Проверка гипотезы о "дрейфе" параметров в модели скользящего среднего Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Glibichuk A., Konyagin S. Additive properties of product sets in fields of prime order // Additive combinatorics. Centre de Recherches Mathematiques. Proceedings and Notes. Vol. 43. Providence: AMS, 2007. 279-286.

2. Глибичук А.А. Комбинаторные свойства множеств вычетов по простому модулю и задача Эрдеша-Грэхэма // Матем. заметки. 2006. 79, вып. 3. 384-395.

3. Tao T., Vu V. Additive combinatorics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2006.

4. Kneser M. Abschatzungen der asymptotischen Dichte von Summenmengen // Math. Z. 1953. 58. 459-484.

Поступила в редакцию 21.02.2007

УДК 519.233.3, 519.246.8

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О "ДРЕЙФЕ" ПАРАМЕТРОВ В МОДЕЛИ

СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО

И. Г. Эрлих

1. Введение. Последовательные процессы используются в статистическом анализе временных рядов давно и успешно. Например, с их помощью строят тестовые статистики для проверки различных гипотез о разладке в линейных и нелинейных моделях временных рядов. Рассмотрим два примера.

Стандартным предположением при статистическом анализе временных рядов (оценивании, проверке гипотез, прогнозировании) является предположение о независимости и одинаковой распределенности инноваций {£4}. Поэтому содержательной задачей представляется проверка самого этого предположения. Рассмотрим для краткости задачу проверки одинаковой распределенности инноваций применительно к простейшей модели линейной стационарной авторегрессии АИ(1)

щ = ви-1 + еь, \в\ < 1,Ь € Я. (1)

Итак, рассматривается гипотеза Но, при которой наблюдения (ио,и1,... ,ип) суть выборка из строго стационарного решения уравнения (1). Здесь в — неизвестный параметр, {ег} — независимые, одинаково распределенные случайные величины (н.о.р.с.в.) с неизвестной непрерывной функцией распределения (ф.р.) ¥(х), Ее1 = 0, Ее^ < ж. Альтернативой к Но возьмем гипотезу Н1, при которой {ег} независимы и до неизвестного момента [ни] € (0,1), имеют неизвестную ф.р. ¥1, после него — неизвестную ф.р. ¥2, отличную от ¥1.

Пусть верна гипотеза Но и пусть (Зп — оценка неизвестного параметра в, построенная по наблюдениям (ио, щ,..., Щп). Пусть ег := щ — впЩ-1, Ь = 1,...,н, суть остатки, а ¥,п,з(х) и ¥пд-8(х), 8 € [0,1], — эмпирические функции распределения, построенные по остаткам е1,...,е[п8] и е[п8]+1,...,еп соответственно.

Рассмотрим статистику типа Колмогорова Оп := вир

жек,«е[о,1]

Вп{х, з) = (1 - М) (Рп>3{х) - ¥пЛ.3{х)) .

При Но статистика Оп слабо сходится к О := вир^ \В(з,Ь)|, где В(в,Ь) — непрерывный гауссовский процесс на [0,1]2 с нулевым средним и ковариационной функцией Е [В(з,и)В(Ь,у)] = (вЛЬ — вЬ)(иЛV — иу). Распределение О табулировано в [1], что позволяет использовать статистику Оп для проверки Но.

Описанная задача была решена для модели АИ(р) в [2], для модели АКША(р, д) — в [3], для нелинейных моделей с аддитивным "шумом" — в [4] и для модели АИСН(р) — в [5].

Другая задача разладки рассмотрена М.В. Болдиным в [6, 7]. Исследуем ее применительно к модели (1). В качестве альтернативы к Но рассматривается гипотеза Н1п, при которой наблюдения (ио,... ,ип) порождаются моделью

и = (в + н-1/2Ь,п) иг-1 + ег, \в\ < 1, Ь € Я. (2)

Bn(x,s)

где

Здесь в — неизвестный параметр, последовательность {bt,n} неизвестна, suptn \bt,n\ < ж, {et} — н.о.р.с.в., Eei = 0, Eef < ж. Таким образом, речь идет о проверке стационарности наблюдений при альтернативе, заключающейся в том, что коэффициенты модели "дрейфуют" во времени.

В качестве оценки (3n неизвестного параметра ¡ рассмотрим обобщенную GM-оценку, получаемую как корень уравнения

n

(ut-1) ф (ut — 9ut-i)=0. (3)

t=i

Подобные оценки рассматривались, например, в [8] для стационарной модели AR(1). На основе уравнения для оценки (3) строится последовательный процесс Vn(s) = n-i/2 ^ ф (u—i) ф (ut — ¡n u—ij , s E [0,1].

t<ns ^ '

В силу этого согласования Vn(0) = Vn(1) = 0. Это замечание делает естественным следующий факт: при Ho после надлежащей нормировки процесс cn(p^)Vn(s) слабо сходится в метрическом пространстве Скорохода D[0,1] (см. [9, гл. 3]) к броуновскому мосту V(s). Следовательно, при Ho статистика типа Колмогорова Dn := sups \cn(p,tf)Vn(s)\ имеет известное предельное распределение Колмогорова и ее можно применять для проверки Ho против Hin. При Hin cn(^,^)Vn(s) сходится слабо в D[0,1] к V(s) + S(s), неслучайный сдвиг S(s) выписывается явно.

Впервые идея о согласовании способа оценивания и построения последовательного процесса была предложена А. М. Парджанадзе в [10] для решения задачи обнаружения разладки в случае наблюдения независимых случайных величин. Результаты [6, 7] распространяют идею Парджанадзе на случай зависимых наблюдений, порождаемых авторегрессией.

В настоящей работе мы рассмотрим задачу проверки гипотезы о разладке типа (2) в схеме скользящего среднего. Технически это весьма трудоемкая для исследования модель. Решение поставленной задачи открывает путь к исследованию моделей типа ARMA, GARCH и т.д. Для краткости мы ограничимся моделью MA(1).

2. Постановка задачи и формулировка основных результатов. Рассмотрим гипотезу Ho, при которой наблюдаемые (ui,... ,un) удовлетворяют модели скользящего среднего:

ut = et — aet-i, t E Z, \a\ < 1. (4)

Случайные величины {et} независимы и одинаково распределены, Eei = 0, Eef < оо, et имеют плотность распределения g(x), причем g(x) > 0 почти всюду, существует lim xg(x) = 0, sup [(1 + x2) \g'(x)\] < ж.

В качестве альтернативы рассмотрим предположение Hin: наблюдаемые (ui,...,un) порождаются моделью

ut = et — at^et-i, t = 1,2,..., eo = 0,

где

at,n = a + n-i/2at,n, sup\at,n\ < ж.

t,n

Коэффициенты {at,n} нам неизвестны. Рассмотрим функцию an(s) := t<ns at,n, s E [0,1], и пред-

положим, что при n —> оо

sup \an(s) — a(s)\ -> 0 для некоторой функции a(s) E D[0,1].

se [o, i]

Все перечисленные условия будем считать выполненными и в дальнейшем.

В качестве оценки для неизвестного параметра a рассмотрим обобщенную GM-оценку an, получаемую как корень уравнения

n

^>(4 (в))фЫв)) = 0. (5)

t=i

Здесь {et(Q)}n=i суть остатки в модели (4), определяемые рекуррентным соотношением

et(6) = ut + 0et-i(0), t = 1,...,n, eo (9) = 0. (6)

Решение уравнения (6) имеет вид е^О) = ^ О3Щ—з. Это и объясняет, почему модель скользящего среднего

3=0

является более сложной для исследования, чем модель линейной авторегрессии. В последней выражение для остатков имеет очень простой вид: £г(О) = Щ — Оп—1.

Оценки, определяемые уравнением (5), рассматривались в работе [8] для фиксированного параметра а. Мы же покажем, что с вероятностью, стремящейся к 1, и при гипотезе, и при альтернативе существует решение ап уравнения (5), которое является у^-состоятельной оценкой параметра а. Более того, мы покажем, что эта оценка асимптотически гауссовская. Рассмотрим остаточный последовательный процесс

Уп(О,з)= п—1/2 £ ЖФШег(О)),

t^.ns

согласованный с уравнением (5).

Пусть {£г] — строго стационарное решение уравнения авторегрессии первого порядка:

£t = а£—1 + е1, Ь & Z.

Предположим, что выполнены следующие условия:

(I): функция ф дважды непрерывно дифференцируема, вир \ф"(х)\ < со, ф — функция ограниченной

х€Ж

вариации, непрерывная на М;

(II): Же? < с, Жф(е?) = 0, Щ6(£г) < с;

(III): Л (ф,ф) = / д(х)йф(х)Ж [ф(£?)£?] = 0.

Обозначим через V(в), в & [0,1], броуновский мост. Теорема 11. Пусть выполнены условия (1)—(ш). Тогда

1) при гипотезе и при альтернативе с вероятностью, стремящейся к 1, существует у/п-состоя-тельное решение ап уравнения (5);

2) если верна гипотеза Но, то

п1/2 (ап — а) N (0,Л—2 (ф,ф)) , Vn(а,n,в) (Еф2(£?)Еф2(е?))1/2 V(в) при п

3) если верна альтернатива H\n, то

и1'2 (an - а) — N{a(1),A-2 (р,ф)) ,

Vn(an,s) -—Л (Ер2(£\)Еф2(ei))1/2 V(s) - A (<р,-ф)(а(з) - sa(l)) при и -ж.

^ (Ер2№)Еф2(ei))1/2 Пусть Kn — состоятельная оценка константы K = (Ер2(£)Еф2(ei)), имеющая вид

Kn : =

n

-iE р2 (£

и

i=i

n

и-1^ Ф2 (et(an))

t=i

где £t := oa!net-j (an). В качестве тестовой статистики рассмотрим с.в. Dn := sup K-i'2Vn(a.n,s) j=o se[o,i]

При гипотезе Ho в силу теоремы 1 статистика Dn слабо сходится к sup \V(s)|. Распределение последней

se [o,i]

величины известно и табулировано, что позволяет использовать Dn для построения теста. При альтернативе тестовая статистика сходится к sup \V(s) - ¿(s)|, где сдвиг S(s) = C(р,ф) [a(s) - sa(l)].

se [o,i]

Наша тестовая статистика зависит от функций р и ф, Dn = Dn (р,ф). Покажем, как можно выбрать р и ф наилучшим образом. Для этого введем понятие относительной асимптотической эффективности

t

Доказательство теоремы 1 приведено в дипломной работе автора, выполненной на механико-математическом факультете МГУ в 2006 г.

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2009. № 1

11

(ОАЭ) статистики ,ф\) относительно статистики 1)п(ф2,ф2)- Для любого ^ > 0 определим альтер-

нативу И\п(7), при которой

ег - (а + п-1/2^агЛ ег-1, Ь = 1,2,..., ео = 0.

щ = ег - ^а + п ' чаг,п) ег-1

ОАЭ тестовой статистики 1)п(^\,ф\) относительно тестовой статистики 1)п(ф2,ф2) мы назовем такое положительное число Ь(р1,ф\/^2,Ф2) = ¿1,2, что при Н1п(Ь1,2) статистика 1)п(ф2,ф2) имеет такое же асимптотическое распределение, что и 1)п(ф1,ф1) при Н1п- Тогда при ¿1,2 > 1 статистика 1)п(ф1 ,ф1) лучше Оп(ф2,ф2), поскольку Я1п "ближе" к Но, чем ^^(¿1,2), а распознают они их одинаково. Оптимальными ф*,ф* назовем такие функции, что Ь (ф* ,ф*/ф,ф) ^ 1 для любых допустимых ф,ф- Следующая теорема позволяет получить явный вид ОАЭ тестовой статистики 1)п(ф1, ф1) относительно тестовой статистики Ь п(ф2,ф2 )-

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда

11,2

с (fai ,ф1)

с fa ,Ф2)

где С((р,ф) =

л/КШО'

Таким образом, оптимальными будут такие fa*,ф*, что C(fa*,ф*) = sup\C(fa, ф)|. Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем, что fa* (x) = x и ф* (x) = g'(x)/g(x). Следовательно, наилучший тест будет получаться тогда, когда уравнение, задающее оценку, совпадает с уравнением максимального правдоподобия. Оценка максимального правдоподобия является асимптотически эффективной, т.е. асимптотически наилучшая оценка параметра а порождает асимптотически наилучший тест.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Pikard D. Testing and estimating change-point in time series // Adv. Appl. Probab. 1985. 7. 841-867.

2. Ling S. Weak convergence of the sequential empirical processes of residuals in nonstationary autoregressive models // Ann. Statist. 1998. 26. 741-754.

3. Bai J. Weak convergence of the sequential empirical processes of residuals in ARMA models // Ann. Statist. 1994. 22. 2051-2061.

4. Koul H.L. Asymptotics of some estimators and sequential residual empiricals in nonlinear time series // Ann. Statist. 1996. 24, N 1. 380-404.

5. Болдин М.В. О последовательных остаточных эмпирических процессах в ARCH модели // Успехи матем. наук. 2002. 57, вып. 2. 185-186.

6. Boldin M.V. On median estimates and tests in autoregressive models // Math. Methods Statist. 1994. 3, N 2. 435-448.

7. Болдин М.В. Об оценке наименьших модулей в нестационарной авторегрессии и проверке стационарности // Теория вероятностей и ее применения. 1996. 41, № 2. 409-417.

8. Martin R.D., Yohai V.J. Influence functionals for time series // Ann. Statist. 1986. 14. 781-818.

9. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

10. Парджанадзе А.М. Функциональные предельные теоремы в задаче апостериорного обнаружения разладки // Теория вероятностей и ее применения. 1986. 31, № 2. 408-411.

Поступила в редакцию 04.04.2007

УДК 517-9

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ФУНКЦИОНАЛОВ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Т. Ю. Семенова

1. Постановка задачи. Рассмотрим следующую задачу:

ё1у(7(х)Уь) = Q(x,v)+F(х,ь, Уь), х <Е О, (.)

V = Т (1)