Процедура оценивания параметров линейной эконометрической модели методом псевдонормальной оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ ТЕРРИТОРИЯМИ

УДК 330.43

ПРОЦЕДУРА ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МЕТОДОМ ПСЕВДОНОРМАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Амридон Гемзаевич Барлиани

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (983)319-99-31

Ираида Яковлевна Барлиани

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры управления и предпринимательства, тел. (983)319-99-31

В статье предлагается подход к процедуре оценивания параметров эконометрической модели на основе псевдонормальной оптимизации.

Ключевые слова: эконометрическая модель, псевдонормальная оптимизация, функционал, псевдообратная матрица, ковариационная матрица.

PROCEDURE OF ESTIMATING LINEAR ECONOMETRIC MODEL PARAMETERS BY PSEUDONORMAL OPTIMIZATION

Amridon G. Barliani

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk,10 Plakhotnogo St., Ph. D., Assoc Prof, Department of Informatics and Information sistems, tel. (983)319-99-31

Iraida Ya. Barliani

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk,10 Plakhotnogo St., Ph. D., Assoc Prof, Department of Management and Entrepreneurship, tel. (983)319-99-31

An approach to the procedure of estimating parameters for econometric model based on pseudonormal optimization is presented.

Key words: econometric model, pseudonormal optimization, functional, pseudoinverse matrix, covariance matrix.

Широкое использование методов теории вероятностей и математической статистики, в том числе в применении к обработке результатов геодезических

105

Экономика и управление территориями

измерений [1-12], позволило выработать широкий спектр специальных алгоритмов [2-4], полезных при решении экономических задач.

Известно, что главным инструментом эконометрики служит эконометрическая модель, т. е. экономико-математическая модель факторного анализа, параметры которой оцениваются методами математической статистики. Эта модель выступает в качестве средства анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов на основе реальной статистической информации.

В эконометрических исследованиях обычно предполагается, что закономерности моделируемого процесса складываются под влиянием других явлений, факторов. Обобщенную форму эконометрической модели, описывающей закономерности развития такого процесса, обозначенного переменной у, в зависимости от уровней воздействующих на него внешних явлений, факторов Xj,

j = 0,1,2,..., k, можно представить следующим уравнением [2, 3, 4]:

У = f («, x) + s . (1)

где f (а, x ) - функционал, выражающий вид и структуру взаимосвязей между уровнями переменных у их .

В зависимости от математической формы функционала f (а, х ) выделяются линейные и нелинейные эконометрические модели.

Рассмотрим общую схему процедуры оценки параметров линейной эконометрической модели на основе метода псевдонормальной оптимизации (МПНО) [2, 3, 4]. Такую модель в общем виде можно записать следующим образом:

_ ,+... + а, X/- + в.. 2j k kj i

(2)

Исходными данными при оценке параметров а о, а^ •••, а ^ являются измеренные (наблюдаемые) значения зависимой переменной, которые можно представить в виде вектор-столбца

У = (У1 У2 ••• Уп)Т . (3)

Наблюдаемые значения независимых переменных объединим в матрицу следующего вида:

Г1 х11 X12 • X1k Л

1 X21 X22 " X2k . (4)

1 V X1T X2T " * X , nk j

106

Экономика и управление территориями

Векторно-матричная форма записи линейной эконометрической модели имеет следующий вид:

y = X -а + 8, (5)

Т

где а = (а^, ар---, ) - вектор-столбец «истинных» значении параметров модели; параметр а . выражает степень влияния фактора x . на переменную у;

а о — постоянная модели; sT = ^8р s2, ..., sn j - вектор значений случайных ошибок модели.

«Истинным» значениям параметров а ар-- -, а^ должен соответствовать и «истинный» ряд ошибки модели s, определенный как

s = у - /(а, x). (6)

В отношении свойств ошибки модели £ выдвигаются следующие предположения.

1. В модели (5) ошибка (возмущение) £ (или зависимая переменная yt) есть величина случайная, а объясняющая переменная Xj - величина неслучайная.

2. Математическое ожидание возмущения £ равно нулю:

м(£,) = 0. (7)

3. Дисперсия возмущения (ошибок) £ (или зависимой переменной ) постоянна для любого i:

M[££t] = D(£) = о2г1, (8)

где I - единичная матрица размерности п хп.

4. Возмущения £j, и £у (или переменные yi и уу) не коррелированы:

M{£i£j) = 0 (i±j). (9)

Соответственно векторно-матричный вариант модели, в котором вместо неизвестных истинных коэффициентов а и ошибок е используются их оценки, т. е. вектора а и е, запишем в следующем виде:

у = X • а+е, (10)

/Т-7 /Т-7

где а = (ао,ар---,а^), е = (ео,ер---,en)- векторы значений оценок коэффициентов линейной эконометрической модели и значений ее фактической ошибки соответственно.

107

Экономика и управление территориями

Поскольку система уравнении (10) недоопределена, она имеет множественное решение. Чтобы устранить недоопределенность системы, применяют такие методы оптимизации, как метод наименьших квадратов и метод псевдонормального решения. Для системы (10) псевдонормальное решение имеет вид:

a = X+ • у, (11)

где X+ - псевдообратная матрица Мура - Пенроуза, обладающая свойствами [1, 2, 3, 4]:

X • X+-X = X; X+-X • X+= Х+; |x • X+^ = X • Х+ (X+ • X)Т = X+ • X; X+ = (XT • X)-1 • XT

(12)

Зная вектор a, модель уравнения множественной регрессии можно представить в виде:

ух = Х-а. (13)

Из теории статистического оценивания известно, что качество оценок должно удовлетворять свойствам несмещенности, эффективности и состоятельности. Докажем, что оценки, полученные по методу псевдонормальной оптимизации (МПНО), удовлетворяют свойствам несмещенности, эффективности, и состоятельности.

Рассмотрим сначала условие несмещенности оценок. Оно означает, что математическое ожидание оценки a , j = 0,1,—, к равно истинному значению

параметра a j т. е. M [aj ] = .

Для доказательства в выражение (11) вместо у подставим ее значение согласно (5) и возьмем математическое ожидание от правой и левой частей и получим:

M [a] = M[ X+у] = M[ X + (X • a + в)] = M[ X+Xa + X+в] = X+XM [a] + X+M[s].

Из свойств псевдообратных матриц (12) видно, что X += (XT • X) 1 • XT, поэтому можно записать:

M [a] = X+XM [a] + X+M[b] = (XT • X )-1 • XT X • M[a] + (XT • X )- • XtM[b] .

Из математики известно, что (XT • X)-1 • XTX = I. Здесь I - единичная матрица размера k х к, поэтому можно записать:

M[a] = M[a] + (XT • X)-1 • XtM[b] .

108

Экономика и управление территориями

Так как вектор а состоит из «истинных» неслучайных параметров, М[а] = а. Учитывая также предположение (7), М[в] = 0. В связи с этим приходим к доказательству несмещенности МПНО, т. е.

M[a] = а.

Оценка а параметра модели а считается эффективной, если ее дисперсия

j j

является минимальной среди дисперсий всех других возможных оценок данного параметра. При этом дисперсии оценок а , j = 0,1,—, к; можно найти как

j

диагональные элементы их ковариационной матрицы. Для дальнейших выводов в выражении (11) вместо вектора у подставим его значение согласно (5). Получим:

а = X+ • (X -а + в) = X+ - X • а + X+ • в.

Так как X + - X - единичная матрица, то можно переписать:

а = а + X + -в, (14)

где X + -в = А -вектор ошибок оценок параметров а ..

а j

Теперь перейдем к нахождению ковариационной матрицы вектора оценок а. Ковариационная матрица вектора оценок а может быть представлена как математическое ожидание произведения вектора-столбца ошибки на ее векторстроку, т. е.

K = М[А -АТ].

'-а аЛ

С учетом (13) получим:

K = М [X + -в- (X + -в)Т ] = М [X + -г-гТ (X + )Т ]. (15)

Поскольку псевдообратная матрица X + образована постоянными величинами, поэтому ее можно вынести за знак математического ожидания. Получим:

K = X+М[г-гТ ](X + )Т. (16)

Учитывая выражение (8), окончательно получим:

K = X+М[в - гТ ](X+)Т = - X+(X + )Т. (17)

109

Экономика и управление территориями

Таким образом, если M[££t]=D(e) = g\I, то оценки коэффициентов линейного эконометрического уравнения являются эффективными. На практике дисперсии и ковариации оценок a.., j = 0,1, • • •, к могут быть оценены как эле-

менты матрицы, • X+ (X+)Т, в которой значение дисперсии ошибки может

быть оценено на основе фактических («выборочных») значений ошибки в. со-

гласно следующей формуле:

T

2

а2 = ' =1

n

к -1

(18)

Таким образом, из полученных результатов вытекает, что использование метода псевдонормальной оптимизации позволяет получить несмещенные и эффективные оценки параметров линейной эконометрической модели без составления и обращения матрицы, нормальных уравнений, что значительно упрощает процедуру оценивания параметров линейной эконометрической модели.

Рассмотрим пример. Имеются следующие данные (условные) о сменной добыче угля на одного рабочего Y(t), мощности пласта Хг (м) и уровне механизации работ Х2 (%), характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах (табл. 1).

Таблица 1

' '1 X.' 2 У' ' X.. '1 X.' 2 У'

1 8 5 5 6 8 8 6

2 11 8 10 7 9 6 6

3 12 8 10 8 9 4 5

4 9 5 7 9 8 5 6

5 8 7 5 10 12 7 8

Предполагая, что между переменными Y, Хг и Х2 существует линейная корреляционная зависимость, найти ее аналитическое выражение (уравнение регрессии Y, по Х± и Х2).

Решение. Обозначим:

Г 5 > Г1 8 51

10 1 11 8

10 1 12 8

7 1 9 5

5 ; X = 1 8 7

6 1 8 8

6 1 9 6

5 1 9 4

6 1 8 5

18 , 12 7 J

110

Экономика и управление территориями

В матрицу плана X вводится дополнительный столбец чисел, состоящий из единиц.

Для того чтобы найти псевдонормальное решение (11), предварительно

найдем псевдообратную матрицу X+. С этой целью воспользуемся рекурсивным алгоритмом [1, 2, 3] и получим:

X + =

0,734-0,655-0,978 0,411 0,455 0,315 0,271 0,551 0,734-0,839

-0,038 0,037 0,091 0,016 -0,096 -0,124 -0,013 0,045 - 0,038 0,120

-0,044 0,065 0,036-0,073 0,086 0,151 -0,008-0,139-0,044-0,029

Далее по формуле (11) представим оценку вектора-столбца:

a =

3,540 0,854 . 0,367

По выражению (13) получим модель регрессии:

ух = —3,540 + 0,854хх + 0,367х2. (19)

Для нахождения ковариационной матрицы вектора столбца составим вспомогательную таблицу (табл. 2).

Таблица 2

i X., i1 X.. i 2 yi 9Xi e£ =yi ~yXi e?

1 8 5 5 5,127 -0,127 0,016

2 11 8 10 8,790 1,210 1,464

3 12 8 10 9,644 0,356 0,127

4 9 5 7 5,981 1,019 1,038

5 8 7 5 5,861 -0,861 0,741

6 8 8 6 6,228 -0,228 0,052

7 9 6 6 6,348 -0,348 0,121

8 9 4 5 5,614 -0,614 0,377

9 8 5 6 5,127 0,873 0,762

10 12 7 8 9,277 -1,277 1,631

Итого 0,003 6,329

На основании табл. 2 по формуле (18) определим дисперсию регрессионной модели. Она равна:

а

2

e

T

i = 1

n - k -1

6,329

7

0,904.

(20)

111

Экономика и управление территориями

Далее по формуле (17) с учетом (20) определим ковариационную матрицу вектора оценок параметров:

/ 3,634 -0,253 -0,171\

К= I -0,253 0,049 -0,029 I.

\—0,171 -0,029 0,059/

На основании ковариационной матрицы определим средние квадратические ошибки параметров a0,at,a2. Они соответственно равны:

Sao = V3634 = 1,906;

Sai = V0/049 = 0,221;

S„2 = V0.059 = 0,243.

Таким образом, осуществляется процедура оценивания параметров линейной эконометрической модели методом псевдонормальной оптимизации. Необходимо заметить, что при использовании предложенного метода значительно упрощается процедура оценивания модели регрессии и ее параметров, так как отпадает процедура составления и решения нормальных уравнений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нефедова Г. А., Ащеулов В. А. Теория вероятностей и математическая статистика в конспективном изложнии: учеб. пособие. - Новосибирск: СГГА, 2006. - 102 с.

2. Барлиани А. Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей на основе пседонормального решения: монография. -Новосибирск: СГГА, 2010. - 135 с.

3. Барлиани А. Г., Егорова С. А. Исследование рекурсивного алгоритма псевдообращения на возмущения исходных данных // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2013. 1Х Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 15-26 апреля 2013 г.). - Новосибирск: СГГА, 2013. Т. 1. - С. 90-94.

4. Барлиани А. Г., Егорова С. А. Единый рекурсивный алгоритм уравнивания и оценки точности геодезических наблюдений // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 1. - С. 85-89.

5. Барлиани А. Г. Псевдорешение и метод наименьших квадратов // ГЕО-Сибирь-2010. VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск: СГГА, 2010. Т. 1, ч. 1. - С. 160-163.

6. Карпик А. П. Разработка методик качественной и количественной оценки кадастровой информации // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. - № 4/С. - С. 133-136.

7. Падве В. А. Две теоремы об отношении дисперсий уравненных измерений, дисперсий мнк-поправок и дисперсий исходных измерений // Вестник. - 2011. - Вып. 1 (14). -С. 17-20.

8. Лесных Н. Б., Лесных Г. И. О законе распределения линейной функции случайного аргумента // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 4 (20). - С. 27-31.

112

Экономика и управление территориями

9. Лесных Н. Б., Мизин В. Е. О корреляции функций случайных ошибок измерений // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 3 (19). - С. 21-27.

10. Карпик А. П. Разработка критериев оценки качества кадастровых данных // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. - № 4/С. - С. 137-142.

11. Карпик А. П., Каленицкий А. И., Соловицкий А. Н. Новый этап развития геодезии - переход к изучению деформаций блоков земной коры в раионах освоения угольных месторождений // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 3 (23). - С. 3-9.

12. Карпик А. П., Каленицкий А. И., Соловицкий А. Н. Технология изучения изменений во времени деформации блоков земной коры при освоении месторождений Кузбасса // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 4 (24). - С. 3-11.

Получено 28.01.2014

© А. Г. Барлиани, И. Я. Барлиани, 2014

113