Научная статья на тему 'ПРОВЕДЕНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ФИЗИКА (ПРАКТИКУМ НА ЭВМ)» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА'

ПРОВЕДЕНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ФИЗИКА (ПРАКТИКУМ НА ЭВМ)» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

23
5
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
Численные методы / вычислительная математика / практикум на ЭВМ / язык программирования / итерационные формулы / Numerical methods / Computational Mathematics / computer practical work / programming language / iterative formulas

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Комиссарова Елена Михайловна, Ситдикова Алсу Ильдаровна

Приводится обоснование необходимости создания программного комплекса для выполнения лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная физика (Практикум на ЭВМ)» для направления 28.03.02 «Наноинженерия», рассматривается последовательность выполнения конкретной лабораторной работы и порядок взаимодействия с программой для выполнения вычислений для данной лабораторной работы.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по компьютерным и информационным наукам , автор научной работы — Комиссарова Елена Михайловна, Ситдикова Алсу Ильдаровна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

"CONDUCTING LABORATORY CLASSES IN THE DISCIPLINE "COMPUTATIONAL PHYSICS (COMPUTER PRACTICAL WORK) "USING A SOFTWARE PACKAGE"

The rationale for the need to create a software package for performing laboratory work in the discipline "Computational Physics (Computer Workshop)" for the direction 28.03.02 "Nanoengineering" is given, the sequence of performing specific laboratory work and the order of interaction with the program for performing calculations for this laboratory work is considered.

Текст научной работы на тему «ПРОВЕДЕНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ФИЗИКА (ПРАКТИКУМ НА ЭВМ)» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА»

XI МЕЖДУНАРОДНАЯ НА УЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УДК 004, 519.6

Комиссарова Елена Михайловна, Komissarova Elena Mikhailovna,

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ candidate of physical and mathematical science, Associate Professor of the Department of Applied Mathematics and Informatics, Kazan National Research Technical

University named after A. N. Tupolev - KAI Ситдикова Алсу Ильдаровна, Sitdikova Alsu Ildarovna, магистрант института компьютерных технологий и защиты информации Казанского национального исследовательского технического

университета им. А.Н. Туполева - КАИ Master's student of the Institute of Computer Technologies and Information Protection

of the Kazan National Research Technical University named after A. N. Tupolev-KAI

ПРОВЕДЕНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ФИЗИКА (ПРАКТИКУМ НА ЭВМ)» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

"CONDUCTING LABORATORY CLASSES IN THE DISCIPLINE "COMPUTATIONAL PHYSICS (COMPUTER PRACTICAL WORK) "USING A SOFTWARE PACKAGE"

Аннотация: Приводится обоснование необходимости создания программного комплекса для выполнения лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная физика (Практикум на ЭВМ)» для направления 28.03.02 «Наноинженерия», рассматривается последовательность выполнения конкретной лабораторной работы и порядок взаимодействия с программой для выполнения вычислений для данной лабораторной работы.

Abstract: The rationale for the need to create a software package for performing laboratory work in the discipline "Computational Physics (Computer Workshop)" for the direction 28.03.02 "Nanoengineering" is

ИННОВАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ given, the sequence of performing specific laboratory work and the order of interaction with the program for performing calculations for this laboratory work is considered.

Ключевые слова. Численные методы, вычислительная математика, практикум на ЭВМ, язык программирования, итерационные формулы

Key words: Numerical methods, Computational Mathematics, computer practical work, programming language, iterative formulas

Дисциплина «Вычислительная физика (Практикум на ЭВМ)» для направления 28.03.02 «Наноинженерия» включает в себя только лабораторные занятия в объеме 36 часов и нет лекционных занятий. За четыре часа, отведенные на одну лабораторную работу, преподаватель должен изложить теоретический материал по численным методам, после этого студенты, опираясь на изложенный материал, должны сделать определенные исследования и выкладки по своему примеру, записать итерационные формулы для каждого рассматриваемого метода и найти точное решение задачи (если это возможно), т.е. провести подготовительную работу. Затем составить программу, позволяющую численно решить рассматриваемую задачу несколькими методами. И далее сравнить результаты численного решения задачи с точным решением, провести сравнительную характеристику рассматриваемых методов.

Так как для этого направления программирование не является профильной дисциплиной, для такого объема работы четырех часов, отводимых на лабораторную работу, недостаточно. В связи с этим и был разработан программный комплекс «Вычислительная физика (Практикум на ЭВМ)».

Графическое представление интерфейса для каждой лабораторной работы были продемонстрированы в статье [4].

XI МЕЖДУНАРОДНАЯ НА УЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

На рисунке 1 представлено основное окно программы, с помощью которого выбирается нужная лабораторная работа.

Рис.1 Главное окно программы

Рассмотрим порядок взаимодействия с программой для выполнения вычислений на примере лабораторной работы №2 «Итерационные методы решения нелинейных уравнений».

Цель работы: научиться решать нелинейные уравнения методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона.

После объяснения теоретического материала преподавателем, студент приступает к выполнению исследовательской части задания.

Перед вводом исходных данных, студент графическим и аналитическим методами должен найти отрезок, на котором существует единственный корень нелинейного уравнения. Пример: Решить нелинейное уравнение 2х - 4соб(х) - 0,6 = 0 (1)

методом простых итераций, методом Ньютона, модифицированным методом Ньютона с точностью £1 = 81 =

ИННОВАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ 0,001 и £2 = 82 = 0,00001 . Сделать выводы о скорости сходимости итерационных процессов рассматриваемых методов; о влиянии точности на скорость сходимости; о влиянии выбора начального приближения на скорость сходимости. Составить отчет о проделанной работе. Решение.

Графическим методом находится отрезок, на котором уравнение (1) имеет только один корень. Так как данная функция имеет сложный аналитический вид, перед построением графика, уравнение (1) преобразуется к виду:

4 соя(х) = 2х - 0,6. (2)

Абсцисса точки пересечения графиков функций у = 4соя(х) и у = 2х - 0,6. (3)

будет являться решением уравнения (1).

Полученные функции имеют более простой аналитический вид. Графики полученных функций изображены на рис. 2.

■ у(х) = 4пи(х)

■ И(х) =21-0.6

Рис. 2 Пример графического метода нахождения отрезка

XI МЕЖДУНАРОДНАЯ НА УЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

Из рис. 2 видно, что абсцисса точки пересечения графиков принадлежит отрезку [0; 1,257] и является приближенным решением уравнения (1).

Докажем аналитически, что выбранный отрезок [0; 1,257] содержит только один корень уравнения (1) и все рассматриваемые методы будут сходиться на этом отрезке. Для этого необходимо проверить выполнение трех условий:

1) Функция /(х) принимает значения разных знаков на концах отрезка [а, Ь], то есть /(а) • /(Ь) < 0.

/(0) = 0 - 4 - 0,6 « -4,6;

/(1,257) = 2,51 - 1,24 - 0,6 « 0,67.

Данная функция непрерывна на отрезке [0; 1,257] и имеет на концах отрезка разные знаки, то есть условие /(а) • /(Ь) < 0 выполняется.

2) Убедимся, что первая производная не меняет знак на отрезке [0; 1,257] .

/'(х) = 2 + 4sin(x); /'(х) = 0; 5ш(х) = -1/2; х = (-1)к+1П+ пк.

^ = 0; х1 = - П « -0,524; х1 £ [0; 1,257];

6

= 1; х2 = 3,665; х2 £ [0; 1,257].

Из этого следует, что /'(х) ф 0,Ух £ [0; 1,257].

/'(0) « 2,0; /'(0,785) « 4,82; /'(1,257) « 5,80.

То есть /'(х) >0 Ух £ [0; 1,257].

Из пунктов 1 и 2 следует, что функция /(х) = 2х - 4соя(х) - 0,6 на отрезке [0; 1,257] имеет только один корень.

3) Проверим, что вторая производная /''(х) = 4соя(х) сохраняет знак на отрезке [0; 1,257] .

/''(х) = 0; 4соя(х) = 0; соя(х) =0; х = - + яп;

ИННОВАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ

^ = 0; х1 = П « 1,571; х1 £ [0; 1,257];

= -1; х2 = - П « -1,571; х2 £ [0; 1,257].

Из этого следует, что /''(х) ^ 0 Ух £ [0; 1,257].

/''(0) « 4,00; /''(0,785) « 2,83; /''(1,257) « 1,23.

То есть /'' (х) >0 Ух £ [0; 1,257].

Следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение на отрезке [0; 1,257] и все три рассматриваемых метода будут сходиться на этом отрезке.

Далее нужно записать итерационные формулы для каждого из рассматриваемых методов.

Метод простых итераций

Для метода простых итераций справедлива теорема [1]:

Теорема. Если функция ^(х) определена и дифференцируема на отрезке [а, Ь], У^(х) £ [а, Ь] и выполняется условие |^'(х)| < ц < 1, то итерационный процесс метода простых итераций, заданный формулой хп+1 = ^(хп) , сходится к единственному решению уравнения х = ^(х) с любой степенью точности £ независимо от выбора начального приближения х0.

Из условия теоремы следует

|^'(х)| = |1 + с/'(х)| < 1; -1 < 1 + с/'(х) < 1; -2 < с/'(х) < 0.

—2

1) Если /'(х) > 0, то < с < 0 Ух £ [а, Ь].

-2

2) Если /'(х) <0, то 0 < с < Ух £ [а, Ь].

Так как производная /'(*) >0 Ух £ [0; 1,257] , то с выбирается из интервала

-2 < с < 0.

/'(X)

-2 -2 -2 т2:= -1; „ 2 Л ~ -0.41; „ 2 Л ~ -0,34.

/'(0) /'(0,785) ' /'(1,257)

XI МЕЖДУНАРОДНАЯ НА УЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ Выбрав наименьшее по модулю значение, получим интервал для

-2

"°,34 " ТТйБУ)'< С <

Пусть с = -0,2.

Тогда итерационная формула для метода простых итераций запишется в виде:

хп+1 = хп - 0,2(2хп - 4 cos(xn) - 0,6), п = 0, 1, 2 ... Итерационный процесс можно начать, задав произвольное начальное приближение х0 £ [0; 1,257].

Условие окончания итерационного процесса метода простых итераций:

|Хп+1 - Хп 1 < £

.|2хп+1 - 4 ^(хп+1) - 0,6| < 8 Метод Ньютона

Теорема. Если функция /(х) принимает значения разных знаков на концах отрезка [а, Ь], /'(х) и /''(х) сохраняют определенный знак на [а, Ь], то, исходя из начального приближения х0, удовлетворяющего условию /(х0)/''(х0) >0 , по методу Ньютона, заданного

итерационной формулой хп+1 = хп , можно найти

единственный корень уравнения у = /(х) с любой степенью точности £ [1].

В качестве начального приближения х0 выбирается правый или левый конец отрезка [а, Ь] , в зависимости от того, в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона: *0 = /(*0)-/''(*0)>0, £ [0; 1,257] Так как /'' (х) >0 Ух £ [0; 1,257] , то /(х0) >0. Из этого следует, что в качестве начального приближения выбирается х0 = 1,257.

ИННОВАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ

Итерационная формула метода Ньютона для данного уравнения запишется в виде:

2ХП-4С^(ХП)- 0,6 — ^ , И 0, 1, 2 . . .

П+1 п 2+ 4sin(xn) ' ' '

Условие окончания итерационного процесса метода Ньютона:

|Хп+1 - Хп | < £

|2хп+1 - 4 ^(хп+1) - 0,6| < 5

Модифицированный метод Ньютона

Итерационная формула модифицированного метода Ньютона:

_ 2хп-4 cos(xn)- 0,6 _ л 1 /■)

Хп+1 =Хп 274!^ , П = 0, 1, 2 .

х0=1,257.

Условие окончания итерационного процесса

модифицированного метода Ньютона:

|хп+1 - хп | < £ .|2хп+1 - 4 ^(хп+1) - 0,6| < 5

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Значение хп+1 является приближенным значением корня нелинейного уравнения (1) на отрезке [0; 1,257].

Проделанные студентами исследования проверяются на правильность преподавателем, а затем происходит ввод данных в диалоговое окно лабораторной работы №2 (рис.3) и программа запускается несколько раз, при различных начальных приближениях (например: х0 =1,257; х0 =1,14; х0 =0,5; х0 =0).

Рис. 3. Пример ввода исходных данных

Вывод результата работы программы представлен на рис. 4.

ИННОВАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ

1 1 2 3 4 5

!Метод простьы итераций

г Точность: е= 0.001000, 6= 0.001 ООО

3 к<-1 хк х(к+1] |х[к+1) -хк|

4 1 1.257 1.12113743915433 0.135362560845119 0.679312304225597

5 2 1.12113743915433 1.14040914763315 0.0192717034732725 0.0119274301303711

6 3 1.14040914763315 1.13302365159693 0.00233549603617422 0.00151055119129317

7 4 1.13302365159693 1.13332576133524 0.000302110233253546 0.000190776267517290

з Метод простьы итераций

Точность: е= 0.000010, 6= 0.000010

10 1(4-1 хк х(к+1) |х[к+1) -хк| |Г(«к+1)|

11 1 1,257 1,12113743915433 0,135362560345119 0,679312304225597

12 2 1.12113743915433 1.14040914763315 0.0192717034732725 0.0119274301303711

13 3 1.14040914763315 1.13302365159693 0.00233549603617422 0.00151055119129317

14 4 1.13302365159693 1.13332576133524 0.000302110233253546 0.000190776267517290

15 5 1.13332576133524 1.13323760653173 3.31552535033691е-5 2.41026349365373е-5

16 6 1.13323760653173 1.13329242711373 4.32053699735197е-6 3.04499995213421 е-6

17 Метод Ньютона

18 Точность: е= 0.001000, 6= 0.001 ООО

19 к<-1 хк х(к+1] |х[к+1) -хк| ^(хк+1)|

20 1 1,257 1,13997142031663 0,117023579633363 0.679312304225597

21 2 1.13997142031663 1.13329230503914 0.00167911522743993 0.00946095165155825

22 3 1.13329230503914 1.13329133642714 4.13661997736436е-7 2.35776330463945е-6

23 Метод Ньютона

24 Точность: г 0.000010, 6= 0.000010

25 к+1 хк х(к-И) |х[к+1) -хк| Щхк+Щ

26 1 1,257 1,13997142031663 0.117023579633363 0.679312304225597

27 2 1,13997142031663 1,13329230503914 0,00167911522743993 0,00946095165155325

23 3 1.13329230503914 1.13329133642714 4.18661997736436е-7 2.35776330463945е-6

29 Модифицированный метод Ньютона.

30 Точность: с 0.001000, 6= 0.001 ООО

31 к+1 хк х(к+1) |х[к+1) -хк|

32 1 1.257 1.13997142031663 0.117023579633363 0.679312304225597

33 2 1.13997142031663 1.13334153533971 0.00162933497691741 0.00946095165155825

34 3 1,13334153533971 1,13329336577677 4,31695629490630е-5 0,000279603630419759

35 Модифицированный метод Ньютона,

36 Точность: е= 0.000010, 6= 0.000010

37 1с+1 хк х(к+1) |х[к+1) -хк| |Г(»Ь1>|

33 1 1.257 1.13997142031663 0.117023579633363 0.679312304225597

39 2 1.13997142031663 1.13334153533971 0.00162933497691741 0.00946095165155825

40 3 1.13334153533971 1.13329336577677 4.31695629490630е-5 0.000279603630419759

41 4 1.13329336577677 1.13329193051643 1,43526033724534е-6 3.33121393224931 е-6

Рис. 4. Вывод результата работы программы при x0 =1,257

Далее запускается программа при других начальных приближениях (рис. 5, 6).

XI МЕЖДУНАРОДНАЯ НА УЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

Рис. 5. Пример ввода исходных данных, когда условие сходимости метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона не

выполняется

1 1 2 3 4 5

Метод простых итераций,

2 Точность: е= 0.001000, 6= 0.001000

3 к+1 хк х(к+1) |х(к*1> - хк| if(xk+i:i

4 1 0,0 0,920000000000000 0.920000000000000 4.60000000000000

5 2 0,920000000000000 1.15665612531477 0.236656125314770 0.103700387449851

6 3 1,15665612531477 1.135916047-82400 0.0207400774899702 0.0133752120759629

7 4 1.13591604782480 1.13859109023999 0.00267504241519267 0.00168509380911130

S 5 1.13859109023999 1.13825407147817 0.000337018761822350 0.000212960322314437

9 Метод простых итераций.

10 Точность: е= 0.000010, 6= 0.000010

11 к+1 хк х(к+1) |х(к-И} - хк| |ftxk+1)|

12 1 0.0 0,920000000000000 0.920000000000000 4.60000000000000

13 2 0.920000000000000 1.15665612531477 0236656125314770 0.103700387449851

14 3 1,15665612531477 1.13591604782480 0.0207400774899702 0.0133752120759629

15 4 1.13591604782480 1.13859109023999 0.00267504241519267 0.00168509380911130

16 5 1,13859109023999 1,13825407147817 0.000337018761822350 0.000212960322314437

17 6 1.13825407147817 1.13829666354263 4.25920644628874е-5 2.69031834840838е-5

18 7 1,13829666354263 1,13829128290594 5.38063669686117е-6 3.39883513822414e-6

19 Метод Ньютона

¿0 Точность: е= 0.001000, 6= 0.001000

21 Не выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона

22 Метод Ньютона

23 Точность: е= 0.000010, 6= 0.000010

24 Не выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона

¿5 Модифицированный метод Ньютона.

26 Точность: е= 0.001000, 6= 0.001000

27 Не выполняется достаточное условие сходимости модифицирование го метода Нью тона

28 Модифицированный метод Ньютона,

29 Точность: е- 0.000010, 6= 0.000010

30 Не выполняется достаточное условие сходимости модифицирование го метода Нью тона

Рис. 6. Пример вывода результатов, когда условие сходимости метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона не

выполняется

ИННОВАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ После нескольких запусков программы, студенты должны составить отчет, в котором результаты работы программы заносятся в таблицу (табл. 1):

Таблица1. Запись полученных результатов

Нач. приближ Точность Метод простых итераций Метод Ньютона Модифицирован ный метод Ньютона

х0=1,257 81 = 51 = 0.001 х = 1.1383258 п = 4 х = 1.1382919 п = 3 х = 1.1382934 п = 3

82=52= 0.00001 х = 1.1382924 п = 6 х = 1.1382919 п = 3 х = 1.1382919 п = 4

х0=1,14 81 = 51 = 0.001 х = 1.1383192 п = 2 х = 1.1382919 п =2 х = 1.13829189 п =2

82=52= 0.00001 х = 1.1382923 п =4 х = 1.1382919 п =2 х = 1.13829189 п =2

х0=0,5 81 = 51 = 0.001 х = 1.1383240 п =4 Не выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона Не выполняется достаточное условие сходимости модифицированн ого метода Ньютона

82=52= 0.00001 х = 1.1382924 п =6

х0=0 81 = 51 = 0.001 х = 1.1382541 п =5 Не выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона Не выполняется достаточное условие сходимости модифицированн ого метода Ньютона

82=52= 0.00001 х = 1.1382913 п =7

И по результатам, занесенным в таблицу, студенты делают выводы:

1. Наибольшую скорость сходимости имеет метод Ньютона.

2. Чем больше точность, тем меньше скорость сходимости итерационных процессов.

XI МЕЖДУНАРОДНАЯ НА УЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3. Чем ближе к точному решению нелинейного уравнения выбрано начальное приближение, тем больше скорость сходимости итерационных процессов.

Из всего вышеизложенного можно сделать вывод, что за четыре часа, отведенные на лабораторную работу, студенты, ознакомившись с теоретической частью, имеют возможность тут же на конкретном примере продемонстрировать применение теоретического материала, более осознанно подойти к выполнению лабораторной работы, а запустив программу, получить приближенное решение поставленной задачи. Таким образом, применение программного комплекса позволяет более рационально использовать время, отведенное на лабораторную работу, акцентировать внимание студентов на существенных моментах, и способствует лучшему освоению ими материала.

Библиографический список:

1. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики: учебное пособие / Б. П. Демидович, И. А. Марон. — 8-е изд., стер. — Санкт-Петербург: Лань, 2011. — 672 с.

2. Демидович, Б. П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: учебное пособие / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова. — 5-е изд., стер. — Санкт-Петербург: Лань, 2010. — 400 с.

3. Кирдяев М.М. Обзор языка программирования Python для решения задач математического моделирования // НиКа. 2016. №1. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/obzor-yazyka-programmirovaniya-python-dlya-resheniya-zadach-matematicheskogo-modelirovamya, дата обращения: 05.05.2021.

ИННОВАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ

4. Ситдикова А.И. Программный комплекс для выполнения лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная физика (Практикум на ЭВМ)» // Научный электронный журнал "Инновации. Наука. Образование." / Отв. ред. Сафронов А.И.- Тольятти: - 2021.- №234 (май). - С. 1280-1288 - иЕЬ:Шр8://тпоу]оигп.ги/потег/34-потег/

5. Читалов Д.И. Разработка графической оболочки для параллельных расчетов на базе платформы ОрепРОАМ // Программные продукты и системы. 2019. №3. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://cyberleninka.ru/artide/n/razrabotka-graficheskoy-оЬо1осШ-ё1уа-рага11е1пуЬ-га8сЬе1оу-па-Ьа2е-рЫ£'огту-ореп&ат, дата обращения: 06.05.2021.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.