CC BY
22
JOURNAL OF NEW MEDICAL TECHNOLOGIES - 2020 - V. 27, № 2 - P. 103-106
Раздел III
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ БИОЛОГИЯ (03.01.00)
Section III
PHYSICAL AND CHEMICAL BIOLOGY (03.01.00)
УДК: 615.47:616-072.7 DOI: 10.24411/1609-2163-2020-16626
ПРОВЕДЕНИЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИ РЕКОНСТРУКЦИИ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ГЕНЕРАТОРА СЕРДЦА ПОВЕРХНОСТНОГО ТИПА
М.Н. КРАММ
Национальный исследовательский университет «МЭИ», Красноказарменная ул., д. 14, г. Москва, 111250, Россия, e-mail: KrammMN@mail.ru
Аннотация. Целью исследования является анализ влияния режима регуляризации на результаты реконструкции эквивалентного электрического генератора сердца поверхностного типа. Актуальность исследования связана с тем, что распределение эквивалентных источников на поверхности эпикарда является более информативным, чем карта потенциалов на поверхности торса, так как на данной карте существенно ослаблены мелкие детали и имеются трудности в соотнесении конкретных областей на торсе и областей на эпикарде. Материалы и методы исследования. Реконструкция карты распределения эквивалентного электрического генератора на поверхности эпикарда осуществляется путем обработки электрокардиосигналов многоканальных кардиоотведений, снимаемых с электродов на поверхности торса. Поскольку реконструкция карты связана с обращением слабо обусловленных матриц, то для преодоления потенциальных неустойчивостей решения важное значение приобретает регуляризация при обращении матриц и анализ ее влияния на карты распределения на поверхности эпикарда. В настоящей статье анализируется влияние коэффициента регуляризации на возможность реконструкции неоднородностей разных размеров на поверхности эпикарда. Результаты и их обсуждение. Результаты сравнения между известными и реконструированными распределениями электрического потенциала на поверхности эпикарда приводятся в виде графиков зависимостей коэффициента взаимной корреляции между данными распределениями, а также относительной погрешности реконструкции потенциала от коэффициента регуляризации. Выводы. Связь между оптимальным коэффициентом корреляции и размером неоднородности позволяет выбирать режим регуляризации для неоднородностей размерами около 2,5 см и более.
Ключевые слова: электрокардиосигналы, реконструкция, торс, эпикард, эквивалентный электрический генератор сердца, регуляризация.
REGULARIZATION DURING RECONSTRUCTION OF EQUIVALENT ELECTRIC SURFACE TYPE HEART GENERATOR
M.N. KRAMM
National Research University "Moscow Power Engineering Institute", Krasnokazarmennaya Str., 14, Moscow, 111250, Russia,
e-mail: KrammMN@mail.ru
Abstract. The aim of the study is to analyze the influence of the regularization mode on the results of reconstruction of an equivalent surface-type electric heart generator. The relevance of the study is due to the fact that the distribution of equivalent sources on the epicardium surface is more informative than the map of potentials on the torso surface, since small details are significantly weakened on this map. There are difficulties in correlating specific areas on the torso and areas on the epicardium. Materials and methods. The reconstruction of the distribution map of the equivalent electric generator on the epicardium surface is carried out by processing the electrocardiosignals of multichannel cardiac leads taken from the electrodes on the torso surface. Since the reconstruction of the map is associated with the inversion of weakly conditioned matrices, regularization during the inversion of matrices and the analysis of its influence on the distribution maps on the epicardial surface to overcome potential solution instabilities is important. This article analyzes the influence of the regularization coefficient on the possibility of reconstructing for inhomogeneities of different sizes on the surface of the epicardium. Results. The results of the comparison between the known and reconstructed distributions of the electric potential on the epicardium surface are presented in the form of graphs of the dependences of the cross-correlation coefficient between these distributions, as well as the relative error of the potential reconstruction on the regularization coefficient. Conclusions. The relationship between the optimal correlation coefficient and the size of the heterogeneity allows us to choose a regularization mode for heterogeneities with dimensions of about 2.5 cm or more.
Keywords: electrocardiosignals, reconstruction, torso, epicardium, equivalent electric heart generator, regularization.
Введение. Для целей ранней диагностики на- и реполяризации в миокарде важно располагать кар-рушений в процессах распространения возбуждения тами распределения параметров электрической ак-
тивности на поверхности сердца для различных моментов времени кардиоцикла. Известны работы по картированию электрического потенциала на поверхности торса [1,5]. Однако, при переходе от электрических источников миокарда к потенциалам на поверхности торса происходит потеря мелких деталей в связи с эффектом подавлением верхних пространств частот потенциала [2,3]. Отсюда вытекает актуальность обратной задачи электрокардиографии, которая ориентирована на реконструкцию эквивалентных источников электрической активности на поверхности эпикарда по электрическим потенциалам на поверхности торса, зарегистрированным с помощью многоэлектродной системы кардиоотведе-ний [7,9]. Таким образом, нас интересует многоэлектродная система, позволяющая проводить реконструкцию эквивалентного электрического генератора сердца поверхностного типа (ЭЭГС ПТ) с возможностью наблюдения более детальных карт распределения источников электрической активности на поверхности эпикарда по сравнению с картами распределения регистрируемого потенциала на поверхности торса [6,11,12]. ЭЭГС ПТ характеризуется комбинацией простого и двойного слоев электрических источников, когда двойной слой связан с распределением электрического потенциала и отражает распределение трансмембранного потенциала, а простой слой характеризуется распределением нормальной производной потенциала, связанной с вытекающими (втекающими) из эпикарда токами. Нами рассматривается многоэлектродная программно-аппаратная ЭКГ система, содержащая 4560 электродов, размещенных равномерно на поверхности торса [2]. Система включает блок регистрации многоканальных электрокардиосигналов (ЭКС), блок предварительной обработки ЭКС, блок определения координат электродов, блок интерполяции координат и потенциалов на поверхности торса, блок реконструкции ЭЭГС, блок визуализации.
Поскольку задача реконструкции ЭЭГС ПТ относится к обратным задачам электрокардиографии, то решение обладает определенной неустойчивостью, когда малые ошибки в представлении данных (помехи, ошибки дискретизации) и ошибки в геометрических параметрах задачи могут приводить к заметным погрешностям в пространственно-временной динамике ЭЭГС ПТ [6,8]. В этих условиях необходимо применение регуляризующих алгоритмов [4,8], причем решающее значение приобретает вопрос выбора режима регуляризации в алгоритме реконструкции. Настоящая статья посвящена анализу влияния режима регуляризации в рамках метода усеченного сингулярного разложения (ТБУВ), который потенциально имеет схожие свойства с методом регуляризации Тихонова [4,10].
Цель исследования - проанализировать влияние выбора режима регуляризации на точностные характеристики распределений источников элек-
трической активности при различных размерах не-однородностей в этих распределенях.
Материалы и методы исследования. Исходными данными для обработки являются записи ЭКС многоканальных кардиоотведений. Электроды располагаются на поверхности торса с помощью надеваемого на торс «многоэлектродного жилета» [2,7]. Для получения карт электрической активности сердца на поверхности эпикарда надо провести реконструкцию ЭЭГС ПТ, располагая записанными потенциалами с электродов на поверхности торса для сетки моментов времени кардиоцикла. После интерполяции записанных потенциалов на мелкой сетке на поверхности торса получаем вектор
ф6 = [ф?,ф2,...,ф'6 ], где А1ь - количество точек интерполяции на поверхности торса [12], Иь«103. ЭЭГС ПТ характеризуется распределениями электрического потенциала фА = [ф?, ф 2,..., ф! ] и нормальной производной электрического потенциала
на поверхности
эпикарда [11,12], А^»103 - количество точек на мелкой сетке на поверхности эпикарда. Связь между этими распределениями и регистрируемым распределением потенциала на поверхности торса имеет интегральный характер и вытекает из уравнения Лапласа для области между поверхностями эпикарда и торса [11]. Интегральные соотношения можно свести к системе линейных алгебраических уравнений:
СЙУ_ЯАЬФА=ЯЬУ;
где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование,
н1ь=[д{\1Я1к)1дпь]^ьк-1Фк-
=[э(у/д/а%]А5£; с? л^и
д?* - площади элементов поверхности эпикарда и торса, соответственно; я - расстояние между элементами поверхности с номерами / и г. Решение системы (1) проводится по итерационной схеме:
ф* = (ям)_1(-я*У); 8к = (окьу'(нк%к+нь%ь);
ФА =(#м)~1(оАУ!-#г'¥)ит-Д- Здесь матрица Окь является плохо обусловленной с коэффициентом обусловленности сопс1 «10п — 1014, поэтому прямое обращение матрицы Окь обладает неустойчивостью по отношению к ошибкам записи и оцифровки потенциалов, а также к ошибкам задания геометрии сеток на торсе и эпикарде.
Устойчивое решение может быть получено в рамках метода ТБУВ [4], когда регуляризованная обратная матрица представляется в виде:
{&ЬУХ =УЯ+ит, (2)
где и, V - ортогональные матрицы сингулярного разложения матрицы (¡нь, К = с/ш^р, .(3, ....рА/ К М = П1Ш(\: , ЫЪ ),
Р; .
частота в пространственном спектре потенциала, взятая по уровню 0,01.
Р, =-
(3)
-.ль
/»¡■-сингулярные числа матрицы С а - коэффициент регуляризации. При а = 0 обратная матрица будет нерегуляризованной. Для достаточно больших сингулярных чисел а < р,2 и регуляризация практически не сказывается, для малых сингулярных чисел а>р,2, что ограничивает влияние неус-тойчивостей в формуле (3). Целью дальнейшего исследования был анализ влияния режима регуляризации на карты распределения ЭЭГС ПТ на поверхности эпикарда.
Результаты и их обсуждение. Центральным вопросом при реконструкции ЭЭГС ПТ является выбор коэффициента регуляризации в (3), поскольку, в условиях слабой обусловленности передаточных матриц и малых коэффициентах регуляризации, малые погрешности в распределении потенциала на торсе могут приводить к заметным погрешностям в распределении ЭЭГС ПТ на эпикарде. Для контроля погрешности на эпикарде необходимо, строго говоря, располагать известным распределением ЭЭГС ПТ на эпикарде. В этих условиях, при отсутствии баз данных с распределениями потенциала на торсе и эпикарде, для анализа алгоритма регуляризации мы провели математическое моделирование этих единичных не-однородностей на примере дипольной модели электрического источника внутри эпикарда [6]. Поскольку основным вопросом была оценка влияния коэффициента регуляризации, то были выбраны модельные представления поверхности торса в виде эллиптического цилиндра с полуосями аиЬи поверхности эпикарда в виде сферы радиусом Ян (сферический квазиэпикард, окружающий реальное сердце [6,7]).
На рис. 1 показана зависимость нормированного коэффициента взаимной корреляции Сл (коэффициент корреляции Пирсона) между модельным и реконструированным распределениями электрического потенциала от коэффициента регуляризации для разных размерах неоднородности. Размер неоднородности варьировался путем смещения центра дипольного источника в горизонтальном направлении относительно центра сферического квазиэпикарда при радиусе Яя = 6 см: чем ближе модельный источник к поверхности эпикарда, тем меньше размер пятна. Для оценки размера неоднородности с1г рассчитывались пространственные спектры потенциала на поверхности квазиэпикарда [3]. При этом
0,1
/ о \
Ч
уг / / / о \ 0 >
/ .. /....... о
/ О
✓ ✓ dr= 2 см
S * о о о dr = 4.3см
о»'
dr = V
где hnd - граничная пространственная
Рис. 1. Зависимость коэффициента корреляции С/, от коэффициента регуляризации а
Для снижения ошибок дискретизации распределений потенциала на торсе и эпикарде, использовались количества точек а \ А а Ю3 в системах (1)-(3). Чем меньше сингулярное число, тем больше вклад верхних пространственных частот в распределение потенциала, тем больше вклад неустойчивостей при обращении матрицы (¡нь . Неустойчивости вызваны погрешностями интерполяции потенциала на торсе, погрешностями оцифровки потенциала и погрешностями задания геометрии и дискретизации поверхностей торса и эпикарда. Для уменьшения влияния неустойчивостей обращения матрицы (¡нь надо уменьшать влияние малых сингулярных чисел, то есть в соответствии с формулой (3) увеличивать коэффициент регуляризации а. Однако при этом в решении подавляются верхние пространственные частоты, а значит, на карте распределения потенциала подавляются мелкие неоднородности. Этим объясняется наличие оптимального значения коэффициента регуляризации на рис. 1 и на рис. 2, где представлена зависимость погрешности реконструкции 5л на эпикарде от а. Полученные результаты свидетельствуют, что с уменьшением размера неоднородности оптимальный коэффициент регуляризации а уменьшается. Однако уменьшение коэффициента регуляризации менее величины порядка 10 5 - 106 приводит к возрастанию погрешности из-за упоминаемых выше неустойчивостей при обращении матриц.
Для проверки согласованности расчетов потенциалов торса и эпикарда рассматривалась ошибка в определении потенциала торса 8ь по реконструированному потенциалу эпикарда в соответствии с формулами (1). На рис. 3 представлен график зависимости этой ошибки от коэффициента регуляризации. В отличие от графика на рис. 2 ошибка реконструированного потенциала торса монотонно возрастает с ростом а.
Отсутствие оптимума на рис. 3 связано с тем, что возрастание вклада верхних пространственных частот при уменьшении а компенсируется на торсе подавлением составляющих с этими частотами в проводящей среде при переходе от ЭЭГС на эпикарде к потенциалу на торсе.
Рис. 2. Зависимость погрешности на эпикарде А, от коэффициента регуляризации а
Рис. 3. Зависимость погрешности восстановленного распределения потенциала на торсе 5ь от коэффициента регуляризации а
В результате анализа полученных зависимостей можно заключить, что, выбирая коэффициент регуляризации в диапазоне 105-10 4 возможно наблюдать неоднородности на эпикарде размерами около 2,5 см и более.
Выводы. Представленные графики иллюстрируют обшую тенденцию подавления верхних пространственных частот при увеличении коэффициента регуляризации а и связанную с этим возможность оптимизации режима регуляризации. Наличие оптимума по а соответствует общим свойствам регуляризации при решении некорректных задач [4,8]. Оптимальная величина коэффициента регуляризации определяется размером неоднородности: чем меньше неоднородность, тем меньше степень регуляризации, но тем больше и ожидаемая погрешность реконструкции, что подтверждается представленными зависимостям для коэффициента корреляции и для погрешности на поверхности сердца. Отмечается возможность выбора коэффициента регуляризации, позволяющего выделять неоднородности на эпикарде размерами около 2.5 см и более.
Литература / References
2. Бодин О.Н., Жихарева Г. В., Крамм М. Н. и др. Способ не-инвазивного определения электрофизиологических характеристик сердца. Патент РФ № 2651068. 2018. № 11. 7 с. / Bodin ON, Zhihareva GV, Kramm MN. i dr. Sposob neinvazivnogo opredeleniya elektrofi-ziologicheskih harakteristik serdca [Method of non-invasive determination of electrophysiological characteristics of the heart]. Patent RF № 2651068. 2018;1:7. Russian.
3. Крамм M.H. Анализ влияния выбора количества электродов на карты распределения электрического потенциала на поверхностях торса и квазиэпикарда // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. 2019. № 3(33). С. 61-68 / Kramm MN. Analiz vliyaniya vybora kolichestva elektrodov na karty raspredeleniya elektriche-skogo potenciala na poverhnostyah torsa i kvaziepikarda [Analysis of the influence of the choice of the number of electrodes on the distribution maps of the electric potential on the surfaces of the torso and quasi-epicardium]. Izmerenie. Monitoring. Upravle-nie. Kontrol'. 2019;3(33):61-8. Russian.
4. Леонов A.C. Решение некорректно поставленных обратных задач: Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. М.: Либроком, 2010. 336 с. / Leonov AS. Reshenie nekorrektno postavlennyh obratnyh zadach: Ocherk teorii, prakticheskie algoritmy i demonstracii v MATLAB [Solution of incorrectly posed inverse problems: Essay on the theory, practical algorithms and demonstrations in MATLAB]. Moscow: Librokom; 2010. Russian.
5. Полякова И.П. Поверхностное ЭКГ-картирование как метод диагностики нарушений сердечного ритма сердца // Клиническая аритмология. М.: Медпрактика-М, 2009. Гл. 6. С. 157-175 / Polyakova IP. Poverhnostnoe EKG - kartirovanie kak metod diagnostiki narushenij serdechno-go ritma serdca // Klinicheskaya aritmologiya [Surface ECG -mapping as a method for diagnosing cardiac arrhythmias // Clinical arrhythmology]. Moscow: Medpraktika-M: 2009;6:157-75. Russian.
6. Титомир Л.И., Кнеппо П. Математическое моделирование биоэлектрического генератора сердца. - М.: Наука. Физматлит, 1999. 447 с. / Titomir LI, Kneppo P. Matematicheskoe modelirovanie bioelektricheskogo generatora serdca [Mathematical modeling of the bioelectric generator of the heart]. Moscow: Nauka. Fizmatlit; 1999. Russian.
7. Титомир Л.И., Трунов В.Г., Айду Э.А.И. Неинвазивная электрокардиотопография. М.: Наука, 2003. / Titomir LI, Trunov VG, Ajdu EAI. Neinvazivnaya elektrokardiotopografiya [Non-invasive electrocardiotography]. Moscow: Nauka; 2003. Russian.
8. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с. / Tihonov AN, Arsenin Wa. Metody resheniya nekorrektnyh zadach [Methods for solving incorrect tasks]. Moscow: Nauka; 1979. Russian.
9. Macfarlane P.W. Comprehensive electrocardiology. -Springer Science & Business Media, Springer, London, 2011. Chapter 9. / Macfarlane PW. Comprehensive electrocardiology. - Springer Science & Business Media, Springer, London, 2011. Chapter 9.
10. Throne R.D., Olson L.G. The effects of errors in assumed conductivities and geometry on numerical solutions to the inverse problem of electrocardiology. IEEE Trans Biomed Eng. 1995. Vol. 42(12). P. 1192-1200 /Throne RD, Olson LG. The effects of errors in assumed conductivities and geometry on numerical solutions to the inverse problem of electrocardiology. IEEE Trans Biomed Eng. 1995; 42(12): 1192-200.
11. Zhikhareva G., Kramm M.: Reconstruction of Current Sources of Heart in the ECG Inverse Problem. LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, Saarbriicken, 2012 / Zhikhareva G, Kramm M.: Reconstruction of Current Sources of Heart in the ECG Inverse Problem. LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, Saarbriicken, 2012.
12. Zhikhareva G.V., Kramm M.N., Bodin O.N., SeepoldR., Chernikov A.I., Kupriyanova Y.A., Zhuravleva N.A. Reconstruction of equivalent electrical sources on heart surface, 6th International Work-Conference, IWBBIO 2018, Granada, Spain, April 25-27, 2018, Proceedings, Part I. / Zhikhareva GV, Kramm MN, Bodin ON, Seepold R, Chernikov AI, Kupriyanova YA, Zhuravleva NA. Reconstruction of equivalent electrical sources on heart surface, 6th International Work-Conference, IWBBIO 2018, Granada, Spain, April 25-27, 2018, Proceedings, Part I.
1.
Амиров Р.З. Электрокардиотопография. M.: Медицина, 1965. 142 с. / Amirov R3. Elektrokardiotopografiya [Electrocardiotography]. Moscow: Medicina; 1965. Russian.
Библиографическая ссылка:
Крамм М.Н. Проведение регуляризации при реконструкции эквивалентного электрического генератора сердца поверхностного типа//Вестник новых медицинских технологий. 2020. №2. С. 103-106. Б01: 10.24411/1609-2163-2020-16626.
Bibliographic reference:
Kramm MN. Provedenie regulyarizatsii pri rekonstruktsii ekvivalentnogo elektricheskogo generatora serdtsa poverkhnostnogo tipa [Regularization during reconstruction of equivalent electric surface type heart generator]. Journal of New Medical Technologies. 2020;2:103-106. DOI: 10.24411/1609-2163-2020-16626. Russian.
