CC BY
6ПРОПЕДЕВТИКА ВИВЧЕННЯ МОДУЛЯ "РЯДИ" В КУРС1 ВИЩО1 МАТЕМАТИКИ
В.А. Гроза,
кандидат фЬ.-мат наук, доцент, О.Л.Лещинський, кандидат фЬ.-мат наук, доцент,
В.В. Тихонова, викладач,
Промислово-економiчний коледж, м.Кш'в,
О.П. Томащук, кандидат педагог. наук, доцент, Мiжрегiональна Академiя управлтня персоналом,
м.Кшв, УКРА1НА
У статт1 розглядаються найпростш1 методи знаходження юнцевих сум як пропедевтика вивчення модуля "Ряди ".
Вивчаючи piBeHb засвоення навчаль-ного матерiалу окремих модулiв дис-циплши "Вища математика", вдалося встановити, що студенти комп'ютерно-орiентовних спецiальностей вищих за-кладiв освiти II рiвня акредитацп мають значнi прогалини у знаннях i вмiннях, пов'язаних i3 вивченням модуля "Ряди". Зокрема вiдмiчаеться нерозумiння студентами таких основних понять цього модуля, як поняття: "збiжний ряд", "сума ряду", невмшня знаходити суму ряду за означенням. Нагадаемо, що ряд
га
^ ak називають збгжним, якщо зб^а-k=1
еться послiдовнiсть (Sn) його часткових сум (Sn = ai + aj +... + an), тобто якщо iснуе скiнчена границя lim Sn = S . При
n—ra
цьому число S називають сумою ряду
га га
^ ak i записують S= ^ ak . Значнi
k=1 k=1 проблеми виникають у студенев при знаходженнi виразу для частково'1 суми Sn = a1 + a2 +... + an у такому вигляд^
який би дозволяв знайти lim Sn .
n—^га
Зважаючи на iснуючi прогалини в знаннях i вмiннях студентiв, вважаемо
за доцшьне на початку викладення матерiалу модуля "Ряди" ознайомити студенев iз темою "Методи знаходження скшчених сум".
Введення названо! теми передбачае досягнення, зокрема, таких цшей:
1. Пропедевтика вивчення студентами теорп рядiв.
2. Формування у студентiв вмшня правильно вибирати метод пiдсумову-вання.
3. Поглиблення знань i вмiнь студен-тiв, пов'язаних iз прогресiями, логарифмами, тригонометрiею.
План змютовно! частини теми "Методи знаходження скшчених сум" може бути таким:
I. Метод зведення до стандартных сум.
II. Метод мате матично! шдукцп.
III. Метод групування доданюв.
VI. Методи iнтегрування i диферен-цiювання.
I. Метод зведення до стандартних сум
Ид стандартными сумами ми буде-мо розум^и суми члешв прогресiй, суми степешв послiдовних натуральних чисел з однаковими показниками.
Наведемо необхщш формули.
1. Сума п перших члешв арифметич-но! прогресп iз рiзницею ё:
S(a) = a\ + an - n S(a) = 2a\ + d(n -1) _ ^
n 2 ' n 2
2. Сума n перших члешв геометрич-но'1 прогресп i3 знаменником q^1:
S (г ) = bi(1 - qn)
Sn = ; .
1-q
3. Сума члешв нескшченно'1' геоме-трично'1' прогресп i3 знаменником qe(-1;1):
S (г ) = Ь1
1 - q'
Нехай ai, a2, ..., an,... - арифметична проrресiя, bj, b2,..., bn,... - геометрична прогреая. Тодi послiдовнiсть a1b1, a2b2,..., anbn,... називають арифме-тико-геометричною прогресгею.
4. Сума n перших членiв арифме-тико-геометрично'1' прогресп:
= (a1b1- anbnq)(1 - q)+d (b2- bnq)
2
Sn =
(1 - qY
5. Iншi стандартнi суми.
2
, „ „ 1 + n n + n
Si = 1 + 2 + 3 +... + n =--n =-.
1 2 2
Доведемо, що
i2 , o2
2 _ n(n + 1)(2n +1)
6
S2 = Г + 2Л +... + tf =
Справедливi рiвностi: (0 +1)3 = 13;
(1 +1)3 = 13 + 3-12 + 3-1 +1; (2 +1)3 = 23 + 3 - 22 + 3 - 2 +1;
(n +1)3 = n + 3 - n2 + 3 - n +1. Додавши лiвi та правi частини цих рiвностей, одержимо:
13 + 23 + 33 +... + n3 + (n +1)3 =
+13 + 23 + 33 +... + n3 + 3 -(12 + 22 + 32 +... + n2) + +3-(1 + 2 + 3 +... + n)+ n +1. Звщси маемо:
(n +1)3 = 3 - S2 + 3 - Sj + n +1;
S2 = I ( +1)3 - 3S1 - n -1) = = I -"(n +1)3 - 3 - — - n - n -1) =
n( n + 1)(2n +1)
6 '
Отже,
S 12 + 22 + + n2 n(n + 1)(2n + 1)
= 1 + 2 +... + n =-
2 6 Аналопчно можна довести, що
S3 = 13 + 23 + ... + n3
n2(n +1)2
Використовуючи цю ж саму iдею, можна послщовно знайти значення сум Sk = 1 + 2k +... + nk для будь-яких зна-
чень ke.N.
Наведемо значення стандартних сум
n _
вигляду Sk = ^ ik для k = 0; 6:
S0 = 10 + 20 + 30 +... + n0 = n;
S1 = 11 + 21 + 31 +... + n1
n
(n +1)
S2 = 12 + 22 + 32 +... + n2 = n(n +1)(2n +1) ; 2 6
,2/„ , i\2
S3 = 13 + 23 + 33 +... + n =
3 _ n (n +1)2
S4 = 14 + 24 + 34 +... + n4 = n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n -1) 30 '
S5 = 15 + 25 + 35 +... + n5 =
„2, , i\2/o„2
n (n + 1)2(2n2 + 2n -1) 12 ; S6 = 16 + 26 + 36 +... + n6 = n(n + 1)(2n +1) (3n2 (n +1)2 - (3n2 + 3n -1))
42
Розглянемо приклади знаходження скшчених сум.
Приклад 1. Знайти
n-1 1
^^-¡= за умови, що a„ a2,..., an
kV "k 1 V^k+1 утворюють арифметичну проrресiЮ'
Розв 'язання.
n-1 1
1
k=1\& + V ak+1 Va1 +
1 1 + -;=+ ... +-
1=1
а2 - л ах
(()((-у/а)
+
аз ^ а2
+... +
(( )((-\/«2) \la~n ^УаП-1 =
((1)((-^/аЯ—1)
ё (( -Та1 +••• ^ТаП-1)
ап ^ а1
ап - а1
ё ё ((+7^)
а1 + (п - 1)ё - а1 п -1
ё((аП + у[а) у[а~п +
Ыд
п—1
Е-
В1дпов1дь:
п-1 1
п -1
Приклад 2 (зведення до суми члешв геометричноУ прогресй'). Знайти
сУмУ ¿1 хк + Л] .
к=1 & Х Розв 'язання.
2 г
г 11 X + — I +
& X'
с
2
1
X7+2+ — X
X2 + — I + ... +
& X 2, 1л '
+
+
X2п + 2 +
1
У V л
X4 + 2 + —
X
' п 1 ]2
Xя +— I
& X" ' 1
+... +
&
г 2 п
x у
= (X2 + X4 + ... + X2 п) +
I 1 1 1 ] о ЛГ
+ 1 —т+... +—2- i + 2п = 2 X2 X4 X2п I 1 - X2
2
(1 - X 2 ■)
+
1 "1 1
2п
1 - 7
+2п, X ф ±1. Якщо х=1, то
п ( к 1 л2
¿( xk + Xlk #
к=1 & ' Якщо х= -1,
Г™ I (x2n -l)•(x2п+2 +1) x ' + 2п = ^--'- +
(X2 -1)
.2п
= 22 + 22 +... + 22 = 4п
к=1
Ё & xk + Л Т =(-2 )2 + 22 +(-2 )2 +
X '
+22... + 22 = 4п.
Вгдповгдь: Якщо х=±1,
.. 1
ЕК+
к=1 &
п ( 1
Якщо хФ±1, ¿1 X11 + —
к=1 &
(X2п -1) • (X2п+2 + 1)
= 4п.
хк x
Л п
- + 2п.
(X2 -1)X"
Приклад 3 (зведення до суми члешв арифметико-геометричноУ про-гресн). Знайти суму
Ё (-1) к-^ = 1 -1+1 -1+ 2к-1 2 4 8
к=1
+... + (-1)
,-1 2п -1
\п-1
Розв'язання. Спочатку знайдемо
п
Ё (2к -1) xk-1 . Для цього використае-
к=1
мо формулу для знаходження суми п перших члешв арифметико-геометрич-но! прогресп:
Ё (2к -1) xk-1 = 1- X0 + 3- X1 + 5 • X2 +
к=1
п—1
+ ... + (2п -1)-.
= (1 • X0 - (2п - l)xn-1 • X)- (1 - X) + 2 • (X - xn-1 • X) = (1 - X)2 =
2жп (X -1) - (X +1)(xn -1) хф1 (X -1)2 'Х '
Отже,
Ё (2к --1 = 2
1 - пXя + пXя+1 - Xя
к=1
(1 - X )
1 - Xя _ 2nxn (X -1) - (X + 1)^ - 1)
1 - X
(X -1)2
хф1.
Покладаючи в цiй рiвностi X = -"2, одержимо:
Ё (-1) к=1 -1+5 - 7+
£1 2к-1 2 4 8
+ + (-1Г1^-1 = 2n + (-1)n+1(6n -1) ■•• ( ) 2n-1 9 - 2n-1 '
В1дпов1дь:
2k -1 _2n + (-1)n+1(6n -1)
Z (-1)k
■>k-1
k=1
9 - 2n
Приклад 4 (зведення до стандарт-
n
них сум вигляду Sk = Zik, k е N ).
i=1
Знайти суму
n-1
Z k (k +1)2 = 1-22 + 2 - 32 +3 - 42 + ... +
k=1
+(n - 1)n2.
Розе 'язання. 1- 22 + 2 - 32 + 3 - 42 + ... + (n - 1)n2 = (2 -1) - 22 + (3 -1)32 + ... + (n - 1)n2 = = (23 + 33 + 43 + ... + n3) - (22 + 32 + ... + n2) = = S - S = n2(n +1)2 - n(n + 1)(2n +1) =
- So So ---
3 2 4 6
= 3n2(n +1)2 - 2n(n +1)(2n +1) =
= 12 = = n(n +1) (3n(n +1) - 2(2n +1)) =
= 12 = _ n(n + 1)(3n2 - n - 2)
12
В1дпое1дь:
Z k (k +1)2
n(n + 1)(3n2 - n - 2)
k=1 12 До стандартных сум також мож-на eidHecmu суми:
S™" = Z (2k -1)2 = 12 + 32 + 52 +
k=1
+ +(2n-1)2 = n(2n-^ +1) .
S3неп = Z (2k -1)3 = 13 + 33 + 53 + ... +
k=1
+ (2n -1)3 = n2(2n2 -1).
Знаючи S2 i S2,en, S3 i S3неп, можна
~ • • опар * опар
знайти вiдповiдно S2 1 S3 .
До стандартних також можна в1днес-ти суму
n
S (1) = Z akak+1 k=1
anan +1an+2 - a0a1a2
3d
де a{), a„ a2,..., an, an+1, an+2 утворюють арифметичну прогрес1ю.
Доеедення. Справедлив1 р1вност1:
a3 - a0 = 3d, a4 - a = 3d, a5 - a2 = 3d,
an+2 - an-1 = 3d .
Помноживши обидв1 частини першо1 р1вност1 на a1a2, друго'1' р1вност1 на a2a3, ..., останньо1 р1вност1 на anan+1, одержимо:
a1a2a3 - a0a1a2 = 3daxa2, a2a3a4 - a1a2a3 = 3da2a3, a3a4a5 - a2a3a4 = 3da3a4,
a,a,+1a,+2 -a .aa+. = 3danan+1
n n+1 n+2 n-1 n n+1 n n+1
Додавши л1в1 i прав1 частини цих р1вностей, одержимо:
a a . 1 , л ^л
n n+1 n+2 0 12
: 3d (a1a2 + a2 a3 + a3a4 +... + anan+1)
зв1дки маемо: n
S(1) = Z dkdk+1 = anan+1an+2 - a0a1a2
k=1 Наприклад
3d
Z k (k +1) = 1-2 + 2 - 3 + 3 - 4 + n(n + 1)(n + 2)
k=1
+... + n-(n + 1) =
3
Аналопчно можна довести, що
sl2' = Z
akak+1ak+2
k=1
_ anan+1an+2an+3 - a0a1a2a3
4d
де
утворюють арифметичну прогрес1ю.
Наприклад 1-2 - 3 + 2 - 3 - 4 +... + n(n + 1)(n + 2) =
n (n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
Доведемо, що 1
s (3) = Z
1
k=1 akak+1 d
1 1
& a1 an+1 '
де а2 , . , ап , ап+1
арифметичну прогреаю. Доведення.
утворюють
5
(3)
п
Е
1
1 1 1 —+-+-+... +
к=1 акак+1 аа а2 а3 а3а^
1 1 +—+—
1 а - а 1 а - а0
2 "1
+ —•
а 1а а а +1 ё аа ё а2 а3
п-1 п п п+1 12 2 3
+
1
ё а3а4
-а3 1 а - +... + —
ё ап-1ап
-ап-1 + I • ап+1 - ап
ё апап+1
((
1 1
(
\л
л г
а1 аг
+
11
а2 а3
+
11
а3 а4
+... +
+
п
1
1
Л]
& ап
а„
1
т
(
1 1
Л
+
п+1 'I
Наприклад
п 1 1
Е-^- =-
к (к +1) 1 • 2 2 • 3 1 1 (1 1 #
& а1 ап+1 I
+
1
+... +
п
п • (я +1) 1 & 1 п +11 п +1 ' Аналопчно можна довести, що 1
5
(4)
Е
к=1 акак+1ак+2
1
(
1
1
\
& а1а2
2ё
Наприклад 1
ап+1ап+2 '
Е
1
- + -
1
^ к (к + 1)(к + 2) 1-2 • 3 2 • 3 • 4
+
1
1
1
1
- +... + Ь.
п(п + 1)(я + 2) 2 & 2 (п + 1)(п + 2) При знаходжент скнчених сум можуть виявитися корисними суми, як1 м1стять тригонометричш функцп: " 1 1о Е-1-=
соБ(а+(к - 1)Р)соБ(а+к в) = пР) - tgа б1П в
п
2о Е Бт(а+(к -1)к) =
к=1
. пк . ( п-1 ,
Б1п— Б1п I а+---к
= 2 & 2
= . к Б1П —
2
2.1о. Е б1п кк =
к=1
. пк . (п + 1)к Б1П--Б1п--—
2_2_
. к Б1П — 2
2.2о. Е Б1П((2' - 1)а) ■
к=1
2
Б1п па
Б1па
3о ЕсоБ(а + (к - 1)к) =
к=1
. пк ( п -1 Л
Б1п—собI а+---к |
2 & 2 '
. к ' Б1П — 2
пк . (п + 1)к
п СОБ--Б1п--—
,о ^ 2 2
3.1о. Е соБ кк
к=0
3.2о. ЕсоБ((2к- 1)а) ■
к
Б1П — 2
Б1П
к=1
1п (2па) 2Б1па
- о кп п 4 . Е Б1п-= .
к=1 п 2п
п-1 кП 5о Е сов— = 0.
к=1 п
о Е а =
6°. Е 0 ко к-1 =
к
1 а
2к-1 ~ 2к
т - 2^2а .
= п
2 п-1 ^ 2п-1
7о б1П2 X+sin22x+...+Б1П22й^: б1П 2т СОБ(2я +1) X
2Б1П X
8о. соб2 X + соб2 2 X +... + соб2 2т =
= п +
о. соБ2 Б1П 2т СОБ(2Я +1) X
2Б1П X
9о. Е arctg-= arctg
к=1 1 + аа +
к=1 * + акак+1 ^ + а1ап+1
де а1, а2,..., ап, ап+1 утворюють арифметичну прогреаю.
я X
10о Е агс£ —
к=1 1
к=1 1 + к (к +1)X2
т
аг^ (1 + (п +1) X2)
II. Метод математнчног шдукцп
Метод математично! шдукцп, як правило, застосовують у випадках, коли
1
вдаеться "побачити", "вгадати" формулу для знаходження суми в залежност вщ п i необхщно довести правильнiсть ще'1' формули.
Приклад 5. Знайти суму
п
£ к (3к +1) = 1-4 + 2 • 7 +3 -10 +... +
к=1
+п(3п +1).
Розв язання. Знайдемо значення вка-зано'1' суми при деяких значеннях п.
п
Якщо п=1, то £ к(3к +1) = 1- 4 = 4.
к=1
Якщо п=2, то
п
£ к (3к +1) = 1-4 + 2 • 7 = 4 +14 = 18.
к=1
Якщо п=3, то
п
£ к (3к +1) = 1- 4 + 2 • 7 + 3 10 =18 + 30 = 48
к=1
Якщо п=4, то
п
£ к(3к +1) = 1-4 + 2 - 7 + 3 -10 + 4-13 =
к=1
= 48 + 52 = 100.
Можна пом^ити, що коли п=2, то
п
£ к(3к +1) =18 = 2 - 9 = 2 -(2 +1)2;
к=1
коли п=3, то
п
£ к(3к +1) =48 = 3 16 = 3 (3 +1)2;
к=1
коли п=4, то
п
£ к(3к +1) =100 = 4 - 25 = 4 -(4 +1)2.
к=1
Тому можна припустити, що спра-ведливим е таке твердження: при до-вшьному значенш пеЫ мае мюце рiвнiсть
£ к(3к +1) =п(п +1)2. (1)
к=1
Справедлив^ь цього твердження до-ведемо методом математично'1' шдукци.
1. Нехай п=1. Тодi £ к(3к +1) =
к =1
= 1 -4 = 4 i п(п +1)2 = 1 (1 +1)2 = 4, тобто лiва частина рiвностi (1) дорiвнюе пра-вш. Отже, при п=1 твердження е спра-ведливим.
2. Припустимо, що твердження е справедливим при п=т, тобто, що правильною е рiвнiсть
т
£ к(3к +1) =т(т +1)2. (2)
к=1
Доведемо справедливють твердження при п=т+1, тобто, що правильною е рiвнiсть
т+1
£ к(3к +1) =(т + 1)(т + 2)2.
к=1
Враховуючи правильнiсть рiвностi
т+1 т
(2), маемо: £ к(3к +1) = £ к(3к +1) + к=1 к=1 +(т +1) -(3 -(т +1) +1) = т(т +1)2 +
+(т +1) -(3 т + 4) = (т +1) - (т(т +1) + (3т + 4)) — = (т+1) -(т2 + 4т + 4) = (т + 1) -(т + 2)2.
Згiдно з принципом математично'1' шдукцп рiвнiсть (1) е правильною при будь-яких значеннях пе N. В1дпов1дь: п
£ к (3к +1) = 1- 4 + 2 - 7 + 3 -10 + ... +;
+ п(3п +1) = п (п +1)2. III. Метод групування Метод групування при тдсумову-вант iнодi приводить до взаемозни-щення майже вах додантв суми. Цей метод неодноразово використовувався в попереднкк викладках. Наведемо ще приклад.
п
Приклад 6. Знайти суму £ к - к!.
к=1
Розв 'язання. Справедлива рiвнiсть к - к! = ((к +1) - 1)к! = (к +1)!-к! .
^ £ к - к! = (2!-1!) + (3!- 2!) +... +
к=1
+((п +1)!- п!) = (п +1)!-1.
п
В1дпов1дь: £ к - к! = (п +1)!-1.
к=1
Одним з методiв, що дозволяе здшс-нювати оптимальне групування, е метод невизначених коефщешив. Розглянемо приклад.
Приклад 7. Знайти суму
пк ж - л
£(2к - 1)(2к + 1)(2к + 3) .
@
Розв 'язання. Кожен доданок суми представимо у виглядi алгебршчно'1' суми трьох елементарних дробiв (вщпо-вiдно до вщомо'1' теореми):
к
ЛВС
- +-+ -
(2к - 1)(2к + 1)(2к + 3) 2к -1 2к +1 2к + 3 Знайдемо невiдомi коефiцiенти А, В,
С: _к_ =
(2к - 1)(2к + 1)(2к + 3)
= Л(4к2 + 8к + 3) + В(4к2 + 4к - 3) + С(4к2 -1) = (2к - 1)(2к + 1)(2к + 3)
= 4к2(Л + В + С) + к(8Л + 4В) + (3Л - 3В - С) = (2к -1)(2к +1)(2к + 3)
У результат одержуемо систему рiвнянь:
' Л + В + С = 0, 8 Л + 4В = 1, 3Л - 3В - С = 0,
звщки
Л = Отже,
1 16
В ■
16 к
С
3 16
1
(2к - 1)(2к + 1)(2к + 3) 12 13 1
2
-+ —
16 2к -1 16 2к +1 16 2к + 3 к
£
^(2к - 1)(2к + 1)(2к + 3)
1
£
1 2 - + -
16 1 & 2к -1 2к +1 2к + 3 '
1 ( 2 3 1 2 3 1 2 3
= — I 1 +---+ - +---+ - +---+
16 & 35357579
12 3 1 2 3
+—+---+-+---+... +
7 9 11 2п - 3 2п -1 2п +1
1 2 +-+ -
л
2п -1 2п +1 2п + 3 у
1 2 1# " 3 2 1# 1 + - + - I + 1 — + - + - I + 3 3 у & 5 5 5 '
16
V4
" 3 2 1 # " 3 2 1 # + 1 — + - + - I + 1 — + - + - I +... + & 7 7 7 ' & 9 9 9 '
3
1
3
3
2п -1 2п -1 2п -1' 2п +1 2п +1 2п + 3
16
1
Л
2п +1 2п + 3
" 2(4и2 + 8п + 3) - 2п - 3 - 6п - 3 #
16
V
(2п + 1)(2п + 3)
1 8п +16п + 6 - 2п - 3 - 6п - 3_ 16 (2п + 1)(2п + 3) "
1 8п(п +1) п(п +1)
16 (2п + 1)(2п + 3) 2(2п + 1)(2п + 3) В1дпов1дь:
к1
£
+
+-
1 (2к - 1)(2к + 1)(2к + 3) 1-3-5 п
-+... +-=
3-5-7 (2п - 1)(2п + 1)(2п + 3)
= п(п +1) = 2(2п + 1)(2п + 3) .
Розглядаючи цей приклад, студенти зможуть повторити метод невизначених коефщешив, який розглядався в модулi "Первюна i невизначений iнтеграл". Приклад 8. Знайти суму
£>&1 - ± # •
к=2
Розв'язання. Використовуючи влас-тивостi логарифмiв, перетворимо вираз
-&'-^): -&'-^) = = = 1п(к -1) + 1п(к +1) - 21п к = = ('п(к -1) - 'п к )-
-('пк - 1п(к +1))■ Тодi
-ь ±4ъ2
-4ас
2а
п " 1 #
£ 'п 1--- i = (1п1 - 1п2 + 1п2 - 1п3 + . +
к
+ 1п(п -1) - 1п п )-
-(1п2 - 1п3 + 1п3 - 1п4 + . + 1пп - 1п(п +1)) - (1п2- 1п3 + 1п3- 1п4 +... + 1пп - 1п(п +1))
п +1
= -1п п -1п2 + 1п(п + 1) = -1п2 + 1п-=
= 1п
п +1 2п
Вгдповгдь: £ 1п | 1 —1 | = 1п п+1.
к=2 & к2 % 2п
Розглядаючи цей приклад, студенти
зможуть повторити властивосп лога-
рифмiв.
п
VI. Методи диференщювання та штегрування
При знаходженш сум тколи зручно використати диференщальне та тте-гральне числення. Розглянемо приклади.
Приклад 9. Знайти суму
n
Е k cos kx = cos x + 2 cos 2 x +
k=i
+3 cos3x +... + n cos nx. Розв 'язання. Нехай f (x) = cos x + 2cos2 x + 3cos3x + +... + n cos nx . Первюною для функцп f (x) на iнтервалi e функцiя
F(x) = sin x + sin 2x + sin 3x +... + sin nx Зпдно з формулою 2.1° маемо:
n
n +1
F(x) = Е sin kx =
sin—x • sin-x
2 2
k=i
2sin — 2
x
sin
2
x 2n +1 #
cos—cos-x I =
x & 2 2 '
f
1 2
cos-
x 2 ctg---22 • x
2n +1 # x
sin-
V
x Ф 2nm, m e Z . Тому
f (x) = Е k cos kx = F'(x) =
k=i
f f
1
2
V
2n +1 ## cos x
x2 ct^--2-
2 • x
sin — 2
1 2
о • 2 x
2sin — 2
2n + 1.2n +1 .x 2n +1 1 x
--sin-x • sin--cos-x — cos—
2_2_2_2 2 2
• 2 x
sin
2
, /_ . 2n +1 . x 2n +1 x -1 + (2n +11- sin-x • sin — + cos-x • cos —
= 2_2_2_2 =
A ■ 2 x 4 sin —
2
„.2n +1 .x . 2n +1 .x 2n +1 x i 2n sin-x • sin — + sin-x • sin— + cos-x • cos--1
=_2_2_2_2_2_=
. . 2 x
4sin -2
„ . 2n +1 . x
2n sin-x • sin — + cos nx -1 / {{ , л\ W , i
2 2 _n (cos nx - cos(n + 1)x jj-+ cos nx -1
. . 2 x
4sin —
. . 2 x
4sin —
(n + 1)cos nx - n cos((n + 1)x)-1
Якщо x = 2nm, m e Z, то
, • 2 x
4 sin2 — 2
x Ф 2nm, m e Z
Е k cos kx = cos(2nm) + 2 cos(4nm) + 3 cos(6nm) +... + n cos(n • 2nm)
k=1
= 1 + 2 + 3 +... + n =
2
n + n
1
2
2
n
Bidnoeidb: X к cos kx =
(n +1) cos nx - n cos ((n +1) x) -1
к=1
-sh, 7 n + n X к cos kx =-, x = 2nm, m e Z .
к=1 2
Далi можна показати застосування цього методу до знаходження нескш-чено'1 суми. Однак при цьому потрiбно буде зауважити, що правила диферен-щювання та iнтегрування, якi е справед-ливими для скiнчених сум (похщна суми функцiй та iнтеграл суми функ-цiй), для нескiнченних сум, взагалi ка-жучи, не е такими. Для застосування цих правил для нескшченних сум необ-хщне виконання додатково'1 умови, а саме рiвномiрноi збiжностi ряду.
Приклад 10. Знайти суму ряду ~ x 2k+1 x 3 x 5 x 2n+1
ЕЛ
—-- = — + — + ... + --- + ....
2k +1 3 5
2n +1
к=1 де xe(-1;1).
Розв 'язання. Позначимо цю суму через f (x). Тодi
f\x) = x2 + x4 + ... + xzw + ... = X x
к=1
Ряд X x е геометричним i на ш-к=1
тервалi (-1;1) вiн рiвномiрно збiгаеться
2n
2к
до функцп y
1 - x2
. Отже,
f'(x) = x2 + x4 +... + x2n + ...
x
1 - x2
• 2 x sin —
2
, x Ф 2nm, m eZ .
Проштегрувавши лiву i праву части-ну рiвностi x2 + x4 + ... + x2 n + ... x
1 - x2
2 1 - x
+.
одержимо
х3 х5 х2 "+1 1, 1 + х
— + — +... +-+.... = — 1п--х .
3 5 2п +1
В1дпов1дь\
- х2к+1 х3 х 5 2п+1
ЕЯ А А •Л'
-= — + — + ... +-
к=1 2к +1 3 5 2п +1
11 1 + х ( 1
= — 1п--х, хе (-1;1).
2 1 - х
Досвiд викладання показуе, що розгляд теми "Методи знаходження сюнчених сум" збагачуе математичну освпу студенев, якi навчаються на комп'ютерно-орiен-товних спецiальностях, дозволяе тдготу-вати студенев до свщомого сприйняття i глибокого розумiння основних понять модуля "Ряди", сформувати знання i вмiння, необхiднi для устшного вивчення профь люючих дисциплш. У часовому вимiрю-ваннi розгляд теми "Методи знаходження сюнчених сум" може проектуватися на 6-8 годин.
1. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. -М.: Наука, 1987. - 432 с.
2. Кованцов Л.В., Малышев И.Г. Сборник задач по математике. - К.: Вища школа, 1980. - 288 с.
3. Ястський В.В. Алгебра. - К.: НТТУ "КП1", 2002. - 76 с.
2
x
Резюме. Гроза В.А., Лещинський О.Л., Тихонова В.В., Томащук О.П. ПРОПЕДЕВТИКА ВИВЧЕННЯ МОДУЛЯ "РЯДИ" В КУРС1 ВИЩО1 МАТЕМАТИКИ. В статье рассматриваются простейшие методы нахождения конечных сумм как пропедевтика изучения модуля "Ряды ".
Summary. Groza V., Leschinsky O., Tihonova V., Tomaschuk O. THE PROPAEDEUTICS OF STUDYING OF THE MODULE "SERIES" IN THE COURSE OF HIGHER MATHEMATICS. In the
article the simplest methods of determining finite sums as propaedeutics of studying of the module "Series" are considered.
Надшшла доредакцп 21.09.2006р.
