CC BY
51
Литература
1. Усков А.А., Кузьмин А.В. Интеллектуальные технологии управления. Искусственные нейронные сети и нечеткая логика. М.: Горячая Линия-Телеком, 2004.
2. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 2000.
3. Круглов В.В., Усков А.А. Два подхода к самоорганизации базы правил системы нечеткого логического вывода // Информационные технологии. 2006. .№ 2. С. 14-18.
4. Берд Дж. Инженерная математика. М.: Додэка-XXI, 2008. (Сер. Карманный справочник).
5. Кучарина Е.А. Инвестиционный анализ. СПб: Питер, 2006.
References
1. Uskov A.A., Kuzmin A.V., Intellektualnye tekhnologii upravleniya. Iskusstvennye neyronnye seti i nechyotkaya logika [Intelligent management technologies. Artificial neural network and fuzzy logics], Moscow, Goryachaya Liniya-Telekom, 2004.
2. Altunin A.E., Semukhin M.V., Modeli i algoritmy prinya-tiya resheniy v nechetkikh usloviyakh [Models and decision-making behavior under fuzzy conditions], Tyumen, Tyumen State Univ., 2000.
3. Kruglov V.V., Uskov A.A., Informatsionnye tekhnologii, [Information Technology], 2006, no. 2, pp. 14-18.
4. John Bird, Inzhenernaya matematika [Engineering Mathematics], Moscow, Dodeka-XXI, 2008.
5. Kucharina E.A., Investitsionny analiz [Investment analysis], St. Petersburg, PITER, 2006.
УДК 519.71
ПРОГРАММНЫЙ ПАКЕТ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
А.А. Усков, д.т.н., профессор; И.А. Киселев, аспирант; Н.В. Кондратова, аспирант
(Российский университет кооперации, ул. В. Волошиной, 12/30, г. Мытищи, 141014, Россия, andrey@Uskov.net)
В статье рассмотрены программный пакет «Анализ эффективности инвестиционных проектов с привлечением заемных средств» и его математическое обеспечение.
С помощью разработанного программного пакета можно в условиях неопределенности оценивать такие показатели эффективности инвестиционных проектов, как степень устойчивости инвестиционного проекта, наименьший срок погашения кредита, чистый приведенный доход, внутренняя норма доходности.
Инвестиционная деятельность всегда ведется в условиях неопределенности: точно не известны будущие денежные поступления от реализации инвестиционного проекта, индекс инфляции и некоторые другие показатели. В рассматриваемом программном пакете неопределенность учитывается путем введения в расчетные формулы нечетких переменных в виде нечетких чисел LR-типа, параметры которых должны быть оценены предварительно, например экспертным методом.
Предложена формула на основе арифметики нечетких чисел LR-типа для расчета чистого приведенного дохода от инвестиционного проекта при привлечении заемных средств. Данная формула отличается учетом параметров кредита, что позволяет совместно оценивать выбор инвестиционного проекта и условий получения кредита для его финансирования из множества доступных при неопределенности нечеткого характера.
Ключевые слова: инвестиционный проект, неопределенность, нечеткое число, чистый приведенный доход.
THE SOFTWARE PACKAGE OF INVESTMENT PROJECT EFFICIENCY ANALYSIS BASED
ON FUZZY COMPUTING
UskovA. A., Ph.D., professor; KiselevI.A., postgraduate; Kondratova N. V., postgraduate (Russian University of Cooperation, Voloshinoy St., 12/30, Mytishchi, 141014, Russia, andrey@uskov.net)
Abstract. The article offers a formula for calculating net present value of the investment project using loan capital. This formula is different within the parameters of the loan, so you can conjointly evaluate the choice of the investment project and loan conditions to finance it under uncertainty.
Investment activity is always conducted under uncertainty: future investment project cash flows, the inflation rate and other indicators are uncertain. In proposed software package the uncertainty is taken into account by putting fuzzy variables into the formulas in the form of LR-type fuzzy numbers. Their parameters have to be assessed in advance, for example, using expert method. Using LR-type fuzzy numbers allows simplifying formulas.
As an intermediate result, a formula for the construction of LR-type fuzzy numbers is in the whole positive degree.
The numerical example is made in the system of computer mathematics Mathcad to illustrate the practical implementation of net present value calculation. Based on these results a software package «The investment projects analysis with borrowed funds» has been developed. The developed software package helps to estimate indexes of effectiveness under uncer-
tainty: investment project stability margin, minimal loan maturity, net present value, internal rate of return. These results may be useful in the investment analysis practice. Keywords: investment project, uncertainty, fuzzy number, net present value.
Одной из основных целей инвестиционной деятельности является достижение наилучших результатов капиталовложений, поэтому особое место отводится правильной оценке эффективности инвестиционного проекта (ИП). Реализация большинства ИП требует привлечения заемного капитала. В связи с этим весьма актуальной представляется задача принятия решений по наиболее эффективному использованию заемных средств. Для ее решения был разработан специализированный программный пакет «Анализ эффективности инвестиционных проектов с привлечением заемных средств» (Свид. о гос. регистр. прогр. для ЭВМ № 20126144635 от 24.05.2012, авторы: А.А. Усков, О.В. Балашов, И.А. Киселев).
Под задачей управления заемными средствами в настоящей статье понимается совокупность взаимосвязанных задач: оптимальный выбор ИП, его параметров и условий кредита для его финансирования из множества допустимых. Отметим, что оптимальное решение указанных задач может быть найдено для них только совместно, так как важны не только показатели эффективности ИП, но и стоимость кредита для его реализации, например, высокоэффективный ИП совместно с дорогим кредитом может оказаться менее эффективным по сравнению с низкоэффективным ИП, под который имеется дешевый кредит.
Инвестиционная деятельность всегда ведется в условиях неопределенности: точно не известны будущие денежные поступления от реализации ИП, индекс инфляции и некоторые другие показатели. В рассматриваемом программном продукте неопределенность учитывается путем введения в расчетные формулы нечетких переменных в виде нечетких чисел ЬЯ-типа, параметры которых должны быть оценены предварительно, например экспертным методом. Использование нечетких чисел ЬЯ--типа позволяет существенно упростить расчетные формулы.
С помощью разработанного программного пакета можно в условиях неопределенности нечеткого характера оценивать следующие показатели эффективности ИП:
- степень устойчивости ИП - показывает его финансовую реализуемость, а именно, на сколько процентов поступления от ИП будут больше, чем требуемые платежи по кредиту, полученному под реализацию данного ИП;
- наименьший срок погашения кредита -время погашения кредита для случая, когда все поступления от ИП идут на погашение кредита;
- чистый приведенный доход - доход с учетом оттока денежных средств и инфляции;
- внутренняя норма доходности - параметр, показывающий, при какой процентной ставке по
кредиту чистый приведенный доход от ИП будет равен 0.
Рассмотрим математическое обеспечение расчета чистого приведенного дохода.
Постановка задачи
Предположим, что ИП требует однократного первоначального вложения капитала в сумме К. Данная сумма получена в кредит под Я процентов годовых на МКР месяцев. Все платежи равные (аннуитетные), и разрешено досрочное погашение кредита. Сумма платежа по кредиту в т-м месяце Ут определяется формулой
Г.=Г = * (*/10°)/12 м прит <МКР,
1 - (1 + (7? /100) /12) КТ (1)
Ут = 0 при т > ,
5" = Г-МЛР ,
где - общая сумма долга, подлежащая погашению [1].
Заметим, что формула (1) является приближенной, так как в ней используется приближенный пересчет годовой процентной ставки в месячную (Я/12), в то же время ввиду своей выгодности для кредиторов именно эта формула наиболее часто используется на практике [1].
Нечеткие числа ЬЯ-типа - это разновидность нечетких чисел специального вида, задаваемых по определенным правилам [2, 3]. Функции принадлежности нечетких чисел ЬЯ-типа задаются с помощью невозрастающих четных неотрицательных действительных функций действительного аргумента Ь(х) и Я(х), удовлетворяющих свойствам: 1) Ь(х)>0, Я(х)>0; 2) Ь(-х)=Ь(х), Я(-х)=Я(х); 3) невозрастание на интервале (0,+да); 4) Ь(0)=Я(0)<1.
Пусть Ь(х) и Я(х) - функции ЬЯ-типа. Функция принадлежности унимодального нечеткого числа А с модой а с помощью Ь(х) и Я(х) задается следующим образом:
_ I 1Л л-
L - при х < а,
R
Р
при х > а;
где а - мода; а>0, р>0 - левый и правый коэффициенты нечеткости.
Таким образом, при заданных Ь(х) и Я(х) нечеткое число ЬЯ-типа определяется тройкой (а, а,
Р).
Пример функций Ь(х) и Я(х): Ь(х) = Я(х) = е, Ь(х) = Я(х) = - 1
Ч*Г
где p - положительная константа.
Текущие денежные поступления в m-м месяце от ИП заданы нечеткими числами ЬК-типа:
Р =(р ,а/>,В/>).
т ^-гт ' т ' г т '
Задан также индекс инфляции в да-м месяце в виде нечеткого числа ЬК-типа 1т = (гт, а!т, р^). Определены функции L(x) и R(x). Длительность поступления средств от ИП - N то есть Pm=0 при m>N.
Требуется определить чистый приведенный доход ИП в нечетких условиях.
Расчет чистого приведенного дохода
Рассмотрим вначале случай, когда поступления от ИП и индекс инфляции в m-м месяце точно известны и определяются четкими числами Pm и
1m.
Формула для расчета чистого приведенного дохода имеет вид
1
(2)
где /•', = ■
1
(1+4Г
(1 I )т ~ к0ЭФФициент Дисконтирования с учетом инфляции в m-м месяце.
Коэффициент дисконтирования выбирается таким образом, чтобы привести стоимость к ценам на момент получения кредита, то есть чистый приведенный доход показывает поступления от ИП в ценах на момент получения кредита под ИП.
Рассмотрим случай, когда текущие денежные поступления от ИП и индекс инфляции в m-м месяце заданы нечеткими числами ЬК-типа:
Р = (р , ар, РР) и / = (/' , а1, В7) соответст-
т ^-гт ' т ' г т ' т V т ? т ? Гт'
венно.
Формула для определения чистого приведенного дохода в данном случае имеет вид
1
1+/.
(3)
Сначала определим значение коэффициента дисконтирования: 1
Е =-
1 + /„
(4)
Для этого докажем утверждение о возведении нечеткого числа в целую положительную степень.
Утверждение. Пусть а = т, а, р - нечеткое число ¿К-типа, тогда при ///><) целая положительная степень п нечеткого числа а определяется формулой
а" = тп,п-тп-1 -о.,п-тп-1 .
(5)
Доказательство.
Согласно формуле умножения нечетких чисел LR-типа [2, 3] для нечетких чисел 5=^, а, Р)№ и Ь=(п, у, Ь)ш при m>0, п>0 можно записать:
(m, а, Р)шф(п, у, 8)LR=(mп, аn+уm, Рn+5m)LR. (6) Используя формулу (6), получим:
а1 = да, а,Р ^
а2 = да, а, Р = да2, та + та , дар + дар = = т2, 2та, 2даР ,
а3 = т,а,Р 3 = (да3, даа + даа -т +
+ат2, даР + даР ■т + $т2)= (7)
= да3, Зада2, Зрда2 ,
а4 = »г, а, Р 4 = »г4, даЗда2а + да3а, даЗда2р + да3р =
= т4, 4да3а, 4да3р ,...
Предположив, что выражение (5) верно, будем иметь
т
Сп + \)-тп-а, (и +1)--Э . (8)
другой стороны, а =а -а, используя формулы (5) и (6), также приходим к выражению (8).
Таким образом, если верна формула (5), то верна и формула (8). Последнее утверждение совместно с формулой (7) на основе математической индукции доказывает правильность формулы (5) [4].
Утверждение доказано.
Согласно формуле нахождения обратного нечеткого числа ЬК-типа для а = т, а, р [3]
а =
1 Р
(9)
Воспользовавшись формулами для определения степени нечеткого числа (5) и обратного для нечеткого числа (9), получим
Е_
е , а", Р"
т> т>ги
да ■ I
да • а
1 + /'
- . т+1 ' . т+1
1+/„ 1 + /„
(10)
Теперь перейдем к определению
пру,а!*",^ .
Воспользовавшись формулой умножения нечетких чисел (10), полним
«Р «Р X Рт~Ут
;],(ц)
рт-?т -р^+^-Р»] •
т-\ -1 I
Подставляя формул (10) в формул (11), окончательно получим
АФУ= пру, а"1™,^ , (12)
1
где пру = ^
ш=1
т т т
1
ЛГ
!П
т
т=1
т
т=1
т
N
= £
ш=1
рчрт = 2
Р -Y
г т т
-Л
1 + L
та,
1 + С
1+ L
l+L
■к,
Формула (12) позволяет рассчитать чистый приведенный доход, получаемый от инвестиционного проекта, использующего заемные средства, в случае, когда поступления от инвестиционного проекта и индекс инфляции заданы нечеткими числами ЬЯ-типа.
Подытоживая, отметим, что в статье описан программный пакет «Анализ эффективности ИП с привлечением заемных средств». Получена расчетная формула, позволяющая определять чистый приведенный доход в нечетких условиях на основе арифметики нечетких чисел ЬЯ-типа.
Для определения чистого приведенного дохода ИП в нечетких условиях можно использовать также комплексный или матричный метод выполнения операций над нечеткими числами ЬЯ-типа, что позволит упростить вычисления при использовании систем компьютерной математики [5].
Результаты исследования могут быть полезны в практике инвестиционного анализа.
Литература
1. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: Дело, 2000. 400 с.
2. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 2000. 352 с.
3. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта; [под ред. Д.А. Поспелова]. М.: Наука, 1986. 312 с.
4. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2001. 568 с.
5. Усков А.А., Киселев И.А. Комплексный и матричный методы выполнения арифметических операций над нечеткими числами // Управление большими системами. М.: ИПУ РАН, 2012. Вып. 40. С. 96-107.
6. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложение к представлению знаний в информатике. М.: Радио и связь, 1990. 288 с.
7. Кучарина Е.А. Инвестиционный анализ. СПб: Питер, 2006. 160 с.
8. Непомнящий Е.Г. Инвестиционное проектирование. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003. 262 с.
9. Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения. М.: ЭдиториаЛ. УРСС, 2000. 192 с.
10. Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические основы, применение. М.: Физматлит, 2007. 464 с.
11. Усков А.А., Кузьмин А.В. Интеллектуальные технологии управления. Искусственные нейронные сети и нечеткая логика. М.: Горячая Линия-Телеком, 2004. 143 с.
References
1. Chetyrkin E.M., Finansovaya matematika [Financial math.], Moscow, Delo, 2000, 400 p.
2. Altunin A.E., Semukhin M.V., Modeli i algoritmy prinyatiya resheny v nechetkikh usloviyakh [Models and algorithms for decision making under fuzzy conditions], Tyumen, Tyumen State Univ., 2000, 352 p.
3. Pospelov D.A., Nechetkie mnozhestva v modelyakh upravleniya i iskusstvennogo intellekta [Fuzzy sets in control models and artificial intelligence], Moscow, Nauka, 1986, 312 p.
4. Kurant R., Robbins G., Chto takoe matematika? [What is mathematics?], Moscow, Moscow Center for Continuous Math. Education, 2001, 568 p.
5. Uskov A.A., Kiselev I.A., Upravlenie bolshimi sistemami, [Management of large systems], Moscow, ICS RAS, 2012, Vol. 40, pp. 96-107.
6. Dyubua D., Prad A., Teoriya vozmozhnostey. Prilozheniya kpredstavleniyu znaniy v informatike [Possibility theory. Appliances to representation knowledge in informatics], Moscow, Radio i svyaz, 1990, 288 p.
7. Kucharina E.A., Investitsionny analiz [Investment analysis], St. Petersburg, PITER, 2006, 160 p.
8. Nepomnyashchy E.G., Investitsionnoe proektirovanie [Investment project development], Taganrog, Taganrog State Univ. of Radioengineering, 2003, 262 p.
9. Pytyev Yu.P., Vozmozhnost. Elementy teorii i primeneniya [Possibility. The elements of theory and appliance], Moscow, EditoriaL, URSS, 2000, 192 p.
10. Pytyev Yu.P., Vozmozhnost kak alternativa veroyatnosti. Matematicheskie i empiricheskie osnovy, primenenie [Possibilities as the alternative of probability. Math and empiric basics, appliance], Moscow, Fizmatlit, 2007, 464 p.
11. Uskov A.A., Kuzmin A.V., Intellektualnye techno-logii upravleniya. Iskusstvennye neyronnye seti i nechetkaya logika [Intelligent management engineering. Artificial neural networks and fuzzy logics], Moscow, Goryachaya Liniya-Telekom, 2004, 143 p.
1
p
1
m=1
УДК 004.896:519.767.6
СИСТЕМА СИНТЕЗА УЧЕБНЫХ ТЕСТОВ НА ОСНОВЕ ФОРМАЛЬНЫХ ГРАММАТИК
(Исследования выполняются по 2-му этапу ГК№ 02.740.11.0625 в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., лот № 2010-1.1-113-025, шифр заявки № 2010-1.1-113-025-043)
А.Н. Швецов, д.т.н., профессор, декан; Ю.О. Мамадкулов, ассистент; С.И. Сорокин, ассистент (Вологодский государственный технический университет, ул. Ленина, 15, г. Вологда, 160000, Россия, smithv@mail.ru, yusuf444@mail.ru, sonvin@inbox.ru)
Рассматривается метод генерации обучающих тестов и тестовых заданий, использующий продукционный формализм на основе канонических исчислений Поста. Поддерживаются контекстно-свободные, контекстно-зависимые
