Простой метод расчета модовой структуры и дисперсионных свойств микроструктурированных волоконных световодов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 4 2007 Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 535

А. В. Жолобов, С. А. Иванов, A.A. Шимко

ПРОСТОЙ МЕТОД РАСЧЕТА МОДОВОЙ СТРУКТУРЫ И ДИСПЕРСИОННЫХ СВОЙСТВ МИКРОСТРУКТУРИРОВАННЫХ ВОЛОКОННЫХ СВЕТОВОДОВ

Введение. Микроструктурированные волокна (MB) — это волноводы, представляющие собой двумерный набор плотно упакованных и вытянутых при высокой температуре полых стеклянных волокон (капилляров) (рис. 1). Дефект микроструктуры, соответствующий отсутствию одного капилляра в центре структуры, выполняет функцию, аналогичную функции сердцевины обычного волокна, и обеспечивает волновод-ный режим распространения излучения. Кроме того, волноводные моды электромагнитного излучения в MB формируются и в результате интерференции волн, возникающих при отражении и рассеянии на периодических неоднородностях показателя преломления. Волокна этого типа приводят к революционным изменениям в области оптической метрологии, нелинейной оптики, лазерной физики и оптики сверхкоротких импульсов. Внушительный прогресс, достигнутый на основе использования новых оптических волокон в этих и других направлениях научных исследований, выдвигает MB в ряд наиболее значительных достижений оптических технологий за последнее десятилетие. Уникальность MB для лазерной физики обусловлена возможностью управления дисперсией волноводных мод в широких пределах за счет варьирования структуры MB [1] в силу значительного контраста показателя преломления сердцевины и эффективного показателя преломления оболочки. Управление дисперсионными свойствами волноводных мод открывает новые возможности в области оптической телекс ммуникации и оптики сверхкоротких импульсов. Высокая степень локализации излучения в сердцевине волокна позволяет достичь радикального увеличения эффективности нелинейно-оптических взаимодействий [2].

В работе предлагается упрощенный вариант расчета модовой структуры и дисперсии кварцевого микроструктурированного световода (MB). В качестве исходного модельного представления такого световода выбрана «квадратная» геометрия расположения воздушных каналов вокруг кварцевой сердцевины. Такая упрощенная модель позволила существенно облегчить расчеты и, в то же время, получить результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными [3] и теоретическими расчетами, основанными на других геометрических приближениях в физических моделях MB [1].

© А. В. Жолобов, С. А. Иванов, А. А. Шимко, 2007

Рис. 1. Изображение торца короткого (около 1 см) отрезка МВ со сплошной световедущей жилой диаметром 1,5 мкм в проходящем свете

Расчет модовой структуры волокна. Метод расчета модовой структуры волокна, которым мы пользуемся, основан на строгой векторной модели (full vectorial model) [4]. Алгоритм решения задачи следующий:

1. Электрическое и магнитное поля в волокне представляются в виде линейной комбинации плоских волн (Фурье-преобразование).

2. Тот же базис выбирается для Фурье-преобразования профиля коэффициента преломления волокна.

3. Полученные представления подставляются в уравнения Максвелла, и получается задача на собственные значения. Каждое собственное число определяет эффективный показатель преломления для некоторой моды. Собственный вектор, соответствующий этому собственному числу, является набором коэффициентов в разложении электрического и магнитного полей этой же моды по плоским волнам.

4. Граничные условия включены в приближение суперъячейки (supercelt) [4], которая выбирается в виде квадрата, изображенного на рис, 2.

В z-инвариантной модели (ось z направлена вдоль волокна, а оси х и у—в перпендикулярной к оси z плоскости), моды излучения полностью описываются электрической и магнитной поперечными компонентами поля eL и hL и константой распространения (}. Выражение для полей в этом случае:

E(r,t) = e(rL)ei{M = \e1(rL) + ez (r1)l]e/(p,+ffl,)

Я(г,0 = Л(г1У^=[л1(г^ + Л,(г1)1]в'<р'+в') (1)

Если подставить эти выражения в уравнения Максвелла, то для поляризационных компонент полей е± и h± получится следующая система уравнений:

[VI +k0W -Р1]Л± = -[(V1ln«2)x(V1x^)] ' [VI +*0V -Р2>1 ((У± In«2 > ё± )]

Уравнения (2) получаются из уравнений Максвелла и дают возможность полного векторного описания электромагнитных мод в волокне или в любой другой z-инвариантной среде. Нахождение мод представляет собой двумерную задачу, которая сводится к решению двух независимых уравнений для поляризационных компонент полей ё± и hl. В нашей работе для решения этой задачи мы следуем строгой векторной модели (full vectorial model) [4].

Далее вводится приближение суперъячейки (supercell). Суть приближения заключается в следующем:

тттттmmттттттш mmmmmmmmmm-mmmm ттт mmmmmm- ттш тттттттттттттт »тшшттштФш-тшФФ ттттттт ттт-тттт тФФФштшЩШШШШШШ тттттттттттттт ттФФтттттттттт тт» ттт шшф фшш тттттттттттттт mmmmmmmтшФФФтт

Рис. 2. Волокно в нашей модели — структура с бесконечным периодичным профилем показателя преломления

• Мы считаем, что как волокно, так и поле не имеет границ в перпендикулярной к оси волокна плоскости, но периодично по ней с периодом, равным размеру суперъячейки (рис. 2). Это, собственно, и есть граничное условие.

• Мы рассматриваем «квадратную» упаковку волокна.

Первое условие приводит к тому, что в наше рассмотрение включаются только те моды, поле которых на границе ячейки мало (много меньше поля внутри).

Второе условие относится к способу моделирования волокна. Реальное волокно из-за естественной упаковки и вытяжки капилляров имеет скорее гексагональную структуру, и «квадратное» приближение выбрано с целью упрощения счета. Однако и такой упрощенной модели, как покажут наши результаты, достаточно для описания основных свойств и закономерностей распространения излучения в ДВ.

С целью упрощения счета нами была выбрана суперъячейка, изображенная на рис. 3, где с1 —диаметр «дырок», Л —расстояние между ж центрами, а—размер стороны квадратной суперъячейки. й, и аг —вектора, на которые «натянута» суперъячейка. Выбор суперъячейки, включающей большее количество капилляров, позволил бы описать большее количество мод, но, с другой стороны, сильно утяжелил бы численные расчеты. Как покажут наши результаты, такой суперъячейки достаточно для описания мод, распространяющихся по сердцевине волокна. Именно такие моды наблюдались нами экспериментально [3], и именно они представляют для нас основной интерес.

Для того чтобы численно решить

Рис. 3. Суперъячейка, в приближении которой мы проводим расчеты:

с1 —диаметр «дырок», Л —расстояние между их центрами, а —размер стороны квадратной суперъячейки.

задачу на собственные значения, мы должны переписать ее в виде дискретного матричного уравнения. Для этой цели мы переходим к следующему базису для разложения поля:

(3)

где

(чл)

— вектор, определяющийся следующими граничными условиями (условия

периодичности):

("1.12)

• я, = 2щ , к{

• аг = 27Ш2

(4)

Я = (/?[,/72)е 2г.

Выбранные таким образом базисные функции представляют собой полный орто-нормированный базис, и они удовлетворяют периодическим граничным условиям, относящимся к приближению суперъячейки. Очевидно, что численный расчет требует усечения базиса, т.к. мы не можем работать с бесконечным набором функций.

Из уравнения (4) получаем: кх-а = 2кп1, к • а -2ш2. С учетом (3):

ъ) (г± ) = -ехр(/(кхх + к у)) = -ехр(— (л,х + пгу)) а у а а

Представляем поле в виде разложения по выбранным базисным функциям (5):

Л1 = + "1,42 1 ^

х и у —единичные орты в направлении осей х и у соответственно.

Разложим профиль показателя преломления и его логарифм по тому же базису функций, который мы выбрали для представления электромагнитного поля:

1

1

а т

(7)

е =-(¥ И » а\ «I /

К. =-(¥,. |1п(я2))

(8)

ln(«2(/í1)) = 5:Km^m(F1)

m

В случае выбранной нами суперъячейки легко показать, что:

4 я/2 а/2 2ft 2 П

£(„,)= — J J«2cos(—(m,x))cos(—(¡m2y))dxdy 1 2 я oo a a

4 0/2 0/2 2к 2%

K(m *ь) I I ln/72(x,^)cos(—Kx))cos(—{m2y))dxdy . a2 о о а а

(9)

-(т, и к(т т2) ищутся численным интегрированием.

Коэффициенты е(

Используя разложения профиля показателя преломления и логарифма показателя преломления (7) в выбранном нами базисе (5), а также разложение поля по этому базису (6), и подставив (7), (6) в (2), мы получим следующую задачу на собственные значения [4]:

~<2 + X V \ Kiw) = Р2

Q. А» ) h г h

где

г в + л ex(.rh>h) = P2 ex(.ntn1)

V Q. A* ¿V / _еу(."1"г) _

(10)

\Q\ =кЛ -к2 Ь

= -к

"¡■"г <"h '"H

ы

[M

к к

У(т1.ГЩ) x(ní-ml,n1-m1) (л, -m, ,n¡ -m¡ )

(И)

In¡ уП} >^2

--к к к

х(OT|,m2) y(i\-nh^-mj) Ц-т^-тз )

К

X (/Jj -/Л} —Ш2 ) )

к,

Итак, алгоритм решения такой: сначала находим коэффициенты е( уравнения (9), затем с учетом (11) находим матрицы • Далее числен-

но решается задача (10) на собственные значения.

В результате для каждого собственного вектора находится р — корень из собственного числа (а он связан с эффективным показателем преломления соотношением пг=$/к0 (12) [4]). Из собственных векторов посредством формул (6) мы собираем модовую картину поля. Итак, мы можем найти моду и соответствующий ей эффективный показатель преломления.

Основной или первой модой мы считаем ту, которая соответствует максимальному собственному числу, и, следовательно, максимальному показателю преломления. Излучение распространяется не по сплошной кварцевой сердцевине, часть излучения моды распространяется по оболочке из «дырок», показатель преломления которых равен единице. При этом, чем большая часть моды попадает в область сердцевины, тем больший эффективный показатель преломления ей соответствует. Таким образом, энергия моды, соответствующей максимальному собственному числу, в большей степени по сравнению с остальными модами сосредоточена в сердцевине. Эффективный показатель преломления для длины волны 0,8 мкм в волокне с диаметром дырок 1,125 мкм и размером ячейки 4,5 мкм для главной моды равен п = 1,45, что находится очень близко к материальному показателю преломления кварцевого стекла п = 1,46, из которого изготовлено волокно. Как и ожидалось, эффективный показатель преломления несколько меньше показателя преломления кварцевого стекла.

Результаты расчетов профиля интенсивности фундаментальной моды и моды следующего порядка в границах суперъячейки представлены на рис. 4.

Рис. 4. Профиль интенсивности фундаментальной моды и моды следующего порядка

Далее на рис. 5 представлен результат расчета основной моды в границах суперъячейки для длин волн 0,2 мкм (а), 1,0 мкм (б) и 2,0 мкм (в) соответственно. Здесь видно, что в основной моде укладывается достаточно широкий спектральный диапазон длин волн, содержащий в себе весь спектр полученного в ходе эксперимента [3] суперконгинуума.

Расчет дисперсии. Далее мы рассматриваем дисперсию первой моды. Диспер-

X

сия £> =----(13) складывается из двух частей: £> —волноводная часть дис-

с с1 X

персии (определяется геометрией волокна), и £>т —материальная часть дисперсии (определяется дисперсией материала, в нашем случае кварцевого стекла) [1].

а)

б)

Рис. 5. Профиль интенсивности основной моды для длин волн 0,2 мкм (а), 1,0 мкм (б), 2,0 мкм (в).

Волноводная часть дисперсии определяется формулой Л = -

X <?п.

. Для ее вы-

с <Ш

числения необходимо численное дифференцирование эффективного показателя преломления по длине волны. А функцию зависимости эффективного показателя преломления от длины волны мы ищем, решая уравнения (10) для разных длин волн, находя собственные числа (3 и вычисляя п — (3 / к0.

Материальная часть дисперсии— От = -—• ^ П~

с

¿¡X

По формуле Селмейера мате-

риальная часть показателя преломления кварца:

м 0.897497Х2 = « 1 + —-+ ■

0.407943Х2

0.696166Х

X2-97.934 X2-0.0135121 X2 -0.00467915

[5, 6],

где X берется в мкм. От ищется дифференцированием по длине волны зависимости пт (X), полученной из формулы Селмейера.

Полная дисперсия О = + От [1]. Итак, мы получили возможность находить кривую дисперсии для волокон с различными параметрами. Результаты вычислений 0(Х) представлены на рис. 6.

На нем видно, как при увеличении диаметра дырок точка нуля дисперсии сначала смещается в длинноволновую сторону, пока не появляется второй ноль дисперсии

(кривая б), который при дальнейшем увеличении диаметра дырок смещается в ближнюю ИК и видимую область спектра. При этом существуют такие параметры волокна, при которых длина волны Тл:8а лазера (около 0,8 мкм) попадает в область аномальной дисперсии (V > 0).

В НИИ лазерных исследований наблюдался эффект генерации суперконтинуума в МВ при использовании в качестве накачки фемтосекундного Тл:8а лазера [3]. Факт существования аномальной дисперсии волокна с диаметром сердцевины 1,5 мкм в районе длины волны Тг8а лазера говорит о возможности объяснения

пЫшл

-200

X, мкм

-400

-600

-800

-1000

а — й= 1,252 мкм б—с1 = 0,75 мкм 1 — с1= 0,5625 мкм г—6= 1,45 мкм д—6 = 0,375 мкм е—с1 = 0 мкм

Л = 1,5 мкм

Рис. 6. Зависимость полной дисперсии от длины волны при разных диаметрах дырок при фиксированных положениях их центров.

генерации суперконтинуума в этом эксперименте за смет образования солитонов высоких порядков [7]. Последующий распад этих солитонов на несколько фундаментальных солитонов и испускание несолитонного излучения приводит к уширению спектра излучения, распространяющегося в микроструктурированном волокне. Измеренный в эксперименте спектр супер континуума перекрывает диапазон от 420 нм до 1350 нм, и, по крайней мере, вся его «видимая» часть распространяется в основной моде, что подтверждает расчеты, приведенные на рис. 5.

Заключение. На основе строгой векторной модели создана вычислительная программа для расчета модовой структуры и дисперсионных свойств микроструктурированных волноводов. Проведена проверка введенных нами приближений при сопоставлении результатов наших вычислений с экспериментальными данными, полученными в НИИ лазерных исследований. Также проведена проверка работы созданной математической программы при сопоставлении выводов из наших расчетов и выводов из расчетов, основанных на других геометрических приближениях в физических моделях MB [1].

На основе созданной нами вычислительной программы возможно предсказывать дисперсионные свойства микроструктурированных волокон или же решать обратную задачу: в зависимости от требующихся оптических свойств микроструктурированных волокон определять основные геометрические параметры требуемого волокна.

Summary

Zholobov А. V., Ivanov S.A., Shimko А.А. Simple calculation method of the modal structure and the dispersion of the quartz micro structured optical fiber.

The simplified method of the calculation of the modal structure and the dispersion of the quartz microstructured optical fiber (MP') is presented. The «square» geometry of the arrangement of air holes around the quartz core was chosen as the MF model. Such model has allowed to simplify essentially the calculations and at the same time to obtain results, which are in good agreement with experimental data and with the theoretical calculations based on other geometric approximations in the MF physical models.

Литература

1. FerrandoA., Silvestre E„ Andres P. II Optics Express. 2001. Vol. 9. N 13. P. 687-697.

2. Желтиков A.M., Магницкий С. А., ТарасишинА.В. //ЖЭТФ. 2000. Т. 117. Вып. 4. С. 691-701.

3. Герасимов А. В. Генерация континуума в различных типах оптических волоконных световодов: Магистр, дис. СПб., 2005. 4. KotynskiR., Nasilowski Т., Thienpont Н. II Proceedings Symposium EEEE/LEOS Benelux Chapter. Amsterdam, 2002. 5. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М., 1996. 6. http://www.cvilaser.eom/static/tech_dispersion.asp#l 7. Herrmann J., Griebner U., Zhavoronkov N., HusakovA., Nickel D., Knight J. C., Wadsworth W.J., RusselP.St.J., Korn G. //Phys. Rev. Lett. Vol. 88. N 17. P. 173901-1-173901-4.

Статья поступила в редакцию 25 декабря 2006 г.

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 4 2007 Вып. 4

УДК 538.975

Д. В. Ковалевский, А. Е. Кучма

К ТЕОРИИ ЭКРАНИРОВАНИЯ В ВЫРОЖДЕННОМ ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ

1. Постановка задачи. Задачи экранирования в размерно-квантованном электронном газе имеют свою специфику, отличающую их как от расчетов экранированного потенциала в объемных образцах (потенциал Юкавы, теория Линдхарда и др. [1]), так и от задач классической электростатики идеальных плоских проводников.

В работе [2] в приближении Томаса-Ферми рассматривалась задача об экранировке в двумерном электронном газе при нулевой температуре для системы, в которой он занимает две полуплоскости (х<-Ь и х>Ь), разделенные зазором —Ь<х<Ь (рис. 1). К левой полуплоскости на бесконечности приложен потенциал + У / 2, к правой — {-VI2). Все величины полагаются зависящими от одной лишь координаты х; таким образом, задача эффективно является одномерной.

Результаты расчета для подобной геометрии системы в рамках классической электростатики (в предположении об идеальности проводника) хорошо известны1: в частности, оказывается, что плотность индуцированного заряда неограниченно возрастает при приближении к краям зазора (х = ±Ь ). В приближении Томаса-Ферми результат оказывается иным, и плотность индуцированного заряда стремится к конечному пределу при х —> ±Ь (рис. 2).

Обозначим через п(х) избыточную концентрацию электронов, тогда профиль потенциальной энергии дается выражением

1 -Ь

Рис. 1. Двумерный газ занимает две полуплоскости, разделенные зазором. К левой полуплоскости на бесконечности приложен потенциал +У12, к правой (-К/2).

п(х)■ п(Ь)

-Ъ

п(-Ъ)

Рис. 2. Схематический график профиля избыточной концентрации электронов п{х). На краях зазора избыточная концентрация стремится к конечному пределу при удалении от зазора быстро убывает.

Щх) = -—( [+ [)б&'я(х')1п|х-х'|, (1) 2 те J J

1 Соответствующая задача легко решается при помощи конформного отображения: см., например, [3].

© Д. В. Ковалевский, А. Е. Кучма, 2007