Производная Дини и обобщение прямого метода Ляпунова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика h Математическое

моделирование

Сетевое научное издание

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. 2017. №4. С. 18-27.

Представлена в редакцию: 06.08.2017

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 517.98

Производная Дини и обобщение прямого метода Ляпунова

Канатников А. Н.1'2'* * skipper@bmstu.ru

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2ФИЦ ИУ РАН, Москва, Россия

В работе обсуждается обобщение достаточных условий устойчивости и асимптотической устойчивости положений равновесия, известных как прямой метод Ляпунова. Обобщение строится на производной Дини, обобщающей понятие классической производной. Обобщение может использоваться для построения недифференцируемых функций Ляпунова, например кусочно-линейных. Подобные функции могут применяться в различных алгоритмах синтеза управления.

Ключевые слова: автономная динамическая система; устойчивость; прямой метод Ляпунова; производная Дини

Введение

Современная теория устойчивости для систем дифференциальных уравнений основана на понятии устойчивости по Ляпунову, результатах A.M. Ляпунова и некоторых их обобщениях [1, 2, 3]. В качестве главного метода исследования устойчивости положений равновесия используют анализ первого приближения системы. По собственным значениям матрицы Якоби правой части системы в положении равновесия можно судить об устойчивости этого положения равновесия. В литературе этот метод известен как первый метод Ляпунова. Однако этот метод не позволяет делать заключения в так называемом критическом случае, когда матрица Якоби имеет собственные значения на мнимой оси, в то время как в правой полуплоскости собственных значений нет. В этом случае может быть использован второй метод Ляпунова, также называемый прямым методом Ляпунова [2, 4].

Прямой метод Ляпунова основан на существовании функций с определенными свойствами. Функция должна быть положительно определена, т.е. в положении равновесия x0 (обычно считают, что x0 = 0) она равна нулю: V(x0) = 0, а при x = x0 выполняется неравенство V(x) > 0. Если в некоторой окрестности точки x0 имеет место условие V(x) < 0, где V/(x) обозначает производную функции V(x) в силу системы, то функция V называется функцией Ляпунова. Существование функции Ляпунова означает, что положение равновесия x0 устойчиво.

Роль функции Ляпунова не сводится лишь к установлению факта устойчивости положения равновесия (или более сильного свойства асимптотической или экспоненциальной устойчивости). Как известно в теории устойчивости, множество V(x) < c при достаточно малых значениях c > 0 положительно инвариантно и по существу является нижней оценкой области устойчивости положения равновесия. Такая оценка может быть важна в теории управления [1], поскольку позволяет оценить область состояний системы, в которой синтезируемое управление решает задачу управления. Вообще, функция Ляпунова в ряде методов управления играет ключевую роль.

Таким образом, построение функции Ляпунова — важная задача даже в том случае, когда факт устойчивости положения равновесия уже установлен. При этом универсальных методов построения функции Ляпунова для автономной системы дифференциальных уравнений нет. Для решения задачи используют различные численные методы, в которых трудно обеспечить важное условие — дифференцируемость функции, которая строится. В то же время условие дифференцируемости функции V(x) не является существенным и связано лишь с характером применяемого математического аппарата. Поэтому важны обобщения метода Ляпунова, направленные на отказ от сильных условий гладкости функции. Такие обобщения есть и одно из направлений здесь — использование производной Дини [5], которая, в отличие от обычной производной есть верхний или нижний предел функции справа или слева, этот предел (хотя бы бесконечный) существует всегда. Использование производной Дини позволяет строить, например кусочно-линейные функции Ляпунова [6, 7, 8].

Соответствующие результаты, связанные с производной Дини, редко входят в стандартные монографии (найдены, например, в книге [9] на немецком), и цель настоящей статьи — сделать эти результаты более доступными.

Использование производной Дини определяется тем, что прямой метод Ляпунова базируется на функциях, убывающих вдоль траекторий системы, а производная Дини может использоваться для формулирования критерия такого убывания. В разд. 1 вводится понятие производной Дини и даются свойства этой характеристики, связанные с монотонностью функции. В разд. 2 дается ревизия основных результатов A.M. Ляпунова: теоремы формулируются без использования производной функции в силу системы, а лишь в терминах убывания функции вдоль траекторий. Затем вводится аналог производной функции в силу системы, базирующийся на производной Дини и формулируется основной результат — достаточное условие устойчивости (асимптотической устойчивости), базирующееся на производной Дини.

1. Производная Дини

Рассмотрим функцию f: U ^ R, где U С R — интервал числовой оси. Пусть а £ U. Введем следующие определения:

- правая верхняя производная Дини в точке а — величина D+f |а) = lim —fjfi)..

x x a

TT 7-Л CI \ 1- f (—) — f (a)

- правая нижняя производная Дини в точке а — величина D+f |а) = lim -;

x^a+0 x — a

- левая верхняя производная Дини в точке а — величина D-f |а) = lim f(—)—;

x >a o x a

TT 7-Л П \ 1- f ( — ) — f (a)

- левая нижняя производная Дини в точке а — величина D-f |а) = lim -.

x^a-0 x a

Любая из четырех производных Дини существует (хотя бы бесконечная) в любой точке, в окрестности которой функция определена. Если в точке а существует правосторонняя или левосторонняя производная, то соответствующие производные Дини совпадают с этой производной. В то же время равенство правосторонних (левосторонних) производных Дини есть критерий существования правосторонней (левосторонней) производной, а существование производной равносильно равенству всех четырех производных Дини.

Таким образом, производная Дини является обобщением обычной производной. Это обобщение позволяет формулировать критерии монотонности функции, близкие к привычным, опирающимся на поведение знака обычной производной.

Далее при использовании одной из производных Дини (неважно какой) функции f в точке а будем использовать обозначение D*f (а).

Если функция f не убывает (возрастает) на интервале I = (xi ,x2), то в каждой точке x £ I все четыре производных Дини являются неотрицательными, так как являются пределами неотрицательных величин. Обратное утверждение также верно, но не столь очевидно.

Лемма 1. Если D+f (x) > 0, x £ (а, b), то функция f (x) возрастающая на интервале (а b).

Доказательство. Выберем поизвольные точки x1 и x2 так, что а < x1 < x2 < b. Покажем, что f (x1) < f (x2). Рассмотрим множество E = {x £ [x1, x2]: f (x) > f (x1)}. Пусть x* = supx. Ясно, что f (x*) > f (x1). Предположим, что x* < x2. Тогда всюду на

xeß

интервале (x*, x2) выполнено неравенство f (x) < f (x1) < f (x*). Следовательно,

D+f(x*)= um f(x) — f(x*) < o.

x^x*+0 x — x*

Но это противоречит условию леммы. Противоречие показывает, что в действительности x* = x2. Поэтому f (x2) > f (x1).

Неравенство f (x1) < f (x2) доказано для любых точек x1, x2. Выберем пару таких точек. Так как D+f (x1) > 0, существует точка x1 £ (x1, x2), для которой f (x1) > f (x1). Уже доказано, что f (x1) < f (x2). Значит, f (x1) < f (x1) < f (x2). Теорема доказана.

Лемма 2. Если D+f (x) < 0, x £ (а, b), то функция f (x) убывающая на интервале (а, b).

Доказательство. Рассмотрим функцию g(x) = —f (x). Для нее имеем D-g(x) = —D+f (x), x £ (а, b). Но из определений D+g(x) > D-g(x). Поэтому D+g(x) > 0 на интервале (а, b). Согласно лемме 1 функция g(x) возрастающая. Значит, функция f (x) = —g(x) убывающая. Теорема доказана.

Лемма 3. Если Д+/(х) > 0, х € (а, Ь), то функция / (х) не убывающая на интервале

(а, Ь).

Доказательство. Рассмотрим функцию /£(х) = /(х) + ех, х € (а, Ь), где е > 0 произвольное. Для этой функции имеем Д+/£(х) = Д+/(х) + е. Отсюда вытекает условие Д+/£(х) > 0, х € (а, Ь). Значит, согласно лемме 1, функция /£(х) возрастающая на интервале (а, Ь). В результате для любых точек х1 и х2, а < х1 < х2 < Ь, имеем /(х1) < /е(х2), что равносильно неравенству /(х2) — /(х1) + е(х2 — х1) > 0. Так как здесь е — любое положительное число, неравенство при всех е возможно только, если /(х2) — / (х1) > 0, или /(х1) < /(х2). Теорема доказана.

Лемма 4. Если Д+/(х) < 0, х € (а, Ь), то функция /(х) не возрастающая на интервале

(а Ь).

Доказательство. Доказательство леммы повторяет доказательство леммы 2 с заменой ссылки на лемму 1 ссылкой на лемму 3. Теорема доказана.

Доказанные леммы показывают, что знакоопределенность производной Дини Д+/ является критерием монотонности функции. Это же верно для трех других вариантов производной Дини. Действительно, изменение знака функции меняет местами верхние и нижние производные Дини, а изменение знака аргумента меняет местами правые и левые производные Дини. В результате любое утверждение относительно одной из производных трансформируется в двойственное утверждение другой. Сформулируем этот факт в виде теоремы.

Теорема 1. Достаточным условием монотонности функции на интервале является знакоопределенность на этом интервале одной из производных Дини. При этом:

- если Д*/(х) > 0, х € (а, Ь), то функция / (строго) возрастает на интервале (а, Ь);

- если Д*/(х) > 0, х € (а, Ь), то функция / не убывает на интервале (а, Ь);

- если Д*/(х) < 0, х € (а, Ь), то функция / не возрастает на интервале (а, Ь);

- если Д*/(х) < 0, х € (а, Ь), то функция / убывает на интервале (а, Ь).

2. Критерии устойчивости положения равновесия

Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений

х = /(х), х € и,

где и С — некоторая область. Пусть хо € и — положение равновесия рассматриваемой системы и V: К ^ — непрерывная положительно определенная относительно х0 функция, т.е. V(х)) = 0, V(х) > 0 при х = х0.

Отрицательность производной функции V в силу системы есть достаточное условие асимптотической устойчивости положения равновесия системы. На самом деле здесь существенным является то, что функция V убывает вдоль траекторий системы, а отрицательность

производной — лишь достаточное условие такого убывания. Следующие две теоремы получены небольшой модификацией известных теорем теории устойчивости Ляпунова.

Теорема 2. Положение равновесия ж0 автономной системы ж = f (ж) устойчиво, если существует непрерывная положительно определенная в окрестности точки ж0 функция V(ж), которая не возрастает на траекториях системы.

Доказательство. Доказательство теоремы воспроизводит стандартное доказател-дьство теоремы Ляпунова. Выбираем е-окрестность W точки ж0, целиком расположенной в области определения функции V. На границе ÖW окрестности W, как на компактном множестве, функция V достигает наименьшего значения d, причем в силу положительной определенности V имеем d > 0. Множество Qc = {ж е W: V(ж) < с} при с < d является компактным подмножеством окрестности W. Кроме того, это множество положительно инвариантно, поскольку на любой траектории 7(t), начинающейся в Qc, в пределах окрестности W выполняется неравенство V(7(t)) < с, t > 0, в то время как выход из множества Qc означает выполнение неравенства V(7(t*)) > с для некоторого t* > 0.

Таким образом, показано, что любая достаточно малая окрестность положения равновесия содержит положительно инвариантную окрестность, а это достаточно для устойчивости положения равновесия. Теорема доказана.

Теорема 3. Изолированное положение равновесия ж0 автономной системы ж = f (ж) асимптотически устойчиво, если существует непрерывная положительно определенная в окрестности точки ж0 функция V(ж), которая убывает (строго) на траекториях системы (кроме положения равновесия ж0).

Доказательство. Повторяя доказательство теоремы 2, в окрестности W построим компактную пожительно инвариантную окрестность Qc. Рассмотрим произвольную траекторию y(t), начинающуюся в Qc, т.е. 7(0) е Qc. Тогда 7(t) е Qc при t > 0 и функция V(7(t))

строго убывает. Следовательно, существует предел lim V(7(t)) = р > 0. Траектория 7(t),

t—

как ограниченная, имеет w-предельное множество uY, целиком расположенное в Qc и являющееся инвариантным множеством. Очевидно, что V(ж) на uY имеет постоянное значение, равное р. Инвариантность uY означает, что множество uY состоит из единственной точки, так как иначе возникают траектории, на которых функция V (ж) постоянна (а должна строго убывать). Но тогда это будет положением равновесия, а согласно условиям в достаточно малой окрестности точки ж0 нет положений равновесия, кроме самой точки ж0. Следовательно,

= {ж0}, а траектория 7(t) стремится к ж0 при t ^ Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть функция V (ж) дифференцируема и положительно определена в окрестности положения равновесия ж0. Если в некоторой проколотой окрестности точки ж0 выполнено условие !/(ж) < 0 (условие !/(ж) < 0), то положение равновесия ж0 устойчиво (асимптотически устойчиво).

Следствие 1 есть формулировка классических теорем Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Эти теоремы возникают на базе простейшего условия моно-

тонности функции — знакоопределенности ее производной. Можно придумать и другие условия монотонности функции. Например, непрерывная функция монотонна, если она имеет знакопостоянную производную всюду на интервале, кроме конечного числа точек.

Достаточные условия монотонности могут быть получены также в терминах производной Дини. Однако проверять монотонность функций вдоль решений непосредственно с помощью производной Дини сложно, так как для этого надо найти общее решение системы дифференциальных уравнений, а это, как правило, невозможно. Эффективность метода Ляпунова обеспечивается условием монотонности, выраженным через производную функции в силу системы, которое проверяется без интегрирования системы. Возникает вопрос, можно ли получить аналогичные условия на базе производной Дини?

Теорема 4. Пусть функция V(x) липшицева в окрестности точки xo, Y(t) — решение системы x = f (x) с начальным условием y(0) = x0. Положим v(t) = V(7(t)). Тогда D+v(0) = ш V(xo + hf Ы) - VЫ.

v ' h—+o h '

D+v(0) = lim V(xo + hf (xo)) - V(xo). h—+o h

D-v(0) = Um V(Xo - hf (Xo)) - V(Xo);

h—+o h

D-v(0) = lim V(Xo - hf (Xo)) - V(Xo).

h—+o h

Доказательство. Доказательства четырех вариантов производной различаются несущественно. поэтому остановимся на одном варианте — первом. Функция 7(t) является дифференцируемой. Следовательно,

7(t) = 7(0) + Y '(0)t + a(t) = xo + tf (xo) + a(t), где a(t) = o(t) при t ^ 0. Отсюда находим

v(t) - V (xo + tf (xo)) | = |V (xo + tf (xo)+ a(t)) - V (xo + tf (xo))| < C |a(t)| = o(t), t ^ 0. Поэтому

d+V(0) = ras v(t) - v(0) = lim v(t) - V(xo> =

t—+o t t—+o t

= ^ V (xo + tf (xo)) - V (xo) + lim v(t) - V (xo + tf (xo)) = i—+o t i-mo t

= ^ V (xo + tf (xo)) - V (xo) t-+o t .

Теорема доказана.

Введем обозначения:

V+(xo) = Jim V(xo + hf(xo)) - V(xo);

h- +o h

V+(xo) = lim V(Xo + hf(Xo)) - V(Xo)-

h—+o h

V-(хо) = Пш у(Х0 — (1о)) — уЫ; Т>-(хо) = 1лп+ У(Хо — ^(Хо)) — У(Хо).

Если выбран один из указанных четырех вариантов (неважно какой), будем использовать обозначение V*(х0). Отметим, что если функция V дифференцируема в точке х0, то

V +(хо) = !/+(хо) = V -(хо) = !>-(хо) = У(хо),

т.е. все четыре величины совпадают с обычной производной в силу системы.

Теорема 5. Пусть функция V(х) непрерывна и положительно определена в окрестности положения равновесия х0. Если в некоторой проколотой окрестности точки х0 выполнено условие V*(х) < 0 (условие V*(х) < 0), то положение равновесия х0 устойчиво (асимптотически устойчиво).

Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из теорем 2, 3 и 4. Теорема доказана.

Заключение

В работе дано обобщение достаточных условий устойчивости и асимптотической устойчивости положений равновесия, известных как прямой метод Ляпунова. Это обобщение использует понятие производной Дини, обобщающее понятие классической производной. Обобщение может использоваться для построения недифференцируемых функций Ляпунова, например кусочно-линейных. Подобные функции могут использоваться в различных алгоритмах синтеза управления. Обобщение показывает, что требование дифференцируе-мости, используемое в классической теории, на самом деле не является существенным и вызвано критериями монотонности функции одного переменного, простейшим из которых является сохранение знака производной. Использование других критериев монотонности, в частности, на основе производной Дини, дает естественное обобщение условие устойчивости положений равновесия.

Список литературы

1. Халил Х.К.Нелинейные системы. Изд. 3-е: пер. с англ. М.-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. 832 с. [Khalil H.K.. Nonlinear systems. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002. 750 p.]

2. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова: пер. с англ. М.: Мир, 1964. 168 с. [La-Salle J., Lefschetz S. Stability by Liapunov's direct method. N.Y.; L.: Academic Press, 1961. 134 p.].

3. Зубов В.И. Устойчивость движения (Методы Ляпунова и их применение): учеб. пособие. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1984. 232 с.

4. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

5. Marinosson S.F.Stability analysis of nonlinear systems with linear programming: A Lyapunov functions based approach: PhD thesis. Duisburg, 2002. 103 p. Режим доступа: http://purl.oclc.org/NET/duett-02152002-111745 (дата обращения: 10.07.2017).

6. Giesl P., Hafstein S. Existence of piecewise affine Lyapunov functions in two dimensions // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2010. Vol.371, iss. 1. Pp. 233-248. DOI: 10.1016/j.jmaa.2010.05.009

7. Giesl P., Hafstein S. Construction of Lyapunov functions for nonlinear planar systems by linear programming // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2012. Vol.338, iss. 1. Pp. 463-479. DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.10.047

8. Касаткина T.C. Построение кусочно-линейной функции Ляпунова для динамических систем второго порядка // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. №3. C. 32-43. DOI: 10.24108/mathm.0317.0000073

9. Walter W. Analysis I. 2nd ed. Berlin: Springer, 1990. 388 p. DOI: 10.1007/978-3-662-05707-0 (in German).

Mathematics and Mathematical Modeling, 2017, no. 4, pp. 18-27.

Received: 06.08.2017

© Bauman Moscow State Technical University

The Dini Derivative and Generalization of the Direct Lyapunov Method

Kanatnikov A. N.1'2'* * skipper@bmstu.ru

1 Bauman Moscow State Technical University, Russia; 2 Federal Research Center "Informatics and Control" of RAS, Moscow, Russia

Keywords: autonomous dynamical system, stability, direct Lyapunov method, Dini derivative

The contemporary theory of stability for systems of differential equations is based on the concept of Lyapunov stability, A.M. Lyapunov's results and their certain generalizations. Analysis of the first approximation of a system is used as a main method to study a stability of the equilibrium points. In publications this method is known as the first Lyapunov method. But this method does not allow drawing conclusions in the critical case, and then the second Luapunov method can be used, which is also known as a direct Lyapunov method.

The direct Lyapunov method is based on existing function with certain properties. The function has to be positive definite. If in the certain vicinity of the equilibrium point a function derivative by virtue of the system is not positive, then it is called Lyapunov function. The existence of Lyapunov function means that the equilibrium point is stable.

A role of the Lyapunov function is not only to establish the fact of the equilibrium point stability (or stronger property of asymptotic or exponential stability). It gives a lower bound of the region of attraction of an equilibrium point, which can be important in the control theory. So, to construct the Lyapunov function is a problem of importance, even if the fact of equilibrium stability has been already established.

Herewith there are no universal methods to construct the Lyapunov function for the autonomous system of differential equations. To solve the problem are used various numerical methods in which it is difficult to provide the important condition — differentiability of function under construction. At the same time, in the Lyapunov method the differentiability condition is non-essential and is related only to the mathematical technique. Therefore, generalizations of the Lyapunov method, which are directed to the abandonment of strong conditions of function smoothness, are important. One of such generalizations is the use of the Dini derivative. The use of the Dini derivative allows us to construct, for example, the piecewise linear Lyapunov functions.

The results connected with the Dini derivative are rarely included in standard monographs, and an objective of the present article is to make these results more accessible.

References

1. Khalil H. Nonlinear Systems. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002. 750 p. (Russ. ed.: Khalil H. Nelinejnye sistemy. Izd. 3-e. Moscow-Izhevsk: Reguljarnaja i haoticheskaja dinamika, Institut komp'juternyh issledovanij, 2009. 832 p.).

2. LaSalle J., Lefschetz S. Stability by Liapunov's direct method. N.Y.; L.: Academic Press, 1961. 134 p. (Russ. ed.: La-Salle J., Lefschetz S. Issledovanie ustojchivostipriamum metodom Liapunova. Moscow: MirPubl., 1964. 168 p.).

3. Zubov V.I. Ustojchivost' dvizhenija (Metody Ljapunova i ih primenenie) [Stability of motion (Lyapunov methods and their application]: a textbook. 2nd ed. Moscow: Vysshaja Shkola publ., 1984. 232 p. (in Russian).

4. Demidovich B.P. Lektsii po matematicheskoj teorii ustojchivosti [Lectures on mathematical theory of stability]. Moscow: Nauka publ., 1967. 472 p. (in Russian).

5. Marinosson S.F. Stability analysis of nonlinear systems with linear programming: A Lyapunov functions based approach. PhD thesis. Duisburg, 2002. 103 p. Available at: http://purl.oclc.org/NET/duett-02152002-111745, accessed 10.07.2017.

6. Giesl P., Hafstein S. Existence of piecewise affine Lyapunov functions in two dimensions. J. of Mathematical Analysis and Applications, 2010, vol.371, iss. 1, pp. 233-248. DOI: 10.1016/j.jmaa.2010.05.009

7. Giesl P., Hafstein S. Construction of Lyapunov functions for nonlinear planar systems by linear programming. J. of Mathematical Analysis and Applications, 2012, vol.338, iss. 1, pp. 463-479. DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.10.047

8. KasatkinaT.S. The Piecewise-Linear Lyapunov Function Construction for Dynamical Systems of the Second Order. Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2017, no. 3, pp. 32-43. DOI: 10.24108/mathm.0317.0000073 (in Russian).

9. Walter W. Analysis I. 2nd ed. Berlin: Springer, 1990. 388 p. DOI: 10.1007/978-3-662-05707-0 (in German).