ПРОСТЫЕ ЧИСЛА МЕРСЕННА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514

Бенгина Т.А.

канд. техн. наук, доцент СамГТУ, г. Самара, РФ

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА МЕРСЕННА

Аннотация

Статья посвящена исследованию закономерностей в нахождении простых чисел Мерсенна

Ключевые слова

Числа Мерсенна, простые числа, закономерность, цикличность

Имя французского физика, математика, философа, богослова и теоретика музыки Марена Мерсенна чаще всего упоминается как исследователя «чисел Мерсенна», играющих важную роль в теории чисел, криптографии и генераторах псевдослучайных чисел.

Числа Мерсенна это числа вида Mn = 2n — 1, где -натуральное число.

Эти числа представляют интерес, так как некоторые из них являются простыми при больших значениях показателя n.

Простые числа нашли широкое применение в банковской сфере при работе с кредитными картами и работе с персональными компьютерами. Потребность в новых простых числах для генерации секретных кодов постоянно существует (чем больше, тем лучше).

Проект по поиску простых чисел GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) был запущен в 1997 году, и ныне считается самым длительным непрерывным процессом распределённых вычислений в истории человечества.

Последовательность простых чисел Мерсенна выглядит так:

3, 7, 31, 127, 8191, 131 071, 524 287, 2 147 483 647, 2 305 843 009 213 693 951, 618 970 019 642 690 137 449 562 111, 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127, 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727...

Показатели известных простых чисел Мерсенна образуют последовательность:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11 213, 19 937, 21 701, 23 209, 44 497, 86 243, 110 503, 132 049, 216 091, 756 839, 859 433, 1 257 787, 1 398 269, 2 976 221, 3 021 377, 6 972 593, 13 466 917, 20 996 011, 24 036 583, 25 964 951, 30 402 457, 32 582 657, 37 156 667, 42 643 801, 43 112 609, 57 885 161, 74 207 281, 77 232 917, 82 589 933.

Простые числа Мерсенна давно удерживают лидерство как самые большие известные простые числа.

Исследуя числа Мерсенна, можно заметить некоторую закономерность в распределении простых чисел в ряду натуральных чисел: числа чередуются по последней цифре (первые четыре числа заканчиваются на цифры 1,3,7,5, последующие четыре опять повторяются и т.д).

В таблице приведена группировка чисел в четыре столбца:

М1 1 М2 3 М3 7 М4 15

М5 31 М6 63 М7 127 М8 255

М9 511 М10 1 023 М11 2 047 М12 4 095

М13 8 191 М14 16 383 М15 32 767 М16 65 535

М17 131 071 М18 262 143 М19 524 287 М20 1 048 575

М21 2 997 151 М22 4 194 303 М23 8 388 607 М24 16 777 215

М25 33 554 431 М26 67 108 863 М27 134 217 727 М28 268 435 455

М29 536 870 911 М30 1 073 741 823 М31 2 147 483 647 М32 4 294 967 295

Числа во втором столбце делятся на 3, значит они составные, и среди них не может быть простых чисел Мерсенна.

Числа в четвертом столбце делятся на 5, соответственно среди них тоже не может быть простых чисел

i ' У

Мерсенна.

Следовательно, простые числа Мерсенна необходимо искать только в первом и третьем столбце. К сожалению, и среди этих чисел редко встречаются простые. Так, например, число: М9 = 511 = 773, М11 = 2 047 = 23 89, М15 = 32 767 = 7 31151.

Поэтому вопрос сужения диапазона поиска простых чисел Мерсенна является актуальным.

И хотя, до настоящего времени нет официального подтверждения о какой-либо существующей закономерности в порядке расположения простых чисел Мерсенна, анализ этих данных показывает интересную особенность среди изучаемых чисел.

Простое число Мерсенна (для больших чисел первые и последние 3 цифры)

М1 3

М2 7

М3 31

М4 127

М5 8191

М6 131 071

М7 524 287

М8 2 147 483 647

М9 2 305 843 009 213 693 951

М10 618 970 019 642 690 137 449 562 111

М11 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127

М12 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727

М13 686..............................................................151

М14 531..................................................... ........127

М15 104..................................................... .........087

М16 147..................................................... ........007

М17 446..................................................... .........351

М18 259..................................................... ........071

М19 190..................................................... .........991

М20 285..................................................... .........607

М21 478..................................................... .........111

М22 346..................................................... .........551

М23 281..................................................... .........191

М24 431..................................................... ..........471

М25 448..................................................... ..........751

М26 402..................................................... ..........511

М27 854..................................................... ..........671

М28 536..................................................... ..........207

М29 521..................................................... ..........007

М30 512..................................................... ..........31

Проанализировав таблицу, можно сделать следующий вывод: простые числа не располагаются в строгой закономерности, между тем, все же наблюдается некоторая цикличность чередования чисел, заканчивающихся на 1 и 7, при этом, по мере увеличения размера простого числа Мерсенна, количество заканчивающихся на 1 чисел увеличивается. Более трех чисел подряд, заканчивающихся на одно и то же число, встречаются только среди простых чисел Мерсенна, заканчивающихся на 1.

Но на данный момент формула Мерсенна уникальна и наиболее подходит для поиска больших простых чисел.

Список использованной литературы:

1. О. Оре. Приглашение в теорию чисел. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.

2. А.С. Эдельштейн «Замечательные числа» - М.: отпечатано в редакционно-издательской группе ОООИ «Новые возможности», 2016.

3. Карпеченко Е. Тайны чисел. Математика / Прил. К газете «Первое сентября» №13 2007.

4. О.М.Мамедов. Числа Мерсенна. //Журнал «Квант» №10, 1986 г.- с.24-25.

5. П.П.Орлов. Новые методики решения задач о числах. - М.: изд-во Либроком, 2011.-с. 34-37.

© Бенгина Т.А., 2021