ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАССИВНЫХ ЗОН КОНВЕЙЕРНОЙ ОБРАБОТКИ ПРОТЯЖЕННОГО ОБЪЕКТА Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI 10.36622^Ти.2022.18.5.010 УДК 519.71

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАССИВНЫХ ЗОН КОНВЕЙЕРНОЙ ОБРАБОТКИ

ПРОТЯЖЕННОГО ОБЪЕКТА

Н.М. Мишачев, А.М. Шмырин, И.И. Супрунов Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Россия

Аннотация: рассматривается задача аддитивной конвейерной обработки протяженного объекта при наличии трех последовательных зон конвейера. Первая и третья зоны являются пассивными, в этих зонах изменение свойств объекта описывается некоторым локальным детерминированным законом, примером которого является уравнение теплопроводности. Аддитивная обработка объекта происходит во второй, активной зоне. Алгоритм обработки был описан ранее в статьях авторов. Исходными данными для алгоритма являются профили свойств объекта на выходе из первой зоны и на входе в третью. В то же время исходными данными общей задачи являются другие профили, а именно, профили свойств объекта на входе в первую зону и на выходе из третьей зоны. Для нахождения двух требуемых профилей нужно решить прямую задачу для детерминированного самодействия объекта в первой пассивной зоне конвейера и обратную задачу для самодействия в третьей пассивной зоне. Движение объекта можно описывать в координатах Лагранжа (т.е. в системе координат объекта) или в координатах Эйлера (т.е. в системе координат конвейера). В данной работе для решения прямой и обратной задач используются координаты Эйлера

Ключевые слова: конвейерная обработка, пассивные зоны, прямая и обратная задачи

Введение

Настоящая работа продолжает цикл работ [1]-[4], стимулом для которых послужила задача моделирования процесса принудительного охлаждения полосы горячей прокатки на отводящем рольганге посредством душирую-щих установок - см., например, [5]-[8]. В работах [1]-[4] рассматривалась абстрактная и значительно упрощенная одномерная версия этой задачи, которая в силу общности постановки может быть полезна и в других случаях, например в задачах логистики. Моделируется абстрактный процесс последовательной (конвейерной) аддитивной обработки движущегося одномерного протяженного объекта или серии движущихся точечных объектов однотипными неподвижными устройствами конвейера. Предполагается, что профиль свойств объекта, разделенного на условные последовательные фрагменты, на входе в конвейер описывается некоторой дискретной функцией или дискретным одномерным случайным процессом и, в общем случае, объект обладает локальным самодействием. Профиль свойств объекта на выходе из конвейера считается заданным. По аналогии с процессом охлаждения полосы на отводящем рольганге условный конвейер считается разделенным на три последовательные зоны, при этом активной зоной или зоной обра-

© Мишачев Н.М., Шмырин А.М., Супрунов И.И., 2022

ботки является только вторая зона. В задаче охлаждения полосы этой зоне соответствует зона душирующих установок. Аддитивность обработки означает, что значения управляющих воздействий устройств активной зоны прибавляются к профилю свойств объекта. В пассивных зонах изменение свойств объекта является результатом только самодействия. В исходной задаче охлаждения полосы горячей прокатки случайный процесс - это регистрируемая пирометром температура на входе, а локальное самодействие соответствует теплообмену (внутреннему и с окружающей средой), то есть описывается уравнением теплопроводности.

В работах [1], [2] были предложены две дискретные окрестностные модели для задачи конвейерной обработки движущейся полосы. В модели Эйлера использовались координаты Эйлера, связанные с неподвижным конвейером, в модели Лагранжа использовались координаты Лагранжа, связанные с движущейся полосой. Оказалось, что модель Эйлера более удобна для описания алгоритма обработки, изложенного в [3] и более подробно в [4]. Целью алгоритма обработки, то есть управления режимами включения-выключения устройств активной зоны, является достижение или, по крайней мере, аппроксимация некоторого заранее заданного профиля свойств объекта на выходе из конвейера. В задаче охлаждения полосы горячей прокатки такой целью является аппроксимация требуемого профиля температуры смотки при

сходе с рольганга, этот профиль должен обеспечивать достаточную равномерность дальнейшего охлаждения рулона. Исходными данными для алгоритма, описанного в работах [3],[4], являются профили свойств объекта на входе в активную зону и на выходе из активной зоны. Предполагается, что исходными данными общей задачи являются профили свойств объекта на входе в конвейер и на выходе из конвейера. При прохождении пассивных зон профиль свойств объекта изменяется детерминировано, в результате самодействия. Таким образом, мы имеем две дополнительные задачи для пассивных зон конвейера: прямую задачу для первой зоны и обратную для третьей. В работах [3],[4] эти задачи были поставлены, но решение не обсуждалось. В данной работе мы обсуждаем решения прямой и обратной задач в рамках описанной ранее дискретной окрест-ностной модели Эйлера. В связи с построением дискретной модели (для процесса типа процесса теплообмена) непосредственно, а не в результате дискретизации непрерывной модели, уместно напомнить мнение А.Н. Колмогорова о дискретных и непрерывных моделях, высказанное им в статье [9]: «Реальный процесс теплопроводности не более похож на свою непрерывную модель, чем на дискретную модель».

Фазовые и динамические окрестностные структуры

Модели конвейерной обработки, построенные в работах [1]-[4], основаны на понятия окрестностной структуры и окрестностной системы. Напомним (см. [10], [11]), что окрест-ностная структура представляет собой оснащенный орграф, с вершинами которого ассоциированы переменные (скалярные или векторные) моделируемого объекта. Все вершины орграфа разделяются на входы, узлы и выходы. На рисунках входы и выходы мы изображаем квадратами, узлы - окружностями. Абстрактная окрестностная система или, в терминологии [11], окрестностная «метасистема» состоит из статических или динамических уравнений связи между переменными модели и однозначно определяется окрестностной структурой. Абстрактная окрестностная система является прототипом конкретной окрестностной системы, в которой типы уравнений (линейные, полиномиальные или какие-либо другие) уже заданы полностью или с точностью до неизвестных параметров. Окрестностные структуры и си-

стемы являются удобным способом представления системы управления в пространстве состояний в случае, когда зависимости между переменными являются разреженными, например, в линейном случае это системы с разреженной матрицей коэффициентов. Окрест-ностные структуры, соответствующие дискретным динамическим системам, обычно представляют собой произведения фазовой окрест-ностной структуры на конечное или счетное множество моментов времени, при этом все дуги фазовой структуры получают дополнительную составляющую, соответствующую сдвигу по времени - см. пример перехода на рис. 1.

Рис. 1. Фазовая и соответствующая динамическая окрестностные структуры

Заметим, что петли фазовой структуры становятся вертикальными дугами динамической. На рис. 1 мы дополнительно предполагаем, что нижние входы фазовой структуры действуют только в начальный момент времени, а верхние выходы - только в конечный момент времени. Без этого условия дуги от каждого нижнего входа динамической структуры должны были бы идти в каждый из вертикально расположенных над ним узлов и, в свою очередь, каждый из этих узлов должен был бы иметь дугу, идущую в расположенный над ним вы-

ход. Два изолированных фрагмента структуры вверху соответствуют тому, что последние по времени состояния краевых узлов (полученные от входов) не успевают повлиять на внутренние узлы. Динамическая окрестностная структура на рис. 1, как нетрудно видеть, соответствует явной разностной схеме для уравнения теплопроводности на отрезке с краевыми условиями на концах отрезка. Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности также может быть интерпретирована на языке окрестност-ных структур и систем, но в этом случае динамические уравнения становятся неявными (при условии, что их левые части относятся к моменту времени £ + 1, а правые - к моменту £). Описанный выше алгоритм перехода от фазовой структуры к динамической должен быть модифицирован с учетом вида этих уравнений.

Конвейерная модель в координатах Эйлера

Предполагается, что протяженный объект разделен на N фрагментов. Фазовая окрестностная структура модели Эйлера, описанная в [1]-[4], содержит п + 1 = 1 + п1 + п2 + п3 узлов х0, х±,..., хп дискретизации неподвижного конвейера с переменными Х(С), Ь = 0,1, ...,п , один внешний вход й с переменной иь, £ = 0,..., N — 1, один выход ж с переменной £ = п + 1, ...,п + Ы, и п2 входов управления йп±+1,..., йП1+П2 с переменными

01(0, 1 = щ + 1, ...,пг +п2,

£ = ¿, ..,1 + N — 1. Начальный узел х0 является копией входа й, то есть Хг (0) = и1, X = 0,..., N — 1; этот узел введен для унификации обозначений. Первые пг узлов, от 1 до пг, соответствуют первой (пассивной) зоне конвейера. Следующие п2 узла, от щ + 1 до щ+п2, соответствуют активной зоне, над каждым из этих узлов расположен вход управления устройством обработки йп±+1, .-,йП1+п2. Последние п3 узла, от п1 + п2 + 1 до п = щ + п2 + щ, соответствуют последней (пассивной) зоне конвейера. Фазовая окрестностная структура модели Эйлера конвейерной обработки в случае пх=п2=пъ= 2 изображена на рис. 2.

Рис. 2. Фазовая окрестностная структура модели Эйлера, п1=п2=п3= 2

Прохождение объекта по конвейеру происходит за п + N тактов - моментов ни £ = 1, ...,п + N. Каждый такт соответствует сдвигу объекта на один узел вправо. В момент времени £ = 1 начальный фрагмент объекта находится в узле х±, при £ = п + N — 1 конечный фрагмент объекта находится в узле хп , при £ = п + N объект сходит с конвейера. Через каждый узел объект проходит за N тактов. В общем случае п и N могут быть любыми: п < N или п> N. Движение объекта отражается в структуре дуг между узлами: действию (т.е. локальному самодействию) узла на себя и на своих соседей слева и справа в модели Эйлера соответствует петля и две входящие дуги от двух соседей слева. В модели, адаптированной для задачи охлаждения полосы прокатки, один момент времени соответствует смещению на расстояние А между центрами душирующих блоков, общая длина полосы равна N • Л и, как правило, N » п.

Уравнение состояния узла (то есть состояния фрагмента объекта, проходящего через узел конвейера) в общем случае имеет вид Х1+1(1) = f^t(Xt(i),Xt(i — 1),Х1(1 — 2), и1(1 — 1))

В зависимости от номера узла £ и момента времени £ в уравнениях системы могут отсутствовать управление, некоторые из состояний и, более того, может отсутствовать и само уравнение. Например, записанная с учетом движения протяженного (Ы > 3) объекта динамическая окрестностная система (точнее, «метасистема»), соответствующая фазовой окрестностной структуре на рис. 2, имеет довольно сложный вид. Для каждого узла (кроме первого) система содержит уравнение для момента начала прохождения объекта через этот узел, группу однотипных уравнений для прохождения средней части объекта и уравнение для момента прохождения конца:

=

£ = 0, ....Я - 1

£ = 1, - 1

г = 2, - 1 ^+1(2) = ^(^(1),^(2)) Х3(3) = РЦХ2(1),Х2(2))

^+1(3) = ^|(*Ч1),*Ч2)ДЧ3)), £ = 3,

*4(4) = ^3(*3(2)Д3(3),У3(3))

(4) = #(хЧ2),ХЧ3),ХЧ4),б*(3)), С = 4,...,Л + 1

Х5(5) = ^г^ (*4(3)Д4(4), У4(4)) £ = 5, + 2

^+1(6) = ^1(^(4),^(5),^(6)), £ = 6, ...,М + 3

^+5(6) = рЦ+4(Хк+*(5),Хк+*(6)),

= *Ч6) ¿ = 6, .,N + 5.

Эта система, очевидно, не совпадает с динамической окрестностной системой, записанной формально по фазовой окрестностной структуре. Таким образом, в задаче с движением объекта фазовая окрестностная структура (и в модели Эйлера, и в модели Лагранжа) не дает полной информации об окрестностной системе. Чтобы формально (используя только дуги и узлы окрестностной структуры) записать адекватную задаче систему, нужно построить полную динамическую окрестностную структуру модели.

Динамическая окрестностная модель для пассивных зон конвейера

В работах [3], [4] было сделано упрощающее предположение о малом влиянии самодействия объекта на процесс обработки в ак-

тивной зоне конвейера. Соответствующая этому предположению редуцированная фазовая окрестностная структура изображена на рис. 3.

Рис. 3. Фазовая окрестностная структура модели Эйлера (п1 = п2 = п3 = 2) при отсутствии самодействия в активной зоне

Это упрощение позволило описать алгоритм обработки объекта в активной зоне без построения динамической окрестностной структуры, только на основании фазовой. Для решения прямой и обратной задач самодействия объекта в пассивных зонах конвейера нам все же потребуется динамическая структура модели Эйлера, но только ее часть, соответствующая пассивным зонам. Более того, поскольку мы предполагаем, что законы самодействия в пассивных зонах являются локальными, то есть на каждый узел влияет только он сам и два соседних узла, то динамические структуры в двух пассивных зонах не отличаются и потому достаточно рассмотреть одну пассивную зону и решить для нее прямую и обратную задачи.

Далее мы рассматриваем конвейер, состоящий только из одной пассивной зоны. Для случая пяти узлов конвейера (включая нулевой - копию входа) и объекта, состоящего из десяти фрагментов (то есть п = 4 и N = 10), динамическая окрестностная структура модели Эйлера представлена на рис. 4. В верхней части рисунка для наглядности изображена исходная фазовая окрестностная структура.

В общем случае значения переменных в к-том столбце динамической окрестностной структуры образуют профиль свойств объекта при прохождении фазового узла хк, то есть вектор

Х(к) = [Хк+1(к).....Хк+"(к)]т.

В частности, ^(0) = и - это профиль свойств на входе, и Х(п) = IV - это профиль свойств на выходе. Можно считать, что все профили ^(0), ...,^(п) являются векторами одного и того же пространства М". Это соответствует «выпрямлению» динамической структуры преобразованием (¿, х) ^ (£ — х, х), см. рис. 5, и

будет особенно полезно для анализа линейных моделей.

X

Рис. 4. Динамическая окрестностная структура пассивной зоны в модели Эйлера, п = 4, N = 10.

Решение прямой и обратной задач в общем случае

Локальное самодействие объекта в векторных обозначениях описывается следующей системой уравнений:

*(1) = ^ДО)Д(1)) Х(к) = Рк(Х(к-2),Х(к-1)Х(к)) (*) к = 2,...,п

Рис. 5. Динамическая окрестностная структура после выпрямления (¿, х) ^ — х,х)

В данной векторной записи специфика рассматриваемой окрестностной системы частично теряется, тем не менее, запись полезна тем, что позволяет решить прямую и обратную задачи в общем виде. Решая уравнения системы относительно Х(1) и Х(к) (в предположении, что это возможно), мы получаем систему

1(1)_= С! ДО)) Х(к) = Ск(Х(к - 2),Х(к - 1)) к = 2,...,п

Заметим, что если самодействие инвариантно относительно сдвигов по длине объекта, то ак = С/, то есть операторы ак не зависят от к = 2, ...,п. Рекуррентно определяются операторы

^ДО)) = ^ДО))

Д2ДО)) = С2(Х(0),Я1(Х(0)))

= ^(^ДО^^ДО)))

Я„ДО)) = ^(Я^ДО^Я^ДО)))

Построенный оператор Яп решает прямую задачу,

Ю = Х(п)= Пп(Х(0));

обратный оператор К^1 решает обратную задачу,

х(0) = «¿чад) = длйо .

Решение прямой и обратной задач для линейных систем

В случае линейных моделей введенная выше векторной запись системы (*) позволяет полностью учесть специфику задачи. Для записи линейной системы нам потребуются матрицы

0 0. 0 0 0 1. 0 0

1 0 . .0 0 и ST = 0 0. .0 1

0 0. .1 0. 0 0. 0 0

Система (*) в линейной версии на основании структуры, изображенной на рис. 5, может быть записана в виде

Х(1) = ВгХ( 0) + С^Ц)) Х(к) = АкБтХ(к — 2) + ВкХ(к — 1) + СкБХ(к) к = 2,...,п

где В1,С1,Ак,Вк,Ск - квадратные матрицы порядка п. В простейшем случае (аналогичном разностным схемам) эти матрицы заменяются числами, самодействие инвариантно относительно сдвигов по длине объекта, и мы получаем систему

1(1) = ЛХ(0) + ^Х(1)) Х(к) = аБтХ(к — 2) + рХ(к — 1) + уБХ(к) к = 2,...,п

Операторы и С/ имеют вид

1(1) = Л(Е — цБ)-гХ( 0) Х(к) = (Е — уБ)-г(аБтХ(к — 2) + $Х(к — 1)) к = 2, ...,п

Далее операторы Rn и fí^1 могут быть вычислены рекуррентно по формулам, указанным выше.

Заключение

Статья дополняет исследования, проведенные ранее авторами в [1]-[4]. Описан метод решения прямой и обратной задач для пассивных зон конвейера, позволяющий найти начальные данные для алгоритма управления обработкой протяженного объекта в активной зоне конвейера, предложенного в [4].

Литература

1. Мишачев Н.М., Шмырин А.М., Супрунов И.И. Окрестностные структуры для модели конвейерной обработки протяженного объекта // Вестник Липецкого государственного технического университета. 2020. № 1(42). С. 22-27.

2. Mishachev N.M., Shmyrin A.M., Suprunov I.I. Simulation of sequential processing of a moving extended object // International Transaction Journal of Engineering, Management and Applied Sciences and Technologies. 2020. Vol. 11. № 7. P. 1107

3. Шмырин А.М., Мишачев Н.М., Супрунов И.И. Окрестностное моделирование конвейерной обработки стохастического потока данных // Системы управления и информационные технологии. 2021. № 2(84). С. 19-22.

4. Mishachev N., Shmyrin A., Suprunov I. Generating Schedule in Linear Additive Neighborhood Model // Proceedings - 2021 3rd International Conference on Control Systems, Mathematical Modeling, Automation and Energy Efficiency, SUMMA 2021 (3). P. 15-18.

5. Filipczyk W., Fredrick W., Chang Fu-Hsiang. Advanced control of coiling temperature in China steel's hot mill // 12th IFAC Symposium on Automation in Mining, Mineral and Metal Processing. 2007. Vol. 40. Issue 11. Р. 421-426.

6. Simulation of accelerated strip cooling on the hot rolling mill run-out roller table/ U. Muhin, S. Belskij, E. Makarov, T. Koynov // Frattura ed Integrita Strutturale. 2016. Vol. 10. Issue 37. Р. 305-311.

7. Koinov T., Kihara J. Process Optimization for Hot Strip Mill // Trans. of the ISI of Japan, 1986. Р. 895-902.

8. Method of calculating the cooling of steel strips on the collecting roller table/ G.S. Senichev, G.A. Medvedev, S.A. Denisov, A.G. Medvedev// Steel. 2007. №2. Р. 77-78.

9. Колмогоров А.Н. Комбинаторные основания теории информации // Успехи математических наук. 1983. №38(4). С. 27-36.

10. Мишачев Н.М., Шмырин А.М. Окрестностные структуры и метаструктурная идентификация // Таврический вестник информатики и математики. 2017. Т. 37. Вып. 4. С. 87-95.

11. Мишачев Н.М., Шмырин А.М. Метаструктурная идентификация. Воронеж: Ритм, 2019. 189 c.

Поступила 01.08.2022; принята к публикации 17.10.2022 Информация об авторах

Мишачев Николай Михайлович - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики, Липецкий государственный технический университет (398055, Россия, г. Липецк, ул. Московская, д. 30), e-mail: [email protected]

Шмырин Анатолий Михайлович - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики, Липецкий государственный технический университет (398055, Россия, г. Липецк, ул. Московская, д. 30), e-mail: [email protected] Супрунов Игорь Иванович - старший преподаватель кафедры высшей математики, Липецкий государственный технический университет (398055, Россия, г. Липецк, ул. Московская, д. 30), e-mail: [email protected]

DIRECT AND INVERSE PROBLEMS FOR PASSIVE ZONES OF CONVEYOR PROCESSING OF EXTENDED OBJECT

N.M. Mishachev, A.M. Shmyrin, I.I. Suprunov

Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russia

Abstract: the paper considers the problem of additive conveying processing of an extended object in the presence of three successive conveyor zones. The first and third zones are passive, in these zones the change in the properties of the object is described by some local deterministic law, an example of which is the heat equation. Additive processing of the object takes place in the second, active zone. The processing algorithm was described earlier in the articles of the authors. The initial data for the algorithm are the profiles of the properties of the object at the exit from the first zone and at the entrance to the third. At the same time, the initial data of the general problem are other profiles, namely, the profiles of the properties of the object at the entrance to the first zone and at the exit from the third zone. To find the two required profiles, it is necessary to solve the direct problem for the deterministic self-action of the object in the first passive zone of the conveyor and the inverse problem for the self-action in the third passive zone. The movement of an object can be described in Lagrange coordinates (i.e. in the object coordinate system) or in Euler coordinates (i.e. in the conveyor coordinate system). In this paper, the Euler coordinates are used to solve direct and inverse problems

Key words: conveyor processing, passive zones, direct and inverse problems

References

1. Mishachev N.M., Shmyrin A.M., Suprunov I.I. "Neighborhood structures for a model of conveyor processing of an extended object", Bulletin of Lipetsk State Technical University (Vestnik Lipetskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2020, no. 1(42), pp. 22-27.

2. Mishachev N.M., Shmyrin A.M., Suprunov I.I. "Simulation of sequential processing of a moving extended object", Int. Transaction J. of Engineering, Management and Applied Sciences and Technologies, 2020, vol. 11, no 7, pp. 1107

3. Shmyrin A.M., Mishachev N.M., Suprunov I.I. "Neighborhood modeling of conveyor processing of stochastic data flow", Control Systems and Information Technologies (Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii), 2021, no. 2(84), pp. 19-22.

4. Mishachev N., Shmyrin A., Suprunov I. "Generating schedule in linear additive neighborhood model", Proc. of2021 3rd International Conference on Control Systems, Mathematical Modeling, Automation and Energy Efficiency, SUMMA, 2021, no. (3), pp. 15-18.

5. Filipczyk W., Fredrick W., Chang Fu-Hsiang "Advanced control of coiling temperature in China steel's hot mill", 12th IFAC Symposium on Automation in Mining, Mineral and Metal Processing, 2007, vol. 40, issue 11, pp. 421 -426.

6. Muhin U., Belskij S., Makarov E., Koynov T. "Simulation of accelerated strip cooling on the hot rolling mill run-out roller table", Frattura ed Integrita Strutturale, 2016, vol. 10, issue 37, pp. 305-311.

7. Koinov T., Kihara J. "Process optimization for hot strip mill", Trans. of the ISI ofJapan, 1986, pp. 895-902.

8. Senichev G.S., Medvedev G.A., Denisov S.A., Medvedev A.G. "Method of calculating the cooling of steel strips on the collecting roller table", Steel, 2007, no. 2, pp. 77-78.

9. Kolmogorov A.N. "Combinatorial foundations of information theory", Advances in Mathematical Sciences (Uspekhi ma-tematicheskikh nauk), 1983, no. 38(4), pp. 27-36.

10. Mishachev N.M., Shmyrin A.M. "Neighborhood structures and metastructural identification", Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics (Tavricheskiy vestnik informatiki i matematiki), 2017, vol. 37, no. 4, pp. 87-95.

11. Mishachev N.M., Shmyrin A.M. "Metastructural identification" ("Metastrukturnaya identifikatsiya"), Voronezh, Ritm, 2019, 190 p.

Submitted 01.08.2022; revised 17.10.2022 Information about the authors

Nikolay M. Mishachev, Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Lipetsk State Technical University (30 Mos-kovskaya St., Lipetsk 398055, Russia), e-mail: [email protected]

Anatoliy M. Shmyrin, Dr. Sc. (Technical), Professor, Head of the Higher Mathematics Department, Lipetsk State Technical University (30 Moskovskaya St., Lipetsk 398055, Russia), e-mail: [email protected]

Igor' I. Suprunov, Assistant Professor, Lipetsk State Technical University (30 Moskovskaya St., Lipetsk 398055, Russia), email: i.i. [email protected]