Простая дискретная модель дальних корреляций множественности и p t при столкновениях ядер высоких энергий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.125.17

Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2004, вып. 2

В. В. Вечерний, Р. С. Колеватов

ПРОСТАЯ ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ ДАЛЬНИХ КОРРЕЛЯЦИЙ МНОЖЕСТВЕННОСТИ И рг ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ ЯДЕР ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ*)

1. Введение. Модель цветной струны [1-4] широко применяется для описания мягкого вклада в адронные и ядерные взаимодействия при высоких энергиях. В рамках данного подхода была предложена модель слияния струн [5, б]. В дальнейшем она развивалась [7-10] и была использована для описания дальних корреляций множественности и рг в релятивистских ядерных столкновениях [11-13].

Задача данной работы - сформулировать простой ячеечный аналог модели, допускающий явные аналитические вычисления корреляционных функций в некоторых асимптотических случаях и сильно упрощающий их при рассмотрении реальных столкновений ядер. Проверяются предположения модели и обоснованность гауссова приближения в' простейшем (без слияния) случае, когда в- модели может быть найдено явное решение.

Структура статьи такова: п. 2 посвящен формулировке ячеечного аналога модели со слиянием струн и рассмотрению варианта модели с локальным слиянием; в п. 3 рассматривается частный случай модели, в котором слияние струн не происходит, демонстрируется соответствие с ранее полученными результатами [14]; в п. 4 формулируется гауссово приближение для вычисления корреляционной функции. Результаты сравниваются с точным решением, которое при отсутствии слияния может быть найдено явно; в п. 5 обсуждается роль размера ячеек, изучается зависимость от размера кластера и формулируется вариант модели с глобальным слиянием струн; в п. 6 охарактеризовано изменение результатов, когда распределение по множественности не пуассоново.

2. Явление слияния струн. Дискретный подход. Рассмотрим два этапа в столкновении ядер: на первом образуются цветные струны, а на втором они (или те, что возникли в результате слияния первичных струн) распадаются, излучая наблюдаемые частицы.

Исследуем три возможности: без слияния струн, с локальным и глобальным слиянием. Случай локального слияния струн соответствует модели, где цветные поля суммируются локально, тогда как при глобальном слиянии они суммируются по всей площади кластера, давая некоторое усредненное цветное поле, соответствующее суммированию цветных зарядов-источников поля. (В п. 5 описанные варианты обозначим как случаи А и Б соответственно.)

В поперечной плоскости в зависимости от прицельного параметра Ь возникает область взаимодействия площадью 5(6). Разобьем эту область на ячейки площадью порядка поперечного размера струны. Таким образом, получим М = 3(Ь)/сто ячеек, где <?о = тгго - площадь поперечного сечения струны, го « 0,2/т - радиус струны.

Локальное слияние струн. Сначала рассмотрим случай локального слияния струн. Предположение модели для него состоит в том, что в каждом событии в г-ю ячейку попадает г^ струн, которые формируют струну с большим значением цвета, испускающую в среднем Цоу/гЦ частиц со средней величиной квадрата поперечного

*) Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 01-02-17137а). © В. В. Вечернин, Р. С. Колеватов, 2004

импульса, равной (jpj) = р2т/гЦ, в то время как единичная струна дает р\ и множественность (р\) = р2 и цо соответственно. (Заметим, что случай, когда некоторые из т){ = 0, также допускается.)

Обозначим щ и щ - число частиц и среднее число частиц, испускаемых цветной струной в г-й ячейке в данный интервал по быстроте, тогда

Щ = (J.Оу/тЦ■ (1)

В разных событиях число струн тц в г-й ячейке будет флуктуировать относительно среднего значения г}^ Ясно, что в случае реальных ядерных столкновений будут различными для разных ячеек. Они будут зависеть от положения (s) г-й ячейки в области взаимодействия (s - двумерный вектор в поперечной плоскости). Для получения физических результатов необходимо просуммировать вклады различных ячеек, что соответствует интегрированию по s в поперечной плоскости.

Средняя локальная плотность первичных струн Т){ в точке s поперечной плоскости однозначно определяется распределением ядерной плотности и прицельным параметром Ь, которые могут быть вычислены, например, в приближении Глаубера, что и будет сделано в отдельной статье. Здесь предположим, что rj{ уже известны при данном значении прицельного параметра Ь.

Введем

м м

■ ¿=1 t=i

Очевидно, N есть число струн в таком событии, а N - среднее число струн для этого типа событий (при фиксированном прицельном параметре Ъ).

Чтобы перейти к дальним корреляциям, рассмотрим два окна в интервале быстроты F (forward, переднее) и В (backward, заднее). Каждому событию отвечают некоторая конфигурация струн {т)г,—,г)м} и некоторое количество заряженных частиц, испущенных струнами в переднее окно по быстроте {n't,..., пм}. Таким образом, общее количество частиц, излученных в переднее окно по быстроте,

м

i=1

Вероятность зарегистрировать пр частиц в переднем окне по быстроте для данной конфигурации равна

м

Р{щ.....пм}М= £ (2)

где pVi (щ) - вероятность излучения щ частиц струной т)г в переднее окно. По предположению (1)

оо

£ щрц. {ид = fioVm: (з)

Обозначим также Wfa, ...,г]м) - вероятность реализации струнной конфигурации {^ц •■•> Vm) в Д&нном событии, тогда среднее значение некоторой величины О при условии образования пр частиц в переднем окне по быстроте будет равно

ЩЧу-.Чи)^.....пм)("г) ...

4 .....' u

При этом из М-кратной суммы необходимо исключить член, в котором все щ = 0, отвечающий отсутствию неупругого взаимодействия между нуклонами сталкивающихся ядер.

Если О есть число частиц образовавшихся в заднем окне по быстроте в данном событии, тогда (для {пв)Пр корреляций) необходимо заменить О на

M

(5)

¿=i

Если О - средний квадрат поперечного импульса частиц р\в, излученных в заднее окно по быстроте в данном событии, тогда (для {р1в)пР корреляций) используется

M

м г— Е ^

«в w:.,4lf Ï,.f=Е iP-^=p2-ir-- (в)

. i=1 E VvJ E yJWi

j=i i=i

В дальнейшем предполагается, что число первичных струн в каждой ячейке щ флуктуирует независимо относительно некоторых средних значений fji} однозначно определяемых распределением ядерной плотности и прицельным параметром b (см. выше). Поэтому

M M

i= 1 i=1 ,

Для ясности иногда будем обращаться к простому однородному случаю, когда все rji (но не флуктуирующие rji !) равны для всей площади взаимодействия rji — rj. Величина г) в этом случае соответствует используемому в работах [10, 12, 13] параметру т7 и имеет смысл количества струн, в среднем приходящегося на площадь поперечного сечения одной струны (т? = (средняя плотность струн) хсто). В общем случае параметры rji имеют тот же смысл, но средняя плотность струн зависит от точки s в (поперечной) области взаимодействия (г}{ = (средняя плотность струн в точке s) х ао).

Если также примем пуассонову форму зависимости рт{щ) (ра{х) есть пуассоново распределение с х = а) : "

(7)

то находим

.....^УМ^Р^^М- (8)

t

3. Случай без слияния струн. Соответствие с предыдущими результатами. \ В случае без слияния имеем те же формулы, однако вместо (3), (5) и (6) необходимо использовать

ОС

. Пфп.(щ) = Но rji-,

П;= 0

M

(nB){m,~,VM},nF

м ' i—1

м

/ 2 \ V ^ 2 2

4=1 Е Ъ i=1

ведет к отсутствию (р1в)Пр корреляций. В этом случае также вместо (7) и (8) должны положить

= (9)

Хосда для (пв)Пр корреляций находим

МО Е (Е^г } (ГМ^) ) Р,

Е (ГМ*))Р „(Пр)

Введя под знак суммы

1 = (Ю)

■ положив везде Е "Пг — N, имеем {

, V МО ¿^н

w(Vi) = pv(r1i) = e-^-^T. ■ (13)

где

W{N)=- £ «ад.П«*»)-. <12)

Í»?I,-.4M} г

Приняв пуассонову форму для w(r¡i) и предположив, что т}{ = r¡ (однородный случай), получаем ,

Хпт:

Таким образом,

W(N) = pMv(N) (14)

и (11) принимает вид

(Пв)п'= Í2PMn("KoN(nF) ■ (15)

N

Так как N = NW(N) = Мт), видно, что (15) согласуется с формулой из работы [14], N

где ñ = /ло для средней множественности от одной струны (излучателя). За, N и N принимается число струн в событии и среднее число струн (излучателей):

^ ñT,N/>N(N)fbN(nF)

{Пв)п'= (16)

N "

4. Гауссово приближение. Оценим (16) при N > 1 и > 1. При таких предположениях можно заменить Елг на / а пуассоновы распределения на гауссовы {дау(Т{х) - гауссово распределение с х = а и я2 - ж2 = а2):

1

где = (п^уу — цоN. Аналогично Таким образом, находим

\

при ЭТОМ

I

и

N ро пр2

dN N 2 2^2'

Обозначим Лг* - точку, где ^ = 0. Тогда можем оценить (19) следующим образом:

>в>пг ' (21)

В относительных переменных условие ^ = 0 переписывается так:

= (22)

где -г = Лг*/7Уи/ = Пр/(пр) — что определяет г как функцию /, и,

следовательно,

("в)пгг = йо^(пр) = Ио^ги) = (пр)г(/). (23)

Определим коэффициент корреляции:

= ¿<»»в)п, , ¿г

Из (22) имеем

»ув/пр . аг . .

— — йо/ # ~ Зг2 + г(/и0 - 2)

поскольку, согласно (22), при / = 1 имеет место г = 1. 16

Рис. 1. Корреляционные функции в случае без слияния. Распределения р(тц) и иг(т^) пуассоновы. а,в - уо — 1; б,г - ро = 2; в,г - графики Р(п^) не нормированы (усл. ед.). 1 — (И) = 4; 2 - (ЛГ) = 8; 5 - (Я) = 128; ^ — (АГ) -»■ оо (гауссово приближение).

Реально для одной струны /¿о = где ^ ~ 1,0-1,2 и Ду - ширина окна по

быстроте. При выборе переднего и заднего окон разной ширины Аув ф Дур, цов Ф Мор и вместо (26) получаем

-ь_ МО В

йПр !пГ=<^> - + 1' . ,

или-в относительных величинах

/<Пв> ,

В последнем случае коэффициент корреляции зависит только от величины /лор в переднем окне по быстроте (физическое объяснение данного факта приводится в конце п. 4).

На рис. 1, а, б представлены результаты точных (пунктирные линии) и приближенных (гауссово приближение) вычислений (сплошные линии) функции {пв)Пр с использованием формул (16) и (23) соответственно при различных значениях среднего количества струн = Мг] и цо в случае без слияния. Видно, что гауссово приближение хорошо работает начиная с N = 4, особенно в области пр = (пр), где в основном находятся получаемые в эксперименте точки и определяется коэффициент корреляции.

0 '_I_I_I—:-1-1-1-1

О 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Ц0

Рис. 2. Коэффициент корреляции b (27) в случае без слияния как функция цо. Распределения р(щ) и ги(тц) пуассоновы. 1 - (N) — 4; 2 - (N) — 8; 3 - {N} — 128; 4 - {N} оо , (гауссово приближение, 6 = до/(мо + 1))-

Также необходимо обратить внимание на приблизительную линейность корреляционной функции, получаемую здесь при использовании двух распределений Пуассона в (16), что согласуется с соответствующей формулой для рассмотренной в [14] задачи.

На рис. 2 приведены результаты точных (пунктирные линии) и приближенных (гауссово приближение) вычислений (сплошные линии) коэффициента корреляции *¿{fl } 1 ^ = —dñpF lnF=<nF) как Функции jUo при применении формул (16) и (26) соответственно при разных значениях среднего количества струн N = Mr¡ в случае без слияния. Снова видно, что гауссово приближение очень хорошо работает начиная с N = 4 для любых fio. Как следует из рис. 1, 2, имеется независимость от N корреляционных функций и коэффициента корреляции Ь, наблюдаемая уже при довольно небольших значениях N (с N = 4). Интересно, что при этом (см. рис. 1, в, г) результирующие распределения P{nF) значительно меняются с изменением N от 4 до 128.

Видно также, что существует практически идеальное гауссово распределение для P(nF) при N == 128, что согласуется с экспериментальными данными. В отличие от случая рр-взаимодействий (где имеет место отрицательное биноминальное распределение (NBD) для P(nF)) при ядерных столкновениях с большим количеством излучающих центров идеальное гауссово распределение наблюдалось экспериментально для центральных РЬРЬ столкновений (т.е. при фиксированном значении прицельного параметра Ь, и следовательно, при постоянном S(b)) (см., например, рис. 6 в [15]). Заметим, что для ядерных столкновений в приближении Глаубера также получается гауссово распределение для P{nF) при фиксированном значении прицельного параметра Ь (см. [16]).

Физическая интерпретация. Обсудим, почему корреляционный коэффициент для относительных величин b (27) зависит только от множественности в переднем окне по быстроте.

Корреляции между тгв и nF в рассматриваемой модели возникают только за счет флуктуаций количества струн N. При больших значениях hof (ßoF > 1) более вероятно, что флуктуация числа частиц в переднем окне nF возникла из-за флуктуации количества струн N, чем за счет флуктуаций щ, и наоборот: при малых hof (lM)F ^ 1) , флуктуация Пр скорее была вызвана флуктуацией не числа струн N, а щ. Формально это можно видеть при анализе максимума N* функции <p(N,nF) (20), где первый член появляется из-за флуктуаций N, а второй - из-за флуктуаций щ. При наличии флуктуации (т.е. nF ф ноN) при Hof > 1 N* Пр/но, при Hof <1 - N* -¥ N.

Таким образом, если каждая струна излучает в среднем большое количество частиц (hof 1) в интервал по быстроте AyF, то на основе данных о nF можно сделать обоснованные заключения о числе струн N в этом событии и, следовательно, ожидать > соответствующие изменения для пв. И если каждая струна испускает в среднем малое количество частиц (Hof < 1 в данном интервале быстрот.Аур), тогда на основе информации о nF нельзя сделать каких-либо предположений относительно числа струн N в таком событии.

Более детальный анализ показывает, что данное заключение не основано на выборе конкретной (пуассоновой) формы распределения. При малых üj « 1 всегда будет <Ti > щ вследствие дискретной природы щ.

5. Размер ячейки, размер кластера, глобальное слияние струн. Вернемся к слиянию струн и рассмотрим случай, когда радиус корреляций (размер кластера) гс не равен радиусу струны го (7 = гс/го >1), тогда площадь кластера в поперечной плоскости AS = j2(То, где 72 - площадь кластера в единицах площади струны. Если j-й кластер был образован в данном событии из rrij струн, то он будет иметь t}cj — rrijao/AS = mj/-у2, где j = 1, ...,МС; Мс - число кластеров: Мс = S(b)/AS = 72 = М/72 (здесь также сохраняем обозначение М для величины S(b)/ao = М), S(b) есть площадь взаимодействия ядер в поперечной плоскости при данном значении прицельного параметра Ь. Заметим, что в этом подходе рассматриваются кластеры фиксированной (руками) площади (AS) с различным в разных событиях числом их формирующих струн rrij (т.е. т)С] флуктуирует относительно 77 в однородном случае).

Теперь элементарные излучатели будут не струнами, а кластерами. Среднее число частиц, излученных таким кластером, будет равно Hcy/VcJ (в случае со слиянием струн), где рс = • = HoJ2 = Таким образом, чтобы изучить зависимость от размера кластера AS

в данной модели необходимо:

1) увеличить светимость элементарных излучателей

Моу/щ McV^J = М072-Jmjh2 = M07у/Щ',

2) одновременно уменьшать число кластеров

М Мс = S(b)/AS = S(b)/(о-о72) = М/72.

Заметим, что здесь не имеет смысла вводить кластеры размера AS > сто (т.е. коррелированные флуктуации Tji внутри области AS) в случае без слияния струн. Аналогично, нет физических причин рассматривать кластеры при малых значениях г) (т) < 1) даже в случае со слиянием струн.

Обратно, при больших г) (г) >> 1) имеются физические предпосылки для анализа двух возможностей в случае со слиянием струн:

A) AS = его, 72 = AS/ero = 1, Мс = М = S(b)/a0]

Б) AS = S(b), 72 = AS/со - М, Мс = 1 (один кластер). Первая отвечает модели, где цветные поля струн складываются только локально (сформулировано в п. 2), а вторая соответствует модели, в которой цветные поля струн суммируются по всей области взаимодействия S(b) в одно цветное поле.

В случае А на первом этапе М = 5(Ь)/сто при rji, i = 1,...,М, флуктуирующих относительно т). Таким образом, требуется генерировать частицы в каждой области а о со средней множественностью, равной ро \/ц1 (см- п. 2).

Глобальное слияние струн. В случае Б требуется модифицировать используемые формулы. На первом этапе, как и в случае А, М = 5(6)/сто при гц, г = 1,..., М, флуктуирующих

относительно т). Однако, в отличие от А, необходимо найти среднее г)с = -¡дЕ7)» = Ъ Л118

<

данного события, а затем генерировать частицы из одного кластера при средней множественности Цсу/Чс = р,оМу/г£ = /лоМуШ/М = ро\ZMN- (Заметим, что для конфигурации, когда все Т)г = г), средняя множественность в случаях А и В совпадает: /хо(5,(Ь)/ао)Л/^. В общем

случае они будут немного отличаться, . ^^гц я -¿¿ Т! у/^И-)

у » г

Таким образом, в случае Б нужно заменить (4) на

.....

<°К - Е ПГ(щ,,..,г,м)р {28)

{11.....чм>

В случае Б необходимо также изменить выражение для (0){Ч1.....~ среднего для величины, измеренной в заднем окне по быстроте при конфигурации ..., г)м}. Также необходимо использовать вместо (5) для (пв)Пр корреляций

(пв){V,.....чм},пг = Рсу/ъ = РоМ ^ ,

I

где М = 5(Ь)/сго, и вместо (6) для (р\в)пр корреляций

.....vмhnF^P2V^ = p2^Ylr^i ■

Снова видно, что отличие от случая А состоит в замене £ ^/тц на , 77». Как следствие,

* V •

вычисления в случае Б более простые, так как можно свести суммы ¿{т^ к однократной

используя тождество (10), как и в случае без слияния.

N

Итак, при слиянии в один кластер (вариант Б) можно написать простые формулы, как и для случая без слияния, а именно:

Роу/М-Е ^МШ^р^^пг) 2 _ р2

в которых М — 5(Ь)/<то, и \¥(М) дается формулой (12). Видно, что в этом случае (Б, один кластер при больших 77) п — nw.pt — п корреляции связаны:

2 р2

В случае А для пуассоновых распределений рщ (n¿) (7) имеем для формулу

(8), которая очень похожа на (28), однако с заменой у ^ тц на Более того, в слу-

чае А можно выполнить суммирование по {«1, ...,пм} и получить аналогичные формулы для

P{4i.....чм}(п^) также в случаях биноминального и отрицательного биноминального распределения (см. п. 6), в которых величина nF зависит только от некоторых средних значений для ияфигурации {77!,..., 77М} (от jj J2 у/щ в случае А и от ^JjfY^Tji в случае Б). Таким образом,

можно предположить, что в случаях А и Б результаты для п — п и pt —п корреляций будут похожи.

6. Случай не пуассонова (биноминального, отрицательного биноминального) распределения. Важное замечание: Даже если нет распределения Пуассона (9) для рт{щ), все равно имеем зависимость гауссовского типа (17) для Pfai.- tr)M}(nF)'- ПРИ М > 1, используя (2) и центральную предельную теорему теории вероятности, получаем

где (nF) = и Ор = однако теперь aF может быть не равной (nF).

i i

Рассмотрим в качестве примера биноминальное распределение вместо распределения Пуассона:

Рщ{щ) = ßkuX(ni) = С£АП<(1 - А)*"*.

В отличие от пуассонова, в биноминальном распределении два параметра. Выберем одинаковые параметры Л для всех распределений рт(щ). В данном случае можно просуммировать эти распределения как пуассоновы согласно формуле .

м

i ■ {пг,...,пм} г=1

Для биноминальных распределений имеем

rii-kiX, er? = ki\(l - А) = rii(l - Л).

В случае без слияния также имеем щ — poVi и fo =щ/Х Таким образом, необ-

ходимо выбирать Л так, чтобы ^ было целым, в остальном параметр Л произволен. (Ясно, что •njaax = ki и случай малых Л, когда к{ — п™ах щ, соответствует распределению Пуассона.) Следовательно, находим

где {nF) = Ylni = VoY^Vi я Ср = — i1 _ Видно, что для биноми-

i i i i нального распределения aF = (1 — A){nF) при 0 < А < 1. Заметим, что случай А 1 соответствует ситуации, когда все щ = n™ax- = ki и дисперсия отсутствует: а\ — 0.

Аналогичные вычисления можно провести для w(r]i), основываясь вместо (13) на формуле

w(r}i) = ßriiXri(r)i),

здесь rji = riXrj = rj, = - Xv) = ^(1 - Хп), при этом г)/Хп должно быть целым.

ТогДа вместо (14) получаем

W(N) = ßM3lx(N),

где N = Ei Vi = Мг1 и aN = Hi avi = (! - и аналогично сг% = (1 - A„)]V

при 0 < An < 1. Очевидно, случай А?, —> 0 отвечает случаю распределения Пуассона,

а 1 - ситуации, когда N = N и дисперсия = 0 (фиксированное количество струн).

Вместо (16) находим

N 4 А

N

В гауссовом приближении будут верны формулы (17) и (18) при aF = (nF)N (1 — Л) = tM>N(l - Л) и = N( 1 - Лч). Сохранит свой вид также формула (19), но при этом

- 2N(1 - Л„) + 2^N(l - А) •

Ясно, что случай А 1 соответствует S(nF-p0N) и N = nF/p.o- Каждая струна излучает в точности //о частиц, и число струн 7V в данном событии может быть однозначно восстановлено по величине nF, что ведет к корреляциям, равным 100% (см. обуждение в кон^е п. 4). Случай А,, 1 соответствует 6(N - N) и N = N, что отвечает фиксированному числу струн. В этом случае зависимость N от nF отсутствует, и корреляций нет (заметим, что рассматривается случай без слияния).

В случае биноминального распределения также можно использовать формулы (21), (23), (24) для {пв)Пр и 6, изменив уравнение для z(f):

где к = Снова видим, что при Л—>ооиг = /; при Ач->1к->0иг = 1

(не зависит от /). Вместо (25) и (26) получим

dz fj,Q к/

df 3& + z(hqk - 2)

и, таким образом,

Ь- ^°к

Рок + 1

Видно, что в самом деле при Л 1 к -»■ оо и коэффициент корреляции 6=1; при Л,, 1 к 0 и Ь = 0.

Очевидно, то же самое можно сделать и для отрицательного биноминального распределения. Также можно использовать любую комбинацию этих распределений -одного типа для р^щ) и другого для и)(щ).

7. Заключение. Простая ячеечная модель, предложенная для описания корреляций рь и множественности в ядерных столкновениях при высоких энергиях, а также гауссово приближение, позволяющее провести явные аналитические вычисления корреляционных функций в некоторых асимптотических случаях, дают адекватные результаты в случае без слияния.

В следующей работе мы планируем представить результаты расчетов корреляционных функций с учетом слияния струн, основанных как на численном суммировании по конфигурациям {щ,..., т?м} с использованием формул п. 2, так и на аналитических вычислениях с применением гауссова приближения, описанного в п. 4.

Авторы благодарят М. А. Брауна и Г. А. Феофилова за многочисленные ценные замечания.

Summary

Vechernin V. V., Kolevatov R. S, Simple cellular model of long-range multiplicity and pt correlations in high-energy nuclear collisions.

к simple cellular model for the description of the long-range multiplicity and pt correlations in high-energy nucleax collisions originating from the string fusion model is proposed. Three versions of the model: without fusion, with local and with global string fusion are formulated. A Gauss approximation which enables explicit analytical calculations of the correlation functions in some asymptotic cases in the framework of the model is developed. The assumptions of the model and the validity of a Gauss approximation are checked up in the simplest (no fusion) case when the explicit solution of the model can be found. The role of the size of cells is analyzed. The modification of the results in the case of non-Poissonian distributions is also discussed.

Литература

1. Capella A., Sukhatme U. P., Tan C.-I., Tran Thanh Van J. // Phys. Lett. 1979. Vol. B81. P. 68-74. 2. Capella A., Sukhatme U. P., Tan C.-I., Tran Thanh Van J. //Phys. Rep. 1994. Vol. 236. P. 225-329. 3. Kaidalov A. B. // Phys. Lett. 1982. Vol. 116B. P. 459-463. 4. KaidalovA. В., Ter-Martirosyan K. A. // Phys. Lett. 1982. Vol. 117B. P. 247-251. 5. Braun M. A., Pajares C. // Phys. Lett. 1992. Vol. B287. P. 154-158. 6. Braun M. A., Pajares C. // Nucl. Phys. 1993. Vol. B390. P. 542-558. 7. Arnelin N. S., Braun 'M. A., Pajares C. // Phys. Lett. 1993. Vol. B306. P. 312-318. 8. Amelin N. S., Braun M. A., Pajares C. // Z. Phys. 1994. Bd C63. S. 507-516. 9. Armesto N., Braun M. A., Ferreiro E. G., Pajares C. // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 77. P. 3736-3738. 10. Braun M. A., Pajares C., Ranft J. // Int. J. Mod. Phys. 1999. Vol. A14. P. 2689-2704; (hep-ph/9707363). 11. Amelin N. S., Armesto N., Braun M. A. et al. // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 73. P. 2813-2816. 12. Braun M. A., Pajares C. // Eur. Phys. J. 2000. Vol. C16. P. 349-359. 13. Braun M. A., Pajares C. // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. P. 4864-4867. 14. Braun M. A., Pajares C., Vechernin V. V. // Phys. Lett. 2000. Vol. B493. ■ P. 54-64. 15. Heiselberg H. // nucl-th/0003046, 2001. 16. Antinori F., Badala A., Bakkeet H. et al. // Nucl. Phys. 1999. Vol. A661. P. 357-361.

Статья поступила в редакцию 29 мая 2003 г.