CC BY
49
12
Научный журнал КубГАУ, №104(10), 2014 года
УДК 52.17
ПРОГНОЗ УРОВНЯ ВОДЫ В РЕКЕ С КРУТЫМ ПАДЕНИЕМ ВОДОТОКА, ОСНОВАННОЕ НА ФИЛЬТРАЦИИ КАЛЬМАНА-БЬЮСИ
Титов Николай Г еоргиевич аспирант
Кузякина Марина Викторовна к.ф.-м.н.
Лебедев Константин Андреевич д.ф.-м.н., проф.
Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия
Предложена методика краткосрочного прогнозирования уровня воды в русле реки горного типа, основанная на методе фильтрации Кальмана-Бьюси в предположении естественных упрощений, характерных для натурных объектов
Ключевые слова: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ФИЛЬТР КАЛМАНА-БЬЮСИ, ПАВОДКОВАЯ СИТУАЦИЯ, МЕТОД РУНГЕ-КУТТА, ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
UDC 52.17
FORECASTING THE WATER LEVEL IN A RIVER WITH THE ABRUPT FALLING WATER BASED ON KALMAN-BUSY FILTRATION
Titov Nikolay Georgievich graduate
Kuzyakina Marina Viktorovna
Candidate of Physical and Mathematical Sciences
Lebedev Konstantin Andreevich
Doctor of Physical and Mathematical Sciences
Kuban state university, Krasnodar, Russia
The technique of short-term forecasting of the water level in a vein of a mountain type river, based on a method of Kalman-Busy filtration in the make assumption of natural simplifications, characterized for natural objects is offered
Keywords: : MATHEMATICAL MODELING, KALMAN-BUCY FILTER, FLOOD SITUATION, RUNGE-KUTTA METHODS, FORECASTING
Введение
Одной из уникальных черт Краснодарского края является наличие на его территории рек горного типа. Географически сложилось, что данные реки, на территории Краснодарского края, протекают в горных районах большого Сочи. Данный район имеет очень важное рекреационное значение, в то время как особенность рек горного типа к обильным и краткосрочным паводковым ситуациям не благоприятствует развитию горного туризма в указанном районе. Следовательно разработка методики прогнозирования уровня воды в реках горного типа продиктована современной социально-экономической обстановкой, а также профилактикой чрезвычайных ситуаций на реках горного типа.
Практический интерес для решения задач прогнозирования представляют методы, использующие в математической модели материалы непосредственных наблюдений за потоком воды в русле, а также учитывающие стохастическую природу параметров модели. На практике часто возникают задачи определения
http://ej.kubagro.ru/2014/10/pdf/058.pdf
12
Научный журнал КубГАУ, №104(10), 2014 года
состояния некоторой динамической системы по результатам непрерывных наблюдений. Поскольку наблюдения всегда сопровождаются ошибками, то такая задача сводится к оцениванию (фильтрации, экстраполяции и т.д.) состояния системы путем статистической обработки результатов наблюдений. Построить оптимальную оценку состояния динамической системы, основываясь на измерениях, содержащих погрешности, позволяет фильтр Калмана-Бьюси [1]. В данной работе предложена методика краткосрочного прогнозирования уровня воды в русле реки горного типа, основанная на методе фильтрации Кальмана-Бьюси в предположении естественных упрощений, характерных для натурных объектов. Данная методика апробирована на данных реки горного типа Мзымта за 2010 год предоставленных краснодарским центром гидрометеорологии и мониторинга окружающей среды.
1. Постановка задачи
Рассмотрим систему, описываемую скалярными уравнениями:
где F, B, G, Н - операторы (непрерывно-дифференцируемые функции); А и К — неизвестные операторы в фильтре Калмана-Бьюси; x — измеряемая величина; и— управляющее воздействие и пусть и = 0, которое воздействует на объект в текущий момент времени; z - величина на выходе измерительного прибора; x —
фильтрованная величина на выходе фильтра; , - производные по времени от x и
соответственно; ю, v — случайные возмущения (белый шум) в текущий момент времени.
Уравнение (1) соответствует уравнению объекта с измеряемой величиной х. Уравнение (2) - уравнение, описывающее измерение величины х со случайной погрешностью v. Отметим, что для вывода формул потребуется сделать
предположения о свойствах возмущений ю, v. Эти предположения сделаем ниже по
X = Fx + Bu + Gw
(1)
(2)
(3)
z = Hx + v
X = Ax + Kz
http://ej.kubagro.ru/2014/10/pdf/058.pdf
12
Научный журнал КубГАУ, №104(10), 2014 года
мере возникновения необходимости. Уравнение (3) соответствует уравнению получаемого значения x c помощью фильтра Калмана-Бьюси с коэффициентами A и K. Задача построения фильтра Кальмана-Бьюси сводится к определению вида и зависимости коэффициентов А и К от операторов уравнений (1), (2).
Рис.7. Структурная схема системы, состоящей из уравнений (1) и (2).
Рис. 2. Структурная схема уравнения (3).
Оптимальная проблема построения фильтра Кальмана-Бьюси состоит в построении таких операторов K и A, чтобы математическое ожидание погрешности е = X - X была минимальна
(4)
http://ej.kubagro.ru/2014/10/pdf/058.pdf
12
Научный журнал КубГАУ, №104(10), 2014 года
Рис. 3. Блочная схема для вычисления погрешности.
2. Вывод формул для фильтра Кальмана -Бьюси
Для построения оптимального фильтра в непрерывной постановке используем простой подход, суть которого состоит в дифференцировании по коэффициенту, который является оператором К.
Оператор А выразим через H и K (формула 9).
Для определения вида связи оператора А через H и K фильтра Кальмана-Бьюси проведём ряд преобразований. В уравнение (3), вместо z подставим выражение (2)
X = Ax + K (Hx + v) = Ax + KHx + Kv (5)
Перейдем к усредненным значениям M[x]=x , пользуясь свойствами математического ожидания. Так как по условию постановки задачи v , ю являются
белым шумом, то M[v] =v = 0 , M[®] = ® = 0 .
Введем следующие, как правило, допускаемые предположения:
M [ X] = M [ x ] = x (6)
X = Axe + KHx (7)
Из уравнения (1), учитывая u = 0, получаем (8)
Подставив (8) в (7) будем иметь
откуда следует, что
A=F-KH. (9)
http://ej.kubagro.ru/2014/10/pdf/058.pdf
12
Научный журнал КубГАУ, №104(10), 2014 года
Из (9) видно, что для построения решения фильтра достаточно найти оператор К.
Чтобы определить К, обратимся к уравнениям (3) и (1).
Вычтя из уравнения (11) уравнение (10), получим
x - x = e = Fx + Go - Ax - Kz = Fx + Go - Fx - Kz + KHx = Fx - Fx + Go - K (z _ Hx) =
= F (x - x) + Go- K (Hx +v - Hx) = Fe - KHe + G0 - K\ = (F - KH )e + Go- Kv (12)
Обозначив в (12) x - x через е, получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно погрешности e
x = (F - KH) x + Kz = Fx + K (z - Hr)
(10)
(11)
x = Fx + Go
Є = (F - KH )e + Go- Kv
(13)
или
e = Ae + Go - Kv
(14)
Пусть
U = Go - Kv
тогда
e = Ae + U
(15)
Решение дифференциального уравнения будем искать через функцию веса
фОд )
, которая является решением однородного уравнения
A -ч> ('•'0) ф (,0.,0) = 1
(16)
Тогда решение (15) можно записать следующим образом [1]
(17)
Дисперсия ошибки e должна быть минимальной
(18)
http://ej.kubagro.ru/2014/10/pdf/058.pdf
12
Научный журнал КубГАУ, №104(10), 2014 года
Выберем K так чтобы l(t) было минимальным. Для этого
d/
dt
de 2 de
M [---] = M [2e— ] = M [2e( Ae + U)]
dt dt
M[2Ae2 + 2Gae - 2eKv ]
= 2Al + 2GM[ae] - 2KM[ev ]
(19)
Для нахождения математических ожиданий M [ae] и M [ev ] произведений умножим (17) на a(t).
t t
e -a(t) = ф(t,10)e(t0)a(t) + |ф(t,x)Ga(x)ю(t)dx -Jф(t,x)Kv (x)ю(t)dx
t0 t0
(20)
Возмущения ю(t) и погрешность измерения v (t) есть случайные гауссовские процессы типа белого шума с нулевым среднем и корреляционными процессами
и
cov (a(r)a(t)) = M[a(r)a(t)] = q(r)5 (r - t)
cov (v(r)v(t)) = M[v(r )v(t)] = r(t)5 (r - t)
где 5 (t) единичная функция Дирака; q(t) и r(t) -дисперсии шумов. Тогда
t
M[ea] = ф(t, t0)M[e(t0)a(t)] + Jф(t,т)GM[ю(т)ю(t)]dт
* , (21)
M [e(t 0) -ю (t)] = 0 M [a(t) -v(r)] = 0
Между моментом t и t0 корреляция между e,v нулевая, поэтому, используя свойства гауссовского белого шума и интегральные свойства симметричной единичной функции Дирака [1], получим
т.к. . (22)
Аналогично
. (23)
Подставив (21), (22) в (19) будем иметь http://ej.kubagro.ru/2014/10/pdf/058.pdf
12
Научный журнал КубГАУ, №104(10), 2014 года
— = 2A • l + G • q(t) + K2r(t) = 2(F - KH)l + Gq + K2r d (24)
Чтобы l было минимальным, продифференцируем правую часть по К и
прировняем полученное выражение к нулю:
- 2Hl + 2Kr = 0 , (25)
откуда
K = H • -
r и учитывая (9) получим
A=F--H2 r
Будем предполагать, что H=1, тогда Подставив (26) в (24) получим:
r
(26)
dl l l2 l2
— = 2(F - H2 -)l + Gq + H2 — = 2Fl - H2 — + Gq dt r r r
После проведенных преобразований фильтр Кальмана -Бьюси реализуется с помощью интегрирования системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
dl l2
— = 2 Fl - H2 — + Gq
dt r , (27)
— = 2(F - H2 -)x + H-• (Hx + v)
dt r r (28)
с естественными начальными условиями
(29)
3. Пример применения фильтра Кальмана-Бьюси
Пример 1. Рассмотрим тестовый пример, для проверки возможностей фильтра, задавая конкретные данные для системы (1)-(3). Пусть операторы
http://ej.kubagro.ru/2014/10/pdf/058.pdf
12
Научный журнал КубГАУ, №104(10), 2014 года
скалярные числа равные F =Р= 0.1, G = H = 1; и = 0 - управляющее воздействие
— _ Fx _
равно нулю. Проверку осуществим по упрощённой схеме. Объект dt ; x (0) _1
даёт решение частное решение x0 _ exp( ^). Наложим на решение нормальную
x _ x0 +(D z _ H(x0 +Ю) + v
случайную составляющую 0 , тогда v 0 ' - величина на выходе
измерительного прибора, поступающая на фильтр (27), (28); q = 0.5 - дисперсия нормально-распределённой случайной величины ro(t); r = 0.1- дисперсия
случайного возмущения v(t) на измерительном приборе. Начальные условия
фильтра 1 (°) _ 0, *<» _!.
Результаты фильтрации по разработанной программе на математическом пакете MathCAD представлены на рис. 5
http://ej.kubagro.ru/2014/10/pdf/058.pdf
12
Научный журнал КубГАУ, №104(10), 2014 года
Рис.6. Величины: - исходная величина
и отфильтрованная величина соответственно
http://ej.kubagro.ru/2014/10/pdf/058.pdf
12
Научный журнал КубГАУ, №104(10), 2014 года
Как видно из рис.7 Относительная погрешность фильтрации не превышает по модулю величины 0.05.
Пример 2. Рассмотрим тестовый пример с оператором F = 0, остальные параметры те же, что и в примере 1. Случай F = 0 описывает объект с постоянным
* = о
уровнем выходного сигнала, dt ; Начальные условия фильтра ^(0) = 0
x (0) = 0
Х(0) = 0
даёт решение частное решение
х0 = 0
Рис.8. Величина z(t)=0 поступающая на вход фильтра (белый пунктир), -
исходная величина нормального возмущения (черные ) и отфильтрованная величина (белая линия) соответственно.
http://ej.kubagro.ru/2014/10/pdf/058.pdf
12
Научный журнал КубГАУ, №104(10), 2014 года
Как видно из рис.9 абсолютная погрешность не превосходит по модулю 0.05 за рассмотренный промежуток времени.
Пример 3. Рассмотрим реальный объект, а именно уровень воды в реке горного типа. Все параметры те же что и в примере 2, за исключением того что z(t) есть реальное значение уровня воды в реке Мзымта за 2010 год взятое по данным Краснодарского центра гидрометеорологии и мониторинга окружающей среды.
Проведя численный эксперимент согласно (14), (15) и сравнив его с результатами регрессионного анализа проведенного на массиве тех же данных сделан вывод об улучшении краткосрочного прогноза уровня воды на основе следующих данных.
Проведенный двухвыборочный F-тест [2, 3] для дисперсий генеральных совокупностей экспериментальных данных и данных полученных с помощью регрессионного анализа показал вероятность сходства этих двух массивов равной Ррегр. = 0,897, а для дисперсий генеральных совокупностей экспериментальных данных и данных полученных с помощью фильтрации Калмана-Бьюси - РК-Б. = 0,977. Следовательно, вероятность совпадения массива данных полученного с помощью фильтрации Калмана-Бьюси с массивом экспериментальных данных больше, чем вероятность совпадения между реальными данными и данными
http://ej.kubagro.ru/2014/10/pdf/058.pdf
12
Научный журнал КубГАУ, №104(10), 2014 года
полученными с помощью регрессионного анализа.
Метод, основанный на регрессионном анализе [4], показывает большую
среднюю ошибку (10,217 >5,193), по сравнению с методом, основанном на использовании фильтра Калмана-Бьюси. Визуализация погрешности прогноза с помощью фильтра Калмана-Бьюси e(t) и погрешности прогноза с помощью регрессионного анализа p(t), представленная на рис. 10, подтверждает проведенные расчеты.
Список литературы
1. Пугачев В.С. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация [Текст] / В.
С. Пугачев, И. Н. Синицын. М.: Наука, 1990. 632 с.
2. Крамер Г. Математические методы статистики.— М.: ир, 1975. —375 с.
3. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: учеб. пособие для втузов. ? М.: Высш. шк., 1984. ? 248с.
4. Титов Н.Г., Семенчин Е. А., Об оценке коэффициентов в уравнении линейной регрессии, описывающем изменения уровня воды в русле горной реки //Известия Кубанского государственного университета. Естественные науки. —2013. — №1(2). — С.49-51.
References
1. Pugachev V.S. Stohasticheskie differencial'nye sistemy. Analiz i fil'tracija [Tekst] / V. S. Pugachev, I. N. Sinicyn. M.: Nauka, 1990. 632 s.
2. Kramer G. Matematicheskie metody statistiki.— M.: ir, 1975. —375 s.
3. Ivchenko G.I., Medvedev Ju.I. Matematicheskaja statistika: ucheb. posobie dlja vtuzov. ? M.: Vyssh. shk., 1984. ? 248s.
4. Titov N.G., Semenchin E.A., Ob ocenke kojefficientov v uravnenii linejnoj regressii, opisyvajushhem izmenenija urovnja vody v rusle gornoj reki //Izvestija Kubanskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki. —2013. — №1(2). — S.49-51.
http://ej.kubagro.ru/2014/10/pdf/058.pdf
