CC BY
61
УДК 551.594+537.86
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ МОЛНИЕВОГО РАЗРЯДА: ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
В.В. Крымский, А.С. Староверов г. Челябинск, ЮУрГУ
Исследование молниевых разрядов в настоящее время актуальная задача. Системы обнаружения и исследования молний используются для определения параметров молнии в конкретном регионе. Статистические данные, полученные в результате, важны для дальнейших исследований и для разработки систем защиты от молний.
Можно выделить прямую и обратную задачи для молниевого разряда. Прямая задача применима для анализа величин помех, создаваемых молниевыми разрядами. Обратная задача применима для определения параметров молниевого разряда, проектирования приборов для обнаружения молний. В статье рассматриваются данные задачи и их известные решения.
1. Вычисление электромагнитного поля (прямая задача для молниевого разряда)
Прямая задача состоит в вычислении параметров электромагнитного поля, используя характеристики молниевого разряда. Известны данные о разряде - закон распределения тока 1(1). Нужно посчитать зависимость параметров электромагнитного поля £ и Я в зависимости от расстояния К до места измерения поля и известного закона изменения тока в молнии. Результат расчета электромагнитного поля позволит оценить помехи, которые возникнут при появлении молниевого разряда [7].
Решение прямой задачи состоит в построении модели молниевого разряда и определения значения полей исходя из параметров модели.
В [2] рассматривается следующая модель: земля рассматривается как ровная проводящая поверхность, а центры грозового заряда - как точечные заряды или как сферически симметричные распределения зарядов (см. рисунок).
------ о --------
+Q
1
Проводящая в
/Уплоскость '////* Ч<///
И s' / і 1
і
'+Q
Модель расчета напряженности заряда - основа для вычисления электрического поля на земле, вызываемого зарядами гроз выше земли
Общее электрическое поле в точке наблюдения получается следующее:
2QH
(1.1)
о6щ 4tc80(#2 + D2)312 Если D » Н, то выражение (1.1) можно запила
сать в виде:
2QH
общ 4ns0D3 4пе 0Z)3
(1.2)
где М ~ 2QH - дипольный электрический момент заряда и его изображения.
В [3] приводятся общие формулы для вычисления значений вертикальной составляющей Е: электрического поля и азимутальной составляющей магнитного поля 2?ф, которые получил в [8]
К. ТЪойаррШП. Значения получены для случая движущегося вверх возвратного удара для точки наблюдения Р при условии идеальной проводимости земли.
Е:(г, 0 =
ЖА
1 ГЯГ} 2z'2-r2
2яє0[ / R\z')
f I(z',x-^^-)dxdz'+
j n
=i+m
O —*2 2 n/
+ J 7^7T/(z>'t-— о
H(t)
-J-
c/TOO
r2 dI(z\t-R{z'))
о c2R\z') H(t)
dt
dz'}
Mr,0^1 J
H«)
+ J
2n >
r dI(z\t-R(z')/c)
+
0 cR\zf)
Ho r 2ті cR2(H(t))
dt
dz'}
(1.4)
V
dt
где Vy - скорость разряда, H(t) - высота возвратного удара, которую видит наблюдатель в точке Р
Крымский В.В., Староверов А.С.
Прямая и обратная задачи для молниевого разряда: _________формулировка задач и методы их решения
на земле в момент времени t. Эта высота может быть найдена из следующего выражения:
я(р [ Я(Н0))
V/ с
(1.5)
Для модели возвратного удара необходимо чтобы был задан 1{г’, і). ТЬойаррПШ также приводит данные выражения, где вместо / используется плотность тока р.
В [7] предлагается использовать метод векторного потенциала для расчета полей, порождаемых молниевым разрядом. Так диаметр канала молнии намного меньше, чем длина разряда, то разумным считается применение модели линейного излучателя [1] для анализа зависимости между Е, Я и током молнии I. Вектора Е и В в данном случае могут быть вычислены с использованием уравнений:
(1.6)
<3/
В = гоіА,
(1.7)
где А - векторный потенциал:
-*/ \ Ип гї(р',і-Я/с)
---- (1'8)
где р’в1,Я = \р-р'\,
Ф - скалярный потенциал:
"’М'їїГЇ-----------------^—*■ °'9)
Я
Используя преобразование Лоренца, можно получить для значения поля в конкретный момент:
Ё(р, і) = с2 |&ай А\\А(р, і)&
Щр,0
сі/
(1.10)
где 10=Яо/с0, Яо - наименьшее расстояние между точкой наблюдения и каналом разряда, г — текущее время. Уравнения (1.6), (1.8), (1.10) могут быть использованы для определения тока вдоль канала разряда, для этого требуется еще модель самого канала.
Рассмотрим 2 модели канала разряда. Модели можно использовать для расчета тока во время движения лидера и во время основного разряда. Первая модель (простая) - электрическая схема, содержащая Я, Ь и С элементы. В этой схеме происходит разряд емкости на Я, Ь элементы. Емкость образуется заряженным облаком и землей, либо двумя облаками. Величина емкости может быть примерно рассчитана путем измерения формы и размеров облака с помощью метеолокатора. Аналитические выражения для расчета тока этой модели известны из электротехники - они представляют затухающую синусоиду. Вторая модель более сложная и точная - разряд конденсатора на длинную линию. Дискретный аналог длинной линии - бесконечная цепочка ячеек из /?„ Ь„ С„ б;
элементов. Я„ Ь„ С, - сопротивление, индуктивность и емкость элементарного участка канала. Аналитические выражения для расчета тока в такой модели также хорошо известны. В большинстве случаев для расчета используется операторный метод. Изображение тока представляет собой затухающую волну. Скорость движения волны определяется параметрами Я„ Ь„ С„ О,. Вычисляя
оригинал тока 7(0 и подставляя его в формулу (1.8) получаем значение потенциала А , а затем и поля ЕиВ , которые возникают при заряде.
Рассмотрим модель установки, необходимой для решения прямой задачи для молниевого разряда, анализа помех от молниевых разрядов. Предлагаемая установка состоит из радара, использующегося для определения расстояния и вычисления других параметров облаков (размеров, приблизительного заряда), набор приборов для определения величины электромагнитного поля, блока для обработки полученных сигналов и компьютера. Принцип работы установки состоит в следующем. Сначала с помощью радара определяется расстояние до молниевого разряда. Затем производится расчет закона изменения тока в разряде с помощью: полученного расстояния, величин электромагнитных полей, предложенной модели канала разряда. Когда закон изменения тока получен, можно вычислить помехи (величины электромагнитных полей Е и В ) от молниевого разряда в произвольной точке пространства - решением прямой задачи.
2. Вычисление параметров молниевого разряда (обратная задача для молниевого разряда)
Обратную задачу можно сформулировать следующим образом: необходимо посчитать параметры молниевого разряда (ток /(*)) или расстояние до заряда Я, если известны данные о величинах полей £ и Я, которые порождаются молниевым разрядом. Разные формы данной задачи описываются в [2, 3, 5-7].
Модель канала разряда (электрическая схема из Я, Ь и С элементов), которая приводилась выше, может быть использована для расчета тока во время движения лидера (решения обратной задачи -определения параметров Я,ЕиС разряда по форме излучаемого разрядом сигнала). Задача успешно решается методом сплайн-аппроксимации. Ошибка при вычислениях может достигать в данном случае 5-10 %.
Для решения обратной задачи можно рассмотреть уравнение, полученное ТЪойаррШЛ [8].
Если электрическое поле измеряется вдали от грозы, то по его измерениям, обусловленным исчезновением грозового разряда (при переносе заряда к земле разрядом молнии, например) при заданном £> можно из (1.2) вычислить изменения в дипольном моменте.
Серия «Энергетика», выпуск 9
23
Электроэнергетика
К обратной задаче также относится радиолокация грозовых очагов. Задача местоопределения грозовых разрядов в настоящее время достаточно важная [5, 7]. Наиболее применяемым методом дальнометрии является амплитудный из-за простоты реализации. Однако у данного метода достаточно высокие погрешности (20-35 %). Амплитудный дальномер работает в радиусе до 300 км. В [3] приводится формула расчета расстояния (для простейшего случая - у земли идеальная проводимость, сферически симметричная область, откуда идет разряд заряда <2, координаты центра области - х,у,г), использующая изменение электростатического поля:
АЕ„
2Qz
4то,
(X-Xlf+(y-yif+Z>
3/2
. (2.1)
Данная формула - общий случай (1.1). Здесь АЕС1 - предсказанное моделью (вычисленное) изменение поля на /-й станции, х,, у) - координаты станции. В формуле (2.1) четыре неизвестных (£,х,у,г), для их определения требуется 4 или больше станции. Функция хи-квадрат для разряда облако-земля следующая:
(2.2)
где АЕт
измеренное изменение поля на г-и
станции на земле, ст, - разница в измерениях на г'-й станции из-за ошибки измерений.
В [5] приводятся достаточно интересные факты, а именно, условия возникновения грозового разряда: существование в облаке зоны с напряженностью >Екр (для начала разряда), которая должна находиться внутри области с напряженностью >Е0 (для поддержания разряда). Приводятся значения величин напряженностей необходимых для начала разряда: Екр >10б В/м, Е0 > 105 В/м.
Анализ показывает, что для облаков с большими значениями Е0 и малыми Ещ, грозовой разряд не возникает до тех пор, пока в облака не будет направлен какой-либо объект (ракета, самолет), с которого начинается разряд при относительно малых значениях Ещ,. Эти данные можно использо-
вать при проектировании приборов, направленных на обнаружение предгрозового состояния облаков.
Заключение
В настоящее время разработаны различные способы решения прямой и обратной задач для молниевых разрядов - но поиск решений не заканчивается, т.к. многие приводимые решения имеют достаточно высокие погрешности и сложную реализацию на практике. Перспективным направлением исследований является дальнейшая работа по решению этих задач с использованием результатов и методов из [1, 7].
Литература
1. Крымский, В.В. Теория несинусоидальных электромагнитных волн/ В. В. Крымский, В.А. Бухарин, В. И. Заляпин. - Челябинск: Издательство ЧГТУ, 1995. -128 с.
2. Юман, М. Молния/ М. Юман. - М.: Мир, 1972. - 327 с.
3. Rakov V.A., Uman М.А. Lightning: Physics and Effects. - Cambridge: Cambridge University Press, 2003. -687p.
4. Степаненко, В.Д. Радиотехнические методы исследования гроз/ В.Д. Степаненко, С. М. Гальперин. — Л.: Гидрометеоиздат, 1983. —204 с.
5. Трусковский П. Анализ методов и средств
однопозиционной пассивной радиолокации грозовых очагов: материалы междунар. конф., состоявшейся в институте Транспорта и Телекоммуникаций 14 декабря 2004 г. // Институт транспорта и телекоммуникаций [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.tsi.lv/ Trans-
port&Telecommunication/v61 _ruZartl0.pdf.
6. Кононов, ИИ Радиотехнические методы местоопределения грозовых очагов/ ИИ Кононов, И.А. Петренко, B.C. Снегуров. - Л.: Гидрометеоиздат, 1986.
7. Krymsky V V. Calculation and measurement of disturbances from lightning discharges // International Wroclaw symphosium of electromagnetic com-pability. 1990. -P. 654-657.
8. Thottappillil R., V.A. Rakov, and M.A. Uman (1997), Distribution of charge along the lightning channel: Relation to remote electric and magnetic fields and to retum-stroke models, J. Geophys. Res., 102(D6), 6987-7006.
Крымский Валерий Вадимович, 1945 года рождения, доктор физико-математических наук, профессор. Окончил ЧПИ (ныне ЮУрГУ) в 1970 году. В 1979 году защитил кандидатскую диссертацию. В 1993 году защитил докторскую диссертацию.
Староверов Антон Сергеевич, 1983 года рождения, с октября 2006 года - аспирант кафедры «Электротехника» ЮУрГУ. Окончил кафедру «Прикладная математика» механи-ко-математического факультета ЮУрГУ в 2005 году.
