k22 + k23. Первое неравенство является нижней оценкой для выбора к22 = к22. Из второго неравенства при фиксированном значении к23 = к23 определяется точность (15), которую требуется обеспечить на этапе синтеза управления в ИУ (к23 = 0, если в ИУ выполняется условие (14)). Поведение переменных замкнутой следящей системы (7), (11)

и (22) описывается логической цепочкой: ||e3|| m 83 (или e3 ^ 0) ^ ||e2|| m б2 ^ ||e1|| m 81.

Заметим, что наличие ограничений на управляющие моменты u1 = col(u11 , ..., u1m), KJ m U1i, U1 = min{ U1;} может привести к тому, что допустимого коэффициента усиления k2 m k2max(U1) может оказаться недостаточно для попадания в заданную окрестность (3). На практике наличие ограничений приведет к реализации управления (22) в виде линейной функции с насыщением B1(q1)u1 = -sat(k2maxe2). Возникает естественное желание учесть имеющиеся ограничения на стадии синтеза. Такой цели отвечают, например, системы с разрывными управлениями.

3.3. Разрывная стабилизирующая обратная связь

В системе (11), (17) сформируем разрывное управление

B1(q1)u1 = -Msigne2, (27)

что при выполнении условий F < m. m m.max,

mimax(U1i), i = 1, m приведет к возникновению за конечное время скользящего режима [6] на многообразии S = {e2 = 0} ^ e1 ^ 0 ^ y1 ^ y1d. К аналогичному результату приведет комбинированное управление B1(q1)u1 = - Msigne2 - ф(^), где 0 < m. m

m m. „ - F, i = 1, m . Данные алгоритмы управле-

.max .

ния, хотя и не реализуемы в рассматриваемой задаче в силу физических ограничений, налагаемых на управляющие моменты, важны с теоретической точки зрения как предельный случай. Следующий закон управления является допредельной реализацией разрывного управления в виде нелинейной непрерывно дифференцируемой ограниченной функции.

3.4. Нелинейная стабилизирующая обратная связь

Для системы (11) сформируем закон управления в виде

B1(q1)u1 = -Marctg(k2e2) - ф(-),

M, k2 = const > 0, (28)

где

arctg(k2, e2) = col(arctg(k2e21),

arctg(k2e2m)), \arctg(k2e2i)\ < П ,

arctg(k2e2i) k^TO 2- i = ЇГЙ .

(29)

В замкнутой системе (11), (28), (13) e2 = = -Marctg(k2e2) + e3 при выполнении условия (14), 0< m m m - F обеспечивается асимптотическая

. .max .

сходимость (8), так как е2* е2;. < 0 при е2* ^ 0 и

агС£(к2е2;.) ~ к2е2*. при е2*. ^ 0, i = 1, т . Информационное обеспечение закона управления (28): измерение и наблюдатель состояния (18), (20) и (21).

Покажем, что управление (28) без компенсирующей составляющей вида

В1(^1)м1 = — Маг^(к2е2) (30)

позволяет обеспечить заданную точность слежения. Точность, которую требуется обеспечить в замкнутой системе (11), (30)

е 2 = ф(0 + е3 — Маг^(к2е2), (31)

определяется выражением (26). Зафиксируем значение коэффициента к2 из следующих соображений:

п/2 — arctg(k252) < q ^ k2 > ctgq/( kl 51),

k2 = k2,

(З2)

где д — малая положительная величина. Для производной второго слагаемого квадратичной формы (25) с учетом выражений (17), (31) и (32) вне

окрестности ||е2|| < б2 имеем: ^2 = е2 = (ф(0 +

+ е3 - Marctg(к2е2)) < ||е2||(Ё + ||е3|| - М(п/2 - д)) < 0

при М1 > 2Ё/(п - 2д), М2 > 2||е3||/(п - 2д), М = М1 + + М2 < Мшах(и1). Данные неравенства являются оценками для выбора коэффициентов усиления в законе управления (30).

Информационное обеспечение закона управления (30): измерение ^ и редуцированный наблюдатель состояния (23), (20).

4. ПРОЦЕДУРА ДОПРЕДЕЛЬНОЙ ИЕРАРХИИ УПРАВЛЕНИЙ

Базовые алгоритмы вида (12) позволяют диаго-нализировать замкнутую систему и реализовать автономное управление выходными координатами, но требуют вычислений в реальном времени матрицы В1(^1) и обратной к ней. Предпримем попытки избежать таких вычислений. Вначале рассмотрим частный случай, когда В1(^1) = (Ь~) является матрицей с преобладающей диагональю в рассматриваемой области, а именно

т _

Ьц > £ , т |АЙ|, Ьй * 0

1 = 1,1 * *

\bi m by, i, j = 1, m, Vq1 є Qx

(ЗЗ)

ч-

С учетом выражения (33) для системы (11) закон управления имеет вид

и1 = -М£(Ьй)ап^(к2е2), (34)

где £(АЙ) = diag{signbй}, / = 1, т, который отличается от закона управления (30) тем, что для его реализации точного знания коэффициентов матрицы В1(^1) не требуется — только диапазон их изменения в рассматриваемой области, а для ненулевых диагональных элементов дополнительно — их знаки, определение которых существенно проще, чем вычисление значений.

Покажем, что в замкнутой системе (11), (34) обеспечивается заданная точность (9). Для получения нижней оценки для выбора коэффициента

2

М < - и исследуем второе слагаемое квадратичной п 1

формы (25), представленное в покоординатном виде

m

V2 = І V2P V2i = 1 (Є2і)2. i= 1 2

(35)

Для производной /-го (/ = 1, т) слагаемого квадратичной формы (35) с учетом выражений

(11), (17) (33) и (34), справедлива оценка Г2г =

т

= е2ге2г = е2,[Ф/(*> - М £ Ьг/-

/ = 1, / * г

— Mb.sign(b..)arctg(k2e2i)] m I eJ

Fi. — Mlbii — qj —

2

І bi

і=i, і * і

Вне окрестности \e2J m б2і справедливы неравен-

ства V21 < О при 2 F/(п B) < M, B = min <! b.. I 1 —

2i

— J —

І bij

j = 1, j * i

Для общего случая, когда предположение (33) не выполняется, воспользуемся идеологией метода иерархии управлений, разработанного для систем с разрывными управлениями [6]. Для рассматриваемой допредельной реализации (34) разрывных управлений далее предложена пошаговая процедура выбора коэффициентов обратной связи

M = diag{m;.|, m;. = const > 0, k2i > 0, i = 1, m на основе неравенств, которая позволяет искусственно получить матрицу с преобладающей диагональю (в общем случае, с преобладающими элементами из разных столбцов) перед управлением, для i-й компоненты которого вне окрестности |e2i| m 82i с учетом выражения (32) справедливы оценки:

(36)

uii < KJ < uii, uii = mi 12 — q.

u1i = m. 2, І = 1, m .

Для простоты изложения установим иерархию компонент вектора е2, совпадающую с их порядковыми номерами: |е21| < §21, ..., |е2т| < §2т. Это означает, что неравенство Ы < §2,. будет обеспечено лить после того, как выполнятся соотношения

|е21| ^ §2Р ..., |е2, г - 11 ^ §2, г - 1.

Шаг 1. В первом уравнении системы (11) выберем управляющую координату ип = — m1signb11 х

х агС^(к21е21) по признаку Ь11(^1) ^ 0 У^1 е Qx. Для производной первого слагаемого квадратичной формы (35) с учетом оценок (36) вне окрестности

т

|е21| < §21 имеем: *21 = е21 е21 = е21 [Ф1 + £ Ь1/и1/ -

/=2

- Ьпт^пЬпаг^(к21е21) ) < |е21| Г+ £ Ь,; и

ij uij

І = 2

— Ь11 т1 (^П - (1)) < 0 при выполнении условия

+ Е Ь1/ и1/)/ (ьи (П - (1)) < т1 т 2 ^ где / = 2 2 п Ь11 = |Ь11|. Для регуляризации задачи введем новое

управление и 11 и рассмотрим допредельную реализацию метода эквивалентного управления [6]. В асимптотике при к21 ^ +^> выполняются соотношения (29), е 2, ^ 0 и и 11 ^ и,, . Из уравнения

11 u11eq.

+

статики Є2ї = ф1 + І b1j.u1j. + b11u 11 = О ^ u 11

21 І = 2

-Ф1 — £ //) /Ь11, которое выполняется с

/=2

точностью до бесконечно малой а1(1/к21), найдем

выражение для управления и 11 и подставим его в остальные уравнения системы (11) вместо и11, получим

e21 = Ф1 + І bi ^ i = 2 m ,

І = 2

(37)

гДе Ф/ = Ф, - ^/іФі/^Ц. 4 = - Ь,-1Ь1у/Ь11-

Шаг 2. Во втором уравнении системы (37) выберем управляющую координату и12 = — m2sign ь22 х

х аг^(к22е22) по признаку ь22 (^1) ^ 0 У^1 є 01 и указанным образом осуществим регуляризацию задачи и т. д.

m

m

m

Шаг ц. В результате указанных преобразований последние (т — ц + 1) уравнений системы (37) примут вид

т

<е2, = фГ-1 + X Ьу-1 ии, і = Ц’ т, (38)

и - 1 и - 2

где фГ = фГ

у = и

ь£—21 фГ -1 /ь, - 2,и -1, ь

и — 1 т и — 1/ ~ и — 1, и -

= ьу2 - С 21К - 2,у /ьи - 2, и -1, 1ф? -11 < р? 1,

I ь у-11 < Ь У . Выберем в ц-м уравнении системы

(38) управляющую координату и1 , = —т,^п Ь и-1 х

х агс^(к2и е2,) по признаку Ь Г -1 (?1) * 0 У^1 є ^. Тогда вне окрестности | е2ц1 < §2,и справедливы

у

2 2 т

1 I I 7-, - 1 _ 7-, - 1

°ценки ^ = е2, [ф,- + X ЬУ иу— Ь

т х

У = и + 1

Х^пЬ и - 1 < |е2и ( - 1 + X Ь ,У * и^У '

т _ т _ -и-1 -

У= +1

I и -1

и и и V 2 ^и

выполнении условия

цц

при

т _ , _

ри-1 + ^ Ти-^

м-

X Ку иц)/[Ьи;1V 2 —

У = + 1

< т < 2 Ц, . и п 1 и

(39)

При к2 , ^ ^ выполняются соотношения (29), е2и ^ 0 и и 1и ^ и1иео. Из уравнения статики,

1 иеї‘

которое выполняется с точностью до бесконечно малой а ц (1/к2ц), найдем выражение для нового

управления и1, в виде е, , = Ф , 1 + X Ь1 и1у

+

+ Ь и ,-1 и1и =0^ и 1и = (— Ф,-1

У = +1

и и-1

и и-1

№

X Ь У1 и1у) /Ь и

У = + 1

и подставим его в остальные уравнения (38) вместо и1 , и т. д.

В результате указанных построений получим

/л• т — 1 і 7 т — 1

последнее уравнение (38) е, т = Фт + Ьтт и,,

2т т тт 1т

т- 1 т-2 дт-2 т-2 /дт-2 дт- 1

где фт фт Ьт, т- 1 фт- 1 / Ьт- 1, т- 1 , Ьтт

д т - 2 д т - 2 д т - 2 /» т - 2 п V/ ТЇ

= Ьтт Ьт, т- 1 Ьт- 1, т/ Ьт- 1, т- 1 ^ 0 Уд1 є ^1 ,

Тт — 1 - і 7 т- 1 і і т- 1 і - т-гт- 1 • ?т- 1

Ьтт < 1 Ьтт I 1 Фт 1 < рт , и1т = — mmSignЬтт Х

X аг^(к2те2т). Вне окрестности |е2т| < б2т имеем:

^тт = е2т( Фт— 1 — Ьтт1 тт^П Ьтт1 <

т |е2тІ[рт,— 1 — С,1 тт(2- — О) < 0 =•

=■ (1 /ГС ( П- — („)) < тт < 2 и1т- Выб^н-

ное из указанного диапазона значение т' подставляем в оценки предыдущих коэффициентов

(39), потом из (т — 1)-го неравенства определяем фиксированное значение т'-1 и т. д.:

?и -1

+

X Ь,У — 1 ту* 2 ) / (Ь

ги-1(п

/ = ц + 1

< т* т 2 и, , ц = т- 1, 1 .

ц п 1ц Р

Разработанную процедуру выбора коэффициентов обратной связи правомерно считать иерархической в асимптотике при к21 . к22 . ... . к2т ^ ^ +то. Существенно, что указанные построения проводятся на этапе исследования задач, что позволяет сократить объем вычислений в реальном времени. Для реализации алгоритма достаточно непосредственных измерений выходных переменных у1 и переменных наблюдателя (23), (20).

Закон управления, разработанный в данном разделе, представим в общем виде

и1 = -МУ( Ь,, 1 (д^агС^к^).

(40)

5. ПРИМЕР

Рассмотрим двухзвенный плоскостной манипулятор, динамическая модель которого описывается неизбыточной системой (1) с двумя степенями свободы: ^ = со1(4п, 412), у1 = со1(у11, у12), п = т = 2,

Иц = т1 /(21 + /1 + т2( /2 + /С + 2/l/C2Cosql2) + /2,

Н22 = т2 /с2 + /2, Н12 = Н21 =

= m2/1/c2cosq12 + т2 /с22 + /2,

С11 = —m2/1/c2sinql2q22,

С21 = m2/1/c2sinql2q21, С22 = 0,

С12 = —^— m2/1/C2SІnql2q21,

с, = т1 /с 1 cosq11 + т2£[/с2^(4п + ^12) + /1cosq11],

^2 = m2/C2gCOs(ql1 + ^12)^

Уп = ^1(^1) = /1cosq11 + /2cos(q11 + ^12),

У12 = й2(42) = /1sinq11 + /^т(4п + ^12), (41)

22 где /, = 0,4 кг^м , /2 = 0,25 кг^м — приведенные

моменты инерции, ^ = 9,8 м/с — ускорение свободного падения, т1 = 4 кг, т2 = 3 кг — массы, = 0,5 м, /2 = 0,5 м — длина, /с1 = 0,3 м, /с2 = = 0,25 м — расстояния от начала до центров тя-

т

м-

и-

ци

<

т

жести звеньев. Программная траектория имеет вид окружности (рис. 1)

Уш = gio + Rsin/, yi2d = g20 + R cost- (42)

В системе (1), (41) конкретному положению схвата в общем случае могут соответствовать две

конфигурации (q11, q12) и (q 11, q 12) (рис. 2). Заметим, что наличие информации о знаке q12 позволяет установить взаимно однозначное соответствие между координатами схвата и угловыми положениями звеньев y1 ^ q1.

В выходном отображении системы (1), (41) в виде (4) detJ = /1/2sinq12 ф 0 Vq12 е Q1 за исключением особых точек q*2 = ±кп, к = 0, 1, ..., которые

соответствуют вытянутой или сложенной руке манипулятора.

Рис. 1. Заданная траектория

Рис. 2. Разнообразие конфигураций

Рис. 3. Ошибка слежения e11 ® G

Представим систему (1), (41) в виде (7), (11):

6 1 і = к1і61і + 62і, 6 2 і = ф/О + ЬііО)иі + Ьг2( )и2’ І = 1, 2, (43)

где

Ф1 = “[^22^21 + (У22 - +

+ д [у12#22 — У12#12 ^2 — (у12 — ^1 +

*

+ (У12 — І^іп^і)#!! Є2 ] + кц(—кпеп + 621) — У 11 і, ф2 = [у21^21 + (у21 + 11®іп^11^'21)^22]

1 1 1 1

— Д [уі1#22 ^1 + У11#12 ^2 + СУц — 11С08^11)Н21 ^1 —

(Уц ^2 ] + к12( к12612 + 622) У12і ,

С*і — (сіі^21 + с12^22) + ^1(^1),

^2 — (с21^21 + С22^22) + ^2(^1),

Д = Н11#22 — #21Н12,

Ь11 — Д [(уі2 — 11^п^11)Н2і — у12#22],

Ь12 = Д [уі2#12 — (у 12 —

Ь21 = Д [уі1#22 — (уі1 — 1іС0ЗДц)Н2і],

Ь22 = Д [(уі1 — ^^іі^іі — у 11#12]*

На рис. 3 и 4 показаны невязки отработки задания (42) в системе (43) еп(0 — у11 — у11і, е12(0 = У12 — У12і в предельном случае, когда в законе управления (40) используется разрывная

функция и1 — — МУ( Ь\ї1 (^)^і§п(к2е2), что позволяет полностью подавить имеющиеся неопреде-

Рис. 5. Ошибка слежения |e11| < 0,01

ленности и обеспечить асимптотическую сходимость к заданным траекториям: е2 = 0 ^ е1 ^ 0. При допредельной реализации разрывного управления посредством функции арктангенса (40) обеспечивается заданная точность слежения (1М < 82 ^ ||е1|| < 81), результат отработки задающего воздействия (42) показан на рис. 5 и 6.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложены методы синтеза задач управления положением рабочего органа робота-ма-нипулятора на основе блочного подхода. Предложено формировать обобщенные моменты в виде непрерывных функций, являющихся аппроксимацией разрывных функций, что позволяет (в предельной ситуации) воспользоваться такими преимуществами методов систем с разрывными управлениями, функционирующих в скользящем режиме, как линеаризация, декомпозиция и инвариантность. Особенность работы состоит в применении наблюдателей состояния на скользящих режимах, что позволяет существенно сократить число непосредственно измеряемых переменных вектора состояния объекта управления и получить оценки неконтролируемых параметрических и внешних возмущений.

Отметим, что в данной работе решается в некотором смысле «узкая» задача управления положением рабочего органа манипулятора, тогда как на практике возникает ряд ограничений, формулируемых в конфигурационном пространстве, например, в задачах обхода препятствий и т. п.

ЛИТЕРАТУРА

1. Черноусько Ф.Л., Ананьенский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 328 с.

2. Уткин А.В. Метод расширения пространства состояния в задаче автономного управления // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 6. — С. 81—98.

3. Принцип блочного управления / С.В. Дракунов, Д.Б. Изосимов, А.Г. Лукьянов и др. // Автоматика и телемеханика. — 1990. — № 5. — С. 3—13.

4. Краснова С.А. Каскадный синтез системы управления манипулятором с учетом динамики электроприводов // Автоматика и телемеханика. — 2001. — № 11. — С. 51—72.

5. Краснова С.А., Уткин В.А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем. — М.: Наука, 2006. — 272 с.

6. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. — М.: Наука, 1987. — 368 с.

Ш (495) 334-93-21, e-mail: [email protected], [email protected]

Статья представлена к публикации членом редколлегии

С.Д. Земляковым. □