CC BY
34
УДК 539.3/6 Е. А. Денискина
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ФОРМЫ УСТАЛОСТНОЙ ТРЕЩИНЫ ПРИ ИЗГИБЕ ДЕТАЛИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ
Проведен анализ действительных напряжений на дне кольцевого надреза полукруглого профиля деталей круглого и эллиптического сечений. Вычислено значение центрального угла эффективного распространения усталостной трещины для цилиндрической детали эллиптического сечения с кольцевым надрезом при изгибе. Выведено уравнение линии фронта нераспространяющейся трещины усталости при изгибе детали эллиптического сечения с полукруглым кольцевым надрезом.
Анализ усталостных разрушений показывает, что нераспространяющиеся трещины усталости возникают в период первых ста тысяч циклов знакопеременного нагружения детали и при этом сохраняется ее работоспособность вплоть до окончания ресурса работы всего изделия [1]. Экспериментально установлено, что при поперечном знакопеременном изгибе цилиндрического образца с круглым сечением нераспространяющаяся трещина усталости имеет серповидную форму (рис. 1). В частности, для образцов из стали 45 диаметром В = 25 мм, радиусом кольцевого надреза г = 1 мм область эффективного распространения усталостной трещины в цилиндрических деталях при поперечном изгибе находится в пределах удвоенного центрального угла вэф »300, при этом 6^ » 600; максимальная глубина нераспространяющейся трещины в
главной плоскости жесткости ^ =1,2 мм.
При увеличении глубины серповидной усталостной трещины скорость движения точки на поверхности дна надреза, принадлежащей линии фронта трещины, зависит от локального теоретического коэффициента концентрации напряжений, определяемого изменением формы полукруглого надреза. Если положение точки выхода фронта усталостной трещины на поверхность опасного сечения определяется угловой координатой 61 (см.
рис. 1), то при изгибе детали в секущих плоскостях, проходящих через эту точку параллельно силовой плоскости, форма надреза представляет собой полуэллипс с полуосями а и Ь (а > Ь), причем малая полуось Ь равна радиусу полукруглого надреза г .
С увеличением текущей угловой координаты 6 эллипсность надреза в секущей плоскости увеличивается, а значит увеличивается и локальный теоретический коэффициент концентрации напряжений аа(6{). Индекс / означает, что сечения рассматриваются через постоянное значение приращения центрального угла 6.
Большая полуось а полуэллипса может быть найдена как разность между ординатой точки N и ординатой точки М . Произвольное круглое сечение детали и опасное сечение детали зададим соответственно уравнениями
Р и с. 1. Круглое сечение цилиндрического образца с полукруглым кольцевым надрезом
2 2 х + у =
2 2 х2 + у =
(1)
(2)
Координаты точки М найдем, как точку пересечения окружности (2) и прямой, соответствующей значению центрального угла ві:
у = с,^ві ■ х . (3)
Таким образом, решив систему из уравнений (2) и (3), получаем следующие координаты точки М :
■■ '2 Ум = . (4)
2-л + ^2 в, 2-л + сд 2 в
Подставив абсциссу точки М — хМ в уравнение (1), находим ординату точки N :
—
2^ — 2(1 + С1д2 в,)
Численное значение большой полуоси а определяется разностью ум - Ум • Для инженерного расчета локального теоретического коэффициента концентрации напряжений предлагается использовать известную формулу Нейбера [2]
а
= 1 + 2-. (6)
Ь
Действительные (местные) напряжения по контуру дна надреза, в зависимости от значения угла в,, можно вычислить по формуле
а действ (в, ) = °ном (в, ) • «а (в, ) , (7)
где аа (в,) — локальный теоретический коэффициент концентрации напряжений; аном (в,) — номинальные напряжения по контуру дна надреза.
В табл. 1 представлены результаты расчета действительных напряжений по контуру дна надреза через 50 центрального угла в, при аа(0о) = 3.0, аном(0о) = 192 МПа для круглого сечения с — = 25 мм и радиусом кольцевого надреза полукруглого профиля г = 1 мм.
Т а б л и ц а 1
Результаты расчета действительных напряжений по контуру дна надреза для круглого сечения
1 в,, г-рад в,, рад а, мм аа(в, ) аном (в, ) адейств (в, ) % %
1 5 0,087 1,004 3,007 191,269 575,152 0,147
2 10 0,175 1,014 3,028 189,083 572,607 0,589
3 15 0,262 1,032 3,065 185,458 568,361 1,326
4 20 0,349 1,059 3,117 180,421 562,407 2,360
5 25 0,436 1,094 3,188 174,011 554,727 3,693
6 30 0,524 1,140 3,279 166,277 545,287 5,332
7 35 0,611 1,198 3,395 157,277 534,023 7,288
8 40 0,698 1,271 3,541 147,081 520,825 9,579
9 45 0,785 1,362 3,723 135,765 505,504 12,239
10 50 0,873 1,476 3,952 123,416 487,739 15,323
11 55 0,960 1,620 4,240 110,127 466,993 18,925
12 60 1,047 1,804 4,608 96,001 442,364 23,201
13 65 1,134 2,041 5,081 81,143 412,314 28,418
14 70 1,222 2,349 5,699 65,669 374,218 35,032
15 75 1,309 2,756 6,512 49,694 323,592 43,821
16 80 1,396 3,293 7,587 33,341 252,951 56,085
17 85 1,484 3,998 8,996 16,735 150,550 73,863
Последний столбец табл. 1 показывает, на сколько процентов действительные напряжения на дне надреза отличаются от действительных напряжений, соответствующих значению центрального угла в = 00. Из таблицы также видно, что значению центрального угла втах » 600 соответствует 8 » 25 %, а вэф » 30° соответствует 8 » 5 %.
Практика показывает, что при одинаковом размере сечения, воспринимающего нагрузку в главой плоскости жесткости при изгибе деталей различной формы с одинаковым конструктивным концентратором, предельные значения амплитуды переменных напряжений одинаковые. В этом случае и максимальная глубина усталостной трещины в главной плоскости (силовой) /тах должна быть одинаковой. Изменяются лишь геометрические параметры входа линии фронта усталостной трещины на поверхность дна надреза, определяемые центральным углом втах, и области дальнейшего ее распространения в пределах 2 • вэф. Это позволяет сделать вывод о
том, что если в образце круглого поперечного сечения местные напряжения в пределах вэф отличаются на 5%, а в пределах впах — на 25%, то в детали с эллиптическим поперечным сечением эти закономерности должны выполняться.
Формулы для вычисления ординат точек М и N выводятся аналогично формулам (4) (5):
АВ-сі%ві ч [ А2В2
Ум =
А2 + В2^2 вг
У N = (А + Г XI --
(8)
(А2 + В2^2 вг)(В + г)2
Здесь А и В — большая и малая полуось эллипса в опасном сечении детали, г - радиус кольцевого надреза.
В табл. 2 представлены результаты расчета действительных напряжений по контуру дна надреза через 50 центрального угла ві при аа(О0) = 3.0 для эллиптического сечения с А = 11,5 мм, В = 5,75 мм и радиусом кольцевого надреза полукруглого профиля г = 1 мм.
Из табл. 2 видно, что 8»25 % при
впах » 640, а 8 » 5 % при вэф »180. прєд-положим, что линия фронта трещины при изгибе детали эллиптического сечения -это эллипс с центром в начале координат. Тогда его полуоси можно найти из усло-
Р и с. 2. Эллиптическое сечение цилиндрического образцас полукруглым кольцевым надрезом
(0; а - іпах) ,
вия , что эллипс
(
АВ , АВ -^впах
чЛ/А 2 + В 2^2 впах л/А 2 + В 2с^2 впах 0
Т а б л и ц а 2
Результаты расчета действительных напряжений по контуру дна надреза для эллиптического сечения
І ві, град ві, рад а, мм аа(вг ) °ном (вІ ) ® действ (вІ ) % %
1 5 0,087 1,037 3,073 189,127 581,238 0,909
2 10 0,175 1,142 3,285 181,071 594,815 3,266
3 15 0,262 1,307 3,614 169,231 611,676 6,194
4 20 0,349 1,518 4,036 155,228 626,546 8,775
5 25 0,436 1,764 4,527 140,413 635,703 10,365
6 30 0,524 2,035 5,070 125,694 637,251 10,634
7 35 0,611 2,326 5,652 111,576 630,580 9,476
8 40 0,698 2,632 6,265 98,283 615,737 6,899
9 45 0,785 2,953 6,906 85,865 592,974 2,947
10 50 0,873 3,286 7,573 74,281 562,510 2,342
11 55 0,960 3,633 8,266 63,444 524,405 8,957
12 60 1,047 3,993 8,986 53,252 478,518 16,924
13 65 1,134 4,368 9,736 43,597 424,475 26,307
14 70 1,222 4,760 10,520 34,377 361,658 37,212
15 75 1,309 5,171 11,342 25,496 289,180 49,795
16 80 1,396 5,604 12,207 16,862 205,848 64,263
17 85 1,484 6,061 13,122 8,391 110,115 80,883
Считая А = 11,5 мм, В = 5,75 мм, /тах = 1,2 мм, $тах = 64 , получаем уравнение линии фронта ^распространяющейся трещины при поперечном изгибе цилиндрической детали с эллиптическим сечением и полукруглым кольцевым надрезом вида
2 2
(V + ^2 = 1- (9)
(5,8)2 (10,3)2
Из вычислений видно, что при уменьшении размера малой полуоси В угол 9тъх несколько увеличивается, а вэф уменьшается более существенно.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кудрявцев П. И. Нераспространяющиеся трещины усталости. М.: Машиностроение, 1982. 171 с.
2. НейберГ. Концентрация напряжений. М. Л.: Гостехиздат, 1947. 423 с.
Поступила 25.02.2005 г.
УДК 539.3 М. А. Ковырягин
УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ УПРУГОЙ НЕКРУГОВОЙ ПЛАСТИНЫ
Рассматривается задача определения внешней управляющей нагрузки, которая переводит некруговую упругую пластину из заданного начального состояния как можно ближе к другому заданному конечному состоянию за фиксированное время. Задача для некруговой пластинки с использованием метода малого параметра сводится к задачам для круговых пластинок.
Некруговые пластины являются широко применяемым элементом строительных и машиностроительных конструкций. Очень широкий класс некруговых контуров может быть описан уравнениями вида [1]
х = r(cosS + ecosm3); y = r(sinS-esinm3), (1)
где 3 — параметр контура; r,e — радиус приведенной окружности и величина отклонения контура от кругового (малый параметр) соответственно.
Пластины именно с такими контурами будут рассматриваются в данной работе. Под состоянием пластины будем понимать отклонение от положения равновесия срединной поверхности и распределение скоростей точек этой поверхности. Управление зависит только от времени, а положение его по поверхности пластины фиксировано. Например, управляющие силы могут быть приложены в определенных точках поверхности пластины. Управление подчинено интегральным ограничениям, которые связаны с условиями ограниченности потребляемой энергии.
Рассматриваемая задача является более общей, чем задача точного перевода системы из одного заданного начального состояния в другое заданное конечное.
Используемая методика основана на обобщении метода моментов с использованием теории двойственности в задачах оптимального управления. Этот метод имеет преимущество по объему и по времени счета по сравнению с другими методами оптимального управления, например градиентными, которые применимы для более общих задач оптимального управления. Это связано со спецификой задачи, а именно: линейностью управления, квадратичностью функционала качества. Для решения поставленной задачи необходим метод, который сочетался бы с методом разложения по собственным формам колебаний. Это сочетание дает метод, который предполагает известными (заранее вычисленными) параметры собственных колебаний пластины. Эти характеристики системы являются независимыми от процесса оптимизации, который в системе автоматического управления с обратной связью является оперативным, многоразовым. Вычисление их выделяется в отдельную разовую (не входящую в контур обратной связи) вычислительную процедуру. Отметим, что системы автоматического управления с обратной связью требуют работы в реальном масштабе времени, а это налагает на вычислительный процесс, кроме точности, определенные, зачастую довольно жесткие, ограничения на время счета. Например, для адаптивной лазерной системы это время может быть долями секунд. Следовательно, этот фактор необходимо учитывать при выборе, разработке и реализации математических методов. Здесь оптимальное управление вычисляется в виде ряда по собственным гармоническим функциям и состоит в последовательном решении систем линейных алгебраических уравнений.
