CC BY
9
УДК 533.154; 536.71
Проницаемость низкопористых пород-коллекторов и возможности конвективного переноса тепла через флюиды
Д.П. Волков1, Б.А. Григорьев2, Ю.П. Заричняк1*, А.Э. Рамазанова3, С.Н. Эмиров
1 ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики», Российская Федерация, 197101, г. Санкт-Петербург, Кронверкский пр-т, д. 49
2 ООО «Газпром ВНИИГАЗ», Российская Федерация, 142717, Московская обл., Ленинский р-н, пос. Развилка, Проектируемый пр-д № 5537, вл. 15, стр. 1
3 Институт проблем геотермии и возобновляемой энергетики - филиал ОИВТ РАН в г. Махачкале, Российская Федерация, 367030, Республика Дагестан, г. Махачкала, пр-т. И. Шамиля, д. 39а
* E-mail: zarich4@gmail.com
Тезисы. Исследованы проницаемость и возможность возникновения конвекции в мелкозернистых плотных (пористость < 15 %) флюидонасыщенных (аргон, вода) горных породах в области гидростатических давлений до 100 МПа. Приведены расчеты фильтрационного числа Рэлея и числа Дарси.
Прогнозирование интенсивности извлечения углеводородов и сроков истощения месторождений требует разработки моделей, достаточно адекватно описывающих геометрическую структуру коллекторов, поля давлений и температур, которые нелинейно зависят от комплекса физико-механических и теплофизических свойств флюидов, заполняющих поры пород-коллекторов [1-3]. В свою очередь свойства флюидов существенно изменяются в диапазонах давлений и температур 1.. .1000 бар и 300.550 К соответственно [4], вследствие чего меняются и теплофизические свойства пласта коллектора в целом [5-8].
Наиболее достоверные данные о структуре коллекторов и свойствах флюидов, заполняющих глубинные коллекторы при высоких давлениях от 0,1 до 400 МПа, получают в процессе достаточно трудоемких измерений на дорогостоящих экспериментальных установках [5-10]. Но экспериментальные данные о теплопроводности исследуемых образцов содержат суммарный результат взаимодействия различных механизмов переноса тепла - кондуктивного переноса по минеральному каркасу и флюиду, конвекции и излучения в поровом пространстве.
Кондуктивный перенос тепла в грунтах и горных породах [5-10], а также механизм и вклад теплового излучения в экспериментально определяемую теплопроводность плотных низкопористых образцов горных пород при различных температурах [11] исследовались ранее. Если направление градиента температуры будет противоположно силе гравитации, то в порах коллектора может возникать естественная конвекция флюида, увеличивающая его теплопроводность. Выясним возможность количественной оценки конвективного переноса тепла в пористых флюидонасыщен-ных грунтах.
Дополнительный перенос тепла от поверхности с температурой Т1 к поверхности с температурой Т2 за счет конвективного вклада описывается критериальными соотношениями [12-15]:
Ключевые слова:
теплопроводность,
температура,
давление,
флюид,
горная порода,
проницаемость,
конвекция.
Nu =-
X,
эф
= f (Ra*),
(1)
Ra = Ra0 • Da • B • pIH,
3
Яа0 = gPL3ДT
Рг
(3) к =
1 П52
96 х
(6)
Са = = Чц
Р™ = -
Р_
Р?
(4)
где Nu*, Ra* - безразмерные числа Нуссельта и Рэлея соответственно; Хэф - эффективная теплопроводность пористой флюидонасыщен-ной среды с естественной конвекцией в порах; ^мнд - теплопроводность пористой флюидона-сыщенной среды без конвекции; Da - безразмерное число Дарси; Ь - толщина слоя в направлении потока тепла; ДТ - перепад температуры в слое; к - проницаемость исследуемого образца породы; В - отношение теплопроводности флюида (Хфл) к теплопроводности пористой среды; Ротн - приведенное (относительное) гидростатическое давление; Р и Р0 - абсолютное и нормальное гидростатическое давления в пористой среде; в - объемный коэффициент термического расширения флюида; g - гравитационная постоянная; Рг = v/a - безразмерное число Прандтля, где V - кинематическая вязкость; а - температуропроводность флюида.
Для возникновения естественной конвекции в пористой флюидонасыщенной среде необходимым и достаточным условием является превышение фильтрационным числом Ra* критического значения Ra*ф = 40. На основании обработки и аппроксимации экспериментальных данных других авторов предлагается следующая зависимость для расчета интенсивности теплообмена в горизонтальных слоях пористых материалов [14]:
№* = 1 при Ra* < 40;
Ми* = 4,8^^-9 при Ra* > 40. (5)
Если параметры пористой среды известны, то оценка возможности возникновения в ней естественной конвекции начинается с оценки проницаемости слоя исследуемого образца. Проницаемость к должна определяться геометрией поровой структуры материала. Известны многократные попытки создать теорию, связывающую геометрическую структуру пористого материала с проницаемостью. Наиболее просты по конструкции модели, состоящие из системы параллельных прямых капилляров равного диаметра. Например, предлагается [12] следующее выражение для расчета проницаемости:
где П - пористость грунта; 5 - средний диаметр пор; т - извилистость поровых каналов.
Предложена [13] формула для расчета проницаемости идеального грунта:
к = -
П52
72Ф(1 - П)2
(7)
где Ф - параметр, характеризующий форму модельных поровых каналов. Для цилиндрических, треугольных и квадратных каналов Ф = 2;
5/3 и 16/9 соответственно.
На основании сочетания теории протекания и приведения к элементарной ячейке предлагается [15] выражение для расчета проницаемости пористых материалов:
к 52 >
к =-с ,
32т
(8)
где с - геометрический параметр модели, являющийся функцией пористости [15].
Исследован [16] вклад естественной конвекции в эффективную теплопроводность средне- и высокопористых (0,4 < П < 0,8) материалов с порами размерами 5 = 0,1.. .1 мм, используемых в качестве конструктивных элементов тепловой изоляции высокотемпературных атомных реакторов при высоких давлениях газа в порах. Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными подтвердило правомочность использования аналитических оценок естественной конвекции с погрешностью 10.15 %, сопоставимой с неопределенностью исходных параметров.
Оценим возможность возникновения конвекции в мелкозернистых плотных (низкопористых, П < 15 %) горных породах, экспериментально исследованных авторами [9]. Размер конвективного вклада в эффективную теплопроводность зависит от таких геометрических параметров коллектора, как П, 5 и к. Исследованы образцы с зерном размерами 0,002 < ё < 0,2 мм и капиллярными порами размерами 0,00025 < 5 < 0,04 мм. Кроме них исследовались образцы с субкапиллярными порами вплоть до 5 = 25 нм. Размеры пор различаются в широком диапазоне.
Найдем значение 5 по проницаемости. Экспериментальные данные о проницаемости различных горных пород - песчаников и известняков - взяты из печатных работ [3, 5]. И для песчаников, и для известняков при
П = 0,14 большая часть измеренных значений к лежит в диапазоне 0,6.6 мД со средним значением кср ~ 2 мД ~ 2-10~15 м2 (рисунок).
По формулам (6)-(8) оценим средний размер пор в исследованных [8-10] образцах слюдокерамики (модельный пористый материал). Параметры образцов: Ь = 4-10~3 м, П = 0,14, к = 2-10~15 м2, т = 3. Оценки по форму-
лам (6)-(8) дают диапазон 5 = (1,
;,4>10-
в среднем 5 ~ 4 10-6 м. При этом значения газопроницаемости, рассчитанные по формулам (6)-(8), попадут в изученный [3, 5] диапазон: кф(6) = 7,8-10-15 м2; кф(7) = 0,45-Ш-15 м2; кф(8) = 9,6^10-15 м2.
Результаты измерений воздухопроницаемости более чем на двух тысячах разных образцов (см. рисунок) аппроксимируются [3] зависимостями вида
k = fU"),
(9)
где эмпирический показатель степени для различных пористых грунтов задается значениями п = 3, 5, 7 [3].
Оценки по формулам (6)-(8) находятся в зоне разброса экспериментальных данных [3, 5] и отличаются от средних результатов измерения проницаемости примерно в 4,5 раза. Частично эти расхождения обусловлены отсутствием детальной информации о форме каналов коллекторов, размерах пор и виде функции распределения пор по размерам. Дальнейшие оценки проведем с использованием осредненных величин k = 2-10~15 м2 и 5 = 440-6 м.
Оценим фильтрационное число Ra* и сравним его с критическим значением Ra*.p = 40. Выполним расчеты для образцов слюдокерамики (модельный пористый материал), в порах которых находится либо аргон, либо вода, при давлениях 0,1 и 100 МПа. Теплофизические (Хфл, v, а), термо- (в) и гидродинамические (Pr) параметры аргона и воды приведены в таблице.
Рассчитаем по формуле (3) Ra0 при максимальном в экспериментах [8-10] перепаде температур на слое слюдокерамики АТ = 10 К.
« 105 S
104 103 102 101 100 10-1 10
А А " - »
' s * * • • i •У.'Г-*• * * * ♦ •.»
/ • ь ' 4 кЩ Ш «—i i • •
/Л* ЛгШ U tí' 1 4 тгг* . t* •
'.»' £f¡¡ _ Л*? Ьшу^ «• «* л» •
□
О известняки □ доломитовые известняки
Д ДОЛОМИТЫ
♦ криноидный известняк ф аргиллит ▲ вакка
---микротрещиноватые
песчаники Роп1епЬ1еаи Показатели степени в формуле (9):
- 3
-- 5 -■- 7
0 0,1 0,2 0,3 0,4
Зависимость воздухопроницаемости от пористости для различных горных пород [3]
0,5 П
Параметры аргона и воды
P, МПа А*,, Вт-м_1-К-1 v, м2-с-1 а, м2-с 1 в, К-1 Pr
Аргон 0,1 17,7-10-3 14,2-10-6 2,1-10-5 3,3-10-3 0,66
100 69,0-10-3 7,8-10-8 9,3-10-8 4,7-10-3 0,84
Вода 0,1 0,598 1,006 10-6 1,43-10-7 0,3110-3 6,96
100 0,710 0,930 10-6 1,67-10-7 0,37-10-3 5,58
Если в порах слюдокерамики находится аргон, то:
9,8 • 3,3 -10~3-(4-Ю"3)3-10 • 0,66 _ „ __
• Яа0 = -------4--— = 68 при Р = 0,1 МПа;
0 (14,2 -Ю"6)2
9,8• 4,7-Ю"3 • (4-10"3)3-10• 0,84 4 п
• Яа„ = —-----Гтт-:— = 407 -104 при Р = 100 МПа;
0 (7,8-10-8)2
если - вода, то:
9,8• 0,31 -10"3 • (4-Ю"3)3-10• 6,96 100„„ „ __
• Яа„ = --------— = 13372 при Р = 0,1 МПа;
0 (1,006 -10 6)2
9,8-0,37-10"3 • (4-Ю"3)3-10-5,58 1/1П„„ п
• Яа„ = —-'----'— = 14972 при Р = 100 МПа.
0 (0,93 -10"6)2
Согласно формулам (1)-(4) рассчитаем число Дарси Ба = = ^ ^
I2 (4 -10"3)2 '
ло В. Во втором случае экспериментальные значения Хфл и Хшнд возьмем из опубликованных ранее работ [4, 8-10]. Если в порах находится аргон, то: В = 0,0177/1,06 = 0,0167 при Р = 0,1 МПа и В = 0,069/1,55 = 0,0445 при Р = 100 МПа. Если в порах вода, то параметр В остается практически постоянным в широком диапазоне изменения давления: В = 0,598/1,66 = 0,36 при Р = 0,1 МПа; В = 0,71/1,82 = 0,39 при Р = 100 МПа. Согласно формуле (2):
• если в порах аргон, Ra* = 68 1,25 10-10 0,0167 1 = 1,42 10-10 при Р = 0,1 МПа и Ra* = 407 104 1,25 10-10 0,0445 106 = 22,6 при Р = 100 МПа;
• если в порах вода, Ra* = 13372 1,25 10-10 0,36 1 = 6 10-7 при Р = 0,1 МПа и Ra* = 14972 1,25 10-10 0,39 106 = 0,73 Р = 100 МПа.
Оценочные расчеты, выполненные в широком диапазоне изменения давления Р = 0,1.400 МПа с различными флюидами, насыщающими поры (аргон, вода), показали, что фильтрационное число Релея во всех исследованных образцах [8-10] оказалось меньше критического значения (Яа* < 40), выше которого возникает естественная конвекция в порах под действием градиента температур и сил Архимеда.
Итак, в исследуемых диапазонах давлений и температур в насыщающих капиллярные поры образцов флюидах конвективного движения среды не возникает. Конвективное движение газа или жидкости в порах коллектора может возникать либо при более высоких значениях П и 5 при Р > 100 МПа, либо при более значительных перепадах температур на рассматриваемом слое. Оценка возможности возникновения конвекции в слое слюдокерамики показала:
• расчетные соотношения (6)-(9), согласующиеся между собой в пределах одного порядка, при отсутствии экспериментальных данных могут использоваться для приближенной оценки газо- и влагопроницаемости пористых коллекторов;
• критериальные расчетные соотношения (1)-(5) можно использовать для приближенной оценки условий возникновения конвективного механизма переноса тепла в пористых коллекторах.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 18-08-00059а.
Список литературы
1. Прогноз развития энергетики мира и России 2019 / Институт энергетических исследований РАН; Центр энергетики Московской школы управления «Сколково». - 211 с. - https://energy.skolkovo.ru/ downloads/documents/SEneC/Research/SKOLKOVO_EneC_Forecast_2019_Rus.pdf
2. Прогноз развития энергетики мира и России до 2040 г. / Институт энергетических исследований РАН; Аналитический центр при Правительстве Российской Федерации. - 110 с. - https://www.eriras.ru/ filesZprognoz-2040.pdf
3. Weibel R. Investigating of deviation from overall porosity-permeability trends / R. Weibel, L. Kristensen, et al. // Proceedings of the
36th Workshop on Geothermal Reservoir Engineering. - Stanford, California: Stanford University, 2012.
4. Григорьев Б.А. Теплофизические свойства углеводородов нефти, газовых конденсатов, природного и сопутствующих газов:
в 2-х т. / Б.А. Григорьев, А.А. Герасимов, И.С. Александров. - М.: МЭИ, 2019. - Т. 1. -735 с.
5. Popov Yu.A. Interrelations between thermal conductivity and other physical properties of rocks: experimental data / Yu.A. Popov,
V. Tertychnyi, R. Romushkevich, et al. // Pure and Appl. Geophysics. - 2003. - Т. 160. -С. 1137-1161.
6. Jougnot D. Thermal conductivity of unsaturated clay-rocks / D. Jougnot, A. Revil // Hydrol Earth Sist. Sci. - 2010. - Т. 14. - С. 91-98.
7. Popov Yu.A. Thermal properties of formations from core analysis: Evolution in measurement methods, equipment and experimental data
in relation to thermal EOR / Yu.A. Popov // Proc. of Canadian Unconventional Resources & International Petroleum Conference held in Calgary, Alberta, Canada, 19-21 October 2010.
8. Рамазанова Э.Н. Теплопроводность горных пород при высоких давлениях, температурах и флюидонасыщении: автореф. дис. ... к.т.н. / Э.Н. Рамазанова. - СПб.: ГУ ИТМО, 2011.
9. Emirov S.N. Temperature and baric patterns of changes in the thermal conductivity
of composite materials / S.N. Emirov, V.D. Beybalaev, A.E. Ramazanova, et al. // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. - 2018. - Т. 82. - № 7. - С. 888-891.
10. Emirov S.N. Thermal conductivity temperature-pressure dependence of rocks and ceramics / S.N. Emirov, V.D. Beybalaev, A.A. Amirova, et al. // Journal of Physics: Conf. Series. - 2019. - № 1172012006. - C. 433-435.
11. Zarichnyak Yu.P. Contribution of thermal radiation upon the measurement of the thermal conductivity of sandstone / Yu.P. Zarichnyak, A.E. Ramazanova, S.N. Emirov // Physics
of the Solid State. - 2013. - Т. 55. - № 12. -С. 2436-2441.
12. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы / Р. Коллинз. - М.: Мир, 1964. -350 с.
13. Katto Y. Criterion for onset of convective flow in a fluid in a porous medium / Y. Katto, T. Matsuoka // Int. Journ. Heat and Mass Transfer. - 1967. - Т. 10. - № 3. - С. 297-309.
14. Combarnous M. Modelisation de la convection naturalle an sein d une couche pore use horizontale a laide / M. Combarnous, S. Bories // Int. Journ. Heat and Mass Transfer. - 1974. -
Т. 17. - № 4. - С. 505-515.
15. Волков Д.П. Исследование теплопроводности пористых теплоизоляторов
для высокотемпературных газовых атомных реакторов с высоким давлением гелия / Д.П. Волков, В.Н. Задорин, Ю.П. Заричняк и др. // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Атомно-водородная энергетика и технология. - 1981. - Вып. 1 (8). - С. 86-87.
16. Волков Д.П. Теплопроводность
и проницаемость неоднородных материалов: автореф. дис. ... к.т.н. / Д.П. Волков. -Л.: ЛИТМО, 1982.
Permeability of poor-porous reservoir rocks and possible convective heat transfer through fluids
D.P. Volkov1, B.A. Grigoryev2, Yu.P. Zarichnyak1*, A.E. Ramazanova3, S.N. Emirov3
1 ITMO University, Bld. 49, Kronverkskiy avenue, St. Petersburg, 197101, Russian Federation
2 Gazprom VNIIGAZ LLC, Bld. 1, Estate 15, Proyektiruemyy proezd no. 5537, Razvilka village, Leninskiy district, Moscow Region, 142717, Russian Federation
3 Institute for problems of geothermics and renewable energy research - Makhachkala subsidiary
of the Joint Institute for High Temperatures of the Russian Academy of Sciences, Bld. 39a, I. Shamilya prospect, Makhachkala, Republic of Dagestan, 367030, Russian Federation * E-mail: zarich4@gmail.com
Abstract. Authors examine permeability of the fine-grained, tight (porosity < 15 %), fluid saturated (argon, water) rocks within the range of hydrostatic pressures up to 100 MPa. Possibility of convection in such reservoirs is also studied. There are calculations of Rayleigh and Darcy numbers.
Keywords: thermal conductivity, temperature, pressure, fluid, rock, permeability, convection. № 1 (46) / 2021
References
1. THE ENERGY RESEARCH INSTITUTE OF RAS, SKOLKOVO ENERGY CENTER, MOSCOW SCHOOL OF MANAGEMENT SKOLKOVO. Global and Russian energy outlook 2019 [online]. Available from: https://energy.skolkovo.ru/downloads/documents/SEneC/Research/ SKOLKOVO_EneC_Forecast_2Oi9_EN.pdf
2. THE ENERGY RESEARCH INSTITUTE OF RAS, Analytical center for the Government of the Russian Federation. Global and Russian energy outlook up to 2040 [online]. Available from: https://www.eriras. ru/files/Global_and_Russian_energy_outlook_up_to_2040.pdf
3. WEIBEL, R., L. KRISTENSEN, et al. Investigating of deviation from overall porosity-permeability trends. In: Proceedings of the 36th Workshop on Geothermal Reservoir Engineering. Stanford, California: Stanford University, 2012.
4. GRIGORYEV, B.A., A.A. GERASIMOV, I.S. ALEKSANDROV. Thermophysicalproperties of hydrocarbons among petroleum, gas condensates, natural and associated gases [Teplofizicheskiye svoystva uglevodorodov nefti, gazovykh kondensatov, prirodnogo i soputstvuyushchikh gazov]: in 2 vls. Moscow: Moscow Power Engineering Institute, 2019, vol. 1. (Russ.).
5. POPOV, Yu.A., V. TERTYCHNYI, R. ROMUSHKEVICH, et al. Interrelations between thermal conductivity and other physical properties of rocks: experimental data. Pure and Appl. Geophysics, 2003, vol. 160, pp. 1137-1161. ISSN 0033-4553.
6. JOUGNOT, D., A. REVIL. Thermal conductivity of unsaturated clay-rocks. Hydrol. Earth Sist. Sci., 2010, vol. 14, pp. 91-98. ISSN 1027-5606.
7. POPOV, Yu.A. Thermal properties of formations from core analysis: Evolution in measurement methods, equipment and experimental data in relation to thermal EOR. In: Proc. of Canadian Unconventional Resources & International Petroleum Conference held in Calgary, Alberta, Canada, 19-21 October 2010.
8. RAMAZANOVA, E.N. Heat conductivity of rocks at high pressures, temperatures and fluid saturation [Teploprovodnost gornykh porod pri vysokikh davleniyakh, temperaturakh i flyuidonasyshchenii]. Synopsys of candidate's thesis (engineering). ITMO University. St.-Petersburg, 2011. (Russ.).
9. EMIROV, S.N., V.D. BEYBALAEV, A.E. RAMAZANOVA, et al. Temperature and baric patterns of changes in the thermal conductivity of composite materials. Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics, 2018, vol. 82, no. 7, pp. 888-891. ISSN 1062-8738.
10. EMIROV, S.N., V.D. BEYBALAEV, A.A. AMIROVA, et al. Thermal conductivity temperature-pressure dependence of rocks and ceramics. Journal of Physics: Conf. Series, 2019, no. 1172012006, pp. 433-435. ISSN 1742-6588.
11. ZARICHNYAK, Yu.P., A.E. RAMAZANOVA, S.N. EMIROV. Contribution of thermal radiation upon the measurement of the thermal conductivity of sandstone. Physics of the Solid State, 2013, vol. 55, no. 12, pp. 2436-2441. ISSN 1063-7834.
12. COLLINS, R.E. Flow of fluids through porous materials [Techeniye zhidkostey cherez poristyye materialy]. Translated from Engl. Moscow: Mir, 1964. (Russ.).
13. KATTO, Y., T. MATSUOKA. Criterion for onset of convective flow in a fluid in a porous medium. Int. Journal of Heat and Mass Transfer, 1967, vol. 10, no. 3, pp. 297-309. ISSN 0017-9310.
14. COMBARNOUS, M., S. BORIES. Modelisation de la convection naturalle an sein d une couche pore use horizontale a laide. Int. Journal ofHeatandMass Transfer, 1974, vol. 17, no. 4, pp. 505-515. ISSN 0017-9310.
15. VOLKOV, D.P., V.N. ZADORIN, Yu.P. ZARICHNYAK, et al. Studying heat conductivity of porous heat insulators for high-temperature gas nuclear reactors with high pressure of helium [Issledovaniye teploprovodnosti poristykh teploizolyatorov dlya vysokotemperaturnykh gazovykh atomnykh reaktorov s vysokim davleniyem geliya]. Voprosy Atomnoy Nauki i Tekhniki, Series: Atomno-vodorodnaya energetika i tekhnologiya, 1981, is. 1 (8), pp. 86-87. ISSN 0206-4960. (Russ.).
16. VOLKOV, D.P. Heat conductivity and permeability of heterogeneous materials [Teploprovodnost i pronitsayemost neodnorodnykh materialov]. Synopsys of candidate's thesis (engineering). Leningrad Institute of Fine Mechanics and Optics (LITMO). Leningrad, 1982.
