CC BY
12
УДК 621.396.67:629.396:96
В. Ю. Шустиков
Программный комплекс расчета отражательных характеристик целей с осесимметричной формой в резонансном и высокочастотном диапазонах длин волн
Для разработки программного обеспечения решения задачи дифракции электромагнитной волны на объекте и расчете его ЭПР предложено применить один из наиболее точных, устойчивых и распространенных сегодня методов - метод интегральных уравнений, ограничив его использование рассмотрением целей с осесимметричной формой поверхности, что достаточно часто случается на практике. Рассмотрен широкий круг практических вопросов, связанных с применением метода интегральных уравнений для тел вращения, при этом основное внимание уделено условиям, необходимым для получения результатов с заведомо высокой точностью. Представлено программное обеспечение, в котором реализован предлагаемый метод, приведены результаты расчетов.
Ключевые слова: электромагнитная волна, обратное рассеяние, эффективная площадь рассеяния, наведенные токи, интегральные уравнения.
Несмотря на большое количество работ, посвященных электродинамическому моделированию электромагнитных полей, рассеянных объектами с различной формой поверхности, решение задачи расчета отражательных характеристик объектов лоцирования до сих пор является актуальным и востребованным разработчиками радиолокационной аппаратуры. Больше всего вопросов остается при создании моделей функционирования дорогостоящих радиолокационных станций (РЛС) обзора космического пространства. Одной из особенностей таких РЛС является использование дециметрового и метрового диапазона радиоволн, что позволяет существенно снизить эффективность радиопо-глощающих покрытий, наносимых на поверхность наблюдаемых целей. С точки зрения расчета эффективной площади рассеяния (ЭПР) таких целей основной сложностью является неприменимость методов высокочастотной асимптотики, поскольку соизмеримость размеров целей с длиной волны вызывает необходимость учитывать в расчете теневые области поверхности объекта и переотражения между различными участками. Однако существующие в настоящее время пакеты прикладных программ решения электродинамических расчетов позволяют провести подобные расчеты с достаточно большой точностью, но их чаще всего невозможно применить в случае необходимости внедрения блока расчета отражательных
© Шустиков В. Ю., 2018
характеристик целей в сложные комплексные модели, имитирующие работы широкополосных РЛС в быстро меняющейся обстановке.
Известно, что в настоящее время для решения задач дифракции на телах вращения в резонансной области широко используется метод интегральных уравнений (ИУ). В отличие от методов геометрической теории дифракции, физической оптики, краевых волн и т. д., справедливых в высокочастотной области, метод интегральных уравнений дает возможность асимптотически точно описать рассеянное поле в дальней зоне при соизмеримости линейных размеров тела с длиной волны. Однако, несмотря на большое количество публикаций, посвященных данному методу, существует большой разрыв между теоретическими исследованиями и построением алгоритмов, дающих устойчивые решения для любых идеально проводящих тел вращения во всей резонансной области.
Пусть на идеально проводящее ограниченное тело падает плоская электромагнитная волна с напряженностью электрического Е(-и магнитного полей Н;-. Будем называть поле этой волны первичным {еи,Н"}. Под воздействием первичного поля по телу текут токи с плотностью Jэ, создающие вторичное рассеянное поле {е г , Н г}.
Получим интегральное уравнение для _ задачи дифракции электромагнитной волны | на идеально проводящем теле. Пусть электро- | магнитное поле возбуждается локальными £ сторонними токами J0. Для определения ^
о см
см
О!
<
I
о та
0 ^
СО та
1
о.
<и
3
и <и со
см ■ч-ю
с?
см ■ч-ю см
(П (П
электромагнитного поля вне идеально проводящего тела с замкнутой поверхностью £ нужно решить следующую задачу: найти векторы |Е,И}, удовлетворяющие вне поверхности S уравнениям Максвелла [1]:
гоШ = -/юц Е + J0,
rotE = -/юцН, и граничному условию на поверхности S: [п, Е ] = 0,
где Н и Е - векторы напряженности электрического и магнитного полей;
е, | - электрическая и магнитная проницаемость среды;
ю - частота электромагнитных колебаний.
Для получения интегрального уравнения удобно воспользоваться следующей формулой, дающей представление магнитного поля вне поверхности S в виде суперпозиции первичного (поля сторонних источников в свободном пространстве) и вторичного (рассеянного телом) поля [2, 3]:
Н (т) = Нп (т) +—ф
+ /юц|
4п
е ~^кгтд
-И&т,
gradq-, [п?, Н (д)
Г
тд
[п д, Е (д )--(п д ,Н (д)) gradí
тд
е ~/кГтд
тд
^д ,
(1)
где Нп (т) - магнитное поле заданных сторонних источников в точке т при отсутствии идеально проводящего тела;
к, гтд - расстояние между точкой т, находящейся в пространстве вне тела, и точкой д на поверхности тела S, к = ю^/ец;
пд - внешняя нормаль к поверхности S в точке д.
Формулу (1) называют формулой Стрет-тона - Чу [4], она дает представление электромагнитного поля через значения его на поверхности S, причем необходимо знать как тангенциальные, так и нормальные составляющие Н и Е на поверхности ^
В случае идеально проводящего тела граничные условия на поверхности S требуют обращения в нуль касательных составляющих электрического поля
[п,Е ] = 0,
и нормальных составляющих магнитного поля, т. е.
(п,Н ) = 0. (2)
Вводя для поверхностного тока, наведенного на поверхность идеально проводящего тела в точке q, обозначение
Jэ (д )=[п д ,Н (д)],
можем переписать интегральное представление (1) в виде:
Н (т) = Нп (т) + — ф
4п
grad
-/кгтд
е тд
Г
тд
, Jэ (д)
. (3)
Для получения интегрального уравнения относительно поверхностного тока Jэ (д) перейдем к пределу в соотношении (3), устремляя точку т на поверхность Для составляющих соотношения (3) имеем:
Нт—<£
Лтг Л
т^р 4п _
4п
-/кгтд
е тд
gradд ——, Jэ (д)
тд
dSд _
е-/кгрд
gradд—-, Jэ (д)
рд
^д + 2 [J Э (P), п р
(4)
(следует из свойств потенциала двойного слоя [2, 3]), Н(р)|5 = [JЭ, Пр ], Нп (т)|5 = Нп (р) (в силу условия (2)).
Воспользовавшись соотношением (4), получим:
2 уэ (р), п р ]=Нп (р).
4п
е ~'кгрд
grad д——, Jэ (д)
Г
рд
(5)
dSд .
Умножив уравнение (5) векторно на пр, можно записать его в виде:
Jэ (р) + 2 ф[п р, [уэ (д ),вЫ дв (р, д )]] dSq
(6)
= 2 [п р,Н п (р)], где в(р,д) - расстояние между точками
. -'кГрд
наблюденияр и истока q, в(р,д) =
4пг
рд
Ч(-) + V + Яд2 -2ЯрЯдСС8 V, *=фр-Фд.
+
1
Р11 (v v ) =
* т у p' rq )
R„
z — z
р q
R
-ЯП
z — z„
Соотношение (6) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода для поверхностной плотности тока на идеально щим образом [1, 2]: проводящем теле. Оно описывает внешнюю электродинамическую задачу для идеально проводящего тела; в общем случае трехмерное интегрирование производится по поверхности тела, что существенно затрудняет расчеты. Однако задача упрощается для идеально проводящих тел вращения. В этом случае интегрирование по поверхности тела нужно заменить интегрированием по его образующей путем перехода от декартовых координат (х, у, г) к координатам вращения (и,у,ф) (рис. 1) [1, 2]. В координатах орт v0 направлен по касательной вдоль образующей тела; орт и 0 совпадает с нормалью к телу в точке на образующей, при этом координата и = 0 для любой точки; орт ф0 направлен по касательной перпендикулярно образующей тела по направлению вращения.
где Рт ) - ядра системы интегральных уравнений, которые определяются следую-
-Бт
(0q
q dz
\
(0q ) — C0S (0q )
pm (vp v)
d Sm+1 + S
m—1 .
dz
= im
z — z Zi_q s •
D D m> RpRq
(8) (9)
P1 (Vp,Vq ) = im
(8q ) 51П (8P )
sin (8q) cos (8 p )
R
СОБ (
R
(10)
(z p - zq)
RpRq
СОБ
(8q)cos(8p)
s
*р\ 7-,
Е i N. _
Н N ЧУ X Фо
уС Р \ р А 1 1 J»
0 / ZP % у z
Рш (vp ,Vq ) = -Rq sin (0p )
dSm
V( z p - zq )dzj
(Rp sin (0) + (zp - zq) cos (0p))-—
d Sm+1 + S
m-1
z — z dz
p q
(11)
Рис. 1. Геометрическая постановка задачи
Тогда после записи составляющих уравнения в координатах вращения и разложения их в ряд Фурье по азимутальным гармони- Грина в ряд Фурье и вычисляется следующим
Здесь Rp и Rq - нормированные (умноженные на волновое число) радиусы вращения точекр и q образующей тела вокруг оси Ог,
гр и гд - нормированные координаты г точек р и q.
Входящая в (12)-(15) функция Ь\т является т-м коэффициентом разложения функции
кам фт получим систему двух интегральных одномерных уравнений Фредгольма второго рода относительно неизвестных гармоник плотностей тока jmv V) в точке наблюдения р:
образом [1, 2, 4]:
* LК
Sm = 2П I
2п -ir„,
2П 0 rpq
-e ~imWd W.
(12)
max(v)
f (v ) + i Гр11 (v ,v ) m (v )+
Jmvypj J m у p^v q j J mvy q j 0
+Pu (v ,v ) m (v )!Rdv = 2/эпад (v ),
m\vp9vq)jmф \ yqJ J q^v q •> m ф \ p}9
max(v)
l(vp )+ J [Prn (vp ,vq ) fmV (vq ) +
0
+P22(v ,v )/э (v )!Rdv = 2/эпад(v ),
m yp>rqjJmty\ q)j q q Jmф \ pj'
Производную функции Qm легко получить с использованием ее интегрального представления [1, 4]:
(7)
1 2r e ~'rpq
Qm =-2-i e~^(irpq (13)
2П 0 rpq
Правая часть системы интегральных уравнений (7) - результат разложения в ряд Фурье электромагнитных токов jэпад (V) и
та
та
s ф
2
+
e
о см
см
О!
<
I
со та
0
со та
1
.
<и
3
и <и со
см ■ч-ю
с?
см ■ч-ю см
(П (П
у (V), наведенных падающей на тело электромагнитной волной единичной амплитуды в точке наблюдения р. Для идеально проводящего тела при нулевой составляющей магнитного поля они записываются следующим образом:
утФпад м=
■т 1 т (Яр 51П У) сс8Т
/ттСС8(0)—^--е р ,
у эпад Уту
(У) =
;т-1
Яр у
д1т (Яр У)
д(Яр вт у)
/ 2рСС8у
где у - угол между осью 02 и направлением падения (отражения) электромагнитной волны (см. рис. 1).
Полученное в результате решения (7) распределение токов на образующей позволяет рассчитать рассеянное поле в дальней зоне в сферической системе координат
ег (г, -,<) = £ ет |
- 1т СС8 0 СС8 -X
X
Лт ( ¡5Ш;т+1 d ( 81п б)
--/
Яп 0 81п б1т ( б )
Jmv +
т+1 1т ( 8Шб) ] СС8б
+ т/ СС§ б Ме Х>
Ефас (г, 1,ф) = ^т
х 1т ( X 81п ^ Т .
с'тф
!
- т/т+1СС8 0х
(
X, 81п 1
_I Т 12 СС81
d ( 81п 1) \ тф
( 8Ш 1)
Затем нетрудно рассчитать ЭПР:
а = -
12 |Е Рас + еН
4п
где X - длина волны падающего излучения.
Основным фактором, влияющим на точность расчета ЭПР тела вращения по предлагаемой методике, является точность расчета функции Грина кольцевого источника и ее производной (формулы (12) и (13)). На рис. 2 показано поведение функций Sm и Qm, откуда видно, что они имеют точки разрыва, из-за которых возникает неустойчивость и, как следствие, падает точность расчета характеристик рассеяния. Это обстоятельство суще-
ственно затрудняет разработку программной реализации метода интегральных уравнений и снижает возможности его применения в высокочастотной области, где длина волны падающего излучения значительно меньше размеров объекта [3]. Как нетрудно показать, причина появления разрыва - совпадение точки наблюдения с точкой интегрирования и обращение в нуль знаменателей подынтегральных выражение (12) и (13).
В ходе работы над программным обеспечением с помощью численных экспериментов было исследовано поведение функций (12) и (13), определена целесообразность использования численного интегрирования методом Гаусса по шести точкам при их расчете для случая совпадения точек наблюдения и интегрирования. В других случаях при расчете численными методами функций (12) и (13) достаточно использовать интегрирование методом Гаусса по трем точкам.
На основе данной методики был разработан пакет программ расчета отражательных характеристик идеально проводящего тела вращения произвольной формы при заданном ракурсе его облучения и поляризации падающей волны. Расчетный блок программы реализован на языке программирования С++ в виде отдельного модуля, что позволяет осуществить его внедрение в любой программный комплекс с помощью любого стандартного интерфейса обмена данными. Входными данными для программного обеспечения являются заданная в табличном виде образующая тела вращения, длина волны падающего излучения и поляризация падающей волны, выходными - значение амплитуды и фазы отраженного сигнала на заданной поляризации при заданном ракурсе облучения.
В качестве примера использования расчетного модуля на рис. 3 показана программа расчета круговой диаграммы ЭПР тела вращения. Проиллюстрирована возможность ввода образующей исследуемого тела вращения с помощью графического редактора, длины зондирующей волны и ее поляризации, а также сохранения результатов (см. рис. 3).
В отличие от ранних разработок используемый алгоритм позволяет рассчитывать угловые диаграммы обратного рассеяния во всем
т=
т=-<*>
Re(ßo) 0,10
-0,05
Im(ßo) 0,3
в г
Рис. 2. Функция Грина кольцевого источника: а - действительная часть Sm; б - мнимая часть Sm; в - действительная часть Qm; г - мнимая часть Qm
та
та
s ф
Рис. 3. Вид окон программного обеспечения расчета ЭПР
ст /па
о см
см 01
<
I
(0 та
г
о ^
со та г о.
<и
3
и <и со
см ■ч-ю
с?
см ■ч-ю см
(П (П
\
\
Л Л V / *
V 1 Г 1 г □
1 2 3 4 5 6 ка
Рис. 4. Результаты расчета ЭПР сферы: □ - расчет методом ИУ; — - общеизвестные результаты
а/Х\ дБ
10
-5
-10
-15
-20
-25
2,76Х
0,216Х
г». _
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Угол падения, град а
о/Х\ дБ
2,76Х 216А,
Ч 0
- а[
\
\
1 А Л
10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Угол падения, град б
Рис. 5. Угловые диаграммы эффективной площади рассеяния цилиндра поляризации НН (а) и VV (б): х - экспериментальные данные; -•— - результаты Мичиганского университета;_- расчет методом ИУ
резонансном диапазоне, в том числе и в его высокочастотной области. Для калибровки разработанного программного обеспечения проведены расчеты ЭПР идеально проводящей сферы, на рис. 4 приведено сравнение полученных результатов с общеизвестными.
Рассчитаны угловые диаграммы эффективной площади рассеяния тел типа цилиндр и конус (рис. 5, 6) для вертикальной и горизонтальной поляризации падающей и отраженной волны. Эти результаты хорошо совпадают с опубликованными экспериментальными данными [5, 6], что позволяет использовать разработанный программный модуль в качестве составной части более сложных моделирующих систем.
Ю
ю 0 -10 -20 -30
ШЩ
а»«*
30 60 90 120 160 ф, град б
Рис. 6. Угловые диаграммы эффективной площади
рассеяния конуса при у = 15°, ka = 3,08: а - вертикально поляризованное радиопередающее средство; б - горизонтально поляризованное радиопередающее средство; |1Н|||И1 - измеренные величины; --метод ИУ
Итак, в работе приведено описание метода интегральных уравнений для расчета ЭПР идеально проводящих тел вращения в резонансной области. В ходе реализации алгоритма расчета исследовано влияние точности расчета
функции Грина кольцевого источника и ее производной на устойчивость системы линейных уравнений кольцевых токов, возбуждаемых первичным падающим полем на поверхности исследуемого объекта. На основе созданного алгоритма разработано программное обеспечение, результаты его работы проверены сравнением с известными данными. Список литературы
1. Ахияров В. В., Слукин Г. П., Шустиков В. Ю. Расчет отражательных характеристик идеально проводящих тел вращения в резонансной области методом интегральных уравнений // Антенны. 2001. Вып. 8. С. 53-60.
2. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. М.: Гостехиздат, 1948. 300 с.
3. Васильев Е. Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987. 272 с.
4. Ахияров В. В., Орлов В. М., Слукин Г. П., Шустиков В. Ю. Применение метода интегральных уравнений для определения электромагнитных полей, рассеянных идеально проводящими телами вращения в резонансной области // Электромагнитные волны и электронные системы. 2005. № 7. Т. 3. С. 15-20.
5. Ruck G. T., Barrick D. E., Stuart W. D., Krich-baum C. K. Radar cross section handbook. New York; London: Plenum Press, 1970. 947 p.
6. Митра Р. Вычислительные методы в электродинамике. М.: Мир, 1977. 487 с.
Поступила 04.12.17
Шустиков Владимир Юрьевич - кандидат технических наук, доцент, заместитель начальника отдела АО «Концерн ВКО «Алмаз - Антей», г. Москва.
Область научных интересов: радиолокация, распространение электромагнитных волн.
Software package for calculating the reflectance profile of axisymmetrically-shaped targets in resonant and high frequency wavelength ranges
To develop software for solving the problem of electromagnetic wave diffraction at an object and calculate its scattering cross section, it is proposed to apply one of the most accurate, stable and common methods today -the integral equation method, confining its use to considering the targets with an axisymmetric surface shape, which often happens in practice. The study deals with a wide range of practical issues related to the application of the integral equation method for solids of revolution, with the main attention being paid to the conditions necessary for obtaining results with known-high accuracy. We present the software in which the proposed method is implemented, and give the results of calculations.
Keywords: electromagnetic wave, backscattering, scattering cross-section, induced currents, integral equations.
Shustikov Vladimir Yur'evich - Candidate of Engineering Sciences, Associate Professor, Deputy Head of Department, the "Almaz - Antey" Air and Space Defense Corporation, Joint Stock Company, Moscow. Science research interests: radio detecting and ranging, electromagnetic wave propagation.
