Прогрессивное цензурирование - аналог критерия Реньи для проверки модели Кокса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика к Математическое

моделирование

Ссылка на статью: // Математика и Математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 05. С. 28-42.

Б01: 10.7463/шаШш.0515.0816640

Представлена в редакцию: 12.09.2015 Исправлена: 27.09.2015

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 519.248

Прогрессивное цензурирование - аналог критерия Реньи для проверки модели Кокса

Тянникова Н. д.1' 'пагшдкоуа@уаш1е;ии

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В данной работе предлагается критерий для проверки гипотезы Кокса для двух прогрессивно цензурированных выборок. Ранее, в работе [4], в качестве статистики для проверки данной гипотезы предлагался критерий типа Колмогорова-Смирнова, основанный на сравнении оценок Каплана-Мейера функции надежности по каждой выборке. Вместе с тем применение этой статистики требует проводить испытания до отказа всех систем, что не всегда является возможным. В данной работе предлагается критерий типа Реньи, позволяющий проверять гипотезу Кокса по неполным данным, что дает возможность прекращать испытания до наступления отказоввсех систем. В работе предложен метод вычисления точных распределений статистики типа Реньи, основанный на модели случайного блуждания частицы по двумерному массиву ячеек. Показана сходимость асимптотического распределения предлагаемой статистики к стандартному распределению Реньи при условии справедливости проверяемой гипотезы. Предлагается метод оценки параметра модели Кокса в случае её справедливости. В качестве оценки рассматривается значение параметра, минимизирующее предлагаемую статистику критерия.

Ключевые слова: непараметрическая статистика, гипотеза Кокса, критерий типа Реньи, оценка Каплана-Мейера

Введение

Одной из распространенных задач в теории надежности является задача статистической проверки адекватности модели Кокса для законов распределения отказов изделий, функционирующих в различных режимах эксплуатации. В ряде работ эта задача решалась сравнением оценок функций надежности по полным выборкам. На практике часто встречаются ситуации, когда нет возможности наблюдать моменты отказов всех испытываемых изделий в силу того, что они объединены в последовательные системы различной кратности. Данное обстоятельство приводит к тому, что для каждой системы наблюдается только одна минимальная наработка из составляющих ее изделий. Кроме того, из-за недостатка

времени нет возможности проводить испытания до отказа всех систем. Таким образом, возникает необходимость проверки модели Кокса по данным сложной структуры -выборки наработок до отказа элементов являются прогрессивно цензурированными, при этом выборки отказов систем цензурированы по типу II. Для решения этой задачи в данной работе предлагается статистика типа Реньи, основанная на сравнение оценок Каплана-Мейра функций надежности по двум прогрессивно цензурированным выборкам. Предложен метод оценки параметра модели Кокса в случае её справедливости.

1. Постановка задачи

Рассмотрим общую постановку задачи. Имеется пг систем, состоящих из m последовательно соединенных элементов, которые работают в режиме s1 и п2 систем, состоящих из m последовательно соединенных элементов, работающих в режиме s2. При испытаниях систем при отказе одного из элементов в системе («первого» отказа), времена отказов оставшихся (т. -1), j = 1,2 изделий цензурируются. Таким образом, в результате испытаний до отказа всех систем, имеются две прогрессивно цензурированные [1,2] выборки © ={ец), ©2 ={в1..,в2П), где в; = min & ,...,&,/ }, * = =

dlj = min j ,...,&j}, j = 1, n2 - минимумы наработок до отказа элементов систем, работающих в режимах s1 и е2 соответственно.

В работе рассматривается проверка гипотезы пропорциональности интенсивностей отказов Лх (t), Л2 (t) элементов для режимов sl и е2 , Л (t)=к Л2 (t), где к >1 - известное

фиксированное число. Уточним, что функции Л1 (t), Л2(t) неизвестны. Пусть P (t) -функция надежности наработок до отказа элементов в режиме sx. Аналогично, P2 (t) -функция надежности наработок до отказа в режиме s2 . Гипотеза о пропорциональности интенсивностей отказов эквивалентна гипотезе:

Я0: p(t) = (P2(t))k, к> 1 (1)

Функции надежности наработок до отказа P (t), P2 (t) по прогрессивно цензурированным выборкам © и © можно оценить при помощи оценок Каплана-Мейра, которые имеют вид [3]:

Здесь ( (t), (2 ) - количество элементов выборок 0; и 02, меньших I. Если выборки (в\), (в,...,&22) рассматривать как полные независимые выборки из совокупностей с функциями распределения Р1^) = 1 -(р(())т= 1 -(Р2(())т2, то

функции распределения можно оценить обычными эмпирическими функция-

£1 4(0 £2 ми распределения г = ——. г = —— ,

Если в испытаниях наблюдаются наработки до отказа всех систем, то для проверки гипотезы (1) в работе [4] предлагалась статистика Т типа Колмогорова-Смирнова, основанная на сравнении оценок Каплана-Мейера

где р = —, к2 =

п

т,

рт^к2

X =■

рт^к2 + 1 рт^к2 + т

2и2 , „,2 '

При этом для случая —— -1 < 0 и к2 \ 1 - ¥1+ ку (1 - = 0 следует принять

В этой же работе [4] было получено асимптотическое распределение статистики (2) при условии справедливости (1), а также указан метод вычисления ее распределений для конечных объемов выборок.

В настоящей статье предложен метод проверки (1) для случая, когда испытания прекращаются в момент, когда не все системы испытаны до отказа. Введем некоторые обозначения.

Пусть у/(х) = хк 1(к2хк + к), х Ф 0, у/(0) = 0. Функция \у(х) строго возрастает и ^(1) = 1. Объединённая эмпирическая функция надежности изделий по выборкам {в>1,..., вЩ1 ), (#2,..., #2Й2 может быть записана в виде

Обозначим г — Щ - число отказов систем за время испытаний в режиме ег, аналогично г - Щ - число отказов систем в режиме е2.

Продолжительность испытаний определяется следующим образом. Пусть 0 < Л < 1 -некоторое фиксированное число. Тогда испытания прекращаются в момент времени г, когда нарушается неравенство ц/(У0{1:))>\- Л. Параметр Л назовём параметром Реньи.

Для проверки справедливости (1) предлагается статистика типа Реньи [5,6], которая имеет вид

Заметим, что вид статистики (3) похож на вид стандартной двухвыборочной статистики Реньи [6], за исключением нормирующего множителя и области, по которой вычисляется максимум.

2. Точные распределения

В работе [7] был разработан общий метод вычисления точных распределений статистик типа Колмогорова - Смирнова, который основывается на модели случайного блуж-

дания по двумерному массиву ячеек А = {а^ }, / = 0, ^ , у = 0, .

Введём вектор ^ состоящий из пх единиц и п2 нулей, причем

1.

в,

[н отказ нз выоорки

г=1____,(л1 +п2

;тн отказ нз выборки ©2,

Рассмотрим следующую модель случайного блуждания [7,8].Частица на первом шаге выходит из ячейки а00 и на (Щ + п2) - ом шаге заканчивает блуждание в ячейке а , совершая пг скачков «вниз» и п2 скачков «вправо». Равенство ^ =1, £ = 1, — ( Щ +Щ )

в векторе 2 соответствует скачку «вниз» на 5 шаге, появление = 0. ^ = 1_____ (щ + п2)

- скачку «вправо». Массив ячеек случайного блуждания представлен на рисунке 1.

Рис.1. Случайное блуждание частицы по двумерному массиву ячеек

Теорема 1.[4] Распределение вероятностей векторов I = определяет-

ся следующим выражением

где ^ = ^ , У0 = 0 - количество единиц в векторе 2 до э - ого места включительно,

г=1

5 _^

= =о - количество нулей в векторе 2 до э - ого места включительно.

г=1

Доказательство. Утверждение теоремы следует из вида условных вероятностей перехода «вниз» или «вправо» в схеме случайного блуждания частицы. См. [7,9]. <

Обозначим через Р( Л) - вероятность невыхода траектории случайного блуждания

из некоторого подмножества Л множества Л = (а}, г = 0, п, ] = 0, п2.

Теорема 2. Вероятность Р(Л ) = и вычисляется повторным применением соотношения

К =<

1, если г = 0, ] = 0;

(

т

(Щ " 1 + 1)

ктх (щ - г) + т (Щ - j +1)

ктх ( Щ - , +1) ктх ( Щ -, +1) + т ( Щ - j)

ктх ( Щ - г +1) ктх ( Щ -, +1) + т ( Щ - j)

К

г, 1 -1

х, г =0,1 ^1 ^ п2;

к

,■ -1,1

х,, 1 ^ ■ ^ 1 =0;

(4)

+

т

+

(Щ - 1 + 1)

ктх ( щ -,) + т ( Щ - ; +1)

К

г, 1 -1

^^ , 1 ^ ■ ^ 1 ^ 1 ^ П2

Здесь х =

'1, аг] е Л

0, а,: г А

- индикатор массива А .

Доказательство. Пусть ю - некоторая траектория случайного блуждания частицы по двумерному массиву ячеек. Из теоремы 1 получим, что вероятностью может быть записана в следующем виде:

(

Р (ю)=П

((п - К-1) тк Г (( щ - и -1) т)

1-л

т.

Щ +П2

= П(ю)

,=1

,=1 (Щ -тк + (щ - ) т Обозначим ю - часть траектории ю , определяемая первыми t шагами («частичная» траектория). Пусть ю - множество «частичных» траекторий, оканчивающихся в а^ . Обо-

t

значим ^ = ПА (ю) - первые t сомножителей в р(ю) . Вероятность любой траектории,

совершающей скачок на (, +1)

(п1 - К,-1) тк

ом шаге а^ . ^ а^. имеет множитель

( Щ - К -1) т1к + ( п2 - и -1 )

т,,

. Если происходит скачок аг х ^ аг , то соответствующий

множитель равен

(п2 - и,-1) т2

(Щ - К-1) тк + (п2 - и-1)

т

. Пусть к = ^ #г+; . Тогда утверждение

юю ею„

теоремы следует из того, что в а за один скачок можно попасть только из а или а .

Множитель % обеспечивают обращение в нуль вероятностей траекторий, не лежащих целиком в Д,. <1

Следствие: Р(Яя < к) = Р(А), где А = (а*}, чьи индексы г, 1 удовлетворяют усло-

виям:

5=1

1. / = 0, } = 0;

( 1

Щ + Щ

1 -

V У

Щ

к V

Щ + Щ

1 -

Щ

2 У

Щ + Щ

^ - Г* Щ1

1

Щ

4 \

-1 -Л;

щ + Щ

1 -

+ к

Щ

2 У

т

т

2

, \--т

к \ ¡г

3.

П

щ + Щ

Щ

п

2

V п1 У п1 + п2

г

1 --1

V п2 У

к V

> 1 -Л

Щ

2

V V

(

п + п2

Щ

1 п

2

V п1 У П1 + П2

' Л 1

V п2 У

к

+ к

П

П

тт ^рп2 I 1 -Л

■^к1 рт\ + т; V ^

п

Л ( 1 (

1-

«1=1 V

щ (п - « + 1 )

п

к

1 -

и =и т2

V «2 =1 V 2

(п2 - «2 + 1)

УУ

< и

Щ

п + п2

V п1 У

'1 Щ

щ + п2

Г 4\т 1 -1 V п2 У

Доказательство. Множество А = {ау} имеет такой вид вследствие того, что неравенство Ял <И не проверяется вне области (//(/',(/)) > 1 — Л. При этом учитывается, что

эмпирические функции распределения наработок до отказа систем равны £1 _ I ¿.-2 _ 3 - _ ] - _ *

г ~ -г ~ — ] — 1,п2. 7аким образом, соотношения (1) и (2) задают граничные условия. <1

В таблицах 1,2 представлены вероятности точного распределения статистики Ял для

квантилей й=1,96 , Л=2,24, которые являются соответственно квантилями уровней 0,9000, 0,9498 асимптотического распределения функции Реньи [10].

Таблица 1. Точные вероятности Р(ЯЛ < И) в случае равных объёмов выборок

при т = 2, т2 = 3, Л = 0,7

П = п2 Р(Лл< И)

к=1,96 к=2,24

к = 1,5 к = 2 к = 1,5 к = 2

100 0,9094 0,9206 0,9560 0,9593

400 0,9076 0,9080 0,9545 0,9533

700 0,9055 0,9058 0,9525 0,9536

1000 0,9045 0,9043 0,9525 0,9524

1300 0,9040 0,9045 0,9519 0,9521

1600 0,9034 0,9037 0,9520 0,9519

1900 0,9034 0,9035 0,9518 0,9519

2200 0,9031 0,9034 0,9516 0,9515

2500 0,9029 0,9034 0,9513 0,9517

ж 0,9000 0,9000 0,9498 0,9498

Таблица 2. Точные вероятности Р(ЯЛ < И) в случае равных объёмов выборок

при т = 2, щ = 3, Л = 0,8

П = п2 Р( Яд< И)

к=1,96 й=2,24

к = 1,5 к = 2 к = 1,5 к = 2

100 0,9172 0,9217 0,9624 0,9567

400 0,9079 0,9074 0,9544 0,9540

700 0,9064 0,9067 0,9530 0,9534

1000 0,9058 0,9056 0,9533 0,9527

1300 0,9051 0,9043 0,9523 0,9524

1600 0,9039 0,9039 0,9522 0,9519

1900 0,9036 0,9043 0,9520 0,9518

2200 0,9037 0,9038 0,9517 0,9519

2500 0,9033 0,9034 0,9517 0,9516

ж 0,9000 0,9000 0,9498 0,9498

3. Асимптотическое распределение

Без ограничения общности, считаем, что р (X) = (1 - X), Р2 (X) = (1-1)^, 0 < X < 1 [6].

4рп2тт2 ~

Рассмотрим процесс Уп (X) = . - р (X) -1 РДХ) I I, и < X < 1, определяющий стати-

•у/к2рщ2 + т2 ^ 2 '

стику (3). В [4] была доказана теорема, показывающая слабую сходимость процесса 7И (X)

к гауссовскому процессу.

Теорема 3.[4] При 0 - 5 -1 < 1 процесс Уп(г) сходится к гауссовскому процессу У(£).

т2 т2

г м! г /ч ,ч-| к(1 -«У*"" + к-(1 -«р7

При этом Е_У (7)] = 0, Е_У («)• У (г)] = (1 -г)■-^--¡¡^-'— ,0 - « - г < 1.

т2 1 (1 - «) к

п

Теорема 4. При щ ^да, п2 ^да,— ^ р и справедливости гипотезы (1) распределе-

П2

ние статистики (3) сходится к стандартному распределению Реньи

2 _2 1

4 " (-1)г I (2i + 1)V

lim РПъП2 (R <h)=L(h) = - 2 ехР

И\ П2 12 ^ " 2' ' 1

Доказательство. Рассмотрим преобразование

m

к (1 - t) k -mi + k\ - (1 - t)

V / m2

т(г) = —------: [0,1) ^ [0,1) . Доопределим т(1) = 1. Нетрудно показать,

к2 (1 - г)"+ к,

что т'(г) > 0, т(0) = 0, т(1) = 1. Тогда существует обратное преобразование г = г (т) . Введем в рассмотрение процесс

т2 1

Г (т) = К (г (т)) = У (г (т^-^-^-= У (г (т))( (т)).

к2 (1 - г(т)) к-"1 + к,

Имеем при 0 - и - V < 1 ((и) = « ((у) = г

Е [ Ж (т)] = 0, Е [ Ж (и) •Ж (V) ] = ((г (и))((г (V) )• Е [ У (((и))У (((у))] =

= ((«) ((г) • Е [ У («)У (г) ] =

т2 ^ Щ2_х Щ т2

_ (1 - «) (1 - 0 0,к2 (1 - + к1 -(1 - ^ _

____т2

к2(1 -«)к+ к, к2(1 -г)к+ к, (1 -«)к"

т2 "2 т 2

(1 - г)т к2 (1 - *) 17-щ + к -(1 - «)^

т 2 т2 ч/'

к (1 - г)^И1 + к к (1 -«) т1 + к

Следовательно, Ж (т) есть стандартный броуновский мост [6]. Имеем

L(h) = P

f ____Кr)Lь1=/ /о—А" _ Кw))| ^

supJ-1 < h

^ J А г<л 1 — г у

sup J-1 < h

А 1—r(t) >1-i 1 — r(t)

m

2

(

\

=P

sup

m 2 (i-t) ~r m2

k2 (i-i) T + ki

V (t )|

■< h

>i-A

(i -1)

k2 (i -1)

—-m, , k 1 + k

=P

(1-А)

А

sup

m 2

ш 1 -1

< h

(i-t)k

k2 (i-1) k m + ki

->i-A

= lim P

i-А

m m2sj pn2

Jkem^m22\ Л w(i-t)>1-а

max

i -1

<h

Учитывая тот факт, что (1 - X) можно заменить [6] на объединенную эмпирическую оценку функции надежности элементов по двум прогрессивно цензурированным выборкам, равную, Рс(*) =--—(Х-/11)™1 +—-—улучаем, что

Пу +щ

v п ги м тп^ 4 ^ С-1)' (2/ +1)2Л"2

lim P>i>h(PÄ</?) = L(/j) = -£ ^expl-^-А-М

2i + i

8h2

«1 п2 - 2 А ,=0

Доказанная теорема позволяет проверять гипотезы (1) при достаточно больших объемах выборок «, Щ ■ Но учитывая, что скорость сходимости распределений статистик типа Реньи медленная [11], на практике лучшим является использование точных распределений статистики (4).

4. Оценка параметра модели Кокса методом Монте-Карло

Пусть параметр модели Кокса в степенной гипотезе (1) неизвестен и подлежит оценке. В настоящей работе в качестве оценки данного параметра предлагается значение к , которое минимизирует значение статистики (3), к = arg min R..

Исследование точности предложенной оценки параметра Кокса проводилось методами статистического моделирования при помощи следующего алгоритма:

1. Моделируются nm одинаково распределенных случайных величин (£,\) с

функцией распределения F0 (t) (в дальнейшем будем называть их наработками). В качестве F (t) рассматривались экспоненциальная (с параметром ß = 0.00i) функция распределения и функция распределения Вейбулла (с параметрами ß = 0.00i, p = i.5 ).

2. Наработки случайным образом разбиваются на щ групп по щ величин в каждой. Элементы i - й группы обозначаются (^1,г ,...,¿1' ),i = 1,щ . Определяются в[ = min(£' ,...,£' ).

3. Аналогичным образом моделируются щщ одинаково распределенных случайных величин ,...,¿mn ) с функцией распределения

1 -(1 - F0 (t))k , где к - некоторое заданное значение параметра Кокса. Наработки ) случайным образом разбиваются на щ групп по m величин в каждой. Элементы i - й группы обозначаются (¿1 ,...,£' ), i = ^.Определяются &2 = min (^,...,££ ).

4. Задается глубина цензурирования испытаний Л, 0<Л < 1, равная доле числа отказавших систем в обоих режимах от общего количества систем. Определяется число r та-

r r +1

кое, что -< Л <-. Наработки в22 располагают в порядке возрас-

щ + щ щ + щ

тания. Пусть у <у2 <... < у + - объединенный вариационный ряд из этих наработок. По

вариационному ряду и числу r определяют наработку у , а также тх и т2 - числа отказов систем в режимах s1 и s2 до момента уг. Определяются две выборки © ^^...^Г),©2 =(^2i...,^22) - из наблюдаемых до момента уг наработок обоих выбо-

5. Для некоторого значения к. 1 < к < К вычисляется текущая глубина цензуриро-

, V Л ( , У >

/Ч

• п

вания /. j. =

1-

V

и,

1 /

--

1-

ч

п\ ~ п 2

=1 -РЛ/Л

Для вычисления статистики (3) рассмотрим область > 1- /С . Так как функ-

ция

возрастает по F0(t), получаем, что

Отсюда определяется параметр Реньи

Для этого Ä(j.y вычисляется значение статистики (3).

6. Методом перебора к определяется оценка к , минимизирующая значение статистики К; (к), к — ащими? (к).

Для определения статистических свойств оценки к пункты 1-6 повторялись 500 раз. По полученным значениям оценок построена гистограмма этой выборки, а также вычислены эмпирические среднее к и дисперсия Б2.

На рисунке 2 изображены гистограммы полученных оценок к для т = 2, т = 3, щ = « = 100 для экспоненциального распределения с параметром ¡ = 0.001, и для распределения Вейбулла с параметрами 5 = 0.001, р = 1.5 .

а) Экспоненциальное распределение, k = 2,0334, 5 = 0,3624

б) Распределение Вейбулла, k = 2,0322, 5 = 0,3601

Рис. 2. Гистограммы оценок к при Л = 0,7

Заключение

В работе получены асимптотическое и для конечных объёмов выборок распределения статистики типа Реньи для случая проверки гипотезы о степенной зависимости функции надежности для двух прогрессивно цензурированных выборок. Для оценки функции надежности по прогрессивно цензурируемой выборке использована оценка Каплана-Мейера. Данный результат позволяет проводить испытания до отказа лишь части испытываемых изделий.

Список литературы

1. Bagdonavichus V., Kruopis J., Nikulin M.S. Nonparametric tests for censored data. London: ISTE Ltd, 2011. 233 p.

2. Balakrishnan N., Cramer E. The Art of Progressive Censoring. Applications to Reliability and Quality. New York: Springer, 2014. 645 p.

3. Тимонин В.И., Ермолаева М.А. Оценки Каплана-Мейера в статистиках типа Колмогорова-Смирнова при проверке гипотез в испытаниях с переменной нагрузкой // Электромагнитные волны и электронные системы.2010.ТЛ5. №7.С. 18-26.

4. Тимонин В.И., Тянникова Н.Д. Применение оценок Каплана-Мейера для проверки степенной гипотезы Кокса по двум прогрессивно цензурированным выборкам// Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки» [в печати]

5. Meeker W.Q., Escobar L.A., Hong Y. Using Accelerated Life Tests Results to Predict Field Reliability // Technometrics. 2009. № 51. Pp.146-161 .

6. Hajek J., Sidak Z. Theory of rank tests. London: Academic Press. 2004. 438 p.

7. Тимонин В.И., Тянникова Н.Д. Метод вычисления точных распределений статистик типа Колмогорова-Смирнова в случае нарушения однородности и независимости анализируемых выборок // Наука и образование.МГТУ им. Н.Э. Баумана. Элек-трон.журнал. 2014. №11.С. 217-227.DOI: http://dx.doi.org/10.7463/1114.0740251

8. Maturi T.A., Coolen-Schrijner P., Coolen F.P. Nonparametric predictive comparison of lifetime data under progressive censoring // Journal Of Statistical Planning And Inference. 2010. № 140. Pp. 515-525.

9. Кокс Д., Оукс Д. Анализ данных типа времени жизни. М.: Финансы и статистика, 1988. 191 с.

10. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983. 416 с.

11. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: URSS, 2014. 584 с.

Mathematics à Mathematical Modelling

Mathematics and Mathematical Madelling of the Bauman MSTU, 2015, no. 05, pp. 28-42.

DOI: 10.7463/mathm.0515.0816640

Received: Revised:

12.09.2015 27.09.2015

© Bauman Moscow State Technical Unversity

Progressive Censoring - Testing the Cox Model with Renyi Criterion

N.D. Tiannikova1*

tiamiikovaig'YarLdexju :Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: nonparametric statistics, Cox's hypothesis, the Renyi criterion, the Kaplan-Meier estimate

The most common problem in the reliability theory is the problem of testing the Cox's hypothesis. This work is devoted to solving this problem in the case of two progressively censored samples. One of the features is the use of Renyi type statistics, which allows checking the Cox model in case when tests are terminated before all products failure.

For testing, there are n\ systems of the first type, which consist of serially connected mi elements and n2 systems of the second type, which has m2 of the same elements. Considering that the systems are connected in series, the Cox's hypothesis is tested through non-failure operation times of systems rather than elements themselves. The sample of non-failure operation times is considered as a progressively censored sample from non-failure operation times of elements of the appropriate type. Thus, when the systems fail, the non-failure operation times of all other elements are censored.

We suggest the Renyi criterion for testing the hypothesis of proportionality. Functions of elements reliability for each of the two samples are evaluated using the Kaplan-Meier estimates. The paper shows the asymptotic convergence of the proposed distribution of statistics to the standard Renyi distribution. In view of the slow convergence to limiting distributions, a method for calculating the exact distributions of Renyi type statistics is proposed. It is designed to test the Cox's hypothesis for two progressively censored samples. The proposed method is based on the model of a random walk on a two-dimensional array of cells, and it is described in previous papers. Tables give calculated distribution values for Renyi type statistics for a wide range of values of n1, n2.

The paper also suggests the estimate method for Cox model parameter. As an estimate, is considered the value that minimizes the proposed test statistics.

References

1. Bagdonavichus V., Kruopis J., Nikulin M.S. Nonparametric tests for censored data. London: ISTE Ltd, 2011. 233 p.

2. Balakrishnan N., Cramer E. The Art of Progressive Censoring. Applications to Reliability and Quality. New York: Springer, 2014. 645 p.

3. Timonin V.I., Yermolayeva M.A. Ocenki Kaplana-Meiera v statistikah tipa Kolmogorova-Smirnova pri proverke gipotez v ispytaniyah s peremennoi nagruzkoi [Kaplan-Meier Estimates of statistics in the Kolmogorov-Smirnov hypothesis testing in trials with variable load] , Elektromagnitnye volny I elektronnye sistemy [Electromagnetic waves and electronic systems], 2010 , vol. 7., pp. 18-26 .

4. Timonin V.I., Tyannikova N.D. Primenenie ocenok Kaplana-Mejera dlja proverki stepennoj gipotezy Koksa po dvum progressivno cenzurirovannym vyborkam [The Application of the Kaplan-Meier estimates for the Cox's hypothesis testing for two censored samples of times to failure] // Vestnik BMSTU [Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Mechanical Engineering]. (in print).

5. Meeker W.Q., Escobar L.A., Hong Y. Using Accelerated Life Tests Results to Predict Field Reliability // Technometrics. 2009. № 51. Pp.146-161 .

6. Hajek J., Sidak Z. Theory of rank tests. London: Academic Press. 2004. 438 p.

7. Timonin V.I., Tyannikova N.D. Metod vychislenija tochnyh raspredelenij statistik tipa Kolmogorova-Smirnova v sluchae narushenija odnorodnosti i nezavisimosti analiziruemyh vyborok [The Method of Calculating the Exact Distributions of the Kolmogorov-Smirnov Statistics in Case of Violation of Homogeneity and Independence of the Analyzed Samples] // Nauka i obrazovanie. MGTU. Jelektron. zhurnal [Science and education. Bauman MSTU. Electron. Journal]. 2014. №11. pp. 217-227. DOI: http://dx.doi.org/10.7463/1114.0740251

8. Maturi T.A., Coolen-Schrijner P., Coolen F.P. Nonparametric predictive comparison of lifetime data under progressive censoring // Journal Of Statistical Planning And Inference. 2010. № 140. Pp. 515-525.

9. Cox D., Oakes D. Analiz dannyh tipa vremeni zhizni [Analysis of survival data]. Moscow: Finance and Statistics, 1988. 191 pp.

10. Boleshev L.N., Smirnov N.V. Tablicy matematicheskoj statistiki. [Tables of Mathematical Statistics]. M .: Nauka, 1983. 416 p.

11. Gnedenko B.V., Soloviev A.D., Belyaev Y.K. Matematicheskie metodi v teorii nadegnosti [Mathematical methods in the reliability theory]. Moscow, URSS, 2014. 584 p.