Программное обеспечение для построения переменных разделения в уравнении Гамильтона-Якоби Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ю. А. Григорьев

ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ РАЗДЕЛЕНИЯ В УРАВНЕНИИ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ*

Введение. Рассмотрим риманово многообразие Q с локальными координатами д = = (д1, д2, ■■■,дп) и положительно определённым метрическим тензором О.

На кокасательном расслоении Т*Q многообразия Q стандартным образом определим канонические координаты (р, д) и рассмотрим динамическую систему с функцией Гамильтона натурального вида

П

н = т (р, д) + V (д)=^2^г° (д^Рз + V (д) ■ (1)

¿,¿=1

Здесь '¿з (д) - компоненты метрического тензора О, а V(д) - потенциальная энергия системы, которая является гладкой функцией на римановом многообразии Q, каноническим образом поднятой до функции на всем фазовом пространстве Т*Q.

Одним из самых универсальных методов интегрирования уравнений движения для конечномерных интегрируемых систем классической механики был и остаётся метод Гамильтона-Якоби - метод разделения переменных. Для его успешного применения требуется удачно выбрать систему координат, в которой происходит разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби

Н(р, д) = Е■ (2)

Согласно определению Якоби [1], в уравнении Гамильтона-Якоби имеет место разделение переменных, если существует полный интеграл вида

п

^^, а 1 ^ ■ ■ , ап) ^ Si (Qi, a1,■■■, ап), (3)

¿=1

где г-е слагаемое Si зависит только от г-й координаты Qi и от п параметров а1, ■ ■ ■ , ап. Здесь предполагается, что переменные разделения Q = ^1, ■ ■ ■ , Qn) являются координатами Дарбу, т. е. {Qi, Qj} = 0.

В этом случае переменные Q называются переменными разделения, а сопряжённые им импульсы находятся из уравнений Якоби. Всюду далее под разделением переменных будет пониматься разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби, которое позволяет найти полный интеграл этого уравнения вида (3).

Главным недостатком метода разделения переменных считается тот факт, что нахождение переменных разделения для каждой конкретной интегрируемой системы является своего рода искусством. Единственным общим результатом, применимым ко всем интегрируемым системам, является следующий критерий, предложенный в работе Т. Леви-Чивита [2]: уравнение Гамильтона-Якоби (2) интегрируемо методом разделения переменных, если функция Гамильтона Н(Р^) удовлетворяет следующим

* По материалам доклада на юбилейном семинаре «Вычислительная физика» 29—30 октября 2009 г., С.-Петербург.

© Ю. А. Григорьев, 2010

п(п — 1)/2 уравнениям при г =

дН дН д2Н дН дН д2Н дН дН д2Н дН дН д2Н

---------------------------------------------------------1-----------------= 0. 4

ИГ; Щ': ■< !();■< К): Щ) П(.): П(.);ПГ: И(.); ИГ: ПГ;П(.): ^ И(.); ¡П): /У/';///' 1 ’

До недавнего времени исследование системы уравнений Леви-Чивита (4) считалось практически невыполнимой задачей, в том числе и потому, что сформулирован этот принцип с использованием неизвестных переменных разделения. Однако для некоторых частных классов интегрируемых систем уравнения Леви-Чивита недавно были переписаны в инвариантной геометрической форме, не зависящей от выбора координатной системы.

Стоит отметить, что единого для всех интегрируемых систем алгоритма построения переменных разделения по-прежнему не существует. Тем не менее, создано несколько алгоритмов решения этой проблемы, претендующих на универсальность и применимых к некоторым достаточно обширным семействам интегрируемых систем [3-6]. Для этих систем уже можно перейти от искусства разделения переменных к практической технологии разделения переменных.

Далее будет рассматриваться частное семейство интегрируемых систем натурального вида на римановых многообразиях, для которых исходные координаты (д,р) связаны с искомыми переменными разделения ^,р) с помощью точечных канонических преобразований вида

Q = I(д), р = I'(д)р, I = (/1,^^^,/п) ■ (5)

Функции Гамильтона натурального вида (1) ковариантны относительно точечных преобразований, т. е. точечные преобразования изменяют функции ^ (д) и V(д), но не меняют форму гамильтониана:

п

Н = т(Р, Q) + V^) =]Т ^Рз + Vт (6)

¿3 = 1

Подставляя функцию Гамильтона (6) в уравнения Леви-Чивита (4), получим

ij

- drgisgjrdsV - dsgirgjsdrv) + grsdrVdsV = 0. (7)

Здесь dr = d/dQr, ds = d/dQs и r = s.

Приравнивая нулю коэффициенты при импульсах Pi в уравнениях (7), получим уравнение для метрики gij и два уравнения, в которые входят gij и потенциал V. Кроме того, в эти уравнения неявно входит искомая функция f (q) (5), которая определяет связь исходных физических координат q и переменных разделения Q.

В работах П. Штеккеля [7], Л. Эйзенхарта [3], Э. Калнинса и У. Миллера [4], С. Бе-ненти [5] именно этот вариант уравнений Леви-Чивита (4) был переписан в инвариантной форме с использованием тензорного анализа на римановых многообразиях.

Метод построения переменных разделения. Основные результаты работ [3-5, 7] можно сформулировать в виде следующей теоремы:

Теорема 1. Уравнение Гамильтона-Якоби (2) допускает разделение переменных в ортогональной системе криволинейных координат, если и только если существует тензор Киллинга К второго ранга с простыми собственными значениями и нормальными собственными векторами такой, что

й(КйУ) — 0.

Здесь й - внешняя производная.

Существование тензора Киллинга К с заданными свойствами полностью зависит от выбора кинетической энергии системы Т, т. е. от метрики риманового многообразия. Существование одного такого тензора Киллинга эквивалентно существованию п тензоров Киллинга Кт с простыми собственными значениями и нормальными собственными векторами, которые коммутируют как линейные операторы и находятся в инволюции относительно соответствующих скобок Пуассона. Линейное пространство, образованное тензорами Кт, называют пространством Киллинга-Штеккеля. Процедура построения одного частного семейства пространств Киллинга-Штеккеля предложена Бененти в 1992 году [5].

Конформный тензор Киллинга Ь с нулевым кручением Нийенхейса

Тт = 2ЦдаЬт — 2ЬтдіЬа — 0,

(так называемый Ь-тензор) порождает систему п тензоров Киллинга второго ранга, попарно коммутирующих друг с другом:

т

Кт — ^ ^ @т — кЬ : или Кт — С Кт—1Ь : т — 0,...,п \. (8)

к=0

Входящие в определение (8) функции ат являются симметрическими полиномами степени т от собственных значений тензора Ь, то есть они равны коэффициентам характеристического полинома ёе^П — Ь) — ^^=о ат^п-т.

Таким образом, для заданного гамильтониана Н (1) в данном методе построения переменных разделения Qi необходимо найти тензор Киллинга Ь и нетривиальные решения уравнений й(КйУ) — 0.

Для реализации алгоритма построения переменных разделения условие существования тензора Киллинга Ь необходимо также представить в виде условия существования нетривиального решения некоторого уравнения. Искомое уравнение построено в работе [9], в которой доказана следующая теорема.

Теорема 2. Тензор Ь является симметрическим тензором Киллинга градиентного типа с нулевым кручением и простыми собственными значениями относительно метрического тензора С, если и только если

й(СхТ 0 — Тйої) — 0. (9)

Здесь С - производная Ли вдоль геодезического векторного поля ХТ, о1 — 1г Ь - симметрический полином первой степени и

п

0 — ^2 Ц рі ¿д>

і,3 = 1

является Ь-деформацией стандартной 1-формы Лиувилля 0о — ^ pjdqj, которая не зависит от выбора координатной системы.

После подстановки тензора Киллинга К1 (8) в уравнение ¿(Кс1У) = 0 получается уравнение, которое по своей структуре аналогично уравнению (9):

d(Lxv 0 — Vda1) = 0 . (10)

Доказательство может быть найдено, например, в работе [10].

Для того чтобы уменьшить количество промежуточных вычислений, используется следующее выражение для производной Ли L вдоль векторного поля X:

Lx = ix d + d ix .

Здесь ix - внутренняя производная и d - внешняя производная. Так как d2 = 0, то после подстановки этого выражения в уравнения (9, 10) они принимают вид:

d(ixT d 0 — Tdo1) = 0, (11)

d(ixvd0 — Vdoi) = 0 . (12)

Итак, алгоритм построения переменных разделения Q для заданной L-системы сводится к нахождению нетривиальных решений уравнений (11) и (12) относительно функций Lj (q) на римановом многообразии Q и нахождению собственных значений тензора L.

После вычисления тензора L интегралы движения Hm, согласно [8], можно найти в виде решений рекуррентных уравнений

dHm+1 N dHm + ^m+1dH, m \,...,П ~1, Hn = 0 .

Здесь N - оператор рекурсии, который является каноническим поднятием тензора L на кокасательное расслоение T* Q по правилу

i=1 ij\ / i=1

В следующем разделе представлена реализация данного алгоритма для построения L-тензоров и соответствующих переменных разделения для L-систем.

Замечание 1. Если для данного гамильтониана уравнения (11), (12) не имеют решения или решение тривиально, то это означает, что данная интегрируемая система не является L-системой. Отсутствие решения вовсе не означает, что система не допускает разделения переменных.

Результаты применения бигамильтонова подхода к интегрируемым системам. Результатом исследования данного метода стала программа, реализованная в системе символьных вычислений Maple 13 и позволяющая в значительной степени автоматизировать процесс построения переменных разделения и интегралов движения. Программа была применена к следующим интегрируемым системам: ангармонический осциллятор Гарнье, система Неймана, система Холта. Для каждой из перечисленных систем были получены переменные разделения и интегралы движения.

Приведём результаты применения программы к системе Неймана, описывающей движение частицы по сфере Sn под действием квадратичного потенциала:

1 N+1

V (х) = о Л, аіХі ’ где ^ аз ■ i=1

После замены переменных ^ = х2, где г = 1,...,М, подсказываемой видом ограничений на движение частицы, была вычислена матрица Ь:

L =

q1 a3 + a1 — q1 a1 ( — a2 + a3) q1

— q2 (a1 — a3) —q2a2 + q2 a3 + a2

и построены переменные разделения 1, 2 - собственные значения Ь. Было прове-

рено, что они являются сфероконическими координатами, введёнными Мозером для разделения переменных в системе Неймана как решения уравнения

N+1 2

V —= о.

^ X — аі

і=1

Также была вычислена матрица N =

(а3 — а1 )q1 + а1 (а3 — а2 )q1 0 0

(а3 — а1 )д2 (а3 — а2 )д2 + а2 0 0

0 р1 (а2 — а3) + р2(а3 — а1) (а3 — а1 )q1 + а1 (а3 — а1 )д2

р1 (а3 — а2) + р2 (а1 — а3) 0 (а3 — а2 )q1 (а3 — а2 )q2 + а2

что дало возможность построить второй интеграл движения:

Н1 := —2q12р12 а2 — 2q1p12 q2a2 + 2q1p1 2q2a3 + 2q1 а2р12 —

— 4q1a3q2p2p1 —2q22р22а1 +2q2p22q1а3 + 2q2a1p22 —

2 a1q1a2 a2a3q1 a2q2a1 a3q2a1 ^

- 2Ч2р22Ч1 а1 + —--------------------------------1-----+ _С1.

Вычисление в среде Маріє 13 занимает 19 секунд, основная часть времени уходит на решение переопределённой системы уравнений в частных производных с помощью pdsolve. Решаемая система содержит 13 уравнений в частных производных на 4 неизвестных.

Для систем более высоких размерностей переопределённая система уравнений сложнее. Так, для системы Гарнье размерности 3 она содержит 51 уравнение на 9 неизвестных. Для всех рассмотренных систем при невысоких размерностях время работы программы на современном компьютере не превышает одну минуту.

Заключение. Представленный алгоритм позволяет быстро и с минимальным участием исследователя получить переменные разделения и интегралы движения для данной интегрируемой системы, а также вычислить конформный тензор Киллинга Ь и оператор рекурсии N. Данный алгоритм применим только к Ь-системам, для общего случая произвольных интегрируемых систем с гамильтонианом натурального вида подобный алгоритм пока не построен. Программное обеспечение, реализующее этот алгоритм в среде символьных вычислений Маріє 13, демонстрирует достаточную скорость получения результата для регулярного использования в исследованиях.

Литература

1. Jacobi C. G. J. Vorlesungen über Dynamik, Georg Reimer, Berlin, 1866, Jacobi’s lectures on dynamics given in Königsberg 1842-1843, published by A. Clebsch.

2. Levi-Civita T. Integrazione delle equazione di Hamilton-Jacobi per separazione di vari-abili // Math. Ann. 1904. Vol. 24. P. 383-397.

3. Eisenhart L. P. Separable systems of Stackel // Ann. Math. 1934. Vol. 35. P. 284-305.

4. Kalnins E. G., Miller W. Killing tensors and variable separation for Hamilton-Jacobi and Helmholtz equations // SIAM J. Math. Anal. 1980. Vol. 11. P. 1011-1026.

5. Benenti S. Orthogonal separable dynamical systems // Diff. Geom. Appl. 1993. Vol. 1. N 1. P. 163-184.

6. Rauch-Wojciechowski S., Waksjö C. How to find separation coordinates for the Hamilton-Jacobi equation: a criterion of separability for natural Hamiltonian systems // Math. Phys. Anal. Geom. 2003. Vol. 6. N 4. P. 301-348.

7. Stöckel P. Uber die Integration der Hamilton-Jacobischen Differential Gleichung Mittelst Separation der Variabel. Halle: Habilitationsschrift, 1891.

8. Ibort A., Magri F., Marmo G. Bihamiltonian structures and Stäckel separability // J. Geometry Phys. 2000. Vol. 33. P. 210-228.

9. Crampin M. Conformal Killing tensors with vanishing torsion and the separation of variables in the Hamilton-Jacobi equation // Diff. Geom. Appl. 2003. Vol. 18. N 1. P. 87-102.

10. Bartocci C., Falqui G., Pedroni M. A geometric approach to the separability of the Neumann-Rosochatius system // Diff. Geom. Appl. 2004. Vol. 21. N 3. P. 349-360.

Статья поступила в редакцию 22 декабря 2009 г.