CC BY
11Научная статья
УДК 004.312.44 + 519.6
doi: 10.34822/1999-7604-2022-2-85-93
ПРОГРАММА ПОИСКА МОДУЛЯРНЫХ ОСНОВАНИЙ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ НЕОБХОДИМЫЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ДИАПАЗОН И МИНИМИЗАЦИЮ БИВАЛЕНТНОГО ЭФФЕКТА
Наталья Сергеевна Золотарева
Сургутский государственный университет, Сургут, Россия zolotareva_ns@surgu.ru, http://orcid.org/0000-0001-9751-4232
Аннотация. В работе анализируется проблема поиска множества пар модулярных оснований, равноотстоящих от среднего основания, которые обеспечивают минимум бивалентного эффекта, а их произведение перекрывает требуемый вычислительный диапазон. Нахождение таких оснований позволяет перераспределением избыточности в регистрах для меньших в паре оснований размещать бинарные комбинации, которые невозможно разместить в регистрах для больших в паре оснований.
Ключевые слова: модулярная арифметика, бивалентный эффект, взаимно простые основания, модулярный процессор
Для цитирования: Золотарева Н. С. Программа поиска модулярных оснований, обеспечивающих необходимый вычислительный диапазон и минимизацию бивалентного эффекта // Вестник кибернетики. 2022. № 2 (46). С. 85-93. DOI 10.34822/1999-7604-2022-2-85-93.
Original article
THE PROGRAM FOR SEARCHING MODULAR BASES PROVIDING A REQUIRED COMPUTATIONAL RANGE AND MINIMIZATION OF BIVALENT EFFECT
Natalya S. Zolotareva
Surgut State University, Surgut, Russia
zolotareva_ns@surgu.ru. http://orcid.org/0000-0001-9751-4232
Abstract. The article analyzes the problem of searching a set of pairs of modular bases equidistant from the mean base. These pairs provide a minimum of the bivalent effect, and their product covers the required computational range. By finding the bases, binary combinations that cannot be placed in registers for larger bases in a pair can be placed in those for smaller bases in a pair by redistribution of redundancy.
Keywords: modular arithmetic, bivalent effect, relatively prime bases, modular processor
For citation: Zolotareva N. S. The Program for Searching Modular Bases Providing a Required Computational Range and Minimization of Bivalent Effect // Proceedings in Cybernetics. 2022. No. 2 (46). P. 85-93. DOI 10.34822/1999-7604-2022-2-85-93.
ВВЕДЕНИЕ
Персональные компьютеры, которые человечество использует ежедневно в повседневной жизни, устроены так, что имеют возможность обрабатывать информацию в ограниченном вычислительном диапазоне. Размер обработки данных за один такт, которым процессор обменивается с оперативной памятью, зависит от разрядности процессора. Процессоры могут
быть 8, 16, 32 или 64-разрядными. Наиболее распространены 64-разрядные персональные компьютеры. Вычислительный диапазон в этом случае равен 264 (около 20 десятичных разрядов). В большинстве случаев такой разрядности вполне достаточно для обычного пользователя. Но что делать, если речь идет о сложных алгоритмах, где нужно решать задачи с числами большой разрядности?
Примером могут служить криптографические алгоритмы. Например, при реализации метода шифрования RSA криптосистеме Рабина требуется обеспечить точность результатов арифметических операций порядка 10309 [1].
Решением проблемы вычисления с многоразрядными числами было введение в 1950-е годы непозиционной системы счисления, которая носит название «Система остаточных классов», или модулярная арифметика, когда необходимо оперировать не с самим числом A(0 < A < Г), где Р = pl х p2 х ... х pn - диапазон представления чисел, а с остатками (а1, а2, ..., аП) при делении этого числа А на некоторые натуральные взаимно простые числа (р1, р2, ..., Рп) - основания модулярной системы, то есть аг = А(швйрг) 0 < аг <рг.
С 60-х годов прошлого века начались работы по созданию цифровых вычислительных машин на основе модулярной арифметики. Однако, несмотря на наличие преимуществ модулярной арифметики (выполнение арифметических операций сложения, вычитания и умножения не требует переноса в следующий разряд, малая разрядность остатков, действия над числами можно проводить независимо в параллельных каналах), есть и недостатки: отсутствие простого алгоритма деления и сравнения чисел, сложность выполнения операций, которые требуют округления результата, затруднение перевода из позиционной системы счисления в модулярную и др. В таком случае необходимо знать информацию обо всем числе и приходится восстанавливать его позиционное представление. В связи с этим построение универсальных вычислительных машин
с использованием модулярной арифметики можно считать неэффективным. Но построение цифровых вычислительных машин, специализированных под конкретные задачи, на основе модулярной арифметики оказалось весьма успешным, так как модулярная арифметика применяется в вычислительных системах достаточно широко уже несколько десятилетий [2-6].
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ Анализ и проектирование модулярной арифметики модулярного процессора.
Введем следующие определения:
Определение. Модулярный процессор -это специализированное техническое устройство, работающее на основе модулярной арифметики.
Определение. Числовым диапазоном будем называть числовую величину, которая не превышает максимума типового диапазона. В нашем случае типовым диапазоном считается 16-разрядный. Для беззнакового двоичного 16-разрядного кода числовым диапазоном представляемых значений будет от 0 до 2п - 1 = 65535.
Определение. Вычислительный диапазон -входной переменный параметр программного комплекса генерации оснований модулярной арифметики для решения нужной проблемы.
Проанализируем и спроектируем модулярную арифметику модулярного процессора для воспроизведения на п-разрядном серийном позиционном процессоре. В нем реализована беззнаковая целочисленная арифметика, то есть числа меняются от 0 до 2п - 1 включительно. Условная середина 2п - 1, где п = 16 (рис. 1).
Рис. 1. Беззнаковое представление целых чисел
Примечание: составлено автором на основании данных, полученных в исследовании.
Определение. Числа р1, р2, .., р п называются взаимно простыми, если (р1, р2, ..., Рп) = 1, то есть наибольший общий делитель этих чисел равен 1.
Определение. Числа р1, р2, .., р п называются попарно взаимно простыми, если наибольший общий делитель чисел (рг, р]) = 1, где г фу, г, у = 1, 2, ..., п.
Определение. Основаниями р\, р2, ..., рп модулярной арифметики, или по-другому модулями, будем называть простые (взаимно простые) числа, если для любых двух индексов IФг, / = 1, 2, ..., п выполняется (р, р/) = 1.
Определение. Обрабатываемые числовые данные (а1, а2, . аП) в модулярных форматах данных будем называть вычетами (остатками) по модулю, где аг е Z, 0 < аг <рг-.
Вычеты по модулю размещаются в цифровых регистрах, которые в совокупности составляют операционную разрядную сетку модулярного процессора.
При проектировании технических устройств, работающих на основе модулярной арифметики, возникает избыточность двоичного регистрового представления, которая называется бивалентным эффектом. Она возникает из-за несоизмеримости оснований модулярной арифметики со степенью двойки.
Определение. Бивалентным эффектом [7-8] отдельного модулярного основания называется величина
4 (р,) = [1об2 р, ] - 1об2 р, = щ -1 о%2 рг > О,
где [log2 р, ] - целая не меньшая часть числа,
которая представляет собой регистровую битность отдельного модулярного основания.
Определение. Величину Дя, равную сумме бивалентных эффектов каждого отдельного модулярного основания, будем называть суммарным бивалентным эффектом для п-регистровой бинарной разрядной сетки модулярного процессора:
п
дп = 2 4 (р,).
г=1
Основания модулярной арифметики не являются степенями двух. Степенью двойки выберем среднее основание.
Определение. Под неоднородностью блоков цифрового модульного регистра понимается их различная длина, выраженная в элементарных (двоичных) ячейках для размещения
разрядов числового значения остатка в бинарном коде.
Поскольку остатки - это целые числа, лежащие в пределах от нуля до значения модуля, уменьшенного на единицу, то в двоичных неоднородных блоках цифрового модульного регистра невозможно безызбыточное размещение вычетов в блоках цифрового регистра. Так как для представления остатков используются не все возможные двоичные комбинации, появляется информационная избыточность [9-14].
Метод сведения к нулю бивалентного эффекта работает для пар модулярных оснований, находящихся на одинаковом расстоянии от некоторого среднего основания.
Среднее основание по технологическим причинам удобно выбирать 2п для двоичной элементной базы, что позволяет уменьшить бивалентный эффект. При этом, чем больше показатель степени, тем больше таких оснований и проще процесс поиска и моделирования.
Общая задача состоит в получении проектировщиком спецкомпьютера множества модулярных оснований, произведение которых перекрывает требуемый вычислительный диапазон. Полученные основания позволяют экономить бинарную разрядность процессора.
Разработка алгоритма. На первом этапе был разработан алгоритм поиска модулярных оснований. Перечислим этапы разработки алгоритма:
1. Нахождение простых чисел в диапазоне от 0 до 2п.
2. Нахождение пар простых чисел, равноотстоящих от середины - это 2п - 1.
3. Нахождение пар простых (взаимно простых) чисел, равноотстоящих от середины.
4. Вычисление бивалентного эффекта найденных пар чисел.
5. Для составных чисел в парах указываются канонические разложения.
6. Для каждой пары чисел указывается разность с серединным числом.
Приведем фрагмент примера работы программы при п = 8 (рис. 2).
All primes:
2 3 5 7 11 13 17 IS 23 29 31 37 41 43 47 S3 59 £1 67 71 73 79 S3 69 97 131 133 137 13 9 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 161 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 Prime pairs:
[137, 149] [59, 167] [S3, 173] [59, 197] [29, 227] [23, 233] [17, 239] [5, 251] Mutually prime pairs:
[127, 125] [125, 131] [123, 133] [121, 135] [119, 137] [117, 135] [115, 141] [113, 14 3] [111, 145] [139, 147] [137, 149] [135, 151] [133, 153] [131, 155] [99, 157] [97, 1 59] [95, 161] [93, 163] [91, 165] [B9, 167] [B7, 169] [65, 171] [S3, 173] [Bl, 175] [ 79, 177] [77, 179] [75, 1E1] [73, 1E3] [71, 1E5] [69, 167] [67, IBS] [65, 191] [63, 1 S3] [61, 195] [59, 197] [57, 199] [55, 231] [53, 233] [51, 235] [49, 237] [47, 239] [ 45, 211] [43, 213] [41, 215] [39, 217] [37, 219] [35, 221] [33, 223] [31, 225] [29, 2 27] [27, 229] [25, 231] [23, 233] [21, 235] [19, 237] [17, 239] [15, 241] [13, 243] [ 11, 245] [9, 247] [7, 249] [5, 251] [3, 253] [1, 255]
Lets take 2 first pairs from prime pairs [B9, 137, 149, 167]
bivalent defect = 3.17992676969624277 pair [88,167]: distance tc middle: 3 9 B 9 : [B9] 167 : [167]
pair [137,149]: distance tc middle: 21 137 : [137] 149 : [149]
_,ets take 2 first pairs from mutually prime pairs [125, 127, 129, 131]
bivalent defect = 3.3336637716353434367 pair [125,131]: distance tc middle: 3
125 : [5, 5, 5] 131 : [131]
pair [127,129]: distance tc middle: 1 127 : [127] 129 : [3, 43]
Рис. 2. Пример работы программы поиска модулярных оснований
Примечание: составлено автором на основании данных, полученных в исследовании.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
В табл. 1-2 приведены результаты работы программы вычисления бивалентного эффекта в зависимости от выбранных модулей.
Сравнивая табл. 1 и 2, можно сделать вывод, что, чем дальше мы отклоняемся
от серединного основания, тем больше становится бивалентный эффект, а добавляя к простым числам взаимно простые числа, мы расширяем множество модулярных оснований.
Таблица 1
Модулярные основания пар простых чисел и их бивалентный эффект
Пары простых чисел, равноотстоящих от 215 Диапазон представления чисел -P = pi хР2 х ... X pn Бивалентный эффект
[32603,32933] [32693,32843] 37 777 776 061 352 155 578 4,413821855742128 х 10-5
[32579,32957] [32603,32933] [32693,32843] 40 562 228 714 841 111 876 699 216 379 904 9,213426904253197 х 10-5
[32537,32999] [32579,32957] [32603,32933] [32693,32843] 4,3551197004692218700104227148244 х 1040 0,00016383266182273815
Примечание: составлено автором на основании данных, полученных в исследовании.
Таблица 2
Модулярные основания пар простых, взаимно простых пар чисел и их бивалентный эффект
Пары простых и взаимно простых чисел, равноотстоящих от 215 Диапазон представления чисел -P = pi хp2 х ... X pn Бивалентный эффект
[32765,32771] [32767,32769] 37 778 931 511 113 441 116 160 1,3436142864975409 х 10-8
[32763,32773] [32765,32771] [32767,32769] 40 564 817 885 040 734 757 146 206 371 840 4,702650358012761 х 10-8
[32761,32775] [32763,32773] [32765,32771] [32767,32769] 4,3556139558435384485442361564216 х 1040 1,1286361356610541 х 10-7
Примечание: составлено автором на основании данных, полученных в исследовании.
Покажем на примере вычисление бивалентного эффекта для оснований pi = 32765, Р2 = 32767, рз = 32768, p4 = 32769, p5 = 32771:
Sx (32765) = [log2 32765] - log2 32765 =
= 15 -14,999868 = 0,000132, S2 (32767) = [log 32767] - log 32767 =
= 15 -14,999956 = 0,000044, S3(32768) = [log 32768] - log 32768 =
= 15 -15 = 0, S4(32769) = [log 32769] - log 32769 =
= 15 -15,000044 = 0,000044, S5 (32771) = [log 32771] - log 32771 = = 15 -15,000132 = 0,000132,
5
Д5 = (32765) + £2 (32767) + (32768) +
i=1
(32769) + S5 (32771) = 0,000132 +
+ 0,000044 + 0 - 0,000044 - 0,000132 = 0.
Модулярная арифметика с множеством оснований {pi, р2, р3, р4, р5} = {32765, 32767, 32768, 32769, 32771} имеет суммарный бивалентный эффект, равный нулю.
Выполним сравнение арифметических операций в модулярной системе счисления с различными основаниями. В первом случае основания подобраны таким образом, что бивалентный эффект стремится к нулю, а именно равен 0,000000013436142864975409, во втором случае бивалентный эффект равен 0,04183008662934107.
1. Выполним арифметические операции сложения, умножения и вычитания чисел А и В в модулярной системе счисления с основаниями р1 = 32765, р2 = 32767, рз = 32768, р4 = 32769, р5 = 32771.
Диапазон системы определится как Р = р1 X р2 X р3 X р4 X р5 X р6 = =37778931511113441116160. Р ~ 275 = = 37778931862957161709568.
Сложим число А = 232 = 4294967296 с числом В = 230 = 1073741824.
По выбранным основаниям числа А и В в системе остаточных классов будут представлены как
А = 232 = (36, 4, 0, 4, 6),
В = 230 = (9, 1, 0, 1, 9).
Операции сложения и умножения в модулярной арифметике реализуются по правилам: если числа А и В представлены остатками аг и вг по основаниям рг
А = (а1, а2, ..., ап), В = (в1, в2, вп),
тогда результаты операций сложения и умножения А + В и А X В представлены остатками у г и ¿г по тем же основаниям рс
А + В = (71, 72, ..., 7п),
А X В = (¿1, ¿2, ..., ¿п), где выполняются соотношения:
Г, =4 + Д(mod р,), 4, =а1 хД(mod р,),
Результатом являются числа:
Y = + Д " Ъ = Ч X Д "
. Pi at X Д
P,,
Рг •
Применяя правила к нашему примеру, получим:
A + B = (36 + 9 -
36 + 9 32765
x 32765,
4 +1 -
4 +1
x32767,
32767 0 + 0 - [0 + 0] X 32768 4 +1
4+136 + 9 -
32769 36 + 9 32771
X 32769, x 32771) =
= (45, 5, 0, 5, 45).
A - B = (36 - 9 -
X 1 4 -1
4 -1 -
36 - 9
32765_ x32767,
x 32765,
32767 0 - 0 - [0 - 0] X 32768 4 -1
4-1-
36 - 9 -
32769 36 - 9 32771
x 32769, x 32771) =
= (27, 3, 0, 3, 27).
A x B = (36 x 9 -
36 x 9 32765
x 32765,
4 x 1 -
4 x 1
x 32767,
32767_ 0 x 0 - [0 x 0] x 32768, 4 x 1
4 x 1 -
36 x 9 -
32769 36 x 9 32771
x 32769,
x 32771) =
2. Выполним арифметические операции сложения, вычитания и умножения чисел А и В в модулярной системе счисления с основаниями р1 = 11749, р2 = 19071, рз = 32768, р4 = 46465, р5 = 53787.
Диапазон системы определится как Р = Р1 х Р2 х Р3 х Р4 х Р5 х Р6 =
= 18349640847235283189760. Р ~ 274 = = 18889465931478580854784.
По выбранным основаниям числа А и В в модулярной системе счисления будут представлены следующим образом:
А = 232 = (2856, 645 7, 0, 21486, 21559), В = 230 = (714, 6382, 0, 28604, 45730).
Выполняя аналогичные вычисления, согласно правилам выполнения арифметических операций получим:
А + В = (3570, 12839, 0, 3625, 13502),
А - В = (2142, 75, 0, 39347, 29616), А х В = (6607, 15214, 0, 39454, 31147).
Сравнивая результаты, можно сделать следующие выводы:
1. В первом случае мы получили малоразрядные остатки, с которыми работать проще.
2. В первом случае мы получили остатки, симметричные относительно нуля, чего нельзя сказать о втором случае.
3. При выполнении арифметических операций над числами в модулярной арифметике достаточно оперировать с остатками этих чисел.
На втором этапе разработан алгоритм поиска модулярных оснований, обеспечивающий минимизацию бивалентного эффекта, а их произведение близко к вычислительному диапазону. Количество оснований переменное, необходимое для перекрытия диапазона в проблемной задаче. Вычислительный диапазон является входным переменным параметром программного комплекса генерации оснований модулярной арифметики для решения нужной проблемы. На рис. 3 показана работа программы для вычислительного диапазона равного 275.
= (324, 4, 0, 4, 324).
Pairs set closest tc middle [327£5, 32767, 3276B, 321 if, 32111] ccveiing interval = 3777S9315111134411iei£3 bivalent defect = 1.34361423E4575409e-0B
pall [327£5,32771]: distance tc middle: 3 327£5 : [5, £553] 32771 : [32771]
pail [327£7,327E5]: distance tc middle: 1 327£7 : [7, 31, 151] 32765 : [3, 3, 11, 331]
Best pairs set from 1000 randem pairs set [12557, 18253, 327EB, 47243, 52535] covering interval = lBeS492220B555£35B530££ < bivalent defect = 0.000347071454B9B535BE
pair [12557,52535]: distance tc middle: 20171 12557 : [3, 13, 17, 15] 52535 : [167, 317]
pair [16253,47243]: distance tc middle: 14475 1B2S3 : [11, 1663] 47243 : [7, 17, 357]
Another one best pairs set from 1000 randem pairs set [12013, 15425, 327EB, 4£137, 53523]
covering interval = 1BB737523910£3S755B1£B6 < 2" 74 bivalent defect = 0.0011975735B513E1£5
pair [12013,53523]: distance tc middle: 20755 12013 : [41, 253] 53523 : [3, 3, 15, 313]
pair [15425,4£137]: distance tc middle: 13335 15425 : [15425] 46107 : [3, 3, 47, 105]
Рис. 3. Пример работы программы поиска модулярных оснований, обеспечивающих минимум бивалентного эффекта
Примечание: составлено автором на основании данных, полученных в исследовании.
В табл. 3 приведены модулярные основа- ных вычислительных диапазонов. ния, а также бивалентный эффект для различ-
Таблица 3
Модулярные основания, обеспечивающие минимум бивалентного эффекта
Вычислительный диапазон Модулярные основания pi, pi, ..., pn Диапазон модулярной системы P Бивалентный эффект
245 [32767, 32768, 32769] 35184372056064 1.3436132206834372 х 10-9
[32765, 32768, 32771] 35184371793920 1.2092529644291972e х 10-8
250 [32763, 32768, 32773] 35184371269632 3.35903607151522 х 10-8
[32755, 32768, 32781] 35184366551040 2.2707086166917634e х 10-7
260 [32721, 32768, 32815] 35184299704320 2.9680473954130093 х 10-6
[32741, 32768, 32795] 35184348200960 9.794952724462291 х 10-7
275 [32765, 32767, 32768, 32769, 32771] 37778931511113441116160 1.3436142864975409 х 10-8
[12597, 18293, 32768, 47243, 52939] 18884922208995639853056 0.00034707145489853986
290 [32681, 32699, 32768, 32837, 32855] 37778498040830134353920 1.6566816317009625 х 10-5
[32407, 32413, 32768, 33123, 33129] 37769913028081611472896 0.0003444507571259692
Примечание: составлено автором на основании данных, полученных в исследовании.
Можно заметить, что, чем ближе располагаются пары модулярных оснований к серединному основанию, равному степени двух, тем меньше значение бивалентного эффекта.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате исследования была разработана программа поиска наилучших модулярных оснований из заданного числового диапазона. Критерием поиска служил минимум бивалентного эффекта, а также невыход требуемого вычислительного диапазона за произведение этих модулярных оснований.
Следующим этапом будет разработка программы выполнения модульных и немодульных операций в модулярной системе счисления; определение влияния различных оснований в зависимости от величины бивалентного эффекта на сложность выполнения этих операций.
Выводы:
1. Рассматриваемый способ выбора оснований модулярной арифметики позволяет сократить дополнительные расходы при выполнении модульных операций. Поясним это.
При выполнении арифметических операций сложения, вычитания и умножения мы пользуемся выражением:
A * B = аг * Д -
а*Д
Рг
Р г,
где * - арифметические операции (+, -, х); А = К «2,«), В = (Д, ДД). То есть необходимо реализовать следующие шаги:
а) выполнить арифметическую операцию * над числами A и B;
б) выделить целую часть
в) выполнить умножение
Рг
а*Д
х Рг;
г) выполнить итоговое вычитание.
Если в качестве оснований модулярной арифметики мы будем выбирать простые или взаимно простые пары чисел, симметричных относительно среднего основания, то шаги б), в) и г) можно опустить. В этом случае достаточно оперировать только с остатками чисел А и В.
2. Для уменьшения бивалентного эффекта в качестве оснований модулярной арифметики следует выбирать простые или взаимно простые пары чисел, симметричных относительно среднего основания, являющегося некоторой степенью двойки.
3. При переводе числа в модулярную систему счисления, используя модулярные основания, с бивалентным эффектом, равным нулю, получим малоразрядные остатки, симметричные относительно нуля, то есть при переводе числа А = 232 = 4294967296 из десятичной системы счисления в модулярную систему счисления получим число А в виде остатков (36, 4, 0, 4, 6), симметричных относительно нуля.
4. Бивалентный эффект позволяет осуществлять гибкий выбор оснований модулярной арифметики в зависимости от поставленных технологических целей.
Список источников
1. Коптенок Е. В., Кузин А. В., Шумилин Т. Б., Соколов М. Д. Разработка способа представления длинных чисел в памяти компьютера // Молод. ученый. 2017. № 46 (180). С. 26-30.
2. Акушский И. Я., Юдицкий Д. И. Машинная арифметика в остаточных классах. М. : Совет. радио, 1968. 439 с.
3. Амербаев В. М. Теоретические основы машинной арифметики. Алма-Ата : Наука, 1986. 224 с.
4. Лавриненко А. Н., Червяков Н. И. Исследование немодульных операций в системе остаточных классов // Науч. вед. компьютер. моделирование 2012. № 1 (120), Вып. 21/1. С. 110-122.
References
1. Koptenok E. V., Kuzin A. V., Shumilin T. B., Sokolov M. D. Razrabotka sposoba predstavleniia dlinnykh chisel v pamiati kompiutera // Molod. uchenyi. 2017. No. 46 (180). P. 26-30. (In Russian).
2. Akushsky I. Ya., Yuditsky D. I. Mashinnaia arif-metika v ostatochnykh klassakh. Moscow : Sovet. radio, 1968. 439 p. (In Russian).
3. Amerbaev V. M. Teoreticheskie osnovy mashinnoi arifmetiki. Alma-Ata : Nauka, 1986. 224 p. (In Russian).
4. Lavrinenko A. N., Chervyakov N. I. Issledovanie nemodulnykh operatsii v sisteme ostatochnykh klassov // Nauch. ved. kompiuter. modelirovanie. 2012. No. 1 (120), Is. 21/1. P. 110-122. (In Russian).
5. Юдитский Д. И. Создатели отечественной элек- 5. троники : сер. сб / под ред. Б. М. Малашевича. М. : РИЦ «Техносфера», 2011. 320 с.
6. Малашевич Б. М. Краткие основы и история со- 6. здания отечественных модулярных ЭВМ. Истоки модулярной арифметики // Развитие вычислительной техники в России и странах бывшего СССР: история и перспективы (SoRuCom-2017) :
сб. тр. IV Междунар. конф., 3-5 октября 2017 г., Зеленоград / под ред. д. ф.-м. н. А. Н. Томилина. М. : ФГБОУВО «РЭУ им. Г. В. Плеханова», 2017. С. 193-207.
7. Инютин С. А. Модулярные процессоры - оценки, 7. история борьбы и победы над бивалентным дефектом // Развитие вычислительной техники
в России и странах бывшего СССР: история и перспективы (SoRuCom-2017) : сб. тр. IV Междунар. конф., 3-5 октября 2017 г., Зеленоград / под ред. д. ф.-м. н. А. Н. Томилина. М. : ФГБОУВО «РЭУ им. Г. В. Плеханова», 2017. С. 72-77.
8. Золотарева Н. С., Инютин С. А. Методы выбора оснований, понижающих бивалентный дефект 8. в системе остаточных классов // Вестник кибернетики. 2020. № 2 (38). С. 6-11.
9. Амербаев В. М., Тельпухов Д. В., Константинов А. В. Бивалентный эффект модулярных 9. кодов // Проблемы разработки перспективных микро- и наноэлектронных систем : сб. тр. ИППМ РАН / под общ. ред. А. Л. Стемпковского.
М. : ИППМ-МЕС, 2008. С. 492-496.
10. Инютин С. А. Модулярные процессоры - история и оценки тривалентного эффекта // Развитие вычислительной техники в России, странах быв- 10. шего СССР и СЭВ: история и перспективы (8оКиСош-2020) : сб. тр. V Междунар. конф.
6-7 октября 2020 г., Москва, Россия / под ред. А. Н. Томилина. М., 2020. С. 138-142.
11. Инютин С. А. Методы организации многоразрядных вычислений // Вестник кибернетики. 2013. № 12. С. 89-93.
12. Инютин С. А. Способ и устройство размещения 11. групп чисел в однородных блоках цифрового регистра : патент на изобретение РФ № 2591009 зарегистрирован 17.06.2016. 12.
13. Инютин С. А. Теория и методы моделирования вычислительных структур с параллелизмом машинных операций : дис. ... д-ра техн. наук. М., 2001. 272 с. 13.
14. Эрдниева Н. С. Использование специальных модулей системы остаточных классов для избыточного представления // Вестн. АГТУ. Сер. Управление, вычислительная техника и информатика. 14. 2013. № 2. С. 75-84.
Информация об авторе Н. С. Золотарева - аспирант.
Yuditsky D. I. Series "Inventors of Locally-Produced Electronics" / Ed. B. M. Malashevich. Moscow : RITs "Tekhnosfera", 2011. 320 p. (In Russian). Malashevich B. M. Kratkie osnovy i itsoriia sozdani-ia otechestvennykh moduliarnykh EVM. Istoki moduliarnoi arifmetiki // Computer Technology in Russia and in the Former Soviet Union : Proceedings of the SoRuCom-2017. IV International Conference, October 3-5, 2017, Zelenograd / Ed. Doctor of Sciences (Physics and Mathematics) A. N. Tomil-in. Moscow : Plekhanov Russian University of Economics, 2017. P. 193-207. (In Russian). Inyutin S. A. Moduliarnye protsessory - otsenki, istoriia borby i pobedy nad bivalentnym defektom // Computer Technology in Russia and in the Former Soviet Union : Proceedings of the SoRuCom-2017. IV International Conference, October 3-5, 2017, Zelenograd / Ed. Doctor of Sciences (Physics and Mathematics) A. N. Tomilin. Moscow : Plekhanov Russian University of Economics, 2017. P. 72-77. (In Russian).
Zolotareva N. S., Inyutin S. A. Methods for Selection of Bases Reducing Bivalent Defect in Residue Number System // Proceedings in Cybernetics. 2020. No. 2 (38). P. 6-11. (In Russian). Ameibaev V. M., Telpukhov D. V., Konstantinov A. V. Bivalentnyi effekt moduliarnykh kodov // Problems of Advanced Micro and Nanoelectronic Systems Development : Proceedings of the Institute for Design Problems in Microelectronics of the Russian Academy of Sciences / Ed. A. L. Stempkovsky. Moscow : IPPM-MES, 2008. P. 492-496. (In Russian). Inyutin S. A. Moduliarnye protsessory - istoriia i otsenki trivalentnogo effekta // History of Computing in the Russia, Former Soviet Union and Council for Mutual Economic Assistance Countries : Proceedings of the SoRuCom-2020. V International Conference, October 6-7, 2020, Moscow, Russia / Ed. A. N. Tomilin. Moscow, 2020. P. 138-142. (In Russian).
Inyutin S. A. Organization Methods for Multi-Digit Calculations // Proceedings in Cybernetics. 2013. No. 12. P. 89-93. (In Russian). Inyutin S. A. Method and Device for Arrangement of Groups of Numbers in Homogeneous Units of Digital Register : Patent No. 2591009, Russian Federation, Registered 17.06.2016. (In Russian). Inyutin S. A. Teoriia i metody modelirovaniia vychis-litelnykh struktur s parallelizmom mashinnykh oper-atsii : Doctoral Dissertation (Engineering). Moscow, 2001. 272 p. (In Russian).
Erdnieva N. S. Use of Special Modules of the Residue Number System for Redundant Representation // Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, Computer Science and Informatics. 2013. No. 2. P. 75-84. (In Russian).
Information about the author N. S. Zolotareva - Postgraduate.
