CC BY
14
В сравнении с динамикой точки постоянной массы коэффициент т непосредственно соответствует коэффициенту сопротивления среды р.
Уравнение (6) вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси по существу совпадает с уравнением (4), описывающим поступательное движение твердого тела. Момент инерции У в уравнении (6) имеет смысл массы в уравнении (3); управляющий момент М соответствует силе /?; момент неконтролируемых возмущающих сил /и(<р, ы, I) аналогичен внешним силам /\
Установление динамических аналогий позволяет использовать современные методы аналитической динамики и математического моделирования для решения задач экономики.
Управление простейшим производственным предприятием
Проанализируем задачу управления производственным предприятием, которое состоит из двух подразделений, рассматриваемых как простой производственный объект, или выпускает два вида продукции. Объем выпускаемой продукции подразделений определяется величинами х{, х2. Предприятие допускает управление за счет поступающих в производство основных фондов ии2, распределенных по подразделениям соответственно с коэффициентами Ьи, Ьп и Ь2\, Ь22• Будем считать, что мгновенные фондоемкости подразделений зависят только от объемов выпускаемой продукции .г,, х2 и времени V. ту = /ну(х, I): х = х2). Пусть выбытие основных фондов подразделений и>(, и>2 определяется линейной функцией относительно мощностей подразделений:
= р*, и> = (и>,, и'з). р = (Р,у), /', у = 1,2.
Предполагается, что факторы , /2, влияющие на изменение основных производственных фондов в момент времени , предполагаются пропорциональны общему объему продукции подразделений хь х2 соответственно с коэффициентами см, с(2 и с2ь с22: /= -сх;/= (У,,/2); с = Щ).
При сделанных предположениях уравнения мощностей подразделений записываются в виде системы
т'х + [З.г + сх = bu, Ь = (Ьу), и = (м„ и2). (11)
Примем за цель управления достижение и поддержание заданного объема продукции:
aT(t)x = v(0; (12)
aT(t) = (а,(/) а2(0), а,(/) + а2(1) = 1. Положим
у = aT(t)x — v(t); (13)
y = -kj-k0y, к\ > 0. к2> 0. (14) Из (11), (14) следуют уравнения для определения и |, и2:
' gTu = h, (15)
где £ = (аТт~% h = (а' m ' (m + р)- к,а -2а )х
х.i + {а'm хс-кха -а -к0а' )х + v + k0v.
Обозначив элементы матрицы g как g,, g2, запишем уравнение ( 15) в скалярном виде: glui+g2u2 = h. (16)
Уравнение (16) имеет решение
g, h . gji », = -c0g, + , , м2 = c0g, + - ,(17)
gi+g2 8Î+8Î
где c0 = c(x,xj) — произвольная функция. Поскольку уравнение (14) имеет асимптотически устойчивое тривиальное решение у = 0, то упрашгения (17) обеспечивают выход на требуемый объем выпуска продукции (12) и сохранение его на заданном уровне.
Рассматриваемая задача управления производством может быть решена и при ограничениях на ресурсы управления вида м, <и] <i7j; гл <z/2 <ïï2. Для этого следует построить управляющие функции и{, и2, обеспечивающие движение по прямой, заданной уравнением (12) в пространстве координат je,, х2 [7J.
Рассмотренные аналогии уравнений динамики систем с программными связями позволяют построить математические модели объектов, которые содержат элементы различной физической природы, что в дальнейшем позволит легко просчитать их с помощью любой компьютерной вычислительной системы. Развитие таких методов моделирования перспективно для решения различных задач управления.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левченко JI.B., Максимов В.В. Проблема оптимизации стратегии финансирования российской высшей школы // Известия Самарского НИ РАН. Спец. вып.: "Актуальные проблемы экономики и права". Самара: СНЦ РАН. 2005. С. 45-51.
2. Сайтов Р.И. Математическая модель процесса познания // Проблемы физико-матема-тического образования в педагогических вузах России на современном этапе. Ч. 2: / Матер. II Уральской регион, межвуз. науч,-практ. конф. 19-21 мая 1997 г. Уфа, 1997. С. 66-67.
3. Layton R. Diflerenlial-Aigebraic Equations of Dynamical Systems. Springer, 2001. 159 p.
4. Сиразетдинов Т.К. Динамическое моделирование экономических объектов. Казань: Фэн, 1996. 223 с.
5. Пятницкий Е.С. Избранные труды: В 3 т. Т. 3: Теоретическая биомеханика. Концепция управления движением в условиях неопределенности. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2006. 448 с.
6. Мухарлямов Р.Г. О построении систем дифференциальных уравнений движения механических систем // Дифференц. уравнения. 2003. Вып. 39. № 3. С. 343-353.
7. ¡Мухарлямов Р.Г. Построение уравнений систем программных движений в скользящем режиме // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 7. С. 1219-1222.
УДК 004.7
А.Я. Городецкий, B.C. Заборовский, В.А. Мулюха
ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КОМПЬЮТЕРНЫХ СЕТЕЙ С ФРАКТАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ
Исключительно важный параметр компьютерных сетей, как и любых других систем связи, характеризующий эффективность использования сетевых ресурсов — пропускная способность (ПС). Согласно сложившемуся подходу ПС определяется в стационарном режиме как среднее число по всем реализациям дошедших безошибочно до приемника пакетов (битов, байтов) в единицу времени. Для компьютерных сетей в связи с фрактальными свойствами протекающих в них случайных процессов данную формулировку необходимо пересмотреть.
До решения поставленной задачи и выработки соответствующих рекомендаций необходимо ознакомиться с имеющимися материалами по фрактальным процессам в сетях, дополнив их результатами анализа длительной работы сетей [1—4]. В данной статье рассматривается наиболее коррелированный из ТСР-процессов — режим быстрой по-
вторной передачи, преобладающий при доставке пакетов на транспортном уровне. На рис. I (график /) изображена одна из реализаций модели этого режима, аппроксимируемой линейным законом увеличения числа посланных пакетов с интенсивностью один пакет в условную единицу времени.
Уровень Упр = 64 соответствует окну приемника. При благоприятном исходе число переданных пакетов достигает максимально возможного, но не более размера окна приемника. Распределенные равномерно временные отсчеты т1} ..., т„ — случайные моменты релаксации, вызванные перегрузкой в сети. Определению подлежат статистические характеристики временных моментов (задержек) т0, т¡0, ..., т„0, характеризующих благоприятные исходы в определенных сериях передачи. Моменты т0 = Т = 64 полагаем наименьшим временем благоприятного исхода (в нулевой серии).
б)
Рис. I. Модели режима повторной передачи пакетного трафика (а—в — графики 1—3)
В момент релаксации значение окна перегрузки (задаваемое на стороне отправителя число пакетов, которое можно передать в сеть до получения подтверждения) уменьшается в два раза. Согласно представленной выше формулировке ПС пропорциональна плошади под кривой среднего фрагмента режима повторной передачи, деленного на временной интервал этого фрагмента (рис. 1, график 2). Анализ статистических характеристик выявил корреляционную зависимость моментов релаксации каждой последующей серии от параметров функции распределения моментов релаксаций всех предыдущих серий. Это выразилось в характере изменения дисперсий задержек по закону £)(/) = (г — 64)' +
t > 64. а = 0,52 — фрактальный параметр (рис. 2, кривая /). Методика решения приведена в [4].
Наряду с равномерным распределением в процессе нормальной эксплуатации наблюдаются моменты релаксации, распределенные по экспоненциальному закону: р(т) = X • ехр(—Х(х — тзп)).
Это имеет место, когда моменты релаксации группируются главным образом в районе малых значений окон перегрузки. Здесь зависимость дисперсии от времени имеет вид D(t) * (t — 64)' + а, t > 64, к = 0.036. а = 0,8 (рис. 2, кривая 2).
В качестве еще одного, третьего, альтернативного варианта рассматривается режим повторной передачи, в моменты ре-
Г\М)
2000 г 1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 -
О1 60
80
100
120
140
160
180
200 м
Рис. 2. Расчетные зависимости дисперсии от математического ожидания / и 2— равномерное и экспоненциальное распределения (№„+ | = !Ч„/2); 3 — равномерное (Л/я+ ,
= 16)
лаксации которого окно перегрузки изменяется до постоянной величины, например, до нуля или, как в нашем примере, до уровня 0,25 ■ А^р = 16 (рис. 3, график 1 — реализация, график 2— усредненный фрагмент, для уровня 0,25 • /Упр).
При этом моменты релаксации в каждой серии некоррелированны (статистически независимы), а дисперсия задержек изменяется по линейному закону ¿)(г) « (/ — 64), I > 6)4 (рис. 2, кривая 3). Сравнивая эти варианты, приходим в выводу, что площади под усредненными фрагментами за одинаковый интервал времени в первом варианте больше по сравнению с третьим и, следовательно, для пропускных способностей выполняется неравенство ПС, > ПС3.
Перейдем к обсуждению причин, объясняющих необходимость пересмотра последнего результата. Начнем с того, что фрактальные процессы в режиме быстрой повторной передачи обладают протяжен-
ными или, как их еще называют, 'тяжелыми" распределениями, аналитическая запись которых имеет вид ~ка ~ 1 или -/" ~ 1 (а — фрактальный параметр, 0 < а < 1). В первом случае этим выражением аппроксимируются корреляционные функции стационарных приращений фрактального ви-неровского процесса (к = 1,2, ... — параметр смешения приращений процессов на интервалах одинаковой длительности Т). во втором — корреляционную функцию стационарной фрактальной плотности (/ — текущее время). В последнем случае корреляционная функция участвует в формировании статистических характеристик задержек т,ю [2,4].
Как следует из рис. 4, она представляет собой при а -> I слабозатухающую (протяженную) в течение нескольких часов функцию (кривая /). Для сравнения на этом же рисунке приведена обычная короткопротя-женная функция (кривая 2).
Рис. 3. Модели режима передачи пакетного трафика независимыми блоками
(а, б — графики /, 2)
Рис. 4. Корреляционные функции процессов
/ - У= е - а = 0.9: 2 — У = е-'"1, А. = 0.1
Оценим спектральные характеристики фрактального процесса. Введем параметр, называемый интервалом корреляции т*. Он определяется как половина ширины основания прямоугольника с высотой, равной дисперсии #(0) = Д площадь которого равна площади под кривой модуля корреляционной функции #(т):
^ о
Другой параметр — ширина полосы спектра Дп, определяется как величина плошали под кривой спектральной плотности Я(со), отнесенной к спектральной плотности на нулевой частоте ДО):
Воспользуемся следующим утверждением: произведение интервала корреляции на ширину полосы спектра т*Дп — величина постоянная для семейств спектральных плотностей заданной формы [5). Как следует из этой зависимости, чем уже корреляционная функция, тем протяженнее спектр, и наоборот, чем протяженнее корреляционная функция, тем уже спектр.
Возвращаясь к кривой / рис. 4, приходим к следующему результату: при тк ~ К)3 с ширина полосы спектра Дп ~ 105 1/с, т. е. в спектре фрактальных процессов присутствуют в основном гармоники, периоды которых составляют десятки минут и даже несколько часов. Таким образом, состояние фрактальных процессов задержек т„0 характеризуется большими по величине и длительными по времени отклонениями от средних значений. Причем чем больше моментов релаксации прошло, тем эти отклонения становятся больше и длительнее. Это объясняется существенным возрастанием дисперсии с увеличением точек (моментов) релаксации (рис. 2, кривые / и 2).
В задачах определения статистических характеристик при временах выборки значительно меньших хк создается видимость изменения по времени этих характеристик: режим как бы становится нестационарным. Оказывается, при более детальном рассмот-
рении задачи определения ПС в режиме быстрой повторной передачи необходимо учитывать не только среднее значение, полученное через усредненный фрагмент передачи трафика, но и дополнительную составляющую, вызванную длительным и большим отклонением дисперсий моментов задержек т„0. Это позволяет объяснить ряд парадоксов при передаче трафика понижением ПС при длительной сопровождающейся большим числом релаксаций работе в этом режиме.
В качестве примера рассмотрим в режиме повторной передачи отклонение от среднего в сторону уменьшения текущего времени для шестого момента релаксации (от точки А к точке В, рис 1, график 3)*. Это отклонение выбираем равным корню квадратному из дисперсии для шестой точки кривой / рис. 2: а = = ->/1750 «42. В этом случае усредненный фрагмент режима принимает вид графика 3 рис. 1 и, учитывая вышесказанное, может находиться в нем достаточно долго. Сравним этот режим с альтернативным вариантом 3, когда информация передается в виде независимых блоков, а усредненный фрагмент представляет собой график 2 рис. 3. Спектр этого режима имеет сравнительно высокочастотные гармоники, и случайный процесс задержек неоднократно пересекает средние значения из-за статистической независимости этих блоков. Здесь а = 0 и фракталь-ность в этом режиме отсутствует. Сравнивая площади под усредненными фрагментами графика 3 рис. 1 и графика 2 рис. 3, приходим к результату ПС, < ПС,. Это означает, что пропускная способность в режиме повторной передачи с увеличением числа релаксаций уменьшается по сравнению с пропускной способностью режима передачи информации независимыми блоками.
В заключение изложим основные результаты проведенных исследований.
* Отклонение от среднего в сторону увеличения текущего времени маловероятно и поэтому не рассматривается, так как моменты релаксации группируются, как было описано выше, в районе малых значений окон пере грузки.
1 7
В режиме быстрой повторной передачи из-за корреляционной зависимости степенного вида поведение некоторых параметров, например моментов задержек т„0, описывается фрактальными процессами. Эти изменения сопровождаются большими по величине и длительными по времени отклонениями от среднего значения.
Из-за фрактального характера процессов при определении пропускной способности необходимо учитывать не только среднее значение, но и дополнительную составляющую, зависящую от длительных и больших отклонений дисперсии.
С увеличением числа релаксаций и. следовательно, длительности режима повторной передачи пропускная способность уменьшается и становится меньше пропускной способности режима передачи информации независимыми блоками.
Уровень фрактальности характеризуется величиной фрактального параметра а(0 < а < 1). При переходе от равномерного к экспоненциальному распределению моментов релаксации этот параметр увеличивается. Следствием этого является усиление влияния рассмотренных в статье неблагоприятных факторов на пропускную способность.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Городецкий А.Я. Структура дифференциальных уравнений и фрактальных процессов в динамических системах // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2004. № 4. С. 68.
2. Городецкий А.Я. Системные методы определения статистических характеристик сетевого трафика // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2005. № 1.С. 123.
3. Городецкий А.Я. Статистический анализ ТСР-проиессов в компьютерных сетях // На-
учно-технические ведомости СПбГТУ. 2005. N° 4. С. 36.
4. Городецкий А.Я., Заборовский B.C., Лапин A.A. Моделирование самоподобных процессов в компьютерных сетях // Научно-тех-нические ведомости СПбГТУ. 2005. Т. I, .4» 5. С. 103.
5. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 1. М.: Сов. радио, 1974.
УДК 004.7.032.24
П.Ю. Шамин, A.C. Алексанян, В.В. Прокошеб
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ СЕТЕВОЙ СИМУЛЯТОР: КОНЦЕПЦИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ
В последние годы в мире повышен интерес к высокоинтегрированным гетерогенным сетевым системам. Так, в США ведутся разработки мобильных адаптивных сетей передачи информации для формирования интегрированного информационного пространства с целью повышения боевых возможностей вооруженных сил (см., например, |1|). Проводятся исследования по адаптивным гетерогенным сетям и в нашей стране.
Однако для успешной работы в данной области необходим эффективный инструмент, способный обеспечивать моделирование работы сетей передачи данных с требуемым уровнем детализации. В частности, формируются требования по поддержке работы с динамической топологией, возможности гибкого масштабирования размерностей моделируемой задачи (число узлов сети, количество связей, объем трафика и т. п.), по поддержке гетерогенных сетей и моделированию их взаимодействия.
