Процесс тепломассопереноса частиц в щелевых системах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.6+536.6

Процесс тепломассопереноса частиц в щелевых системах

© А. А. Гурченков МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

На базе предложенной математической модели взаимодействия атомов, вылетающих с поверхности конденсированной фазы, разработаны компьютерные программы по моделированию стационарного процесса тепломассопереноса в открытых системах щелевого и цилиндрического типов. Компьютерные эксперименты позволили определить вероятности вылета атомов из систем, угловые распределения и энергии вылетающих атомов, распределения атомов по напыляемым поверхностям и числа столкновений атомов со стенками. Данный подход удобен для получения точных формул вероятностей вылета частиц из щелевых систем. Точные формулы получены для систем с различными высотами стенок и числом столкновений частиц со стенками систем в свободномолекулярном режиме течения газовой среды при различных законах вылета частиц с поверхностей.

Ключевые слова: математическое моделирование, геометрико-вероятностный метод, перенос частиц.

Процесс массопереноса частиц газа в системах в свободномоле-кулярном режиме течения характеризуется тем, что частицы движутся прямолинейно и сталкиваются со стенками систем, а не друг с другом в газовой фазе. Для описания движения частиц в таких условиях уравнение Больцмана не подходит [1-6]. Для определения вероятностей вылета частиц из открытых систем щелевого типа используют метод Монте-Карло [7-13]. В зависимости от цели исследований можно получать узконаправленные потоки частиц из систем или с максимальным рассеянием. Таким образом, изменяя высоту стенок систем, можно получать пучки частиц с заданным рассеянием, т. е. управлять движением вылетающих частиц.

При моделировании вылета частиц с поверхности конденсированной фазы или с поверхности стенок систем используют закон косинуса. Как было установлено [4], этот закон является предельным случаем для безразмерного параметра г = и/(кТ), стремящегося к бесконечности, где и — энергия связи вылетающих частиц с молекулами поверхности конденсированной фазы; к — постоянная Больцмана; Т — температура системы. Вероятности вылета частиц из систем для параметра г > 10 на доли процента отличаются от соответствующих вероятностей вылета для асимптотического случая. В другом предельном случае, при г ^ 0, вылет частиц с поверхности осуществля-

ется по закону синуса, что соответствует равновероятному вылету частиц с поверхности.

Следуя геометрико-вероятностному подходу, из схемы, представленной на рисунке, получаем: точечная частица, имеющая координату х, может вылететь из системы с относительной высотой стенок, равной Н, без столкновения со стенками в том случае, если соотношение между компонентами скоростей vx и vy будет таким, что угол, под которым вылетает частица, будет меньше критических углов 9кр1 и 0кр2.

Для произвольного положения х частицы на поверхности конденсированной фазы можно найти критический угол по формуле

^ x

Q^arctg —.

H

Все частицы, вылетающие из точки с координатой х, могут вылететь из системы без столкновений со стенками, если угол вылета 0, определяемый составляющими скорости, принадлежит интервалу (0; 0кр1). Отсюда можно определить средний угол вылета частиц из системы, просуммировав все возможные углы вылета 0 и все возможные положения точек вылета на поверхности конденсированной фазы от нуля до единицы. Средний критический угол для вылета частиц по закону косинуса будет определяться с помощью двойного интеграла:

_ 1 9кр1

9кр1 = J dx J cos 9d9.

0 0

Вычисление двойного интеграла приводит к следующей формуле:

7кр1

= >H

1 - H.

Общая схема щелевого канала

Чтобы найти весь средний угол, следует провести аналогичные расчеты и для второго критического угла 0кр2 или, исходя из очевидной симметрии задачи, умножить полученное выражение на 2.

Для определения вероятности вылета частиц из системы без столкновений со стенками необходимо учитывать нормирующий множитель:

Процесс тепломассопереноса частиц в щелевъх системах

1 л/2

M = 2 Jdx J cos 9d9.

о о

С учетом нормировки получаем точную формулу для определения вероятности вылета частицы из щелевого канала без столкновения со стенками:

Wi(0;H) = V 1 + H2 -H.

В предельном случае при H = 0, когда нет стенок, W1(0; H) = 1, т. е. все частицы вылетают из такой системы без столкновений со стенками. При H ^ ю W1(0; H) ^ 0.

При вылете частиц с поверхности конденсированной фазы возможны такие траектории их движения [14-24], что они будут попадать на стенки системы. Это может реализоваться, если частицы из точки с координатой х будут вылетать в диапазоне углов (0кр1; п/2). Средний угол попадания частиц на стенку системы определяется с помощью двойного интеграла:

_ 1 л/2

9кр1 = J dx J cos 9d9.

0 9кр1

Вычисление этого двойного интеграла и учет нормировочного множителя дает следующую точную формулу для определения вероятности попадания частиц, вылетевших с поверхности конденсированной фазы, на стенку системы:

W2(0; H) = 0,5(1 + H-VH2 +1).

Очевидно, что сумма вероятностей W1(0; H) и 2W2 (0; H) равна единице.

Из формулы вероятности попадания частиц на стенки системы после вылета с поверхности конденсированной фазы можно получить формулу плотности вероятности распределения столкновений частиц по высоте стенки системы, заменив H на z и взяв производную от этой функции по z:

Р2(0; z) = 0,5(1 -z/Vz2 +1).

Данная функция не имеет экстремумов. При z = 0 р2(0; z) = 0,5, а при z ^ ю Р2 (0; z) ^ 0.

Зная плотность распределения числа столкновений частиц, вылетевших с поверхности конденсированной фазы, по высоте стенки системы, можно получить формулу для определения вероятности попадания частиц в конденсированную фазу после одного столкновения со стенкой Ж3(1; Н) .

Формулу для определения среднего угла попадания частиц в конденсированную фазу с учетом распределения столкновений частиц со стенками системы можно представить в виде

Н

л/2

0кр3 = | йЬр2(0; 2) | ^ 9d9,

где 9кр =arctg(1 /2). С учетом нормировки получим точную формулу для определения вероятности попадания частиц в конденсированную фазу после одного столкновения со стенками системы:

03(1; Н) =

1 и 1 Н + >/1 + Н2

1 + Н-V1 + Н2 - 1П-,

_У1 + Н2

2 (1 + Н-л/1 + Н2

Аналогичные вычисления выполнены для случая, когда частицы вылетают с поверхности по закону синуса. Заменив в подынтегральной функции косинус на синус и рассчитав соответствующие двойные интегралы, получим следующие точные выражения.

Вероятность вылета частиц из системы без столкновения со стенками

(

01(0; Н) = 1 - Н 1П

1+ У1 + Н

Н

Л

у

вероятность попадания частиц на стенку системы

(1+41+Н 2 Л

02(0; Н) = Н-Ь

V

Н

у

плотность вероятности распределения столкновений частиц, вылетевших с поверхности конденсированной фазы, по стенке системы

Р2(0; г) = 0,5

( (

1П

V V

1 +

+ 2^

Л

Л

1

+ 2*

0

9

кр

Процесс тепломассопереноса частиц в щелевых системах

вероятность попадания частиц в конденсированную фазу после одного столкновения со стенками системы

Результаты расчетов по полученным формулам совпадают с данными вычислений, выполненных с помощью метода Монте-Карло. Аналогичный подход можно применить для определения вероятностей вылета частиц из прямоугольных и цилиндрических систем с произвольным углом наклона стенок. Приведенные точные формулы можно использовать как тестовые при работе датчиков случайных чисел.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Bird G.A. Molecular Gas Dynamics. Claredon Press, Oxford, 1978.

[2] Klots Cornelius E. Evaporation from Small Particles. J. Phys. Chem, 1988, vol. 92, no. 11, pp. 5664—5668.

[3] Gvozdev M.A., Samartsau K.S. Computer Modeling of Particles Transport Stationary Process in Open Cylindrical Nanosystems by Monte Carlo method. Int. J. Monte Carlo Methods and Applications, 2009, vol. 15, no. 1, pp. 49—62.

[4] Гурченков А.А., Костиков А.А., Латышев А.В., Юшканов А.А. Функция распределения квантового ферми-газа в задаче об испарении. Динамика неоднородных систем. Тр. ИСА РАН, 2008, т. 32(3), с. 80—90.

[5] Pletnev L.V. A Computer Modeling of an Evaporation process of a Monotomic Condensed Phase. VI Int. Congress on Mathematical Modeling: Book of Abs. Nizhny Novgorod, 2004, pр. 208.

[6] Pletnev L.V. Modeling of Stationary Heat and Mass Transfer of Particles in Nanosystems by the Monte Carlo Method. VI Int. Congress on Mathematical Modeling: Book of Abs. Nizhny Novgorod, 2004. pp. 209.

[7] Миносцев В.Б., Порошин В.В., Богомолов Д.Ю., Радыгин В.Ю. Математическое моделирование течения рабочей среды в осесимметричных торцевых уплотнениях с учетом топографии поверхности. Машиностроение и инженерное образование, 2007, № 1, c. 48—52.

[8] Порошин В.В., Богомолов Д.Ю., Сыромятникова А.А. Математическая модель течения рабочей среды в подвижных металл-металлических соединениях с учетом трехмерной топографии рабочих поверхностей. Вестник Брянского гос. техн. ун., 2008, № 2(18), с. 97—102.

[9] Shejpak A., Poroshin V., Syromiatnikova A., Bogomolov D. Roughness Influence upon the Hermetic of Plunged Pair Using Equivalent Ggap Model. no. Int. J. Advanced Engineering, Int. J. 2008, no. 2, pp. 283—290.

[10] Patir N., Cheng H.S. An Average Flow Model for Determining Effects of Three-Dimensional Roughness on Partial Hydrodynamic Lubrication. ASME J. of Lubrication Technology, 1978, vol. 100, no. 1, рр. 12—17.

ln f i^+Z V m^+Z -ln2

Ws(1; H )

H

v

У

[11] Gurchenkov A.A., Yalamov Y.I. Unsteady Flow over a Porous Plate with Injection (Suction). Прикладная механика и техническая физика, 1980, № 4, c. 66.

[12] Гурченков А.А., Есенков А.С., Цурков В.И. Управление движением ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость. Ч. II. Известия РАН. Теория и системы управления, 2006, № 3, с. 82—89.

[13] Гурченков А.А., Есенков А.С., Цурков В.И. Управление движением ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость. Ч. I. Известия РАН. Теория и системы управления, 2006, № 1, с. 141—148.

[14] Гурченков А.А. Момент сил внутреннего трения быстровращающегося цилиндрического сосуда, заполненного вязкой жидкостью. Известия вузов. Сер. Приборостроение, 2001, т. 44. № 2. с. 44.

[15] Gurchenkov A.A. Stability of a Fluid-Filled Gyroscope. Инженерно-физический журнал, 2002, т. 75, № 3, с. 28—32.

[16] Gurchenkov A.A., Yalamov Y.I. Unsteady Viscous Fluid Flow between Rotating Parallel Walls with Allowance for Thermal Slip along One of Them. Doklady Physics, 2002, т. 47, № 1. с. 25—28.

[17] Gurchenkov A.A. Stability of a Fluid-Filled Gyroscope. J. of Engineering Physics and Thermo Physics, 2002, vol. 75, no. 3, рр. 554.

[18] Гурченков А.А. Неустановившееся движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками при наличии поперечного потока. Прикладная механика и техническая физика, 2001, т. 42, № 4, с. 48—51.

[19] Гурченков А. А., Корнеев В.В., Носов М.В. Динамика слабовозмущенного движения заполненного жидкостью гироскопа и задача управления. Прикладная математика и механика, 2008, т. 72, № 6, с. 904—911.

[20] Гурченков А.А. Диссипация энергии в колеблющейся полости с вязкой жидкостью и конструктивными неоднородностями. Докл. Академии наук, 2002, т. 382, № 4, с. 476.

[21] Gurchenkov A.A., Nosov M.V., Tsurkov V.I. Control of Fluid-Containing Rotating Rigid Bodies. CRSPress, 2013, 147 p. (in English).

[22] Гурченков А. А. Неустановившееся движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками. Прикладная математика и механика, 2002, т. 66, вып. 2, с. 251—255.

[23] Гурченков А.А., Елеонский В.М., Кулагин Н.Е. Слоистые структуры в нелинейных векторных полях. Москва, Изд-во ВЦ РАН, 2007, 177 с.

[24] Гурченков А.А., Кулагин Н.Е. Об узорах симметрии в простых моделях нелинейного скалярного поля. Москва, Изд-во ВЦ РАН, 2004, 84 с.

Статья поступила в редакцию 05.07.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Гурченков А.А. Процесс тепломассопереноса частиц в щелевых системах. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 9. URL: http://engjournal.ru /catalog/ appmath/hidden/1166.html

Гурченков Анатолий Андреевич — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Высшая математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сфера научных интересов: управление и устойчивость вращающихся твердых тел с жидким наполнением. е-mail: challenge2005@mail.ru