CC BY
40
УДК 519.7, 004.8
пространственная логика в образовании и науке
Цветков виктор Яковлевич,
д-р техн. наук, профессор, заместитель руководителя Центра стратегического анализа и развития,
е-mail: cvj2@mail.ru,
Научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт информатизации, автоматизации и связи на железнодорожном транспорте (НИИАС), ОАО «НИИАС», г. Москва
Статья проводит исследование пространственной логики как средства анализа и средства получения новых знаний. Современная пространственная логика находится в стадии развития, характеризуется широким применением в науке и образовании, но отсутствием единого методологического подхода к решению задач. Методы анализа, которые работают с традиционными моделями, часто оказываются неприменимыми, когда возникает необходимость представления пространственных моделей на основе языков, интерпретируемых по определенным структурам, как это имеет место в пространственной логике. Целью данной статьи является систематизация видов пространственных логик и направлений их эффективного применения. В рамках поставленной цели исследуется методологическая проблема в логическом обобщении, которая состоит в том, чтобы найти выразительные пространственные и логически анализируемые модели. Раскрывается содержательное различие между математической и пространственной логикой, основанной на логических рассуждениях и пространственном анализе. Выделяются особенности применения геометрической, топологической, теоретико-множественной и образной логики в различных областях знаний. Проводится анализ образной логики, демонстрируются возможности ее применения на примере картографической логики. Рассматриваются факторы эффективности пространственной логики и технологий образных рассуждений. Показано, что пространственная логика является инструментом искусственного интеллекта и служит основой получения новых знаний.
Ключевые слова: логика, пространственная логика, геометрическая логика, топологическая логика, образная логика, пространственные рассуждения, пространственный анализ, искусственный интеллект
spatial logic in education and science
Tsvetkov V.Ya.,
professor, doctor of technical sciences, professor center for strategic analysis and development,
the deputy head, e-mail: cvj2@mail.ru, Research and Design Institute of design information, automation and communication on railway transport, Moscow
The article investigates spatial logic as a means of analysis and means of obtaining new knowledge. Modern spatial logic is at the stage of development, characterized by wide application in science and education, but the lack of a unified methodological approach to problem solving. Methods of analysis that work with traditional models are often inapplicable when there is a need to represent spatial models based on languages interpreted by certain structures, as is the case in spatial logic. The purpose of this article is to systematize the types of spatial logics and directions of their effective application. Within the framework of the goal, the methodological problem in logical generalization, which is to find expressive spatial and logically is analyzed models, is investigated. The informative difference between mathematical and spatial logic based on logical reasoning and spatial analysis is disclosed. Features of application of geometrical, topological, set-theoretic andfigurative logic in various fields of knowledge are allocated. The analysis offigurative logic is carried out, the possibilities of its application on
the example of cartographic logic are demonstrated. The factors of efficiency of spatial logic and technologies of figurative reasoning are considered. It is shown that spatial logic is an instrument of artificial intelligence and serves as a basis for obtaining new knowledge.
Keywords: logic, spatial logic, geometric logic, topological logic, figurative logic, spatial reasoning, spatial analysis, artificial intelligence
Doi 10.21777/2500-2112-2019-2-92-102
введение
Пространственная логика (spatial logic) - направление в логических рассуждениях, связанное с пространственными и абстрактными образами [11, 23]. Пространственная логика тесно связана с пространственными рассуждениями [10, 17, 25] и визуальным моделированием. Широта применения пространственной логики велика по сравнению с ее буквальной логической трактовкой. Естественно, что пространственная логика применяется архитектуре, в частности, в ландшафтном проектировании [27]. Пространственная логика применяется при анализе вопросов системы безопасности [18], при извлечении знаний и анализе онтологий [26], в вычислительных процессах при организации параллельных вычислений [14], при организации графиков запросов к базе данных [16], анализе ва-лидности иерархических моделей [15], в сочетании с лингвистикой для описания визуальных языков [21]. Пространственная логика применяется при анализе схем компьютерных рассуждений, связанных с пространственными областями, такими как техническое зрение [19], при интерактивной обработке информации с применением геоинформационных систем. Пространственная логика в аспекте пространственного мышления и восприятия используется в психологии как метод пространственного мышления и восприятия мира [24].
Пространственная логика имеет свой язык [11], интерпретируемый над классом структур, представляющих реальные объекты, геометрические объекты и пространственные отношения. В таком формальном языке может использоваться любой логический синтаксис: синтаксис логики первого порядка, некоторый фрагмент логики первого порядка или, возможно, логика высшего порядка. Структуры, над которыми он интерпретируется, могут обитать в любом классе геометрических «пространств»: топологических пространствах, аффинных пространствах, проективных пространствах, в Эвклидовом 3-мерном пространстве. Пространственных языков может быть много, как видов пространственных логик. Поэтому пространственная логика может быть рассмотрена как семейство пространственных логик.
Пространственная логика включает несколько частей: геометрическая логика, топологическая логика, теоретико-множественная логика, образная логика (пространственные диаграммы или пространственные образы), визуальное позиционирование (область технического зрения [19] и искусственного интеллекта [6]), получение пространственных знаний (область искусственного интеллекта). Общим для пространственных логик является то, что логическое понятие действительности зависит от базовой геометрии структур и аксиом. Пространственная логика применяется в образовании, где она сопрягается с когнитивными изображениями, а также в виртуальном моделировании, где опирается на логику поведения в реальном пространстве.
Обобщая применение пространственной логики, следует отметить ее значение для методов искусственного интеллекта, поскольку она позволяет моделировать рассуждения, которые можно использовать в интеллектуальных системах.
Биды пространственной логики и особенности их применения
Геометрическая логика. Геометрическая логика включает следующие компоненты: определения; постулаты и теоремы; целевые утверждения (задачи), которые требуется доказать или построить, используя некоторый стандартный механизм логического вывода. Такую схему получения знаний из изображений воспроизводят системы логического программирования, включая системы геометрического
вывода. При автоматизированной обработке изображений задачам построения соответствуют задачи латентного анализа, а задачам доказательства соответствуют задачи распознавания объектов.
Логика плоской геометрии Евклида не допускает пересечения параллельных прямых. В этой геометрии треугольник на плоскости всегда имеет сумму внутренних углов равную только п.
Логика геометрии на сфере исключает понятие прямой линии и заменяет ее на понятие геодезической линии. Логика геометрии на сфере допускает пресечение параллельных линий и допускает сумму внутренних углов равную 3/2 п.
Таким образом, геометрическая логика задается базовыми аксиомами и постулатами и может различаться для разных геометрий. Геометрическая логика является основой технического зрения, особенно в робототехнических системах.
Топологическая логика. Топологическая логика является пространственной логикой и использует достаточно простые аксиомы: топологическая инвариантность (рисунок 1), пересечение, отсутствие пересечения. Топологическая логика использует топологические свойства объектов, наличие которых означает «истину», «отсутствие», «ложь».
Рисунок 1 - Логическая корректность в топологии. Топологические инварианты
Между фигурами на рисунке 1 существует отношение эквивалентности в соответствии с топологической логикой. Их можно рассматривать как тавтологии. На рисунке 2 приведены топологически корректные и топологически не корректные образы. Изображение на рисунке 2 называют «спагетти». На нем не обозначены пересечения линий и концы линий выходят за границы.
Рисунок 2 - Топологически корректный: а) пространственный образ; б) топологически некорректный
Ситуация, показанная на рисунке 2а, возникает при автоматизированной векторизации. Она характеризуется нарушением комплементарности и топологических информационных соответствий [7]. Рисунок 2б характеризует исправления ошибок, которые содержит рисунок 2а. Введены пересечения, обозначенные точками, концы линий, выходящие за границы, обрезаны. Рисунок 2б можно рассматривать как корректный, с позиций топологической логики.
В отдельных случаях топологические модели могут трансформироваться в логические выражения. Например, ориентированная дуга соответствует импликации, пересечение соответствует конъюнкции, топологическая инвариантность соответствует эквивалентности или тавтологии. Это позволяет строить формальные логические последовательности, соответствующие плоским топологиям. В топологической логике по топологическим схемам строят логические схемы. Топологическая схема отображает связи.
Теоретико-множественная логика. Теоретико-множественная логика является пространственной при возможности отражения теоретико-множественных отношений с помощью абстрактных фи-
гур. Теоретико-множественная логика использует теоретико-множественные отношения как логические отношения между множествами. В теоретико-множественных схемах отображают отношения, в отличие от связей в топологии. Формальным выражениями, или теоретико множественному языку, ставят в соответствие пространственные отношения пространственных абстрактных образов. Наиболее яркими моделями являются диаграммы Эйлера - Вена.
Образная логика. Образная логика оперирует с пространственными образами, которые содержат семантику. Образная логика включает элементарные модели объектов (информационные единицы [30]) и априорные знания об объектах и их свойствах (семантика). Примером таких образов являются условные знаки на картах и единицы пространственной агрегации. Образная логика применяется в геоинформатике и картографии. Наиболее ярким разделом образной логики является картографическая логика.
Картографическая логика. Картографическая логика конструктивно сходна с геометрической логикой. Она строится на основе определенных правил (аксиом) и стандартизованных информационных единиц - условных знаков. Однако картографическая логика не рассматривается как раздел пространственной логики. Начиная с 1908 г. (логика карт) [20] по 2010 г. (картографическая логика) [2] и по настоящее время под логикой карт понимают только правила построения карт и чтения карт, но не говорят об языке логики. Логикой карт (но не картографической логикой) также называют [20] применение обычной логики для построения и анализа пространственных картографических образов. И, наоборот, в картографии введено понятие язык карт [5], но в отрыве от картографической логики. Поэтому картографическая логика до настоящего времени не сформирована как целостное направление.
Наиболее близкой к пространственной логике и соответственно картографической логике является работа А.А. Лютого «язык карт» [5]. Особенность географических карт как пространственных образов и пространственных моделей - использование информационного пространственного языка карт. Этот пространственный язык дает возможность: обзорности или обозримости; показа с преувеличением; показа динамики явлений, не воспринимаемых непосредственно органами чувств (например, магнитное склонение, аномалии силы тяжести и т.п.); показа пространственных отношений, например, между источниками сырья и предприятиями по его переработке.
Бертран Рассел так трактовал природу пространственных образов: «Существует сложность в отношении языка как метода представления системы, а именно того, что слова, которые означают отношения, сами по себе не являются отношениями. Графический образ карты превосходит язык, поскольку тот факт, что одно место находится к западу от другого, представлен тем фактом, что соответствующее место на карте находится слева от другого, то есть фактическое отношение представлено пространственным отношением» [13, с. 152]. Это весьма близко соответствует концепциям пространственной логики, которая в его время еще не возникла.
Особенностью пространственных языков является противоречивость и неоднозначность. Это приводит к возникновению логических ошибок в построении и интерпретации картографических образов. А.А. Лютый выделяет четыре типа ошибок [5], которые характерны не только для картографии, но и для всей образной логики.
К первому типу относятся ошибки «сходство-различие» Эти ошибки обусловлены применением графических знаков разного семиотического типа, которые создают близкие по виду итоговые образные конструкции. Они обнаруживаются только на уровне анализа отдельно взятых легенд и карт (рисунок 3) [5].
Пространственная модель на рисунке 3 может интерпретироваться двояко. Первая трактовка -каждая точка отдельный объект и эти объекты плотно расположены. Эта трактовка описывает множество объектов. Вторая трактовка рисунок 3 - это ареал с условным обозначением точечное заполнение. Это ареал условного типа, семантическое содержание которого обозначается точками. Эта трактовка описывает один объект.
Ко второму типу пространственных логических ошибок отнесены ошибки, которые возникают вследствие некорректного размещения знаков в поле картографического изображения. Эти ошибки приводит к появлению ложных знаковых композиций и отношений, а также к эффектам «поглощения» одних знаков другими. К этой группе относятся ошибки смысловой неопределенности и дублирования информации.
Рисунок 3 - Двойственность интерпретации пространственного образа
К третьей группе А.А. Лютый относит ошибки в системах знаков, обусловленные ошибками в классификациях пространственных объектов.
К четвертому типу отнесены ошибки оформления и построения картографических шкал.
Первые три типа ошибок характерны для образной логики в целом.
Другим разделом образной логики является проектная логика.
Проектная логика. Эта логика используется при автоматизированном проектировании (САПР) и построении чертежей и в геоинформационных системах (ГИС) для проектирования электронных карт. Эта логика используется в ГИС при построении и редактировании пространственных моделей [31]. Эта логика используется при анализе и получении пространственных знаний.
Проектная логика имеет свои языки, которые чаще являются языками графических примитивов, то есть базисных графических информационных единиц [1], из которых строят сложные информационные единицы и модели пространственных объектов (рисунок 4).
Рисунок 4 - Графические информационные единицы -основа построения пространственных образов
При анализе пространственных отношений используют язык пространственной агрегации [10, 12]. Этот язык связан с пространственной образной логикой. На рисунке 5 приведены логические информационные единицы, выражающие пространственные отношение [10, 12].
Рисунок 5 - Логические единицы пространственных отношений
На рисунке 5 имеются следующие обозначения, принятые в языке пространственной агрегации, которые используются как логические информационные единицы, отражающие пространственные отношения двух объектов (интерпретация приводится слева направо):
- Отсутствие взаимодействия - DC;
- Взаимодействие общая граница - EC;
- Частичное перекрытие - PO;
- Тангенциально правильное взаимодействие TPP;
- Инверсное тангенциально взаимодействие - TPP*;
- Объект внутренний не взаимодействует тангенциально с объектом внешним - NTPP;
- Объект внешний не взаимодействует тангенциально с объектом внутренним - NTPP*;
- Объекты эквивалентны - EQ.
Язык пространственной агрегации SAL (Spatial Aggregation Language) позволяет пользователям изучать спецификации пространственных знаний, такие как отношения соседства и предикаты эквивалентности, а также интерактивно и графически изучать и изменять результаты. Этот язык является одним из многих языков информатики [9]. Исходный набор SAL можно загрузить с сайта www.cs.purdue. edu/homes/cbk/sal.html или www.parc.com/zhao/sal.html. Более широкий перечень логических единиц для выражения пространственных отношений дается в работе [4].
Наиболее частыми задачами в пространственной логике являются задачи верификации, идентификации, построения, редактирования. Логика образов может быть интерпретирована как любые геометрические свойства пространственных объектов или пространственные отношения, определенные в разных областях: топологическая связанность областей, параллельность линий или равно удаленность двух точек от третьей.
Анализ состояния пространственной логики
В современном понимании пространственная логика близка более исследованной области модальной логике и темпоральной логике [22]. Значительный вклад в развитие пространственной логики путем анализа геометрии и ее логики внес А.Тарский [28, 29]. В частности, А.Тарский применил логику первого порядка с переменными, расположенными по точкам в евклидовой плоскости, и с нелогическими предикатами, обозначающими два примитивных пространственных отношения: троичное отношение «между» и четвертичное отношение «равно удаленности». Получившийся им язык достаточен, чтобы сформулировать большую часть евклидовой геометрии, например, теорему Пифагора.
В элементарной геометрии А.Тарского [29] переменные располагаются по совокупности точек на евклидовой плоскости. Это аналогично расположению, в его «Геометрии твердых тел» переменные располагаются по совокупности регулярных замкнутых подмножеств R3; и в его модальном топологическом языке переменные располагаются по совокупности всех подмножеств некоторого топологического пространства. А.Тарский показал, что теория элементарной геометрии является разрешимой: существует логическая процедура для определения любого данного предложения на соответствующем языке, является ли это предложение истинным согласно рекламируемой интерпретации. Напротив, теория второго порядка, необходимая для выражения всех аксиом Гильберта, неразрешима.
Наиболее отличительная черта современной логики - теоретико-модельный подход [3, 8]. Он ярко представлен в пространственной логике. Теоретико-модельный подход к логике в качестве основной проблемы часто использует разные отношения между математическими структурами и объектами. С этой точки зрения пространственная логика становится инструментом изучения отношений между геометрическими структурами и реальными пространственными объектами.
Развитию пространственной логики способствовали работы по автоматизации логического вывода и автоматизации распознавания образов. Однако чем сложнее образ, тем сложнее его обработка и построение. В этом контексте проблема баланса выразительной силы образа и вычислительной сложности пространственной модели занимает центральное место в пространственной логике.
Пространственная логика отличается от математической логики по трем основным отличиям. Первое касается качественно разных наборов геометрических объектов, которые требуют разной логики и разной интерпретации: точки, линии, ареалы разных видов, поверхности, объемные тела. Второе принципиальное отличие касается выбора качественно разных базовых единиц описания, базовых отношений и операций над этими объектами. В этом отличие качественно различаются информационные единицы. В математической логике они только формальные, а в пространственной логике используют формальные и семантические информационные единицы. Третье принципиальное отличие касается чисто введения неопределенности и модальности в логические пространственные описания. Например, ситуация «объект А ближе к объекту В, чем объект Б» относится к области вероятностной логики и качественным рассуждениям.
Основой преобразований в математической логике являются тавтологии и эквивалентности. Инвариантность в пространственной логике это полный аналог эквивалентности или тавтологии в математической логике. Примером являются топологические инварианты. При этом многие отношения инвариантности могут точно соответствовать логике первого порядка.
Для пространственных образов и пространственной логики возникает проблема сложности логической модели и сложности ее анализа. На рисунке 6 приведен космический снимок южной части Байкала (по данным ИСЗ Terra).
Рисунок 6 - Снимок реального объекта
На рисунке 7 приведена пространственная цифровая модель фрагмента этой же территории.
Сравнение рисунка 6 и рисунка 7 показывает главную проблему пространственной логики «генерализация - детализация» или «простота - сложность». Анализ сложности пространственных логических моделей обычно фокусируется на двух проблемах: проверка модели (определение того, является ли данная модель истинной в интерпретации соответствующего ей объекта) и проверка выполнимости данной модели вычислительными средствами. Часто попытка изобразить пространственную модель на рисунке 7 словами обречена на неудачу по когнитивным и лингвистическим факторам. То есть эта задача неразрешима.
Рисунок 7 - Цифровая модель территории
Большинство пространственных логик выше первого порядка, содержат противоречия и приводят к неразрешимым задачам отображения пространственных образов. Примером разрешимых логик являются пространственные логики, интерпретируемые по регулярным топологическим моделям. Язык этих логик включает в себя только булевы связки (без кванторов), пространственные информационные единицы (примитивы) и представляют различные топологические отношения и функции.
Современная пространственная логика содержит ряд интересных проблем, которые еще не до конца понятны [11]. Общая методология в логическом обобщении состоит в том, чтобы найти выразительные пространственные модели, которые логически анализируемы. Обычные методы анализа, которые работают с простыми моделями, часто оказываются бессильными, когда сталкиваются с языками, интерпретируемыми по определенным структурам, как это обычно имеет место в пространственной логике.
При выразительности интерпретации следует отметить преимущества и эффективность пространственной логики. Ряд исследователей пытаются объяснить наблюдаемую «эффективность» образных рассуждений (ОР) с помощью понятий «ограниченная абстракция» и невыразительность.
Формальный анализ схем образного представления представляет собой растущую область исследований, которая обещает полезные приложения в таких областях, как пространственные знания и визуальное программирование. Однако применяемый формальный анализ образных представлений не всегда учитывает способы использования пространственных отношений в таком представлении.
Графические представления в пространственной логике, в отличие от аппарата математической логики, имеют ресурсы для выражения различных видов неопределенности. Основное различие между графической и лингвистической системами заключается в использовании отношений. Пространственные модели используют пространственные отношения для прямого их представления предметной области. В лингвистических системах слова используются для косвенного представления отношений и могут интерпретироваться по разному, в зависимости от интеллекта интерпретатора.
Заключение
Современная пространственная логика находится в стадии развития. Она характеризуется широким применением в науке и особенно в образовании, но отсутствием единой теории. Пространственная логика включает частные пространственные логики. Общей концепцией, которую можно принять для всех пространственных логик, является концепция языка. Частная пространственная логика должна иметь свой логический язык. Отсутствие языка не дает основание говорить о логике. Второй концепцией, которая практически слабо реализуется - наличие информационных единиц или логических информационных единиц как алфавита языка. Любой язык имеет алфавит, который образуют информационные единицы. В математической логике такими единицами являются логические связки. В пространственных рассуждениях таким языком является язык пространственной агрегации, содержащий информационные единицы пространственных отношений. Частные пространственные логики
могут быть специализированными. Так теоретико-множественная логика отражает отношения, а топологическая логика отражает связи. Поэтому такие логики дополняют друг друга при работе с широким набором пространственных образов. Более высокая эффективность пространственной логики состоит в том, что она содержат семантику и имеет большую выразительность, в то время как математическая логика семантику не содержит в таком же объеме. Семантика обеспечивает выразительность представления. Другой причиной эффективности пространственной логики и пространственных образов (картографических) является возможность прямо средствами графики выражать пространственные отношения, что на порядки повышает скорость анализа таких моделей человеком. Основная проблема пространственной логики, важная для искусственного интеллекта, противоречие между большой выразительностью и сложностью ее моделирования. Пока эта проблема решается привлечением человеческого интеллекта.
Список литературы
1. Докукин П.А. Графические информационные единицы // Перспективы науки и образования. - 2015. -№ 3. - C. 32-39.
2. Кравец Е.А. Картографическая логика (анализ вопросов состояния и охраны окружающей среды): монография. - М.: изд-во МИИГАиК, 2010. - 160 с.
3. Кудж С.А., Цветков В.Я. Логика и алгоритмы: монография. - М.: МАКС Пресс, 2019. - 112 с.
4. Кулагин В.П., Цветков В.Я. Геознание: представление и лингвистические аспекты // Информационные технологии. - 2013. - № 12. - C. 2-9.
5. Лютый А.А. Язык карты: сущность, система, функции. - 2-е изд. - М.: ГЕОС, 2002. - 327 с.
6. Миронов С.В., Юдин А.В. Система технического зрения в задачах навигации мобильных объектов // Программные продукты и системы. - 2011. - № 1. - C. 10-16.
7. Розенберг И.Н. Сложность и комплементарность // Перспективы науки и образования. - 2016. -№ 5. - C. 7-10.
8. Фреге Г. Логика и логическая семантика. Сборник трудов. - М.: Аспект Пресс, 2000. - 512 с.
9. Цветков В.Я. Язык информатики // Успехи современного естествознания. - 2014. - № 7. - С. 129-133.
10. Цветков В.Я. Качественные пространственные рассуждения: монография. - М.: МАКС Пресс, 2017. - 60 с.
11. Aiello M., Pratt-Hartmann I., Van Benthem J. What is Spatial Logic? // Handbook of spatial logics. -Springer: Dordrecht, 2007. - р. 1-11.
12. Bailey-Kellogg, C., & Zhao, F. (2003). Qualitative spatial reasoning extracting and reasoning with spatial aggregates. AIMagazine, 24(4), 47.
13. Bertrand Russell. Vagueness. In John Slater, editor (1923), Essays on Language, Mind, and Matter 191926, The Collected Papers of Bertrand Russell, pages 145-154. Unwin Hyman, London.
14. Caires L., Cardelli L. A spatial logic for concurrency (part I) // Information and Computation. - 2003. -V. 186. - № 2. - p. 194-235.
15. Calcagno C., Cardelli L., Gordon A.D. Deciding validity in a spatial logic for trees //ACM SIGPLAN Notices. - ACM, 2003. - V. 38. - № 3. - p. 62-73.
16. Cardelli L., Gardner P., Ghelli G. A spatial logic for querying graphs // International Colloquium on Automata, Languages, and Programming. - Springer, Berlin, Heidelberg, 2002. - p. 597-610.
17. Cohn A.G. Qualitative spatial representation and reasoning techniques //Annual Conference on Artificial Intelligence. - Springer, Berlin, Heidelberg, 1997. - p. 1-30.
18. Collier S.J., Lakoff A. Distributed preparedness: the spatial logic of domestic security in the United States //Environment and planning D: Society and space. - 2008. - V. 26. - № 1. - p. 7-28.
19. Del Bimbo A., Vicario E., Zingoni D. A spatial logic for symbolic description of image contents //Journal of Visual Languages & Computing. - 1994. - V. 5. - № 3. - p. 267-286.
20. EckertM., Joerg W. On the nature of maps and map logic //Bulletin of the American Geographical Society. -1908. - V.40. - № 6. - p. 344-351.
21. Gooday J.M., Cohn A.G. Using spatial logic to describe visual languages //Integration ofNatural Language and Vision Processing. - Springer, Dordrecht, 1996. - p. 171-186.
22. Kontchakov R. et al. Spatial logic+ temporal logic=? //Handbook of spatial logics. - Springer, Dordrecht, 2007. - p. 497-564.
23. Lemon O., Pratt I. Spatial logic and the complexity of diagrammatic reasoning //Machine Graphics and Vision. - 1997. - V. 6. - № 1. - p. 89-108.
24. Lossau J. Pitfalls of (third) space: rethinking the ambivalent logic of spatial semantics // Communicating in the third space. - Routledge, 2008. - p. 76-92.
25. Moratz, R., & Ragni, M. Qualitative spatial reasoning about relative point position. // Journal of Visual Languages & Computing. - 2008. - № 19(1). - p. 75-98.
26. Randell D.A., Cui Z., Cohn A.G. A spatial logic based on regions and connection //KR. - 1992. - V. 92. -p. 165-176.
27. Talen E. The spatial logic of parks //Journal of Urban Design. - 2010. - V. 15. - № 4. - p. 473-491.
28. Tarski, Alfred (1956). Foundations of the geometry of solids. In Logic, Semantics, and Metamathematics, pages 24-29. Clarendon Press, Oxford.
29. Tarski, Alfred(1959). What is Elementary Geometry? In Henkin, L., Suppes, P., and Tarski, A., editors, The Axiomatic Method, with Special Reference to Geometry and Physics, pages 16-29. North-Holland Publishing Co., Amsterdam.
30. Tsvetkov V.Ya. Information Units as the Elements of Complex Models // Nanotechnology Research and Practice. - 2014. - Vol. 1. - № 1. - p. 57-64.
31. Tsvetkov V.Yа. Spatial Information Models // European researcher. Series A. - 2013. - № 10-1(60). -p. 2386-2392.
References
1. Dokukin P.A. Graficheskie informacionnye edinicy // Perspektivy nauki i obrazovaniya. - 2015. - № 3. -S. 32-39.
2. Kravec E.A. Kartograficheskaya logika (analiz voprosov sostoyaniya i ohrany okruzhayushchej sredy): monografiya. - M.: izd-vo MIIGAiK, 2010. - 160 s.
3. Kudzh S.A., Cvetkov V.Ya. Logika i algoritmy: monografiya. - M.: MAKS Press, 2019. - 112 s.
4. Kulagin V.P., Cvetkov V.Ya. Geoznanie: predstavlenie i lingvisticheskie aspekty // Informacionnye tekhnologii. - 2013. - № 12. - S. 2-9.
5. Lyutyj A.A. Yazyk karty: sushchnost', sistema, funkcii. - 2-e izd. - M.: GEOS, 2002. - 327 s.
6.Mironov S'.V, Yudin A.V. Sistema tekhnicheskogo zreniya v zadachah navigacii mobil'nyh ob»ektov // Programmnye produkty i sistemy. - 2011. - № 1. - S. 10-16.
7. RozenbergI.N. Slozhnost' i komplementarnost' // Perspektivy nauki i obrazovaniya. - 2016. - № 5. - S. 7-10.
8. Frege. G Logika i logicheskaya semantika. Sb. trudov. - M.: Aspekt Press, 2000. - 512 s.
9. Cvetkov V.Ya. Yazyk informatiki // Uspekhi sovremennogo estestvoznaniya. - 2014. - № 7. - S. 129-133.
10. Cvetkov V.Ya. Kachestvennye prostranstvennye rassuzhdeniya: monografiya. - M.: MAKS Press, 2017. -60 s.
11. Aiello M., Pratt-Hartmann I., Van Benthem J. What is Spatial Logic? // Handbook of spatial logics. -Springer, Dordrecht, 2007. - p. 1-11.
12. Bailey-Kellogg, C., & Zhao, F. (2003). Qualitative spatial reasoning extracting and reasoning with spatial aggregates. AIMagazine, 24(4), 47.
13. Bertrand Russell. Vagueness. In John Slater, editor (1923), Essays on Language, Mind, and Matter 191926, The Collected Papers of Bertrand Russell, pages 145-154. Unwin Hyman, London.
14. Caires L., Cardelli L. A spatial logic for concurrency (part I) //Information and Computation. - 2003. - V. 186. - № 2. - p. 194-235.
15. Calcagno C., Cardelli L., Gordon A.D. Deciding validity in a spatial logic for trees // ACM SIGPLAN Notices. - ACM, 2003. - V. 38. - № 3. - p. 62-73.
16. Cardelli L., Gardner P., Ghelli G. A spatial logic for querying graphs //International Colloquium on Automata, Languages, and Programming. - Springer, Berlin, Heidelberg, 2002. - p. 597-610.
17. Cohn A.G. Qualitative spatial representation and reasoning techniques //Annual Conference on Artificial Intelligence. - Springer, Berlin, Heidelberg, 1997. - p. 1-30.
18. Collier S.J., Lakoff A. Distributed preparedness: the spatial logic of domestic security in the United States // Environment and planning D: Society and space. - 2008. - V. 26. - № 1. - p. 7-28.
19. Del Bimbo A., Vicario E., Zingoni D. A spatial logic for symbolic description of image contents // Journal of Visual Languages & Computing. - 1994. - V. 5. - № 3. - p. 267-286.
20. Eckert M., Joerg W. On the nature of maps and map logic // Bulletin of the American Geographical Society. - 1908. - V. 40. - № 6. - p. 344-351.
21. Gooday J.M., Cohn A.G. Using spatial logic to describe visual languages //Integration ofNatural Language and Vision Processing. - Springer, Dordrecht, 1996. - p. 171-186.
22. Kontchakov R. et al. Spatial logic+ temporal logic=? //Handbook of spatial logics. - Springer, Dordrecht, 2007. - p. 497-564.
23. Lemon O., Pratt I. Spatial logic and the complexity of diagrammatic reasoning // Machine Graphics and Vision. - 1997. - V. 6. - № 1. - p. 89-108.
24. Lossau J. Pitfalls of (third) space: rethinking the ambivalent logic of spatial semantics // Communicating in the third space. - Routledge, 2008. - p. 76-92.
25. Moratz R., & Ragni M. Qualitative spatial reasoning about relative point position. // Journal of Visual Languages & Computing. - 2008. - № 19(1). - p. 75-98.
26. Randell D.A., Cui Z., Cohn A.G. A spatial logic based on regions and connection // KR. - 1992. - V. 92. -p. 165-176.
27. Talen E. The spatial logic of parks //Journal of Urban Design. - 2010. - V. 15. - № 4. - p. 473-491.
28. Tarski, Alfred (1956). Foundations of the geometry of solids. In Logic, Semantics, and Metamathematics, pages 24-29. Clarendon Press, Oxford.
29. Tarski, Alfred(1959). What is Elementary Geometry? In Henkin, L., Suppes, P., and Tarski, A., editors, The Axiomatic Method, with Special Reference to Geometry and Physics, pages 16-29. North-Holland Publishing Co., Amsterdam.
30. Tsvetkov V.Ya. Information Units as the Elements of Complex Models // Nanotechnology Research and Practice. - 2014. - Vol. 1. - № 1. - p. 57-64.
31. Tsvetkov V.Yа. Spatial Information Models // European researcher. Series A. - 2013. - № 10-1(60). - p. 2386-2392.
