Простые доказательства четырех теорем математического анализа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция вышей математики

Д(р ф=6(р _ р0)/«)(н (/>-на-т)),

^ і

і

(2)

(3)

Здесь А - оператор Лапласа, С, и С, - скорости распространения продольной и поперечной волн, 8(х) - дельта - функция Дирака, /(/) -функция, определяющая форму импульса, Н (х) - функция Хевисайда,

7 - длина импульса.

Интегральные преобразования Ханкеля и Лапласа [2] позволяют свести волновые уравнения (2) и (3) к обыкновенным линейным уравнениям, после интегрирования которых применяются обратное преобразование Ханкеля и формулу Меллина. В результате находятся потенциалы ф и \|/, подстановка которых в выражение (1) даёт решение поставленной задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Новацкий В. Тория упругости. М.: Мир, 1975. 872с.

2. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712с.

Причины, побудившие автора к поиску коротких доказательств известных теорем математического анализа, входящих в программу курса высшей математики технических вузов, вполне очевидны. Это, во-первых, недостаток времени, отводимого на изучение вышеупомянутого курса, вовторых, слабая подготовка абитуриентов и, в-третьих, соображения методического характера .

В докладе обсуждаются некоторые требования, которым, по мнению автора, должен удовлетворять курс лекций по высшей математике в техническом вузе. В качестве иллюстрации этих требований рассматриваются теоремы: о числе “е”, первом замечательном пределе, первая -Больцано-Коши и теорема об отыскании частных решений неоднородных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Введение числа “е” традиционным способом предполагает, что студенты владеют понятиями бинома Ньютона, комбинаторики, суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и используют далеко

I 1

неочевидное неравенство —-<^ [ . В предлагаемом нами доказательстве используется только теорема о пределе монотонной ограниченной после-

УДК : 51: 378.1

В.Г. Цирулик

ПРОСТЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЧЕТЫРЕХ ТЕОРЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Известия ТРТУ

Специальный выпуск

довательности и неравенство Бернулли. Обычно теорема о первом замечательном пределе доказывается либо по определению предела, либо с использованием свойств непрерывных функций. Дается простое ее доказательство, основанное на теореме о переходе к пределу в двойном неравенстве, которая к этому моменту уже доказана или сформулирована. Известные учебные пособия приводят несколько вариантов доказательства первой теоремы Больцано-Коши. В докладе аргументируется целесообразность использования более короткого, основанного на свойстве непрерывной функции. Известно, насколько трудоемок процесс отыскания частных решений неоднородных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, как методом вариации произвольных постоянных, так и методом неопределенных коэффициентов, особенно в резонансном случае. Рассматриваемое в докладе обоснование метода неопределенных коэффициентов более просто по сравнению с известными и приводит к более простому алгоритму.

УДК 519.6

В.К. Гадельшин, А.Е. Кондратьева, Т.В. Лященко

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВОЗДУХА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ

В настоящее время большое значение приобретает изучение метеорологических аспектов загрязнения окружающей среды и создание соответствующих математических моделей. Основная масса примеси выбрасывается в нижних слоях атмосферы, а затем трансформируется в пограничном слое, поэтому необходимо описать движение воздушной среды вблизи земной поверхности. Если формально разделить пограничный слой на приземный и тот, что находится выше, то система уравнений, описывающих движение воздуха в приземном слое, выглядит следующим образом:

с/и 1 дР А сЛ> 1 дР .

----=-------------+ Д и ; ----=------------+ Д V ;

Л р дх (11 р ду

с/и/ 1 дР

— ££_ + сДу V =0; Р=рЯТ\

р дI

-у- = Д7’ + /т (х,у,г,1)\ ^Г=д0+/е(х,у,г,0,

Ш Ш

ад д

где --= --+ и---Ь V--1- УУ

с!1 б/ дх ду дг