CC BY
74
В. А. Кузькин, А. М. Кривцов
ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО ВЫВОДА УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ КРИСТАЛЛОВ*
1. Введение
Проблема получения уравнений состояния по-прежнему остается сложной задачей для современной физики. Фундаментальные законы природы дают лишь некоторые ограничения на структуру определяющих уравнений [1, 2]. В результате эмпирические уравнения состояния, используемые на практике, часто могут приводить к физически некорректным результатам [3]. В такой ситуации чрезвычайно полезна разработка моделей, для которых уравнения состояния могут быть получены аналитически с той или иной степенью точности. Подобные модели для одномерного случая рассматривались в работах [4, 5, 7]. В данной работе рассматривается движение единичной частицы в потенциальной яме, моделирующей взаимодействие внутри элементарной ячейки одномерного кристалла. Простота модели позволяет получить аналитическое представление уравнения состояния в виде квадратур. В отличие от [4], построенное решение не использует предположение о малости тепловых колебаний, что дает возможность применять полученное уравнение состояния для любых значений тепловой энергии.
2. Исследуемая модель. Основные обозначения
Рассмотрим движение частицы в потенциальной яме, моделирующей воздействие на атом кристаллической решетки его окружения. Следуя [4], представим полную потенциальную энергию частицы в виде
где х — отклонение частицы от центрального положения, V — размер элементарной ячейки кристалла (удельный объем), П — потенциал межатомного взаимодействия. Уравнение движения частицы имеет вид
Здесь /(х) —сила межатомного взаимодействия. Уравнение (2) соответствует одномерному движению рассматриваемой частицы между двумя частицами, неподвижно зафиксированными на расстоянии 2V друг от друга. В работе [4] было показано, что данная модель, не смотря на свою простоту, позволяет получить уравнение состояния, идентичное уравнению состояния одномерного кристалла, по крайней мере для не слишком высоких значений тепловой энергии. В данной работе рассмотрим эту модель для произвольных амплитуд колебаний, что позволяет получить уравнение состояния для произвольных значений тепловой энергии.
Для получения термодинамических характеристик введем оператор осреднения
и (х) = П (V + х) + П (V — х),
(1)
ш'х = —и'(х) = /(V + х) — /(V — х), / (х) = —П'(х).
(2)
т
о
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00094-а). © В.А.Кузькин, А.М.Кривцов, 2007
где Т — период колебаний частицы. Тогда давление может быть определено как среднее значение силы взаимодействия [4]:
Р = (/(У + *)} = 1(/(У + *)+/(У-*)}. (4)
Введем тепловое давление:
Рт = Р - Ро , Ро = I(V), (5)
где ро — «холодное» давление, т. е. давление, обусловленное деформированием элементарной ячейки кристалла. Тепловая энергия определяется формулой
Ет й= Е - II(0), Е = ^ тп±2 + и{х). (6)
Здесь Е — полная энергия системы, V(0) —энергия деформирования элементарной ячейки. Отметим, что в силу закона сохранения энергии Е = (Е).
3. Аналитическое получение уравнения состояния
Вычислим тепловое давление рт. Для этого в выражении (4) для давления перейдем от осреднения по времени к осреднению по координате:
2 /(У + х)+/(У-х) ^
Р=^ --------:---------^ (7)
Т ]о х
где хт — амплитуда колебаний, вычисляемая из соотношения V(хт) = Е. Скорость X выразим из закона сохранения энергии:
! ^
-тх2 + и(х)=Е => х=\ —л/ Е — II (х), (8)
2 у т
где знак корня выбран в соответствии с диапазоном интегрирования (7). Период колебаний вычисляется согласно соотношению
гт гХт лх
Т= сМ = 4 (9)
/0 Лз
х
Подстановка соотношений (8), (9) в выражение (7) позволяет получить для теплового давления следующую формулу:
Г / г ■ , ^
РТ= °ГУЕ 1х{х) ~/(П и(хт)=Е = ЕТ + и( 0). (10)
Уо \/Е — и (ж)
Полученная формула дает в неявной форме искомое уравнение состояния, выражающее тепловое давление рт через тепловую энергию Ет и удельный объем V:
Рт = Рт (Ет, V). (11)
25
4. Анализ полученного уравнения состояния
Исследуем полученное уравнение состояния на примере потенциала Морзе
П(г) = В (е-2а(г-а) — 2е-“(г-а)) , (12)
где г — расстояние между частицей и стенкой, В — энергия связи, а — равновесное расстояние, а — параметр, характеризующий ширину потенциальной ямы потенциала Морзе. Потенциальная энергия частицы в этом случае может быть записана в виде
и(х) = 2В [е-2^ еИ(2ах) — 2е-^ сИ(ах)] , V = а(У — а). (13)
Несложно показать, что для V < 1п2 ^ 0.693 потенциальная энергия имеет один экстремум (минимум) при х = 0, а для V > 1п 2 — три экстремума: максимум при х = 0 и два минимума при х = ±х*, где
аЧ = ^1п(ч--------2-------) (14)
Критическое значение V = 1п 2 можно трактовать как предельное растяжение элементарной ячейки, превышение которого приводит к разрыву одной из межатомных связей. В случае потенциала Морзе уравнение состояния (10) принимает вид
ГХт [е~21' сЪ(2ах) — е^1' сЪ(ах)] (1х
0 У о \/ Е — 2В |е_2" с11(2аж) — 2е_" сЫаж)] 0 _2„ -и\
рт = 2а.В .Хт у^-------------------------------------- 2аВ(е ^ - е "),
■s/E - 2В [e~2l/ сЪ(2ах) - 2e^v сЬ(скж)]
(15)
1 (еи \/e2l'(^ + 1) + 2\
хт = -Arch — + --------- , Е = ЕТ + 2B{e-2lJ - 2е~1').
а 2 2 /
Рассмотрим случай, когда элементарная ячейка не деформирована: V = a (v = 0); а = 5/a. В этом случае «холодная» составляющая давления равна нулю, а полное давление равно тепловому. Уравнение состояния (15) в этом случае принимает вид
iXm [ch(2ax) — ch (ax)\dx
/ о \/Ет -
■-------------:--------:---:-------:---— ^
a. I 2 2 V D
рт = 2 аВ 1^г^т - ° 11 + 2 °11(2”) - “ с11(”)] , хт = ±/*<ъ(1- + '-<[Щ+2\.
11 ГХт с£е ’ а \ 2 2 V В 1
Уо \/Ет — В [ 1 + 2 сЪ.(2ах) — 4 сЬ(аж)]
(16)
Одним из широко используемых уравнений состояния является уравнение Ми—Грю-найзена [3, 9]
рт(У,Ет) = Г(У)Щ-, (17)
где Г(V) —безразмерный коэффициент Грюнайзена, зависящий только от удельного объема. Согласно уравнению (17), тепловое давление зависит от тепловой энергии линейным образом. Исследуем, насколько выполняется это приближение для рассматриваемой системы. Сравним графики зависимости рт (Ет), построенные согласно полученному уравнению (16) и уравнению Ми—Грюнайзена (17) при аа = 5 (см. рис. 4).
о
Рис. 1. Зависимость теплового давления от тепловой энергии для неде-формированной элементарной ячейки: 1 — зависимость, соответствующая уравнению Ми—Грюнайзена, 2 — точная зависимость (16).
Коэффициент Грюнайзена вычислен по формуле, полученной в работе [4]:
. (18)
г( ч а /2(а) , , (-1)* <1к/{х)
Г(а) = о ТГТ> гДе /*(°) =
2 /1 (о^ к! ¿хк
Из рис. 1 видно, что при не слишком больших значениях тепловой энергии (Ет < D) зависимость близка к линейной, предсказываемой уравнением Ми—Грюнайзена. Для большинства практических приложений подобной нелинейностью вполне можно пренебречь.
Рассмотрим теперь случай критического растяжения элементарной ячейки V = о + 1п2/а (V = 1п2); а = 5/о. В этом случае «холодная» составляющая р0 не равна нулю и тепловое давление определяется формулой (15). Соответствующий график зависимости рт(Ет) приведен на рис. 2. Из графика видно, что уравнение состояния качественно отличается от уравнения (17). В работе [4] было показано, что при малых значениях тепловой энергии (Ет ^ О) эта зависимость может быть аппроксимирована формулой
Рт = Р(У)\/ГЁТ, /3(х/) = уА_М^; Л « 1.596. (19)
Ее график также приведен на рис. 2. При малых Ет он практически совпадает с зависимостью, полученной выше для произвольных Ет. Легко видеть, что использование в подобных случаях уравнения Ми—Грюнайзена может привести к крайне недостоверным результатам. Действительно, если для малых Ет зависимость рт (Ет) была получена экспериментально и продолжена линейно в соответствии с гипотезой Грюнайзена, то очевидно, что это приведет к огромным расхождениям в значениях давления для больших Ет.
При больших значениях тепловой энергии (Ет > О/2) в данном случае наблюдается большее отклонение от приближенной формулы, чем в случае недеформированной
0,0012 0,0010 0,0008
^ 0,0006
со
;ч_^
ь- 0,0004
сц
0,0002 0,0000
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
Ет/В
Рис. 2. Зависимость теплового давления от тепловой энергии для критического растяжения элементарной ячейки: 1 — точная зависимость (15),
2 — приближенная зависимость (19).
ячейки (V = о) —согласно рис. 2 точная зависимость рт(Ет) при больших Ет растет почти линейно, что дает существенно большие значения давления, чем приближенная формула.
Итак, предложенная в уравнении Ми—Грюнайзена линейная зависимость теплового давления от тепловой энергии не соответствует действительности при больших деформациях. Введем в рассмотрение уравнение состояния, справедливое при произвольном значении тепловой энергии:
Рт(У,Ет) = Г(У,Ет)^. (20)
Пользуясь формулой (15) построим зависимость Г от Ет при разных фиксированных значениям объема (рис. 3). Графики построены при ао = 6. Из рис. 3 видно, что при отсутствии деформации или при сжатии зависимостью Г от Ет^вполне можно пренебречь. В то же время при сильном растяжении зависимость Г от Ет становится существенной, т. е. уравнение Ми—Грюнайзена некорректно.
В заключение отметим, что полученные аналитические выражения для уравнения состояния были также проверены численно путем решения уравнения движения частицы (2) методом центральных разностей с последующей подстановкой полученной зависимости х(£) в формулы (4)-(5) для теплового давления и (6) для тепловой энергии. Результаты численных расчетов в пределах погрешности вычислений совпали с аналитическими результатами. Сравнение этих двух методов также показало, что численное решение уравнений состояния потребовало значительно большего времени для расчета.
5. Заключение
В работе обобщен подход к получению определяющих соотношений, предложенный в [4]. Для частицы в потенциальной яме получено уравнение состояния, справедливое в широком диапазоне изменения тепловой энергии. Проведено сравнение с прибли-
20
15
Г
10
5
0 Н--------1-------1--------1-------1--------1-------1----
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Етт
Рис. 3. График зависимости Г(V, Et) при различных фиксированных значениях объема: 1) V = 0.7а, 2) V = а, 3) V = 1.1а.
женными зависимостями, полученными в [4] для малых значений тепловой энергии. Результаты проверены с помощью численного моделирования методом динамики частиц. Исследовано уравнение Ми—Грюнайзена. Получены зависимости коэффициента Грюнайзена от тепловой энергии при фиксированном объеме. Показано, что использование уравнения Ми—Грюнайзена корректно при отсутствии деформаций или при деформациях сжатия. При растяжении становится существенной нелинейность зависимости давления от тепловой энергии и использование уравнения Ми—Грюнайзена может привести к значительным ошибкам. Таким образом, при решении прикладных задач предпочтительнее применять различные уравнения состояния в областях сжатия и растяжения.
Summary
V. A. Kuzkin, A. M. Krivtsov. The simple model for analytical derivation of the equation of state for ideal crystals.
The simple model for elementary cell of 1D crystal is considered. The model is based on the consideration of particle motion in the potential well. The microscopic definitions of such macroscopic parameters as pressure, thermal energy, and specific volume are given. The analytical equation of state in indirect form, which is valid for the wide range of the thermal energy variations, is obtained. It is shown that usage of the Mie-Gruneisen equation of state can give considerable error in case of strong tensile deformations.
Литература
1. Пальмов В. А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976. 348 с.
2. Жилин П. А. Математическая теория неупругих сред // Успехи механики. Т. 2. №4.
2003. С. 3-36.
3. Segletes S. B. Thermodynamic stability of the Mie-Gruneisen equation of state, and its rele-
vance to hydrocode computations // J. Appl. Phys. 1990. V. 70. №5. P. 2489-2499.
4. Krivtsov А. М. From nonlinear oscillations to equation of state in simple discrete systems // Chaos, Solitons & Fractals. 2003. V. 17. №1. P. 79-87.
5. Кривцов А. М. Термоупругость одномерной цепочки взаимодействующих частиц // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2003. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. C. 231-243.
6. Hockney R. W., Eastwood J. W. Computer simulation using particles — IOP Publishing. 1988.
7. Кривцов А. М. Деформирование и разрушение тел с микроструктурой. М.: Наука, 2007. 302 с.
8. Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов // Физика твердого тела. 2002. Т. 44. №12. С. 2158-2163.
9. Жарков В. Н., Калинин В. А. Уравнения состояния тведых тел при высоких давлениях и температурах. М.: Наука, 1968. 312 с.
Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.
