CC BY
7СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА
INSTRUCTION А^ АRCHITECTURE
УДК 624.01
doi:10.52210/2224669X_2021_4_5
ПРОЦЕСС ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАДИАЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ ПЕРЕКРЕСТНЫХ БАЛОК, НА КРУГЛОМ ПЛАНЕ ЖЕСТКО СОПРЯЖЕННЫХ В ЦЕНТРАЛЬНОМ УЗЛЕ, КАК ЗАДАЧА НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Н.Н. Демидов, О.Н. Ракитова, В.Г. Меликова
Аннотация. Радиальное расположение балок, жестко сопряженных в одном центральном узле, часто встречается как в зарубежной, так и в отечественной практике строительства. В статье получены ранее неопубликованные аналитические зависимости напряженно-деформированного состояния для радиально расположенных балок, сопряженных в одном центральном узле. Полученные зависимости могут быть использованы при проектировании новых зданий, усилении, реконструкции и реставрации культовых зданий, особняков и старинных усадеб.
Ключевые слова: памятники архитектуры, реконструкция, усиление, метод перемещений, линейная целевая функция, активные и пассивные нелинейные ограничения к целевой функции.
THE DESIGN PROCESS OF RADIALLY LOCATED CROSS BEAMS RIGIDLY COUPLED ON A CIRCULAR PLAN AT A CENTRAL NODE AS A NONLINEAR PROGRAMMING CHALLENGE
N.N. Demidov, O.N. Rakitova, V.G. Melikova
Abstract. The radial arrangement of beams rigidly coupled in one central node is a common practice in both foreign and domestic construction. The article contains previously unpublished analytical dependences of the stress and strain state for radially located beams coupled in one central node. The resulting dependencies can be used in the design of new buildings, strengthening, reconstruction and restoration of religious buildings, mansions and old estates.
Keywords: architectural monuments, reconstruction, strengthening, displacement method, linear objective function, active and passive nonlinear constraints to the objective function.
В строительстве часто используются здания круглые в плане с плоской кровлей. Это некоторые надземные станции Московского метрополитена (Рижская, Краснопресненская, Алексеевская, ВДНХ, Улица 1905 года, Ботанический сад), здания культового назначения, многочисленные административные здания, старинные особняки и усадьбы, архитектура малых форм, башни оборонительного характера и т.п. сооружения.
Разнообразные круглые в плане здания с плоскими перекрытиями характерны и для русского авангарда начала ХХ в. [5]. Современная архитектура последних десятилетий отличается применением невероятно большого разнообразия архитектурных объемов, в том числе цилиндрических форм.
Такие помещения часто перекрывают радиальными балками, жестко сопряженными в центральном узле их пересечения (рисунки 1, 2, 3). Балки выполняют деревянными или используют стальные прокатные двутавры, а при больших пролетах - стальные фермы. В конце ХХ в. в мировой практике появилось большое разнообразие конструктивных решений узлов для стальных и деревянных клееных конструкций [1; 15; 9]. Одно из удачных конструктивных решений центрального узла применительно к клееным деревянным балкам прямоугольного сечения представлено в статье [3] (рисунок 4).
Оптимизационные задачи в строительной отрасли отличаются большим содержательным разнообразием и поэтому в процессе их решения можно встретиться с любыми математическими формулировками.
Рассмотрим несущие стальные конструкции на предмет минимизации затрат материалов при выполнении основных условий прочности и жесткости, которые являются обязательными.
Отличительной особенностью таких задач является оперирование моментами инерции и моментами сопротивлений, которые входят в формулы для ограничений. При этом рассматриваются балки и фермы, работающие на изгиб в упругой стадии.
В современных условиях важно накопление практического опыта постановки и решений любых задач оптимизации именно такого характера.
Для расчета вводим несколько традиционных гипотез, которые упрощают используемые аналитические выражения:
1. Материал работает в пределах упругих деформаций.
2. Условия сопряжения неразрезных балок соответствуют случаю лишь вертикального взаимодействия между ними.
3. Дисковой и изгибной жесткостью настила пренебрегается и считается, что настил не принимает участие в работе балок на изгиб.
4. Кручением балок пренебрегается.
5. Продольными деформациями балок пренебрегается.
Процесс проектирования несущей строительной конструкции можно рассматривать как решение некоторой конкретной оптимизационной задачи.
Для этого необходимо аналитически сформулировать выражение для целевой функции и ограничения к ней. Ограничения записываются как в виде неравенств, выражающих условия прочности и жесткости, так и равенств, обеспечивающих условия совместности деформаций.
Для строительных конструкций характерно, что целевая функция, как правило, имеет простой аналитический вид. В то же время, в области строительства, в отличие от экономических задач, при формулировке ограничений к целевой функции выступают весьма громоздкие аналитические выражения, получение которых может рассматриваться как самостоятельная исследовательская задача.
Рассмотрение процесса проектирования радиально расположенных балок, жестко сопряженных в центральном узле, удобно представить и далее выполнять в терминах задачи нелинейного программирования.
Особенностью рекомендуемого подхода является тот факт, что такая задача находится на стыке различных дисциплин: строительных конструкций, строительной механики и нелинейного программирования. В данной статье предлагается одна из многих возможных версий формулировок задачи нелинейного программирования. Важнейшей особенностью
пней
Рисунок 1. Четыре радиально расположенные балки на круглом плане
Рисунок 2. Шесть радиально расположенных балок на круглом плане
Рисунок 3. Восемь радиально Рисунок 4. Конструкция центрального узла
расположенных балок на круглом плане для клееных балок прямоугольного сечения
является замена дискретной функции отечественного сортамента прокатных двутавров приближенной непрерывной.
Линейная функция цели, минимум которой требуется определить, запишется:
Z = К LA ^ min, (1)
max v у
где:
К - количество балок;
L - длина каждой балки (расстояние от места опирания до центрального узла сопряжения балок между собой);
Amax - наибольшая площадь поперечного сечения балки, определяемая либо неравенством (8), либо неравенством (9).
А является варьируемым параметром. Физический смысл целевой функции соответствует объему металла, затраченного на балки.
Как в процессе проектирования, эксплуатации, так и в состоянии реконструкции, перепланировки должны удовлетворяться условия прочности, и условия жесткости для несущих конструкций. Поэтому необходимо получить аналитические формулы для изгибающего момента и наибольших прогибов в замкнутой форме, которых нет в справочной литературе [7; 8; 4; 11]. В данной статье рассматривается наиболее опасное и чаще всего встречающееся симметричное нагружение.
Ограниченность существующих программ расчета, основанных на методе конечных элементов, заключается в невозможности получения аналитических выражений без привлечения специальных процедур. Любая промышленная программа подразумевает обязательное включение в расчетную схему всех конкретных исходных данных в абсолютных величинах, что заранее до расчета - как правило, - неизвестно и такая особенность требует повторного перерасчета. Итерационный процесс перерасчета несколько усложняет проектирование и назначение жесткостных характеристик. Эта особенность важна для статически неопределимых систем, поскольку распределение усилий зависит от первоначально принятых соотношений жесткостей.
Удобным и достаточно точным является классический метод перемещений, который и лег в основу полученных в данной статье аналитических формул. В статье [2] применительно к рассматриваемой конструктивной форме показаны преимущества метода перемещений по сравнению с иными, широко применяемыми на практике (метод конечных разностей, метод сил, метод расчета неразрезных балок на упруго-проседающих опорах и др.).
Рассмотрим шарнирно опертую по концам систему из радиальных перекрестных балок при сосредоточенной силе, действующей в центральном узле 1 (рисунки 1, 2, 3).
Прогиб определяется из канонического уравнения метода перемещений (1). Решение канонического уравнения дает величину перемещения в центральном узле 1 пересечения балок (2).
- ТЯ1Р = а (2)
откуда
д = (3) где:
Д - искомое вертикальное перемещение узла 1;
XГр - сумма реакций в узле 1 от единичного смещения каждой балки (каждая балка имеет
жесткое сопряжение в узле 1 и шарнирное сопряжение на другом конце); ХТр - сумма реакций в узле 1 от сосредоточенной силы в основной системе метода перемещений.
Физический смысл уравнения (1) означает удовлетворение условиям равновесия в узле пересечения балок между реакциями от единичных смещений и реакциями от внешней нагрузки.
Сосредоточенные силы, приложенные в узле пересечения балок, являются опасным видом нагружения. Любое приближение сосредоточенной силы к узлу пересечения балок приводит к увеличению усилий и перемещений. Такая нагрузка возникает в случае проведения ремонта помещений, когда вся тяжелая и громоздкая мебель перемещается в центр помещения или при складировании стройматериалов (цементные смеси, кирпичи и т.п.). В течение жизни перекрытия такая расчетная ситуация может встретиться много раз особенно в современных рыночных условиях при смене собственников помещений.
Уравнение (1) позволяет рассмотреть не только шарнирное опирание балок на стены, но и их полное защемление. Это защемление приводит к уменьшению прогибов и к существенному снижению строительной высоты перекрытия.
Такой случай опирания так же рассмотрен в статье, а результаты представлены в таблице 1.
Таблица 1
Результаты расчетов для схем 1, 2, 3 при шарнирном опирании балок на стену и жестком сопряжении балок со стенами при сосредоточенной силе «Р», приложенной в узле пересечения балок
Шарнирное опирание балок по контуру Заделка балок по контуру
Номер схемы Прогиб Изгибающий момент в узле 1 Опорные реакции Прогиб Изгибающий момент в узле 1 Опорный изгибающий момент Опорные реакции
Рисунок 1 р1? РР Р РР3 РР РР Р
ПИ/ 4 4 8 8 4
Рисунок 2 рР РР Р РР3 РР РР Р
ПИ/ 6 6 -2Р/ 12 11 6
Рисунок 3 рР3 РР Р РР3 РР РР Р
Не-/ 8 8 16 1- 8
Примененный подход распространим и на иные виды нагрузок, которые могут быть весьма разнообразны. В частности, наиболее часто встречается равномерно распределенная нагрузка.
Применительно к каждой отдельно взятой балке это будет погонная треугольная неравномерно распределенная нагрузка.
В этом случае рассматриваем каноническое уравнение метода перемещений, которое запишется в виде
- = а (4)
- - искомое вертикальное перемещение узла 1;
- сумма реакций в узле 1 от единичного смещения (каждая балка имеет заделку с двух
сторон);
- сумма реакций в узле 1 от неравномерно распределенной нагрузки в виде треугольника
в основной системе метода перемещений.
Физический смысл уравнения (4) полностью соответствует физическому смыслу уравнения (1), а количественные величины - иные, из-за разного характера нагрузок и условий опирания балок
Основные результаты расчетов по формуле (4) в аналитическом виде, удобном для применения, представлены в таблице 2.
Этот случай закрепления балок по контуру незначительно удорожает монтаж, однако резко уменьшает прогибы и изгибающие моменты, которые часто определяют сечение самих балок.
Таблица 2
Усилия и перемещения от неравномерно-распределенной по треугольнику погонной нагрузки q
Силовые и деформационные факторы (рисунки 1, 2, 3) Условия опирания
Шарнирное Заделка
Прогиб узла 1 40 qL4 Т Ы qL4 80Е/
Пролетный изгибающий момент qL2 М = — 1 6 qL2 М = — 1 6
Опорный изгибающий момент 0 qL2 М = - — опорн 8
Полученные в данной статье формулы (таблицы 1 и 2), могут быть использованы в проектной работе при усилении, реконструкции и реставрации особняков и старинных усадеб. Формулы, представленные в таблицах 1 и 2, можно применять при использовании перекрестных балок, выполненных не только из стали, но и из клееной древесины. В этом случае модуль упругости следует принимать как для древесины.
Новизной представленных решений является получение готовых аналитических формул при отсутствии их в справочной литературе [7; 8; 4; 11].
Для практического решения задачи важно правильно задачу идентифицировать, отнеся ее к общепринятой классификации оптимизационных задач.
Поскольку для стальных двутавровых балок применяется сортамент, имеющий дискретный характер, постольку задача близка к задачам целочисленного программирования. На наш взгляд, по физическому смыслу такую задачу точнее назвать дискретной задачей нелинейного программирования.
Инженерам-строителям удобно и привычно оперировать непрерывными функциями. В связи с этим все используемые аналитические выражения для момента инерции, момента сопротивления и площади представлены в данной статье в виде приближенных непрерывных функций (таблица 3).
Таблица 3
Приближенные статистические соотношения отечественных сортаментов
для прокатных двутавров
ГОСТ Аппроксимационные выражения
Для момента сопротивления Для момента инерции
8239-72 Wx ~ -60,567 + 7,343А + 0,084А2 Погрешность в отдельных точках 13 % /х ~ 307,526 - 62,79А + 4,472А2 Погрешность в отдельных точках 12 %
26020-83 «Б» Wx ~ -87,94 + 11,31А + 0,0853А2 Погрешность в отдельных точках 12 % / ~ -425,91 - 16,28А + 4,05А2 Погрешность в отдельных точках 14 %
Функциональные зависимости момента инерции /(А) и момента сопротивления W(А) можно аппроксимировать с любой желаемой точностью полиномами в виде:
а0 + а1А + а^2 +...+ аАп (5)
Чем больше показатель степени п, тем точнее будет аппроксимация. При этом численные коэффициенты а а а •...• а для /(А) и Ж(А) не равны друг другу и могут иметь разные знаки и разные единицы измерения, поэтому можно записать
/(А) ~ а0 + а А + а^2 +.+ аАп (6)
Ж(А) ~ Ь0 + ЬХА + Ъ^2 + ..•+П ЪАп (7)
Как показал численный эксперимент двучлен в виде а0 + ахА или Ъ0 + ЪХА дает слишком низкую точность и может быть рекомендован трехчлен или полином с п>2.
Нелинейные ограничения к функции цели удобно представить в безразмерной форме. При постановке и решении задач оптимизации в строительстве обязательно рассмотрение как минимум двух ограничений. В качестве первого ограничения выступают условия прочности в наиболее напряженной точке конструкции. Вторым ограничением являются условия жесткости, то есть перемещения наиболее прогибаемой точки конструкции, которые не должны превышать предельно допустимые перемещения.
Часто количество исследуемых точек и места их расположения бывают заранее неизвестны. В этом случае рассматривается несколько наиболее опасных точек и неравенств, выражающих условия прочности. Этих неравенств может быть несколько.
Условие прочности балок по критерию нормальных напряжений в безразмерной форме
|М |
0 = --т-- < 1 (8)
1 жя ~
у
Условие жесткости в безразмерной форме
/
О2 = -и < 1, (9)
2 [Я "
где
Ж - момент сопротивления стальной балки; Яу - расчетное сопротивление стали ;
[/] - допустимая величина прогиба, определяемая действующими нормами на проектирование; /тах - наибольшая величина прогиба (таблицы 1 и 2); №тах\ - наибольший изгибающий момент по модулю (таблицы 1 и 2).
В более абстрактной форме, однако, с учетом перехода к непрерывным функциям с использованием таблицы 3, полная система ограничений может быть сформулирована в форме безразмерных неравенств:
О, =-1-< 1 (10)
1 Ъ + ъха + Ъ2А2 " ' '
О2 = , С-2,—-- < 1 (11)
а0 + а1 А + а2А 2
03 = А > 0 (12)
04 = Р > 0 (13)
05 = С > 0 (14)
06 = С2 > 0 (15)
Здесь С и С2 - количественные величины, зависящие от условий опирания балок, вида нагрузки и геометрической схемы балок.
При этом размерности величин С и С2 - разные. Ограничения (10) и (11) - это непрерывные монотонно убывающие функции. Ограничения (12-15) определяются физическим смыслом задачи и не требуют дополнительных пояснений.
Наличие нелинейных ограничений (8), (9) или (10), (11) характеризует рассматриваемую задачу как условную задачу нелинейного программирования.
Условная задача нелинейного программирования имеет большое количество проверенных практикой эффективных алгоритмов решения, систематически изложенных в [14; 12; 16; 9; 6; 10].
Дискретная функция сортаментов прокатных двутавров заменяется непрерывной, которая приближенно отражает зависимость момента инерции и момента сопротивления от площади поперечного сечения. Указанная особенность представляет собой определенную новизну предлагаемых решений.
Это, на наш взгляд, один из возможных перспективных подходов к решению не только данной задачи, но и других аналогичных задач.
Получение аналитических формул (таблицы 1 и 2) обогащают наши представления о работе конструктивной формы по рисункам 1, 2 и 3 и могут служить хорошим подспорьем при постановке и решении многообразных оптимизационных задач, полезных для практики. Интерес представляет и графическая интерпретация решаемой оптимизационной задачи (рисунок 5). Математический минимум не совпадает с физическим минимумом из-за дискретности сортамента.
Исследование выведенных формул (1-15) при их численном выражении в реальных диапазонах пролетов и нагрузок дает возможность сделать обоснованные выводы о границах разумного применения низколегированных сталей в рассматриваемых схемах конструкций. Это обстоятельство отражено в выводах 3, 4 и 5.
При ограниченности наибольших размеров отечественного сортамента, которая возникает при больших пролетах, целесообразно переходить на стальные балки с треугольным или полигональным шпренгелем, на перфорированные балки, на прутковые прогоны. Оправдан переход и на комбинированные системы, например фермы с изгибно-жестким верхним поясом, очень перспективны фермы из одиночных уголков, а в случае еще больших пролетах разумно применять пространственно работающие стержневые системы.
Рисунок 5. Графическое решение оптимизационной задачи при шарнирном опирании балок по контуру
Точка «0» является математической точкой условного минимума. Звездочка - точка физического минимума
Каждая из вышеперечисленных конструктивных форм требует своих, иногда специфически сформулированных, целевых функций и ограничений к ним, то есть своего подробного исследования.
Определенный экономический эффект должен проявиться в неизученном пока вопросе о включении настила в совместную работу с радиальными балками. При этом настил может быть выполнен из железобетона.
Особо перспективным направлением дальнейших исследований является рассмотрение предварительно напряженных затяжек для балок шпренгельного типа. При этом все аналитические выражения для ограничений и целевых функций естественным образом усложнятся. Не исключен переход и к нелинейным целевым функциям.
При проектировании вновь создаваемых конструкций необходимо предусматривать строительный подъем. Величина строительного подъема может определяться как сумма прогиба от постоянной плюс половина временной нагрузки.
Выводы:
1. Задача о проектировании радиальных балок жестко сопряженных в центральном узле может быть сформулирована как задача нелинейного программирования.
2. Существующие разнообразные математические методы решения задач нелинейного программирования не являются универсальными, однако вполне применимы для рассмотренного примера.
3. Для стальных прокатных радиально расположенных балок на круглом плане с жестким центральным узлом и шарнирным опиранием по контуру при неравномерной распределенной нагрузке в виде треугольника, определяющим при подборе сечений является второе предельное состояние. Условия прочности выполняются автоматически с большим запасом, поэтому применение низколегированных сталей экономически нецелесообразно.
4. В случае заделок балок по опорному контуру активные ограничения и пассивные меняются местами. К активным ограничениям относятся условия прочности балок. Поэтому с целью сокращения расхода стали, выгодно становится применение низколегированных сталей.
5. При сосредоточенной силе, приложенной в узле пересечения балок, при шарнирном опирании или защемлении по наружному контуру, активным ограничением является неравенство (9). Поэтому применение в этих случаях низколегированных сталей экономически нецелесообразно.
Библиографический список
1. Гетц, Хоор, Меллер, Наттерер. Атлас деревянных конструкций. М., 1985.
2. Демидов Н.Н., Бурмистрова А.Г. К анализу расчетных схем и основных методов расчета перекрестных балок // Строительная механика и расчет сооружений. 1989. № 2.
3. Макаров А.А., Турков А.В. Прогибы и частоты собственных колебаний систем перекрестных балок на прямоугольном плане в зависимости от схемы опирания // Промышленное и гражданское строительство. 2014. № 10.
4. Отрешко А.И. Справочник проектировщика. Деревянные конструкции. М., 2013.
5. Раздольская Т. Задачи спасения архитектуры русского авангарда. Департамент культурного наследия г. Москвы // Московское наследие. 2018. № 1 (55).
6. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике. М., 1986. Кн. 1.
7. Справочник проектировщика расчетно-теоретический / под ред. А.А. Уманского. М., 1972. Кн. 1.
8. Справочник проектировщика. Металлические конструкции / под ред Н.П. Мельникова. М., 1980.
9. Фиакко А., Маккормик Г. Нелинейное программирование. М., 1988.
10. ХиммельблауД. Прикладное нелинейное программирования. М., 1975.
11. Хисамов Р.И. Расчет и конструирование структурных покрытий. Киев, 1981.
12. BazaraaM.S., Sherali H.D., Shetti C.M. Nonlinear Programming: theory and algorithms. 2013.
13. Butner S. Metalleichtbauten Ebene Raumstabwerke. VEB Verlag fur Bauwesen. Berlin, 1970.
14. Luenberger D.G., Ye Y. Linear and nonlinear programming. 2015.
15. Mengerinhausen Raumfachwerke aus Staben und Knoten. Bauverlag GMBH. Wiesbaden und Berlin 1975.
16. Traces and Emergence of Nonlinear Programming. Springer 2014. Н.Н. Демидов
кандидат технических наук, доцент
Московский информационно-технологический университет -Московский архитектурно-строительный институт E-mail: [email protected]
О.Н. Ракитова
главный специалист ООО «АМЦ-Проект» E-mail: [email protected]
В.Г. Меликова
ведущий специалист-конструктор АО «МСУ-1» E-mail: [email protected]
