CC BY
111
Пространственная модель переходных режимов движения поезда
О. М. Маркова,
канд. техн. наук, старший научный сотрудник, ученый секретарь Института технической механики НАН Украины и ГКА Украины (ИТМ НАНУ и ГКАУ)
Е. Н. Ковтун,
канд. техн. наук, старший научный сотрудник ИТМ НАНУ и ГКАУ
В. В. Малый,
научный сотрудник ИТМ НАНУ и ГКАУ
Рассмотрена возможность сочетания двух расчетных моделей движения поезда: модели, где учтены только продольные перемещения тел, и пространственной модели. На основании комбинированной математической модели движения грузового поезда разработана компьютерная программа, в которой часть экипажей в составе поезда представляется упрощенными расчетными схемами, а отдельные вагоны - достаточно подробно с учетом специфики конструкции и особенностей транспортируемого груза.
Д
ля исследования динамики подвижного состава при переходных режимах движения обычно используется математическая модель движения поезда, в которой его отдельные вагоны представляются цепочкой одномерных (учитываются только продольные перемещения) или двумерных (учитываются продольные и вертикальные перемещения) твердых тел, соединенных существенно нелинейными деформируемыми элементами. Эта достаточно простая модель может быть с успехом использована при изучении вопросов формирования состава поезда, проектировании тормозной системы и исследовании работы межвагонных соединений, но с ее помощью нельзя оценить те динамические процессы, которые характерны в этих режимах для отдельных вагонов поезда.
Пространственная модель движения поезда по пути произвольного очертания, в которой все вагоны представлены достаточно полными пространственными системами, дает возможность учитывать силы взаимодействия между всеми телами системы, силы, возникающие при движении по криволинейным участкам пути, составляющие сил, действующих между вагонами, а также оценить устойчивость и безопасность движения поезда. Отметим, однако, что число степе -ней свободы такой математической модели очень велико, что затрудняет анализ влияния различных факторов на динамические качества отдельных экипажей.
В настоящей работе рассматривается возможность сочетания двух расчетных моделей движения поезда: модели, где учтены только продольные перемещения тел, и пространственной модели.
Колебания отдельных вагонов поезда моделируются двумя способами.
Для части вагонов использована модель, описывающая движение экипажей в продольной плоскости. В этом случае полагают, что все перемещения кузова вагона и тележек одинаковы, и вагон упрощенно представляют в виде одного абсолютно твердого тела, которое может перемещаться в продольном направлении. Расчетная схема поезда, состоящего из таких вагонов, представлена одномерной цепочкой твердых тел, соединенных нелинейными деформируемыми элементами [1]. На к-е твердое тело действуют силы Sk и Як+1, зависящие от силовых характеристик межвагонных соединений, и внешние силы Рк*, зависящие от режима движения поезда. Движение поезда в этом случае описывается системой уравнений вида
(к = 1,2,-,Л0,
(1)
где хк - продольное перемещение к-го вагона; тк -масса к-го вагона; N - количество вагонов, расчетная схема которых представлена одной массой.
Для другой части вагонов использованы математические модели, описывающие их пространственные колебания. Расчетная схема каждого вагона представляется в виде разветвленной пространственной системы из Ь твердых тел, соединенных линейными и нелинейными связями с различной реологией [2, 3]. При определении числа степеней свободы рассматриваемой механической системы принимаются во внимание ограничения, наложенные на перемещения твердых тел в силу общепринятых допущений и конструктивных особенностей ходовых частей вагона.
№ 3 (58) 2015
(Транспорт Российской Федерации» | 25
Движение этих вагонов моделируется с учетом действия внешних возмущений, связанных с несовершенством рельсовой колеи. Путь моделируется приведенной к каждому колесу массой, которая опирается в вертикальном и горизонтальном поперечном направлениях на пружины и демпферы вязкого трения, имитирующие упруго-диссипа-тивные свойства рельсов и подрельсо-вого основания. Система «вагон-рельсовая колея» с учетом наложенных на нее связей имеет п степеней свободы.
Чтобы иметь возможность исследовать движение поезда при переходных режимах, необходимо для каждого вагона ввести дополнительную степень свободы, соответствующую его абсолютному перемещению вдоль оси пути - б. Тогда число степеней свободы для вагона станет равным п* = п + 1.
При описании движения вагона по участкам пути произвольного очертания выбирается неподвижная система координат, а для каждого твердого тела - по две подвижные системы координат: естественная и связанная с твердым телом [3].
Дифференциальные уравнения движения каждого отдельного вагона составляются в форме уравнений Лагран-жа второго рода
¡1 ,ЗТ. ВТ ЗП ВФ „.
~г(—)--+—+ —= 0,
дд, дч^дч, •
(2)
Т=ЕТ,+ТП,
1=1
(3)
Потенциальная энергия системы П определяется как сумма энергии упругих деформаций П1 и изменений энергии П2 вследствие подъема или опускания центров масс тел, входящих в систему
где ц, ц - обобщенные координаты и их скорости; Т - кинетическая энергия; П - потенциальная энергия; Ф - функция рассеяния; О* - обобщённые силы, не имеющие потенциала; К' - приложенные внешние силы.
Кинетическая энергия системы определяется как сумма кинетических энергий твердых тел, входящих в систему
где Т - кинетическая энергия /-го твердого тела у _ YT,); ТП - кинетическая энергия пути.
Кинетическая энергия /-го твердого тела вычисляется по теореме Кенига и равна сумме двух составляющих: кинетической энергии поступательного движения, которое определяется движением центра масс, и кинетической энергии сферического движения относительно центра масс. При этом учитывается переменность скорости движения, кривизны пути и возвышения наружного рельса в криволинейных участках пути.
П = П1+£П
(4)
Потенциальная энергия П1 вычисляется по теореме Клапейрона как сумма энергий, накапливаемых в упругих элементах системы при их деформациях.
Функция рассеяния Ф учитывает действие сил вязкого трения при вертикальных и горизонтальных прогибах пути. В зависимости от конструкции вагона при построении математической модели учитывается действие сил вязкого и (или) сухого трения при работе упругих элементов в системах подвешивания ходовых частей, а также в узлах соединения кузова вагона с тележками.
Обобщенные силы ОД приложенные к системе, представляют собой сумму сил, возникающих в результате взаимодействия колес с рельсами О, и сил действующих в межвагонных соединениях сцепа вагонов при его движении.
Обобщенные силы О*, не имеющие потенциала, включают в себя силы взаимодействия колес и рельсов, которые определяются с использованием гипотезы крипа. Согласно этой гипотезе касательные силы взаимодействия колес с рельсами нелинейно зависят от безразмерных характеристик проскальзывания. Последние определяются в предположении, что профиль поверхности катания колеса криволинейный. Характер и величина сил, действующих в контакте колеса и рельса, определяются по методике, описанной в работе [4]. Обобщенные силы О.* определяются как коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражениях возможных работ сил псевдоскольжения При определении сил, действующих на колеса в горизонтальном поперечном направлении, принимаются во внимание (помимо сил псевдоскольжения) составляющие от действия силы тяжести.
Как указано раньше, к обобщенным силам О' относятся также и силы, возникающие в сцепных устройствах, которыми соединены между собой вагоны поезда (силы в межвагонном соединении).
Например, для поезда, состоящего из грузовых вагонов, зависимость силы 5км, действующей между к-м и (к+1)-м вагонами, от взаимного смещения и значений скорости смещения концов
соответствующих автосцепок в продольном направлении описывается уравнениями, приведенными в работе [1]:
О, если 0<|<?|<(5;
при <5<|(?|<Д+(5 и ед>0:
К(Я-«), если^ч-ф
если 1*^(4-а)|> >\К(Я-Чр) + кр(яр-д)\; при <5<|д|<Д+<5 и ад<0: кр((1-д), если |*р(ч-<5)| >
если^^-й)]^
(5)
при
и |?+(5|>Д: кк(ч-А-д) + киА+Рс1,
где 5 - величина зазора в соединении; ц - деформация межвагонного соединения в продольном направлении; цн, - значения ц в моменты изменения знака произведения цц с «плюса» на «минус» (цн) и наоборот (цр); кн - жесткость соединения при нагрузке; кр - жесткость соединения при разгрузке; кк - жесткость конструкции вагона; в - коэффициент вязкости; А - абсолютная деформация соединения, при которой поглощающие аппараты исчерпывают свой ход.
Взаимное смещение соответствующих точек к-го и (к+1)-го вагонов в продольном направлении цхкк+1 при движении вагона с переменной скоростью вычисляется следующим образом:
ЧхкМ! ~5к+Хк Хк
(6)
где Бк, Бк+1 - абсолютное перемещение к-го и (к+1)-го вагонов вдоль оси пути в продольном направлении, соответственно; хк, хы - продольное перемещение (подергивание) кузова к-го и (к+1)-го вагонов, соответственно.
Силы, действующие в автосцепных устройствах вагонов, воздействуют на вагоны в продольном, вертикальном и поперечном направлениях.
Значения поперечных составляю -щих сил, возникающих в межвагонных соединениях, зависят от конфигурации экипажа и вычисляются по методике, описанной в работе [5].
Для этого определяются координаты точки сцепления к-го (хк, ук) и (к+1)-го (хк+1, ук+1) вагонов. Ориентация линии, представляющей ориентацию двух ав-
26 | «Транспорт Российской Федерации»
№3 (58) 2015
тосцепных устройств относительно продольной оси х, записывается в виде
& =агс^|(у4 -ум)/(х4 -*4+1)|, (7)
где ук, ум - горизонтальное поперечное перемещение кузова к-го и (к+1)-го вагонов.
Угол ак автосцепки у хвостовой части к-го вагона и угол автосцепки ак+1 у головной части (к+1)-го вагона определяются следующим образом:
ак=Ук~Рс'> ак-
(8)
где Ур ^к+1 - углы, характеризующие мгновенную ориентацию продольной оси к-го и (к+1)-го вагонов относительно продольной оси пути (углы виляния кузовов к-го и (к+1)-го вагонов) соответственно.
После определения углов установки автосцепных устройств относительно продольно-поперечной плоскости можно вычислить поперечные составляющие силы, действующей в межвагонном соединении (см. рисунок):
Fk = -SkMi^k'
(9)
где 5№1 - продольная сила, действующая в соединении к-го и (к+1)-го вагонов; Рк - поперечная сила, действующая на заднюю автосцепку к-го вагона; Р - поперечная сила, действующая на переднюю автосцепку (к+1)-го вагона.
В пассажирских поездах используются беззазорные сцепные устройства, работа которых описывается уравнениями (5) при <5 = 0. Кроме того, при рассмотрении движения пассажирских поездов принимается во внимание работа межвагонных площадок.
При движении поезда на каждый вагон действуют внешние силы, которые в зависимости от их направления могут оказывать сопротивление движению или, напротив, ускорять его. Внешними силами, действующими на поезд, являются сила тяги Рт, развиваемая локомотивом, тормозная сила Вк, возникающая при включении тормозов, и силы сопротивления движению Ш'к, к которым относят все остальные внешние силы.
В общем случае при переходных режимах движения внешние силы Рк', действующие на локомотив (к=1) и к-й вагон, могут быть представлены в виде
Ц=1/\Г1+В1+Ег; гк+Вк. (10)
При этом сила тяги прикладывается к первому вагону, а силы торможения прикладываются к колесным парам вагонов поезда с учетом транспортного
Схема сил, действующих в межвагонном соединении
запаздывания, которое зависит от скорости распространения тормозной волны и геометрических размеров вагона. Силы торможения и тяги изменяются во времени в соответствии с заданными характеристиками.
После подстановки в (1) полученных для каждого вагона выражений кинетической и потенциальной энергий, функции рассеяния энергии, обобщенных и внешних сил получается система п*К нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка каждое, где К - количество вагонов, представленных пространственной разветвленной системой.
Таким образом, математическая модель движения рассматриваемого поезда представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений (п*К + N второго порядка каждое N -количество вагонов, расчетная схема которых представлена одной массой).
В общем случае поезд может состоять из вагонов различной конфигурации (для грузовых поездов - крытый вагон, полувагон, вагон-хоппер, вагон-цистерна и т. д.; для пассажирских поездов - пассажирский вагон, моторный и тяговый вагоны электропоезда и т. д.). При этом вагоны поезда могут иметь разную степень загрузки. В том случае, когда в составе неоднородного грузового поезда находятся вагоны-цистерны, транспортирующие жидкий груз, необходимо учитывать подвижность жидкости, так как котел цистерны заполняется с техническим недоливом, позволяющим компенсировать увеличение объема груза при увеличении температуры. Наличие свободной поверхности жидкости приводит к появлению волновых движений, которые влияют на динамические характеристики экипажа [6, 7].
На основании составленной математической модели движения грузового поезда авторами была разработана компьютерная программа, в которой использован описанный комбинированный подход, когда часть экипажей в составе поезда представляется упро-
щенными расчетными схемами, а отдельные вагоны - достаточно подробно с учетом специфики конструкции и особенностей транспортируемого груза. Программа позволяет адекватно отображать динамические процессы, сопровождающие движение как отдельных вагонов, так и полносоставного поезда, сформированного из вагонов разных типов, на участках пути произвольного очертания при заданных режимах движения. Формирование поезда по массе вагонов и их месторасположению в составе поезда может задаваться произвольным порядком. Режим движения поезда (набор тяги, движение с постоянной скоростью, торможение) задается произвольным образом независимо от конфигурации участка пути, по которому он движется. По результатам исследования динамики грузового поезда могут быть разработаны рекомендации по его формированию и ведению. □
Литература
1. Блохин Е. П., Манашкин Л.А. Динамика поезда: нестационарные продольные колебания.. М.: Транспорт, 1982. 222 с.
2. Автоколебания и устойчивость движения рельсовых экипажей / Ю. В. Демин, Л.А. Длугач, М.Л. Коротенко, О. М. Маркова. Киев: Наук. думка, 1984. 160 с.
3. Радченко Н. А. Криволинейное движение рельсовых транспортных средств. Киев: Наук. думка, 1988. 212 с.
4. Математическое моделирование колебаний рельсовых транспортных средств / В. Ф. Ушкалов, Л. М. Резников, В. С. Иккол и др. Киев: Наук. думка, 1989. 240 с.
5. Garg V., Dukkipati R. Dynamics of Railway Vehicle Systems. Toronto: Acad. press, 1984. 407 p.
6. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М.: Машиностроение, 1968. 532 с.
7. Богомаз Г. И. Динамика железнодорожных вагонов-цистерн. Киев: Наук. думка, 2004. 223 с.
№ 3 (58) 2015
«Транспорт Российской Федерации» | 27
