CC BY
58№ 3 (19) 2010
В. С. Мхитарян, В. Ф. Шишов, А. Ю. Козлов
Прогнозирование запаса средств для ликвидации последствий техногенных аварий
Предупреждение аварий различного характера со значительным экономическим ущербом, максимальное снижение масштабов потерь, ликвидация их последствий превратились в общегосударственную проблему и стали важной задачей органов власти и управления всех уровней. Для решения этой задачи необходимо прогнозировать величину возможного ущерба, определять оптимальные резервы, достаточные для скорейшей ликвидации последствий аварий и проведения аварийно-восстановительных работ.
В статье представлена методика прогнозирования запаса средств на предупреждение и ликвидацию последствий техногенных аварий, основанная на применении стохастических моделей управления запасами. Показано, как предложенную методику можно реализовать на примере энергосетей Пензенской области.
Ключевые слова: техногенные аварии, ущерб, прогнозирование, оптимальные запасы, закон распределения ущерба, показательное распределение, гамма-распределение, страховой запас, стохастическая модель управления запасами.
В условиях современного социально-экономического развития страны все большую значимость приобретают проблемы в области промышленной (техногенной) безопасности и противоаварийной устойчивости важных производственных объектов . Особую озабоченность при этом вызывают вопросы предупреждения угрозы резкого увеличения количества техногенных аварий и катастроф в промышленности, обусловленных износом основных производственных фондов . В результате аварий и катастроф на производственных объектах России ежегодно погибает около тысячи человек, а материальный ущерб от них достигает 3 - 4% валового внутреннего продукта страны (Белов, 2003) .
Существуют предприятия, от надежной работы которых зависит социально-экономическая стабильность во всем регионе . К ним, прежде всего, относятся организации, основной функцией которых является поставка тепловой и электрической энергии населению, промышленным и сельскохозяйственным предприятиям региона. По мере эксплуатации тепловых и электрических сетей происходят различные аварии и катастрофы, приводящие к материальному и экологическому ущербу различной степени тяжести
В Пензенской области для обеспечения населения теплом и электроэнергией действует ОАО «Пензенская теплосетевая компания», основной задачей которой является обеспечение надежной и бесперебойной поставки тепла и электроэнергии потребителям при функционировании в конкурентной среде . Это крупное теплоэлектроснабжающее предприятие
1. Введение
№ 3 (19) 2010
Прочие 14%
Население 21%
Потери 11%
Промышленность
27% Сельское хозяйство
5%
Жил.-ком. хозяйство
8% Строительство
2%
Лесное хозяйство 1%
Транспорт и связь 11%
Рис. 1. Структура потребителей ОАО «Пензенская теплосетевая компания» за 2007 г.
обеспечивает теплом 9100 жилищно-коммунальных объектов и 92 предприятия областного центра, эксплуатирует 31 000 км линий электропередачи и более 6300 подстанций . Структура потребителей представлена на рис 1
>| В процессе эксплуатации тепловых и электрический сетей компании происходят аварии
^ и инциденты с материальным и экологическим ущербом различной тяжести . Уровень ава-
СО ,-ш—Г
* рийности на энергетических сетях региона остается достаточно высоким (Пензастат) . На ос-
■с нове статистических данных ОАО «Пензенская теплосетевая компания» за 1997-2007 годы
I была проведена оценка ущерба от аварий на энергетических сетях, зафиксированы характер
^ аварии или инцидента, дата возникновения аварийной ситуации, подсчитанный экономиче-
£ ский ущерб и время, в течение которого авария была ликвидирована. Полученные резуль-
и таты свидетельствуют о том, что число аварий, ущерб и время ликвидации их последствий
Ц имеют значительные вариации (см . рис . 2 в разделе 3) .
<3 Основными причинами высокого уровня аварийности на энергосетях в Пензенской об® ласти являются: отказ оборудования; неработоспособность средств защиты, автоматики §■ и приборного обеспечения; отклонение параметров эксплуатации; ошибочные действия ^ персонала; внешние источники (отключение электроэнергии, воды, природные явления,
| злоумышленные действия третьих лиц) — см . табл . 1. §
ч £
о 2. Определение оптимального запаса средств
<?
8-
§ Поскольку предотвратить многие аварии и катастрофы не представляется возможным, | особую значимость приобретает задача минимизации ущерба от них . Для ее решения неф обходимо определять прогнозную величину возможного ущерба, оптимальные резервы, ¡^ необходимые для скорейшей ликвидации последствий и проведения аварийно-восстанови-° тельных работ.
| В связи с большой вариацией величины ущерба во времени невозможно достаточно на-
£ дежно оценить его тренд, сезонную или циклическую компоненту. В рассматриваемых временных рядах хорошо проявляет себя только нерегулярная (случайная) компонента, которая
3 (19) 2010
Таблица 1. Причины и структура аварий и инцидентов на тепловых и электрических сетях
Причина
Удельный вес, %
Тепловые сети
Электрические сети
Нарушение технологии эксплуатации 9 . 5 7. 3
Отказ оборудования 59 .0 47 . 8
Ложное действие защиты и автоматики 8 . 6 6 5
Отклонение параметров эксплуатации 10 . 5 9.4
Ошибочные действия персонала 2 . 9 4.3
Влияние внешних источников 9 . 5 24 . 7
о о
5 £
2
(О
0
1
е ад
¡5 |
о со
формируется, в основном, под действием случайных факторов (аварийных ситуаций различной природы и характера) . В этой связи величину предполагаемого ущерба на следующий год предлагается определять на основе стохастической модели управления запасами со случайным спросом (Черчмен и др . , 1967), имеющей вид:
Л ¥
С(я) = с / (я - г)/(г+ с2 / (г - s)/(г)йг,
(1)
где С (s) — математическое ожидание суммарных затрат; s — уровень запаса; г — величина спроса; / (г) — закон распределения (функция плотности вероятности) величины спроса; е1 — затраты на хранение запаса; с2 — штраф за дефицит.
0
£
Задача управления запасами состоит в определении такого запаса я, при котором математическое ожидание суммарных затрат С(я) принимает минимальное значение .
При непрерывном случайном спросе г выражение (1) будет минимальным при значении £0, определяемом из уравнения
F (£о) = —(2) где F(я) = Р(г < я) — функция (закон) распределения спроса .
Доказательство зависимости (2) представлено в Приложении .
Рассматривая спрос г как непрерывную случайную величину, будем далее определять минимальное значение С (я) при уровне запаса £0 из уравнения (2) .
Таким образом, для определения оптимального запаса я0 средств на ликвидацию последствий аварий и инцидентов необходимо знать закон распределения случайной величины спроса г, что фактически сводится к определению закона распределения величины ущерба (потерь)
Анализ статистических данных позволил предположить, что величина ущерба от единичной аварии подчиняется показательному (экспоненциальному) закону с некоторым параметром 1 . Тогда оптимальный уровень запаса средств на ликвидацию последствий от аварии определяется как
№ 3 (19) 2010
о
Щ
=1
1 +
\ С1 0
(3)
при этом оценка параметра 1 производится по статистическим данным .
Для определения запаса средств, необходимых для ликвидации последствий от аварий, которые могут произойти в следующем году, необходимо знать закон распределения величины суммарного ущерба за год У , определяемого как сумма ущербов от отдельных аварий X, имеющих показательное распределение (с параметром 1):
У=2 х,.
где п — число предполагаемых аварий за год .
Случайная величина У как сумма независимых случайных величин с показательным распределением, имеет гамма-распределение с функцией плотности, определяемой параметрами 1 и п:
/ (—) =
>5
■
а
1 п
— Уп-1е-ЛУ, У > 0
Г (п) , (4)
0, У < 0
где Г(п) = § хп 1е хdx — гамма-функция Эйлера .
I 0
Тот факт, что элементы выборки можно считать независимыми случайными величинами,
^ подтверждается с помощью непараметрического критерия серий знаков .
Статистические оценки параметров распределения У вычисляются по формулам:
— ( — \2 1 п 1 п
1 = —, п = ( — ) , где — = -2У ,, 52 = ~2(—■ - —)2, — — суммарный ущерб за год .
е^- \ с / гп ' * гп ' *
£ >8
■
¡5
о
^ ~ — ( — \ 1 1 § 1 _ У ~ _ (У | ___- _ 1 V*.. „2 _ 1
с \ 5 0 п^' п.,
■
■
¡г
^ Оптимальный уровень запаса средств на ликвидацию последствий чрезвычайных си-
| туаций за год определяется, с учетом гамма-распределения величины суммарного ущерба,
« из уравнения:
ч
ч
§ ^ . 1п у-| " Г(пУ0~ ' С1 + с2
Р (—) = и п-1е~"иёи = ■ (5)
| При этом затраты на хранение с1 принимаются равными годовому уровню инфляции 2 в рассматриваемом году, а штраф за дефицит с2 определяется как ставка по кредитам коммерческого банка . Решая уравнение (5) с оценками параметров распределения 1 и п отно-
° сительно —, получаем величину оптимального запаса средств на ликвидацию последствий | аварийных ситуаций в следующем году —огт.
| Для того чтобы величина ущерба не превысила запаса средств на ликвидацию последствий аварий, необходимо оптимальный запас увеличить на величину страхового запаса .
50
1=1
I №
3 (19) 2010
Величину страхового запаса можно определить как верхнюю границу доверительного § интервала при заданном уровне значимости а . Решая уравнение о
1п у О
-I и п-1в~киёи = 1 - а (6) ^
г (п) 1 *
0
а
относительно у, получим величину ув. а
в
Разница между оптимальной величиной запаса уопт и его верхней границей ув и будет щ
величиной страхового запаса: ¡1
а
1
стр
= у в - у
опт' ^
О
Страховой запас гарантирует, что с заданной доверительной вероятностью р = 1 — а ве- щ личина суммарного ущерба не превысит его верхней границы ув.
3. Реализация предложенной методики на примере энергосетей
Статистические данные о величине ущерба в ОАО «Пензенская теплосетевая компания» относятся к разным временным периодам, поэтому они несопоставимы между собой Для анализа их необходимо «привести» к сопоставимым ценам, используя индекс потребительских цен за рассматриваемый период и соответствующие коэффициенты «приведения» .
Динамика суммарного ущерба и числа аварий по годам за период наблюдений с 1997 по 2007 гг. представлены на рис . 2 .
-г 300
250
40000
35000
30000
б.
у р 25000
с.
£ 20000
б,
р
е щ 15000
£
10000
5000
-- 200
-- 150
100
50
ц
о Я СТ
С
Ц Суммарный ущерб, тыс. руб.
Число аварий
Рис. 2. Динамика суммарного ущерба и числа аварий по годам
Анализ динамики суммарного ущерба позволяет сделать вывод, что рассматриваемый показатель сильно меняется от года к году, и эти изменения достаточно сложно оценить и предсказать
0
0
№ 3 (19) 2010
Для ликвидации последствий от аварий и инцидентов необходимо создание запаса материальных и денежных средств Он должен иметь уровень, достаточный для ликвидации последствий аварий и инцидентов, для чего необходимо с высокой степенью надежности предсказывать ущерб на следующий год Для прогнозирования необходимого запаса средств используем методику, описанную в разделе 2
На первом этапе реализации методики на основе «приведенных» статистических данных об авариях и инцидентах в Пензенской теплосетевой компании строим интервальный вариационный ряд, представленный на рис 3 в виде гистограммы и эмпирической функции распределения
я
>5
■
а
£
0
1
>¡5
■
¡5
о §
0 15
■
га
1
о *
■
§
ч
¡5
о &
ф
■
I
га о
о &
и о
Е
о
е-
450 400 350 300 250 200 150 100 50 0
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
36925
СП^СЛСЧ'ПОО^н^ГГ^
3 6 0 3 7 0 4 7 0 4 7 1 4
4 8 3 7 1 6
>—1^0©>—I "О о©
555666
Ущерб, тыс. руб.
Рис. 3. Гистограмма и эмпирическая функция распределения ущерба
По виду гистограммы выдвигаем гипотезу Н0, что случайная величина ущерба распределена по показательному (экспоненциальному) закону Так как параметр экспоненциального закона 1 определен по выборке, данную гипотезу рассматриваем как «сложную» . При такой постановке гипотеза об экспоненциальном законе не отвергается при 5 %-ном уровне значимости . Проверка гипотезы о виде закона распределения проводится помощью критерия согласия «2 (Мартынов, 1978) .
Вычисляем числовые характеристики случайной величины, необходимые для построения функции плотности:
• статистическую оценку математического ожидания
2
2т
= 96 .9, где х1 — середина интервалов, mi — частота ■-го интервала;
статистическую оценку параметра 1
! = — = — т„ 96.9
= 0.0103.
Для определения опытного значения критерия а>2 составим расчетную таблицу (табл . 2) .
т х =
№
3 (19) 2010
Таблица 2. Расчетная таблица для определения критерия ю2
г 1 2 3 4 . 1405 1406 1407 1408
х Р(х) 0 .12 0. 0012 0 .19 0 .0019 0.24 0 .0025 0 . 27 . 0 . 0028 . .. 623 . 3 .. 0. 9984 647.0 0 . 9987 684 . 5 0 . 9991 685 . 7 0. 9992
Здесь xi — значения величины ущерба (тыс . руб), ранжированные по возрастанию, Р (х1) = 1 — е~кх' — функция распределения показательного закона .
Вычисляем опытное значение критерия
1
пю~ =--+
в 12п -
Р (х,) -
21 -1 2п
= 0.1006.
По таблице критических точек распределения ю2 для уровня значимости а = 0.05 определяем критическое значение критерия п«^ = 0.224 (Тюрин, Макаров, 1995) .
Так как п« < пю2^, нет оснований отвергать гипотезу о том, что распределение случайной величины ущерба подчиняется показательному закону
Принимаем, что случайная величина ущерба от единичной аварийной ситуации подчиняется показательному (экспоненциальному) закону распределения с функцией плотности вероятностей
\к-е~Хх, х > 0;
/ (х)=]. ; (7)
0,
где 1 — параметр распределения .
1- е~Лх =
С + С2
(8)
О
о £
2
(О
0
1
в Щ
¡5 |
о со
Определив закон распределения случайной величины ущерба от единичной аварийной ситуации и переписав формулу (2) в виде
можно определить оптимальный уровень запаса материальных (денежных) средств на ликвидацию последствий какой-либо аварийной ситуации
Для этого необходимо по исходным данным определить статистическую оценку параметра 1, оценить затраты на хранение запаса с1 и величину штрафа за дефицит с2 при недостаче необходимых средств (Рубальский, 1997) . Решив уравнение (8) относительно х, получим прогнозную величину ущерба от единичной аварии (инцидента), что и определяет оптимальную величину запаса средств на предупреждение и ликвидацию последствий от единичной аварии
х = —1п 1
С 1 + -2-
(9)
"1 /
Для определения запаса средств на ликвидацию последствий от аварийных ситуаций в следующем году необходимо знать закон распределения суммарного ущерба за год Суммарная величина ущерба, в принятом предположении о независимости составляющих ее случайных величин единичного ущерба, подчиняется гамма-распределению
1=1
№ 3 (19) 2010
Затраты на хранение запаса (величина с1) определим темпом инфляции в 2008 году, который, согласно закону Российской Федерации «О бюджете на 2008 год», прогнозировался на уровне 12% . Сформированный резерв материальных средств не может быть востребован сразу весь для возмещения ущерба, тогда значительная часть его (возможно и весь резерв) является временно свободным
При нехватке денежных средств на предупреждение и ликвидацию последствий аварийных ситуаций восполнить их недостаток поможет кредит коммерческого банка. В 2008 году кредиты предоставлялись по ставке 18-20% годовых . Эту величину примем в качестве штрафа за дефицит (величина с2) .
Таким образом, формулу (5) для гамма-распределения можно записать в виде
Г (п)
7
I
и п-1е~Хис
С1 + С2
(10)
В качестве оценок с1 и с2 выберем значение с1 = 12%1 и среднее значение с2= 19%, тогда
пу 1 С п-1
- I и
I ^
-1е-Аи
Си = -
0.19
0.12 + 0.19
= 0.613.
(11)
>5
8-
Щ
га
Й
л »
» 5
0
1
>¡5
¡5
о §
0 15
5 $
3-
га
1
о *
$
§
Ч
¡5
о
8-
<»
0
г?
га п
а $
1
га о о
8-
о
£ о
£
Г (п)'0
Вычисляем статистические оценки параметров распределения:
у = 12437 .27; я = 10222 .43; 1 = 0 .000119; п = 1.4803.
Решая уравнение (11) относительно у со статистическими оценками параметров гамма-распределения: 1 = 0 .000119, п = 1.4803 (Козлов и др ., 2003), получим величину оптимального запаса средств на ликвидацию последствий предполагаемого ущерба от аварийных ситуаций уопт = 12546.1 тыс . руб .
Такие же расчеты можно провести и для других значений величин с1 и с2.
На системы управления запасами оказывает влияние множество факторов, что воздействует и на ожидаемые суммарные затраты В этой связи, для того чтобы величина ущерба не превышала запас, созданный для ликвидации последствий аварий, необходимо оптимальный запас увеличить на величину страхового запаса, который необходим для компенсации дополнительных затрат на ликвидацию последствий аварий, возникающих в случае каких-либо непредвиденных ситуаций
Оценим величину страхового запаса для различных значений доверительной вероятности (результаты приведены в табл 3)
Таблица 3. Величина страхового запаса
Доверительная вероятность 0 80 0 90 0 95
уВ, тыс . руб . 19274. 3 26005 1 32547 5
2стр = ув - уопт:. тыс . руб . 6728 2 13459 0 20001 4
В статье все вычисления сделаны по данным, доступным в 2007 г.
п
С
2
0
I №
3 (19) 2010
4. Заключение
Добавление страхового запаса к оптимальному позволяет создать такой запас средств, § чтобы с заданной вероятностью гарантировать, что величина ущерба не превысит создан- § ного аварийного запаса, предназначенного для предупреждения и ликвидации последствий ^ аварий и инцидентов на энергетических сетях Пензенской области .
(0
0
1
е ад
Представленная методика позволяет оценить необходимые оптимальные размеры ава- Ц
О-
рийного запаса средств, предназначенных для предупреждения и ликвидации последствий Е аварийных ситуаций в случае техногенных аварий, катастроф и инцидентов . Тем самым Ц можно высвободить значительные средства, замороженные в запасах, и направить их на и необходимые первоочередные мероприятия по повышению противоаварийной защиты, на- щ пример, на обновление основных производственных фондов предприятия
Список литературы
Белов П. Г (2003) . Системный анализ и моделирование опасных процессов в техносфере. Учеб. пособие для ВУЗов. М .: Изд . Центр «Академия» .
Козлов А. Ю . , Мхитарян В . С . , Шишов В . Ф . (2003) . Статистические функции MS Excel в экономико-статистических расчетах. Учеб. пособие для вузов. М . : ЮНИТИ - ДАНА . Мартынов Г. В . (1978) . Критерий омега-квадрат. М.: Наука. Пензастат. http://pnz. gks . ru.
Рубальский Г. Б . (1997) . Управление запасами при случайном спросе. М.: Сов . радио . Тюрин Ю . Н . , Макаров А. А. (1995) . Анализ данных на компьютере. Под ред. В . Э. Фигурнова. М . : ИНФРА - М, Финансы и статистика .
Черчмен У , Акоф Р. , Арноф Л. (1967) . Введение в исследование операций. Пер . с англ. М.: Наука.
Приложение
Величину предполагаемого ущерба на следующий год предлагается определять на основе стохастической модели управления запасами со случайным спросом (Черчмен и др . , 1967), имеющей вид (1) .
Задача управления запасами состоит в определении такого запаса 5, при котором математическое ожидание суммарных затрат С(5) принимает минимальное значение .
Определим величину 5, при которой ожидаемые суммарные расходы С(5) минимальны, на основе условий экстремума
Если некоторую функцию g(x) можно записать в виде
к (х)
g (х) = I f (х,—
к (х)
то первая производная от этой функции по переменной х определяется по правилу
№ 3 (19) 2010
<Ш = 1'+ f [х,к(х)]^ - f [х,к(х)]^
^ ^ ^ а.х ах
ёх к (х) дх
Используя это правило, определим первую производную С(5) в (1) по переменной 5
аС (5)
й5
= с / f (г )аг - с2 / f (г )аГ = с Г (5) - С2 [1 - F (5)] = (с + С2) F (5) - С2-
Если ожидаемые суммарные затраты будут иметь экстремум (максимум или минимум)
в 50, то
ас (5)
й5
=0.
Из этого уравнения получим необходимое условие экстремума
-
£
0
1
>¡5
¡5
о §
0 15
5 $
3-
га
1
о *
$
§
ч
¡5
о 8-
«
си $
»
га о о
8-
о
£ о
е-
откуда
(с + С2)F(50) - с2 = 0,
F (5с) =
С1 + С2
Определим вторую производную функции С(5) в (1) и ее знак:
а 2с (5)
ё52
■ = Clf (5) + С2 f (5) = (с + с2) f (5) > 0,
т. к . с1 > 0, с2 > 0 и функция плотности вероятности f (5) > 0.
Условия
ас (5)
й5
=0 и
а 2с (5)
й5 2
> 0 обеспечивают, что при 5 = 50 достигается минимум
С(5) . Для доказательства применим формулу Тейлора для С(5):
С(5) = С(50) + С'(50)(5 - 50) + ^^(5 - 50)2, где 0 < 51 < ¥
В правой части этой формулы второе слагаемое равно нулю, а третье — неотрицательно для всех 5 . Отсюда следует, что С(5) > С(50) при всех 5 . Таким образом, при непрерывном случайном спросе г выражение (1) минимально при значении 50, определяемом из уравнения
п
F (50) =
с1 + с2
0
5
с
2
