CC BY
20
Автоволны. Самоорганизация
Изв. вузов «ПНД», т. 20, № 6, 2012 УДК 519.8
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СТРУКТУРЫ В МНОГОМЕРНОЙ АКТИВНОЙ СРЕДЕ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ МНОГОМОДОВЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ВБЛИЗИ ВОЛНОВОЙ БИФУРКАЦИИ
М.Ю. Борина, А.А. Полежаев
Проведено исследование системы амплитудных уравнений, описывающих взаимодействие в ограниченной области нескольких мод, ставших неустойчивыми вследствие волновой бифуркации. Показано, что в результате конкуренции мод в зависимости от величины параметра, определяющего силу взаимодействия, возможны лишь два режима: или квазиодномерные бегущие волны (существует только одна ненулевая мода), или стоячие волны (все моды отличны от нуля). Этот результат подтвержден численными экспериментами для модифицированной модели Гирера-Майнхардта, в которую включено ещё одно уравнение для второго, быстро диффундирующего ингибитора.
Ключевые слова: Активная среда, диффузионная неустойчивость, волновая бифуркация, амплитудные уравнения.
Введение
Пространственно-временная самоорганизация в активных средах давно является предметом экспериментальных и теоретических исследований [1-3]. К настоящему времени обнаружены не только диссипативные структуры или автоволны [4-7], но и такие новые типы структур, как антиспирали, волновые пакеты, штри-хволны, сегментированные спирали, локализованные колеблющиеся пятна - осцил-лоны и др. [8-13]. Все это многообразие структур экспериментально наблюдалось, в частности, в реакции Белоусова-Жаботинского, протекающей в микроэмульсии [14].
Одной из первых гипотез о природе самоорганизации была идея, высказанная Тьюрингом в 1952 году в его работе «Химическая основа морфогенеза» [15]. Суть её в том, что ключевую роль здесь играет неустойчивость, обусловленная диффузией, разрушающая исходное однородное стационарное состояние.
Диффузионная неустойчивость вызывает переход системы из однородного стационарного состояния в новое, пространственно неоднородное, состояние. Если при
этом действительная часть пары комплексно-сопряженных собственных чисел характеристического уравнения линеаризованной модели становится положительной в ограниченном диапазоне волновых чисел, то имеет место волновая бифуркация.
Непосредственно вблизи волновой бифуркации, как правило, наблюдается два типа структур: бегущие и стоячие волны [16]. В этом случае эффективным методом изучения таких структур является построение и последующее исследование амплитудных уравнений. Однако проблема заключается в том, что в многомерном пространстве имеет место вырождение по направлениям, и вклад в формирование структуры может вносить много (в случае неограниченной области - бесконечно много) неустойчивых мод. Ситуацию можно упростить, рассмотрев дискретный набор мод, взаимодействующих между собой в ограниченной области и удовлетворяющих граничным условиям. Процедура построения амплитудных уравнений вблизи бифуркации на основе кинетических уравнений, например, системы уравнений типа «реакция-диффузия», хорошо известна (см., например, [17,18]) и основана на разложении по малому параметру, являющемуся некоторой степенью бифуркационного параметра (в случае волновой бифуркации - это квадратный корень из бифуркационного параметра) и последующему применению условий разрешимости к уравнениям для старших порядков. В результате в уравнение для амплитуды Ak любой из мод войдут линейный и кубический члены по данной амплитуде, члены вида Ak\Aj|2, описывающие взаимодействие данной моды с каждой из остальных, а также члены вида A*^AjAj\, соответствующие так называемому четырехволновому взаимодействию. Здесь Aki - амплитуда встречной волны, а Aj и Ají - амплитуды любой другой пары волн, движущихся навстречу друг другу. Учет последних членов сильно усложняет ситуацию, делая практически невозможным аналитическое исследование. С другой стороны, при переходе к действительным уравнениям для модулей комплексных амплитуд у соответствующих членов появляются зависящие от времени множители с нулевым средним и случайной фазой. Можно предполагать, что они частично компенсируют друг друга, а также обращаются в ноль в результате усреднения на промежуточных временах. Исходя из этого, мы в дальнейшем пренебрежем этими членами, и тогда амплитудные уравнения приобретают вид
Здесь Ль - комплексные амплитуды мод, соответствующих одинаковым по модулю, но разным по направлению волновым векторам, ставших неустойчивыми в результате волновой бифуркации. Параметр Н характеризует силу конкуренции между модами; параметры в\ и С2 определят отношение мнимых и действительных частей коэффициентов перед соответствующими кубическими членами.
Основной целью данной работы является анализ многомодового взаимодействия вблизи волновой бифуркации, описываемого уравнениями (1). Будет показано, что в зависимости от параметра Н в среде формируются либо стоячие, либо бегущие волны. В первом случае выживают все взаимодействующие моды, а во втором - остается только какая-то одна, при этом остальные обращаются в ноль. Структуры иного рода возникнуть не могут. Этот аналитический результат проиллюстрирован
j=i,j=k
на примере модели Гирера-Майнхарда, расширенной добавлением третьего уравнения, описывающего еще один быстро диффундирующий ингибитор. Будет проведен нелинейный анализ данной модели и выражен коэффициент Н в уравнениях (1) через ее параметры. Тем самым будут обозначены в параметрическом пространстве области существования тех или иных структур. Будут представлены результаты систематического численного исследования модели для соответствующих наборов параметров, которые сопоставляются с теоретическими предсказаниями.
1. Анализ стационарных решений модели (1)
Представим комплексные амплитуды А^ в виде А^ = А^ ехрг%, где А^ = А^ Подставив их в уравнения (1), получим для модулей амплитуд следующую систему уравнений:
N
3_Аг = Аг - А\ - АН А], г € Т,Ж (2)
3 = 1,3 =
Эти уравнения включают единственный параметр Н. Остальные параметры, присутствующие в уравнениях (1), входят в уравнения для фаз , которые здесь не приводятся. Найдем стационарные точки уравнений (2), которые являются решениями системы уравнений
А? (1 - (А^2 - Н £ (А?4)2) =0, г € 17Ж
\ 3=1,3=г /
Допустим, что каждое из них дается набором
А?_ = 0, г € 1~р,
Af = 0, i £ p + 1, N,
где p - некоторое целое число из интервала 1, N. Для двух последовательных отличных от нуля амплитуд Af_ 1, Af запишем
1 - (А-1)2 - Н £ (А3)2 = 0, 1 - (А?4)2 -Н £ (А3)2 = 0, г € 2,р.
3=1,3=г-1 3=1,3=г
Вычитая одно уравнение из другого, получим АТ_ 1 = А?'. Таким образом, все амплитуды А?', отличные от нуля для г € 1,р, равны между собой. Используя этот
факт, находим, что для всех г € 1,р справедливо А?_ = — .
V1 + (р - 1)Н
Итак, показано, что помимо тривиального решения, которое, очевидно, неустойчиво, все стационарные точки системы (2) с точностью до перестановки индексов имеют вид
А? =
л/1 + (р - 1)Н' ___(3)
0, г € р +1,^,
где р - некоторое целое число из интервала 1, N.
Исследуем теперь устойчивость стационарной точки (3). Линеаризуем уравнения (2) в её окрестности
' • 2 * _ 6А = - (—&Аг - Н £ ), Ъ € 1,р,
3=1'3=г (4)
1- Н
ЬА = ^-ттт- А г € р + 1, N.
1 + (р - 1)Н
Представив малые отклонения от стационарной точки ЬАг и ЬА^ пропорциональными ехр (1 + (-), подставим их в систему (4) и получим характеристическое
уравнение, которое после некоторых преобразований удается свести к виду
[X + 2(1 + (р — 1)Н)][Х — 2(Н — 1)]Р-1[Х — —(1 — Н)]м-р = 0. Таким образом, стационарная точка (3) имеет следующий набор собственных
чисел:
—2(1 + (р — 1)Н), г = 1, X = 2(Н — 1), г € 2р, (5)
1 — Н, г € р + 1, N.
Анализ собственных чисел (5) в зависимости от значения Н дает следующий результат:
• если Н € (1, то), то с точностью до перестановки индексов устойчиво решение А1 = 1, А;? = 0, г € 2, N, соответствующее р = 1;
1
если Н € (--, 1), то устойчиво решение А^ь = —, , г € 1, N,
1 N — 1' у Р г + ^ — 1)Н
соответствующее р = N;
• для р € 2, N — 1 устойчивых решений нет.
Таким образом, доказано следующее утверждение:
Из всего множества стационарных точек (3) системы (2), в зависимости от значения коэффициента Н, устойчивыми могут быть только те точки, для которых либо р = 1, либо р = N .А именно, при Н € (1, то) имеется N устойчивых решений таких, что одна из амплитуд равна единице, а остальные обращаются в ноль;
при Н € (—N—1, 1) существует единственное решение А\ь = ^ ^и,
г € 1, N.
Итак, в системе (1) вблизи волновой бифуркации в зависимости от силы связи конкурирующих мод Н возможны лишь два режима - стоячие или квазиодномерные бегущие волны. Если параметр Н достаточно велик (Н > 1) одна из мод подавит остальные и сформируется бегущая волна. В противном случае, когда Н мал
(Н € (—N—1, 1)), моды сосуществуют друг с другом, причем имеют одинаковые
амплитуды, что соответствует стоячей волне. Промежуточные режимы в системе (1) вблизи волновой бифуркации невозможны.
2. Численные эксперименты
2.1. Математическая модель. Для проведения численных экспериментов выберем модель Гирера-Майнхардта [19], в которую добавим третье уравнение, соответствующее второму быстро диффундирующему ингибитору,
и2
дги = (р +---ии — си + dw)Q + В1Ч2и,
дгУ = и2 — V + б2Ч2у, (6)
дtw = си — dw + V2w.
Это сделано по той причине, что в двухкомпонентной реакционно-диффузионной модели волновая бифуркация невозможна, в отличие от бифуркации Тьюринга [20]. Сам же выбор конкретной модели достаточно произволен и определяется только тем, чтобы она допускала волновую неустойчивость. Параметры, влияющие на структу-рообразование, в уравнениях (6) это - кинетические константы р, и, с, d и коэффициенты диффузии 01, В2, Б3. Стационарная точка имеет координаты ( и0 = Р +
,Р + 1ч2 с(р + 1)
Vо = (-) , wо
И
И dи /
2.2. Параметрический анализ и результаты численных экспериментов.
Проводим линейный анализ модели (6) и, пользуясь условиями для волновой бифуркации, сформулированными в работе [20], определяем границу волновой неустойчивости на плоскости параметров (и, при фиксированных остальных параметрах. Вблизи этой границы строим амплитудные уравнения (см. приложение), при этом в явном виде находим взаимосвязь коэффициента Н в уравнениях (1) и параметров модели (6) и, таким образом, определяем области существования бегущих и стоячих волн.
Численное исследование системы (6) проводилось в области 0 < х < Ь, 0 < у < Ь методом переменных направлений [21]. В начальный момент времени система находится в однородном стационарном состоянии (и0^0^0), модулированном случайным пространственным шумом. Использованы периодические граничные условия.
Было проведено систематическое численное исследование модели (6) для параметров, лежащих вблизи границы волновой неустойчивости. На рис. 1 приведена параметрическая плоскость (и, модели (6), где показаны области бегущих и
о 10.0 7.5 5.0 2.5 0
устойчивое однородное состояние
1.5 1.82 2.14 2.46 2.78 I1
Рис. 1. Плоскость параметров Я модели (6). Сплошной линией обозначен порог волновой бифуркации. Указаны области, соответствующие стоячим и бегущим волнам, определенные из параметрического анализа. Здесь же приведены результаты численных экспериментов; кружками и квадратами обозначены реализации, соответственно, стоячих и бегущих волн; более крупные символы соответствуют комбинациям параметров для приведенных ниже примеров. Остальные параметры модели: р = 0.23, = 1 I = 1, Бг = 1, Б = 1, Бз = 50
Рис. 2. Бегущие волны в модели (6) в моменты времени £: 1 - t0, 2 - + 10А, 3 - + 20А, 4 | зоА, где to = 530, А = 0.192 - шаг интегрирования. Параметры модели: р = 0.23, = 2, Я = 3, с = 1, й =1, Бг = 1, Б2 = 1, Бз = 50. Размер области 150 х 150
г %
Рис. 3. Стоячие волны в модели (6) в моменты времени £ 1 - to, 2 - to + 12Д, 3 - to + 23Д, 4 - to + 46Д, где to = 1755, Д = 0.032 - шаг интегрирования. Параметры модели: р = 0.23, = 1.65, Я = 10, с =1, й =1, Бг = 1, Б2 = 1, Б3 = 50. Размер области 100 х 100
стоячих волн. Отметим, что мы не можем указать их правые границы, поскольку проведенный анализ справедлив только вблизи бифуркационной кривой. В полном соответствии с тем, что было показано выше, оказалось, что в системе (6) вблизи волновой бифуркации возможны лишь два режима. Если параметры подобраны так, что Н € (1, то), в системе формируются бегущие волны, а если Н € (—1/4,1), то в системе возникают стоячие волны.
На рис. 2 и 3 приведено два примера структур, полученных в численных экспериментах. Соответствующие параметры обозначены на рис. 1 более крупными значками.
Заключение
В данной работе проведено исследование системы амплитудных уравнений (1) вблизи волновой бифуркации для N мод, удовлетворяющих граничным условиям и взаимодействующих между собой в ограниченной области.
Показано, что в результате такого взаимодействия в зависимости от величины параметра h возможны лишь два режима: или квазиодномерные бегущие волны (существует только одна ненулевая мода), или стоячие волны (все N мод отличны от нуля). Решение с p (p € 2, N — l) отличных от нуля мод является неустойчивым и не может быть реализовано.
Для проведения численных экспериментов была выбрана модель Гирера-Майн-хардта, расширенная добавлением третьего уравнения для еще одного быстро диффундирующего ингибитора. Выполнен параметрический анализ данной модели и построены амплитудные уравнения вблизи волновой бифуркации. В результате, получена связь между коэффициентом h в соответствующих уравнениях (1) и параметрами модели. Выделены области в параметрическом пространстве, отвечающие существованию бегущих или стоячих волн. Результаты численных экспериментов вполне соответствуют теоретическим предсказаниям.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, грант 11-01-00392.
Приложение
Введем новую переменную u = (и, v, w)T, где u(t) = u(t)—u0, v(t) = v(t)—v0, w(t) = w(t) — wo - отклонение от положения равновесия. Перепишем систему (6) в виде
dtu(t) = ¿(ц, Q)u(t) + I(ц, Q, u(t)). (П.1)
Здесь L - линейный оператор, включающий в себя диффузионные члены; I - нелинейная часть. Нетрудно проверить, что
( (2в(ц) — ц — c)Q — D1V2 — s2(^Q dQ \
¿(ц, Q)
2 —l — D2V2 0
«(ц) =
p + l
с 0 -й - ДзУ2
\ )
Применим метод многомасштабного разложения по малому параметру [17,18], который заключается в том, что в окрестности точки бифуркации вектор и(£), управляющий параметр ц и временную производную дг можно представить в виде степенного ряда по малому параметру е
и = еи1 + е2и2 + о(еэ), ,П _
ц - Це = ец1 + е2Ц2 + о(еэ), дг = дг0 + еди + е2д4з + о(еэ). '
Учитывая зависимость оператора Ь от параметра ц, а нелинейной функции I -от ц и и, используем разложения
Ь = Ьо + еЬ1 + е2Ь2 + о(еэ), (П
I = е2М и1и1 + еэ2М и1и2 + еэЫи1и1и1 + о(е4). ( '
ц
Операторы Ьо, Ь1 и Ь2 нетрудно получить из исходного оператора Ь, подставив в него ^ в виде ряда по е и произведя разложение по малому параметру. Операторы М, N определяются следующим образом
МаЬ = ((в4(^с)а2Ъ2 + в2(^с)а1Ъ1 — в3(^с)(а1Ъ2 + аъЪх)) Яс а\Ь\ 0 N ааа = ((2в5(и,с)(а1а2 + 2а1|а2|2) — в4 + 2а2|а1|2))Яс 0 0
\Т
где векторы а = (а1 а2 а3)Т, Ь = (Ъ1 Ъ2 Ъ3)Т.
Подставим разложения (П.2) и (П.3) в уравнение (П.1). Очевидно, что мы получим уравнение, содержащее члены о(е), о(е2), о(е3), ..., которое будет эквивалентно (П.1) только в том случае, если
о(е) : (дг0 — Ьо) и1 = 0, о(е2) : (дь0 — Ьо) и2 = — (дц — Ь1) и1 + Мщиь о(е3) : (дг0 — Ьо) из = — (дгг — Ь{) и2 — (дг2 — Ь2) и1 + 2Ми1и2 + Nщи1и1.
Уравнение о(е) - это задача линейного анализа в точке (х = цс. Её решение в пространственно одномерном случае
и1 = ис(Аь ехрг(Шс*+ксх) +Ап вхрг(Шс+ с.с.,
где wc, кс - критические частота и волновое число; ис - критический собственный вектор оператора Ь0; А^, Ап - комплексные скалярные амплитуды направо и налево распространяющихся волн; с.с. обозначает комплексное сопряжение.
Применяя для уравнений о(е2) и о(е3) условие разрешимости [17,18] и суммируя соответствующие результаты, мы получим систему следующих уравнений типа Гинзбурга-Ландау:
дгАь = пАь — 91Аь1Аь12 — д2Аь1Ав\2,
(П.4)
дгАп = цАя — д1Ав\Ап12 — д2Ая1Аь12. Здесь п, д1, д2 - комплексные коэффициенты, причем
^с,Ь2ис)
п
(Vс, ис)
д1 = (2Мис^оо + 2Мис^20 + 2Мйс^02 + 2Nисисйс) , (^с, ис)
д2 = (2М ис^оо + МйсШ22 + N исисйс) ,
(^с, ис)
где vc - решение сопряженной линейной задачи (д^0 — Ьо^с = 0, М исис М исис
Wnm = -г , , ч , Уит = -г , , ч , п,т = 0, 2.
nгwc — Ьо(ткс) nгwc — Ьо(ткс)
Подходящим выбором масштаба систему (П.3) можно преобразовать к виду
(П.5)
дгАь = Аь — (1 — гс1)Аь|Аь|2 — Н(1 — гс2)Аь1Ая |2,
дгАп = Ап — (1 — гс1)Ад|Ад |2 — Н(1 — гc2)AR|AL|2, где с1, с2, Н - действительные коэффициенты. Последний из них - коэффициент
h = g2/gi - определяет силу, с которой конкурируют волны, распространяющиеся навстречу друг другу.
Очевидно, что обобщая полученный результат (П.5) для случая многомодового взаимодействия в многомерной среде, получим уравнения (1).
Библиографический список
1. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979, 512 с.
2. Пригожин И. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985, 327 с.
3. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980, 406 с.
4. Castets V., Dulos E., Boissonade J., Kepper P.D. Experimental evidence of a sustained standing Turing-type nonequilibrium chemical pattern // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 64. P. 29536.
5. Fields R.J., Burger M. Oscillations and travelling waves in chemical systems. New York: Wiley, 1985. 681 p.
6. Kapral R., Showalter K. Chemical waves and patterns. Dordrecht: Kluwer, 1995. 524 p.
7. Zhabotinsky A.M. A history of chemical oscillations and waves // Chaos. 1991. Vol. 1. P. 379.
8. Gong Y., Christini D.J.Antispiral waves in reaction-diffusion systems // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 90. P. 088302.
9. Vanag V.K., Epstein I.R. Packet waves in a reaction-diffusion system // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88. P. 088303.
10. Vanag V.K., Epstein I.R. Dash waves in a reaction-diffusion system // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 90. P. 098301.
11. Yang L., Berenstein I., Epstein I.R. Segmented waves from a spatiotemporal transverse wave instability // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. P. 038303.
12. Vanag V.K., Epstein I.R. Resonance-induced oscillons in a reaction-diffusion system // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73. P. 016201.
13. Ванаг В.К. Волны и динамические структуры в реакционно-диффузионных системах. Реакция Белоусова-Жаботинского в обращенной микроэмульсии // УФН, 2004. Т. 174, № 9. C. 991.
14. Vanag V.K., Epstein I.R. Pattern formation in a tunable medium: the Belousov-Zhabotinsky reaction in an aerosol OT microemulsion // Phys Rev Lett. 2001. Vol. 87. P. 228301.
15. Turring A.M. The chemical basis of morphogenesis // Philos. Trans. R. Soc. Lond. B. Biol. Sci. 1952. Vol. 237. P. 37.
16. Zhabotinsky A.M., DolnikM., Epstein I.R., Rovinsky A.B. Spatio-temporal patterns in a reaction-diffusion system with wave instability // J. Chem. Science. 2000. Vol. 55. P. 223.
17. Kuramoto Y Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. Berlin: Springer-Verlag, 1984. 156 p.
18. Nicolis G. Introduction to nonlinear science. Cambridge University Press, 1995. 254 p.
19. Gierer A., Meinhardt H.A. Theory of biological pattern formation // Kibernetik. 1972. Vol. 12. P. 30.
20. Борина М.Ю., Полежаев А.А. Диффузионная неустойчивость в трехкомпонент-ной модели типа «реакция-диффузия»// Компьютерные исследования и моделирование. 2011. Т. 3, № 2. С. 135.
21. Лобанов А.И., Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике. М.: Бином, 2006. 523 с.
Физический институт Поступила в редакцию 15.02.2012
им. П.Н. Лебедева РАН После доработки 11.05.2012
SPATIAL-TEMPORAL PATTERNS IN A MULTIDIMENSIONAL ACTIVE MEDIUM FORMED DUE TO POLYMODAL INTERACTION NEAR THE WAVE BIFURCATION
M. Yu. Borina, A. A. Polezhaev
Investigation of a set of amplitude equations, describing interaction of several modes which became unstable due to the wave bifurcation, is carried out. It is shown that as a result of competition between modes depending on the value of the parameter defining the strength of interaction only two regimes are possible: either quasi one-dimensional travelling waves (there exists only one nonzero mode) or standing waves (al the modes are nonzero). This result is supported by numerical experiments for the Gierer-Mainhrdt model modified by addition of one more equation for the second fast diffusing inhibitor.
Keywords: Active medium, diffusion instability, wave bifurcation, amplitude equations.
Борина Мария Юрьевна - родилась в 1987 году в Кемерово, окончила Московский инженерно-физический институт в 2010 году. В настоящее время -аспирантка ФИАН. Имеет две публикации в реферируемых научных журналах.
119991 Москва, Ленинский проспект, 53 Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН Е-таП:аро1@1рьги
Полежаев Андрей Александрович - родился в 1953 году в Москве, окончил Московский физико-технический институт (1976). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в МФТИ (1979) и доктора физико-математических наук в МГУ (1994) в области теории нелинейных динамических систем, моделирования процессов пространственно-временной самоорганизации в системах различной природы, математической биофизики. После окончания аспирантуры МФТИ в 1979 году работает в ФИ-АНе, в настоящее время - заведующим сектором теоретических проблем биофизики. Опубликовал более 100 научных статей по направлениям, указанным выше. Заместитель главного редактора журнала «Компьютерные исследования и моделирование».
119991 Москва, Ленинский проспект, 53 Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН Е-таП:аро1@1рьги
