CC BY
128
УДК 004.942 ББК 32.817
ВВ. АНДРЕЕВ, В.Ю. ЛУКИЯНОВА
ПРОВЕРКА ЗАКОНА ГИБРАТА ДЛЯ НАСЕЛЁННЫХ ПУНКТОВ ЧУВАШСКОЙ РЕСПУБЛИКИ
Ключевые слова: системы поддержки принятия решений, мобильность населения, закон Ципфа, закон Гибрата, математические модели социально-экономических систем.
Для создания систем поддержки принятия оптимальных управленческих решений в крупных социально-экономических системах важное место занимает разработка адекватных математических методов, описывающих динамику подобных сложных систем. Важность математических моделей, описывающих динамику социально-экономической системы, заключается в том, что они позволяют, в частности, учесть в процессе разработки и проведения социально-экономических преобразований наиболее проблемные направления, которые представляют собой приоритеты развития и в то же время являются источниками рисков. Выявление основных тенденций, сложившихся в динамике социально-экономической системы и определяющих её дальнейшую эволюцию, является ключевым элементом при принятии тех или иных управленческих решений. Так, для выработки и проведения эффективной социально-экономической политики важное значение имеют правильное описание и понимание процессов, являющихся движущими факторами мобильности населения. В частности, это важно при решении следующих вопросов: на какой территории наиболее оптимальным будет размещение нового производства; как на обозримую перспективу точнее прогнозировать численность экономически активного населения и трудовых мигрантов на тех или иных территориях; является ли эффективным предоставление субсидий, например, из федерального бюджета, для развития малых городов и поселений; эффективно ли финансирование перевозок населения в больших городах от места проживания до места работы и обратно. В данной работе на основе данных всероссийской переписи населения 2010 г. исследованы закономерности распределения населения Чувашской Республики по населённым пунктам. Доказано, что законы Ципфа и Гибрата для населённых пунктов Чувашской Республики не выполняются. Результаты исследования показывают территориальную несбалансированность социально-экономической системы Чувашской Республики. Подобные исследования важны для своевременного принятия оптимальных управленческих решений.
V. ANDREEV, V. LYKIYANOVA TEST OF GIBRAT'S LAW FOR POPULATED LOCALITIES OF CHUVASH REPUBLIC Key words: decision support systems, population mobility, Zipf's law, Gibrat's law, mathematical models of socio-economic systems.
The development of adequate mathematical methods describing the dynamics of large socioeconomic systems occupies an important place in the process of creating support systems of optimal management decisions in such complex systems. The use of mathematical models, describing the dynamics of the socio-economic systems, is important as they allow, in particular, to take into account in the process of planning and implementing socio-economic reforms the most problematic areas that are both priorities for development and sources of risk. Identification of major tendencies prevailing in the dynamics of the socio-economic system and determining its further evolution is the key element in making administrative decisions. Therefore, it is essential for the development and implementation of effective social and economic policy to correctly describe and understand the processes, which are the moving factors ofpopulation mobility. In particular, it is important for solving the following problems: what site will be the most suitable for a new manufacturing plant; how to make prognosis for the foreseeable future concerning the number of economically active population and migrant labourers on certain territories; whether it is effective to subsidize the development of small towns and villages by the federal government or to finance transportation of working people, residing in big cities, from their place of living to and from work.
Based on the 2010 National Population Census, there were investigated the patterns of distribution of the Chuvash Republic population on localities. The research proved that the laws of Zipf and Gibrat do not work for populated localities of the Chuvash Republic. The results showed the territorial imbalance of the Chuvash Republic socio-economic system. Research like this is importantfor timely and optimal management decisions.
Большое значение для выработки и проведения эффективной социально-экономической политики имеют правильное описание и понимание процессов, являющихся движущими факторами мобильности населения. В частности, это важно при решении следующих вопросов: на какой территории наиболее оптимальным будет размещение нового производства; как на обозримую перспективу точнее спрогнозировать численность экономически активного населения и трудовых мигрантов на тех или иных территориях; является ли эффективным предоставление субсидий, например, из федерального бюджета, для развития малых городов и поселений; эффективно ли финансирование перевозок населения в больших городах от места проживания до места работы и обратно.
В то же время, как отмечено в работе [16], территориальное распределение населения, которое ещё непрерывно меняется, не является случайным, а представляет собой чрезвычайно сложный конгломерат стимулов и действий, исходящих от миллионов людей, предприятий и организаций. Так, наблюдается сильная тенденция к агломерации. При возникновении ранних поселений в качестве основных факторов, определяющих подобную тенденцию, могли выступать реки, побережье и горы [16]. Факторы, определяющие на региональном уровне динамику трудовой миграции, подробно проанализированы в работе [13]. Ретроспективный анализ динамики миграционных процессов, включая динамику принудительных и добровольных миграций, и её влияния на освоение Дальнего Востока выполнен в работе [11].
В то же время имеются две надежно установленные эмпирические закономерности, описывающие мобильность населения [16]. Первая заключается в том, что крупнейшие города удовлетворяют закону Ципфа [23]. Суть закона Ципфа применительно к численности населения в больших городах состоит в следующем. Пусть такие города ранжированы по убыванию численности населения. Тогда отношение численностей населения двух городов обратно пропорционально отношению их рангов. Вторая эмпирическая закономерность состоит в том, что темп роста численности городского населения не зависит от размера города.
Р. Гибратом было высказано предположение о стохастическом характере роста фирм и городов [18]. В соответствии с этой концепцией, известной сейчас как закон Гибрата, численность фирм и городов подчиняется логарифмически нормальному распределению. Закон Гибрата может служить основой исследования роста более зрелых и крупных фирм, но он не выполняется в случае молодых фирм, недавно начавших деятельность на рынке [12]. В последнем случае рост фирм протекает в неравновесном режиме. Следовательно, этот закон выполняется в системах, в которых процессы протекают в равновесном режиме.
Следует отметить, что задача прогнозирования динамики социально-экономической системы решается на основе математических методов и моделей, которые достаточно разнообразны [6-10, 15, 19-22]. Важность математических моделей, описывающих динамику социально-экономической системы, заключается в том, что они позволяют, в частности, учесть в процессе
разработки и проведения социально-экономических преобразований наиболее проблемные направления, которые представляют собой приоритеты развития и, одновременно, являются источниками рисков [17]. Выявление основных тенденций, сложившихся в динамике социально-экономической системы и определяющих её дальнейшую эволюцию, является ключевым элементом при принятии тех или иных управленческих решений.
В некоторых предыдущих наших работах также предложены и исследованы математические модели динамики социально-экономических систем, построенные на принципах «хищник - жертва» [2-5]. Эти модели были применены для анализа динамики социально-экономических систем России [2] и США [3-5] на различных временных этапах. Результаты этих исследований вполне адекватно описывают реальную наблюдаемую сейчас ситуацию. В работе [14] показано, что математические модели динамики социально-экономических систем могут быть получены на основе подходов, основанных на выделении основных взаимодействующих элементов социально-экономической системы и установлении «сил», определяющих динамику совокупности таких элементов. При этом уравнения математической модели являются аналогами уравнений движения в физике. В работе [14] такая модель применена для исследования динамики социально-экономической системы России. Прогноз, сделанный в указанной работе, довольно точно описывает нынешнюю кризисную ситуацию в России. В работе [1] исследованы математические модели для анализа развития территорий, т.е. модели, учитывающие пространственно-территориальные факторы в анализе социально-экономических систем.
В данной работе на основе данных всероссийской переписи населения 2010 г.1 исследованы закономерности распределения населения Чувашской Республики по населённым пунктам. Гистограмма распределения населения Чувашской Республики по населённым пунктам представлена на рис. 1. Здесь по оси абсцисс отложены десятичные логарифмы от численности населения N в различных населённых пунктах, т.е. lg(N). Весь интервал значений десятичных логарифмов от минимальной величины 2,641474 (соответствует Никулинскому сельскому поселению с численностью населения 438 человек) до максимальной величины 5,666713 (Чебоксарский городской округ с численностью населения 464208 человек) разбит на m подынтервалов с равномерным шагом h:
h =(lg(Nmax )- lg(Nmin))/m . (1)
Затем для каждого подынтервала [lg(Nmin) + (i - 1)h, lg(Nmin) + ih), i = 1, ..., m было вычислено количество населённых пунктов M, десятичные логарифмы от численности населения которых принадлежат данному подынтервалу. При этом последний подынтервал при i = m является закрытым, т.е. [lg(NmIn) + (i - 1)h, lg(Nmin) + ih]. На рис. 1 гистограмма получена при m = 40. Из рис. 1 видно, что пять крупных населённых пунктов в правой части гистограммы (см. табл. 1) выбиваются из общего ряда. Это свидетельствует о том, что распределение численности населения Чувашской Республики по населённым пунктам достаточно грубо подчиняется логонормальному. Следовательно, нельзя говорить о хорошем выполнении закона Гибрата для населённых пунктов Чувашской Республики.
1 Всероссийская перепись населения 2010 // Федеральная служба государственной статистики: сайт. URL: http://www.gks.ru/free_doc/new_site/perepis2010/croc/perepis_itogi1612.htm.
Рис. 1. Гистограмма распределения населения Чувашской Республики по населённым пунктам по данным Всероссийской переписи населения 2010 г.
Закон Ципфа [23] для крупных населённых пунктов записывается так:
Л*/Л = Я*/Я, (2)
где Ли N численности населения в двух сравниваемых населённых пунктах, а Я и Я соответствующие им ранги (см. табл. 1). В табл. 1 в правой части приведены отношения Л*/Л (в каждой ячейке через косую указаны величины Я /Я). Например, в строке, соответствующей населённому пункту «Чебоксарский городской округ» (в данном случае величина N), слева направо в ячейках перечислены отношения численности населения в нём к численности населения в населённых пунктах «Новочебоксарский городской округ», «Канашский городской округ - городское население - г. Канаш», «Алатырский городской округ - городское население - г. Алатырь» и «Шумерлинский городской округ - городское население - г. Шумерля» соответственно (величины Л*). После косой указаны соответствующие отношения рангов Я /Я. Аналогичные величины приведены в строках, которые соответствуют другим населённым пунктам. Результаты табл. 1 показывают, что для перечисленных в ней пяти самых крупных населённых пунктов Чувашской Республики закон Ципфа (2) не выполняется. Таким образом, распределение населения по территории Чувашской Республики не соответствует равновесной ситуации. Это может быть следствием того, что социально-экономическая система Чувашской Республики далека от равновесной и в ней наблюдаются большие диспропорции и деформации в территориальном распределении трудовых ресурсов и производства. Так, для населённого пункта «Чебоксарский городской округ» наблюдаются очень большие отклонения от закона Ципфа.
В табл. 2 представлены результаты проверки закона Ципфа (2) для четырёх крупных населённых пунктов Чувашской Республики за исключением Чебоксарского городского округа. В этом случае распределение численности населения по четырём перечисленным в табл. 2 населённым пунктам достаточно неплохо соответствует закону Ципфа за исключением населённого пункта «Канашский городской округ - городское население - г. Канаш». Численность населения в указанном населённом пункте в соответствии с законом Ципфа в равновесной ситуации должна быть выше и составлять примерно 60 тысяч человек.
Прологарифмировав уравнение (2), получим:
¡еЛ=- 1§Я + ¡еЛ + ¡Вя*. (3)
На рис. 2 представлена зависимость от 1еЯ для пяти крупнейших населённых пунктов Чувашской Республики, которые перечислены в табл. 1. Эта зависимость описывается линейным трендом:
1еЛ = -1,73211еЯ + 5,621. (4)
Таблица 1
Результаты проверки закона Ципфа для пяти крупных населённых пунктов Чувашской Республики и отношения численностей населения в них
№ п/п (Ранг Я) Населённый пункт Численность населения N Отношенш лённых пу личин численности населения в насе-нктах/ Отношение обратных ве-рангов населённых пунктов
1 Чебоксарский городской округ 464 208 3,73/2 10,18/3 12,15/4 14,63/5
2 Новочебоксарский городской округ 124 392 0,27/0,5 2,73/1,5 3,26/2 3,92/2,5
3 Канашский городской округ - городское население - г. Канаш 45 607 0,1/0,33 0,37/0,67 1,19/1,33 1,44/1,67
4 Алатырский городской округ - городское население - г. Алатырь 38 203 0,08/0,25 0,31/0,5 0,84/0,75 1,2/1,25
5 Шумерлинский городской округ - городское население - г. Шумерля 31 722 0,07/0,2 0,26/0,4 0,7/0,6 0,83/0,8
Таблица 2
Результаты проверки закона Ципфа для четырех крупных населённых пунктов Чувашской Республики, исключая Чебоксарский городской округ, и отношения численностей населения в них
№ п/п (Ранг Я) Населённый пункт Численность населения N Отношение численности населения в населённых пунктах/ Отношение обратных величин рангов населённых пунктов
1 Новочебоксарский городской округ 124 392 2,73/2 3,26/3 3,92/4
2 Канашский городской округ - городское население - г. Канаш 45 607 0,37/0,5 1,19/1,5 1,44/2
3 Алатырский городской округ - городское население - г. Алатырь 38 203 0,31/0,33 0,84/0,67 1,2/1,33
4 Шумерлинский городской округ - городское население - г. Шумерля 31 722 0,26/0,25 0,7/0,5 0,83/0,75
Рис. 2. Зависимость 1^от \§Д для пяти крупнейших населённых пунктов
Чувашской Республики по данным Всероссийской переписи населения 2010 г.
Таким образом, уравнение (4) также свидетельствует о невыполнении закона Ципфа для пяти крупнейших населённых пунктов Чувашской Республики. Преобразуем уравнение (4) к виду
N = 105-627Я1,732. (5)
Как видно из формулы (2), в случае справедливости закона Ципфа зависимость численности населения N в заданном населённом пункте является обратно пропорциональной от его ранга Я, т.е.
N - 1/Я.
В то же время для пяти крупнейших населённых пунктов Чувашской Республики в соответствии с формулой (5) имеем
N - 1/Я1,732.
Если же исключить Чебоксарский городской округ, то для остальных четырёх крупнейших населённых пунктов Чувашской Республики тренд описывается следующим уравнением (см. рис. 3):
1еЛ = -0,98311е + 5,048. (6)
В этом случае коэффициент перед 1еЯ близок к единице, что свидетельствует о достаточно хорошем выполнении закона Ципфа. Из рис. 3 также видно, что точка, соответствующая населённому пункту «Канашский городской округ - городское население - г. Канаш», достаточно сильно отклоняется от линии тренда. Для лучшего выполнения закона Ципфа она должна лежать немного выше (как было уже сказано, в равновесной ситуации его численность должна составлять около 60 тысяч человек).
Таким образом, результаты исследования показывают территориальную несбалансированность социально-экономической системы Чувашской Республики. Также подобные исследования важны для своевременного принятия оптимальных управленческих решений.
Литература
1. Андреев В.В. Модель реакция - диффузия в анализе развития территорий в пространственной экономике и формирования «мертвых зон» // Наукоёмкие технологии. 2013. Т. 14, № 12. С. 3-12.
2. Андреев В.В., Семёнов М.И. Математическое моделирование динамики социально-экономической системы России: определение наилучшего пути развития // Нелинейный мир. 2013. Т. 11, № 1. С. 58-72.
3. Андреев В.В., Семёнов М.И. Математическое моделирование динамики социально-экономической системы США // Нелинейный мир. 2012. Т. 10, № 5. С. 322-330.
4. Андреев В.В., Семёнов М.И. Математическое моделирование и исследование динамики социально-экономической системы (на примере США) // Нелинейный мир. 2010. Т. 8, № 3. С. 189-195.
5. Андреев В.В., Семёнов М.И. Программное приложение для решения задач оптимальной параметрической идентификации динамических моделей: применение для прогнозирования динамики социально-экономической системы США // Прикладная информатика. 2010. № 2(26). С. 46-57.
6. Балацкий Е.В., Екимова Н.А. Влияние конкуренции на длительность и амплитуду приватизационного цикла // Общество и экономика. 2009. № 1. С. 21-39.
7. Балацкий Е.В., Екимова Н.А. Типология приватизационных циклов // Общество и экономика. 2007. № 9-10. С. 66-85.
8. Балацкий Е.В., Екимова Н.А. Цикл занятости и приватизационный цикл в динамических моделях равновесия // Общество и экономика. 2010. № 12. С. 33-51.
9. Коровкин А.Г. Динамика занятости и рынка труда: вопросы макроэкономического анализа и прогнозирования. М.: МАКС Пресс, 2001. 320 с.
10. Коровкин А.Г., Лапина Т.Д., Полежаев А.В. Согласование спроса на рабочую силу и ее предложения: федеральный и региональный аспекты // Проблемы прогнозирования. 2000. № 4. С. 73-88.
11. Мищук С.Н. Внутренняя и международная миграция на российском Дальнем Востоке в середине XIX- начале XXI вв. // Известия РАН. Сер. Географическая. 2013. № 6. С. 33-42.
12. Пирогов Н.К., Поповидченко М.Г. Закон Гибрата в исследованиях роста фирмы // Корпоративные финансы. 2010. № 1(13). С. 106-119.
Рис. 3. Зависимость от для четырёх крупнейших (за исключением населённого пункта «Чебоксарский городской округ»)
населённых пунктов Чувашской Республики по данным Всероссийской переписи населения 2010 г.
13. Хавинсон М.Ю., КулаковМ.П., Мищук С.Н. Прогнозирование динамики внешней трудовой миграции на региональном уровне // Проблемы прогнозирования. 2013. № 2. С. 99-111.
14. Andreev V.V. On the validity of use of physical equations and principles in the socioeconomic field and on the predictability of socio-economic system dynamics. Nonlinear Analysis: Modelling and Control, 2015, vol. 20, № 1, pp. 82-98.
15. Castellano C., Fortunato S., Loreto V. Statistical physics of social dynamics. Reviews of Modern Physics, 2009, vol. 81, no. 2, pp. 591-646.
16. Eeckhout J. Gibrat's Law for (All) Cities. The American Economic Review, 2004, vol. 94, no. 5, pp. 1429-1451.
17. Érdi P. Scope and Limits of Predictions by Social Dynamic Models: Crisis, Innovation, Decision Making. Evolutionary and institutional economics review, 2010, vol. 7, no. 1, pp. 21-42.
18. Gibrat R. Les Inégalités Économiqués; Applications: Aux Inégalités des Richesses, a la Concentration des Entreprises, Aux Populations des Villes, Aux Statistiques des Familles, etc., d'une Loi Nouvelles, La Loi de l'Effet Proportionnel. Paris, Librairie du Recueil Sirey, 1931.
19. Giupponi C., BorsukM.E., de Vries B.J.M., Hasselmann K. Innovative Approaches to Integrated Global Change Modelling. Environmental Modelling and Software, 2013, vol. 44, pp. 1-9.
20. Grabowski A., Kosinski R.A. Evolution of a social network: The role of cultural diversity. Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics, 2006, vol. 73, no. 1. doi: 10.1103/PhysRevE.73.016135.
21. Kountzakis C., Polyrakis I.A. Coherent Risk Measures in General Economic Models and Price Bubbles. Journal of Mathematical Economics, 2013, vol. 49, pp. 201-209.
22. Vasconcelos G.L. A guided walk down wall street: an introduction to econophysics. Brazilian Journal of Physics, 2004, vol. 34, no. 03B, pp. 1039-1065.
23. Zipf G.K. Human behavior and the principle of least effort. Cambridge, MA: Addison-Wesley Press, 1949, 574 p.
References
1. Andreev V.V. Model' reaktsiya - diffuziya v analize razvitiya territorii v prostranstvennoi ekonomike iformirovaniya «mertvykh zon» [Reaction-diffusion model in analysis of territories development in the spatial economics and of «dead zones» formation]. Naukoemkie tekhnologii [Science Intensive Technologies], 2013, vol. 14, no.12, pp. 3-12.
2. Andreev V.V., Semenov M.I. Matematicheskoe modelirovanie dinamiki sotsial'no-ekono-micheskoi sistemy Rossii: opredelenie nailuchshego puti razvitiya [Mathematical modeling of the socio-economic system dynamics of Russia: The definition of the best way of development]. Neli-neinyi mir [Nonlinear World], 2013, vol. 11, no.1, pp. 58-72.
3. Andreev V.V., Semenov M.I. Matematicheskoe modelirovanie dinamiki sotsial'no-ekonomi-cheskoi sistemy SShA [Mathematical modeling of socio-economic system dynamics of the USA]. Nelineinyi mir [Nonlinear World], 2012, vol. 10, no. 5, pp. 322-330.
4. Andreev V.V., Semenov M.I. Matematicheskoe modelirovanie i issledovanie dinamiki sot-sial'no-ekonomicheskoi sistemy (na primere SShA) [Mathematical modeling and investigation of socio-economic system dynamics (on the example of the USA)]. Nelineinyi mir [Nonlinear World], 2010, vol. 8, no. 3, pp. 189-195.
5. Andreev V.V., Semenov M.I. Programmnoe prilozhenie dlya resheniya zadach optimal'noi parametricheskoi identifikatsii dinamicheskikh modelei: primenenie dlya prognozirovaniya dinamiki sotsial'no-ekonomicheskoi sistemy SShA [Program package for the optimal parametrical identification of dynamic models: application for forecasting of socially-economic system dynamics of the USA]. Prikladnaya informatika [Applied Computer Science], 2010, no. 2(26), pp. 46-57.
6. Balatskii E.V., Ekimova N.A. Vliyanie konkurentsii na dlitel'nost' i amplitudu privatizat-sionnogo tsikla [The impact of competition on the duration and amplitude of privatization cycle]. Obshchestvo i ekonomika [Society and economy], 2009, no. 1, pp. 21-39.
7. Balatskii E.V., Ekimova N.A. Tipologiya privatizatsionnykh tsiklov [Typology of privatization cycles]. Obshchestvo i ekonomika [Society and economy], 2007, no. 9-10, pp. 66-85.
8. Balatskii E.V., Ekimova N.A. Tsikl zanyatosti i privatizatsionnyi tsikl v dinamicheskikh modelyakh ravnovesiya [Employment cycle and privatization cycle in dynamic equilibrium models]. Obshchestvo i ekonomika [Society and economy], 2010, no. 12, pp. 33-51.
9. Korovkin A.G. Dinamika zanyatosti i rynka truda: voprosy makroekonomicheskogo analiza i prognozirovaniya [Dynamics of employment and labor market: issues of macroeconomic analysis and forecasting]. Moscow, MAKS Press, 2001. 320 p.
10. Korovkin A.G., Lapina T.D., Polezhaev A.V. Soglasovanie sprosa na rabochuyu silu i ee predlozheniya: federal'nyi i regional'nyi aspekty [Harmonization of labor demand and supply: federal and regional aspects]. Problemy prognozirovaniya [Studies on Russian Economic Development], 2000, no. 4, pp. 73-88.
11. Mishchuk S.N. Vnutrennyaya i mezhdunarodnaya migratsiya na rossiiskom Dal'nem Vos-toke v seredine XIX — nachale XXI vv. [Inner and International Migration in the Russian Far East in the MID 20th - early 21st Century]. Izvestiya RAN. Seriya geograficheskaya [Regional Research of Russia], 2013, no. 6. pp. 33-42.
12. Pirogov N.K., Popovidchenko M.G. Zakon Gibrata v issledovaniyakh rosta firmy [Testing Gibrat's Law: a Survey of Empirical Literature]. Korporativnye finansy [Corporate Finance], 2010, no. 1(13), pp. 106-119.
13. Khavinson M.Yu., Kulakov M.P., Mishchuk S.N. Prognozirovanie dinamiki vneshnei tru-dovoi migratsii na regional'nom urovne [Forecasting of dynamics of external labor migration at the regional level]. Problemy prognozirovaniya [Studies on Russian Economic Development], 2013, no. 2, pp. 99-111.
14. Andreev V.V. On the validity of use of physical equations and principles in the socioeconomic field and on the predictability of socio-economic system dynamics. Nonlinear Analysis: Modelling and Control, 2015, vol. 20, № 1, pp. 82-98.
15. Castellano C., Fortunato S., Loreto V. Statistical physics of social dynamics. Reviews of Modern Physics, 2009, vol. 81, no. 2, pp. 591-646.
16. Eeckhout J. Gibrat's Law for (All) Cities. The American Economic Review, 2004, vol. 94, no. 5, pp. 1429-1451.
17. Érdi P. Scope and Limits of Predictions by Social Dynamic Models: Crisis, Innovation, Decision Making. Evolutionary and institutional economics review, 2010, vol. 7, no. 1, pp. 21-42.
18. Gibrat R. Les Inégalités Économiqués; Applications: Aux Inégalités des Richesses, a la Concentration des Entreprises, Aux Populations des Villes, Aux Statistiques des Familles, etc., d'une Loi Nouvelles, La Loi de l'Effet Proportionnel. Paris, Librairie du Recueil Sirey, 1931.
19. Giupponi C., BorsukM.E., de Vries B.J.M., Hasselmann K. Innovative Approaches to Integrated Global Change Modelling. Environmental Modelling and Software, 2013, vol. 44, pp. 1-9.
20. Grabowski A., Kosinski R.A. Evolution of a social network: The role of cultural diversity. Physical Review E— Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics, 2006, vol. 73, no. 1. doi: 10.1103/PhysRevE.73.016135.
21. Kountzakis C., Polyrakis I.A. Coherent Risk Measures in General Economic Models and Price Bubbles. Journal of Mathematical Economics, 2013, vol. 49, pp. 201-209.
22. Vasconcelos G.L. A guided walk down wall street: an introduction to econophysics. Brazilian Journal of Physics, 2004, vol. 34, no. 03B, pp. 1039-1065.
23. Zipf G.K. Human behavior and the principle of least effort. Cambridge, MA: Addison-Wesley Press, 1949, 574 p.
АНДРЕЕВ ВСЕВОЛОД ВЛАДИМИРОВИЧ - кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой телекоммуникационных систем и технологий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
ANDREEV VSEVOLOD - candidate of physical and mathematical sciences, head of Telecommunication Systems and Technologies Chair Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
ЛУКИЯНОВА ВИОЛЕТТА ЮРЬЕВНА - соискатель ученой степени кандидата физико-математических наук кафедры телекоммуникационных систем и технологий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
LUKIYANOVA VIOLETTA - a competitor of scientific degree of Physics and Mathematics sciences candidate, Telecommunication Systems and Technologies Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
