Профилирование плоских авиационных лопаток на базе дифференциального уравнения кривизны Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.735

А. С. ИМАНОВ12, П.Ш. АБДУЛЛАЕВ1

1 Национальная Академия Авиации, Баку, Азербайджан 2Азербайджанский технический университет, Баку, Азербайджан

ПРОФИЛИРОВАНИЕ ПЛОСКИХ АВИАЦИОННЫХ ЛОПАТОК НА БАЗЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

КРИВИЗНЫ

Предлагается построение плоских решеток на основе полученных кривых, впервые, из решения дифференциального уравнения кривизны. Указываются оптимальный подбор граничных условий для кривой спинки и корыта. Для достижения геометрических характеристик, приводятся параметры варьирования. Линии спинки, корыта, входной и выходной кромок описываются аналитическими уравнениями, которые в дальнейшем позволят автоматизировать необходимые газодинамические, аэродинамические и другие расчеты. Все этапы построения (значения конкретны) кривой спинки и корыта осуществляются с помощью ЫаШсай.

Ключевые слова: кривизна, профилирование, кривая спинки, кривая корыта.

Введение

Аэродинамические задачи подразделяются на постановку прямой задачи — построение профиля для заданных параметров на входе и выходе с дальнейшим определением потерь на нем, и обратной, то есть создание профиля по заранее принятому характеру изменения скорости по его обводу. В мировой практике проектирования лопаток обратная задача используется очень редко. Одним из главных моментов является необходимость нахождения минимума аэродинамических потерь в решетке при условии, что к проектируемой лопатке предъявляются требования, которые вытекают из обеспечения прочности и особенностей технологического процесса ее изготовления. Тем не менее, решение обратной задачи в двухмерной постановке обладает большими перспективами, потому что позволяет получать лопатки турбин с высоким аэродинамическим качеством при значительном сокращении времени, затрачиваемого на проектирование и доводку [1].

На характер обтекания решетки, потерю энергии и угол выхода потока существенное влияния оказывает кривизна контуров, главным образом, кривизна контура спинки профиля на участке косого среза. Кривые, имеющие наименьшее значение максимальной кривизны, обеспечивают низкий уровень скорости обтекания профиля. Отсутствие перегибов на графике распределения кривизны по профилю обеспечивает плавное изменение скорости от входной кромки к выходной [2]. Плавно меняющаяся кривизна может быть использована для образования профилей.

В настоящее время разработан ряд методов построения плоских решеток путем решения прямой [3] и обратной задачи [4]. Большинство исследователей единодушны в том, что контур профиля решетки, особенно спинки, должен выполняться без скачков кривизны, что обеспечивает плавное изменения скорости потока по профилю решетки.

Предлагается построение плоской решетки на основе решения обратной задачи. Уравнения, описывающие кривую спинки и корыта профиля, получены решением дифференциального уравнения кривизны.

1. Постановка задачи

С учетом вышеизложенного рассматриваются основные этапы построения плоской решетки в программной среде МАТНСАБ.

По предложенной методике решение задачи профилирования на основе обратной задачи, изменения кривизны вдоль контура представляется заданным, например, в виде элементарной тригонометрической функции, которая сокращает количество итерации и значительно упрощает построение плоских решеток.

Решив дифференциальное уравнение кривизны можно получить функциональную зависимость, описывающую кривую спинки и корытца.

Дифференциальное уравнение кривизны имеет вид:

(1 + у'2)2

© А.С. Иманов, П.Ш. Абдуллаев, 2015

- 154 -

где к(х) — функция кривизны;

у — функция уравнения кривой профиля. Уравнение (1) не содержит явным образом искомой функции у.

Кривизна к(х) выбирается по следующим критериям:

1. Функция к(х) должна быть простой и интегрируемой.

2. При положительных значениях х, значения к(х) должны принимать отрицательные значения, так как кривая профиля должна быть выпуклой вверх и не должна иметь более одного экстремума.

3. Желательно наличие в начале координат плавного перехода прямой в кривую. Для этого необходимо, чтобы в начале координат значение к(х)=0.

4. Кривая, описывающая кривизну должна быть плавной в заданном интервале.

За кривую, удовлетворяющую вышеуказанным критериям, можно принять элементарную тригонометрическую функцию. Например:

к(х) = -0,азт(р-х).

(2)

В интервале [0,я]. где, а — максимальное значение кривизны в заданном интервале; р — масштабный множитель аргумента.

Решение дифференциального уравнения (1), с учетом (2) приводит к выражению [5] /

у = — 1п Р

I 2 2

вП1(р • х) + д/В - сое (р • х)

Бш(р• X!) + д/в2 -С082(р-Х1)

+ У2, (3)

где В=р/а;

у2 — значение функции спинки или корыта при значении аргумента Х1 [3].

Уравнение профильных кривых (3) получено с учетом того, что система координат, у которой ось х параллельна оси турбины, а ось у совпадает с фронтом решетки у выходных кромок. Начало координат принимается центр выходной кромки.

2. Алгоритм построения сечения

Профиль строится в декартовой системе координат. Излагаемый ниже метод аналитического профилирования лопаток турбин на основе (3) для образования спинки и корыта профиля позволяет варьировать контуры профилей в широких пределах и в максимальной степени удовлетворять всем требованиям аэродинамики, конструкций, прочности и технологии.

Плоский профиль, полученный на основе (3), имеет определенные величины геометрии, в которые обычна входят хорда Ь, шаг решетки

Т, конструктивные углы входа р^ и выхода р2Г, площадь сечения Б, радиусы скругления кромок Г1 и Г2, размер минимального проходного сечения межлопаточного канала или угол Р2эф, а также угол отгиба выходной кромки.

Однозначную связь исходных данных с граничными условиями для составления уравнений спинки и корыта установить невозможно, поэтому значения граничных условий, сначала задают приблизительно, а затем уточняются до получения всех заданных геометрических характеристик.

Решения всех уравнении и построения кривых спинки и корыта проводилось в программе МаШса<±

Для дальнейших вычислений удобнее, чтобы профиль был расположен в диапазоне изменения х от нуля до единицы, поэтому целесообразно перейти к относительным величинам заданных геометрических размеров.

Основные этапы алгоритма следующие:

1. В качестве исходных данных для профилирования вводим величины: Р1г=75°, Р2г=26°,

г1 = 2,1, г2 = 0,6, р2эф = 25°, Ь = 50, ¡ = 0,58, Б = 410 шш2 (&).

Для применения в формулах углы, заданные в градусах, переводятся в радианы.

2. Значения — угол установки профиля в решетке, вычисляется по следующей формуле:

7=13,59+0.628 (Р1г-Р2г)"

-0.0028 (|31г -Р2Г)2 =37,6392

принимаем у = 36,8°.

3. Ширина решетки вычисляется по формуле

В = Ьсов

180°

=40,0366.

4. Вычисляются относительные величины заданных геометрических размеров:

Ь = -=1Д489Л=:^Т=0^558.

В В2

Г! =-^=0,0525, г2 =!-=0,015. В В

5. Определяются другие величины по известной методике [2]:

стах =1,3^- = о,2663, Ю! =1-2,5(Ста*~2г') = 0,323,

ш2 =к2 -0,14-

= 0,0865,

(0,2 + 0)0

где, при первом приближении значения Ц и к2 принимается за 1 (»»1 = 18,5°, (»2 = 5°).

г \

Pi

Pir-

V 2 у

(В!

Р2 =

180°

V 2 у _.

-=1,1475,

■я

180°

=0,4106

6. Находят некоторые величины: АЬ1=г1-8т(р1)=0,0478,

ДЬ2=г2(1-со8(р2))=0,0012,

Ьх1=1-(г2+0=0,9326,

ЬХ1 — расстояние между центрами входной и выходной кромок.

Ус1 = bxi ■ tan

s \ я

Y

+ АЫ= 0,7475,

ctgP2c = ctgPic =

cos(p-xC2)

\/Bi2 — cos2 (p • xC2) cos(p-xCi) ^ -cos2(jp-xCl)

Решив эту систему относительно p и Б! получим:

В1=-

cos

(p-xcl)

COS

(Pol)

7. Для определения а и р выполняются следующие действия. Вводим начальные значения Р = 2, и Ъ = —1,0.

В Mathcad совместно решаются следующие два уравнения:

Ус1 =-1п Р

sin(p • х1) + >2 -cos2(p-xj) sin(p ■x2 ) + Jb12 - cos2 (p • x2)

+ Ус2

bi =

COS(P'Pxl)

^(Рх)

и определяются значения а и р

Ъ2= —1,0839, р=2,13 .

Ь2

На рис. 1 показана кривая спинки, где уравнение спинки имеет следующий вид:

/ I-;- N

f(x) = -ln р

sin(px) + — J -cos2(px)

sin(px2 ) + ill ^ | - C°S2 (Px2 )

+ Ус2. (4)

180°

yc2 = r2 sin (p2) =0,006,

Pxl =bxl+r1cos(P1)= 0,9541,

где ус2 и ус1 начальные и конечные значения ординат спинки лопатки . рх1 — расстояние от начала координат до х^

х2 =r2cos(p2)=-0,0137, х1 =рх1 =0,9541

Для определения значений Б! используются следующие краевые условия.

Ус lx=xc1 = -ctg(Plc) и yclx=xc2=-ctg(P2c)

Подставляя эти значения в (3), получим следующую систему уравнений:

Рис. 1. Кривая спинки профиля

8. Сравниваются значения производной в начале и в конце кривой с заданными значениями соответственно Рс1 и Рс2.

С08(р-Х2)

У2 =

: = 2,3847,

— I -cos

(р • х2 ^

180°

у2_г = 90° — atan(y2 V———— = 22,7501°, v п

bS2=p2—= 23,523° я

cos

У1 =

(P"xl)

■ = -0,4505,

— - cos

(pxi)2

180°

— площадь под кривой спинки; Бс — суммарная площадь под кривой спинки.

11. Этапы построения кривой корыта: Определяем начальные и конечные углы

входа (Р1к) и выхода (р2к) корыта.

\

У1рг = 90° - a tan (у, )•-= 65,7467'

180°

bSi=ßr—= 65,7467°,

где, у2, У! соответственно, первая производная (4) в точках Xj и х2.

Если У2рг (угол выхода потока, полученный на основе (4)) не соответствует значению bs2, то корректируется Р2г и вычисления повторяются с пункта 1. Корректировка продолжается до совпадения у2рГ и bs2 до допустимой их погрешности.

9. Для построения окружности в начальной и конечной кромках применяется уравнение окружности

fnok(x) = Vrl2 _(х_Лх)2 + АУ'

где Ах = 1-г1-г2 =0,9326,

Ду = f(xj) - ij • siniPj) = 0,6976. f(xj) — находят

по (4). xnokcl = xj = 0,9541 , xnokc2 = l-r2 = 0,085 , [xnokci; xnokc2] - интервал для построения входной окружности у спинки.

Для выходной кромки применяется уравнение окружности

ßlk="

_2 у

180°

-=1,4705,

2Г+

ß2k="

(02

2 У =0,497,

180°

xk2 =г2 -cos(ß2k)=0,0132, xkl=bxl-rlCos(ßlk)=0,9273, yk2=r2-sin(ß2k)

ykl=bxl-tan

/ \ я

У— 180°

■rj -sin(ßlk)=0,6455

fvix(x) = Vr2-x2

х^хс1 = ~т2 = -0,0015, х^г = х2 = -0,0137 .

[ху1хс1; ху^хс2] — интервал для построения выходной окружности у спинки .

10. Площадь под кривой спинки определяется по следующим уравнениям: х2

*укс = I ^¡Х(х)с1х = 5,0088х10"6,

хУ1хс1

Ук1=—In Рк

-Ук2

fc= jf(x)dx = 0,5897,

х2 хпокс2

fnoc= J f„ok(x)dx = 0,0226,

[xkl; ykl] — [xk2; yk2] — координаты начальной и конечной точки кривой корыта.

Для определения ак и Рк выполняются следующие действия. Вводим начальные значения

Рк=2 Ь1к=-1,01.

В Mathcad совместно решаются следующие два уравнения:

sin(pkxkl ) + л/ь2к - cos2 (ркхк1) sin(pkxk2) + ,/blk2 - cos2 (ркхк2) ^ b ^cos(pk-pxl) lk cos(ßlk)

cos(pkxkl)

Pik --Zj—ч-

cos(ßlk)

определяется значения рк и ак.

pk = 1,8223, ak = — = -1,5369. Ъ2

В интервале Xk=[Xk2; Xki] по формуле (5) строится кривая корыта.

Х1

=0,6123,

где, — площадь под выходной кромкой; ^ с — площадь под входной кромкой;

fk(x) = — In Pk

sin(pkx) +J 1 -cos2(pkx)

sin(pkxk2)+.

Pk

-cos (pkxk2)

-Ук2.(5)

12. Этапы вычисления пункта 8 — 10 для спинки повторяются для корыта и строится полный профиль лопатки (рис. 2).

fix)

7.53

-0.6

1 1 ад

1 1 1 \

1 1 1 / £iok(x)

// \ ад

//' , f™(x)

-0.6

7.41

15.41

23.42

31.43

Рис. 2. Профиль лопатки полученный Mathcad:

fc(x) "■ '. — кривая I

и, ^(х)^(^ — кривая

5 = (90° -y2pr^-atan

dxrf

180°

= 15°

где у2рг — значение Р2 вычисленное по формуле (4).

15. Площадь оценивается по формуле

Р = Ох _ ^ )■ Ь2 = 253,

где — площадь под кривой спинки; Бк — площадь под кривой корыта .

Меняя значения к! в пункте 1 можно получить необходимое значение Е

3. Результаты

На рисунке 3 показан график кривизны спинки ус =а-вт(р■ х) и корыта ук = ак ■ вт^ ■ х)

корена, ^^ (х) — кривая входной кромки, ^их (х) — кривая выходной кромки

13. Совместно решив уравнения прямой, проходящей через точки [0, 1], [хй, уй] (координаты второго конца отрезка горла, на спинке соседнего профиля, рисунок 3) и уравнения спинки (4) получим значения неизвестных хй, уй. Вычислив расстояние между точками [х^, уЛ] (точка пересечения прямой с кривой корыта), [хй, уй] определяем величину значения выходного горла Р2эф = 12,2559.

Рис. 3. К определению координаты точки хй, уй

Для достижения необходимого значения

горла у корректируется по формуле у = у + Ау и вычисления повторяются с пункта 1.

Этот метод применяется для определения размера входного горла.

14. Угол отгиба находим по формуле:

Рис. 4. Кривизна спинки (yc) и корыгта (yk)

Как видно из рис. 4 кривизна по всему профилю меняется плавно, что подтверждает изменения скорости обтекания без скачков [5,6].

Для окончательного построения оптимального профиля плоской решетки необходима проверка на прочность и оценка технологичности.

Заключение

В дальнейших исследованиях предусмотрено проведение проверки на прочность и оценка технологичности, а также CFD анализ решетки и 3D моделирование на основе полученной плоской сечения.

Предложенная функциональная зависимость (4) рекомендуется для аналитического построения активных и реактивных плоских решеток осевых турбин.

Литература

1. Van den Braembussche R. A. Turbomachinery component design by means of CFD [Тгкст] / R. A. Van den Braembussche // Task Quarterly Journal. - 2002. - Vol. 6. - No 1. - р. 39-61. '

2. Аронов Б.М. Профилирование лопаток авиационных газовых турбин [Текст] / Б.М. Аронов, М.И. Жуковский, В.А. Журавлев.

— М. Машиностроение, 1975. — 191с.

3. Мустафаев М.Р. Профилирование сечения лопаток турбины на основе решения уравнения кривизны [Текст] /М.Р. Мустафаев, П.Ш. Абдуллаев, Ю.М. Ашуров // Харьков, авиационно-космическая техника и технология

— 2010, —№4. —С. 95 —101.

4. Соколовский Г. А. Профилирование решеток на основе решения обратной за-

дач [Текст]/ Г. А. Соколовский, В.И. Гнесин, В.А. Ванин. — // Энергетическое машиностроение: вып.34 — 1984. — № 3. —С.43 —48.

5. Иманов А.С. Профилирование лопаток по геометрическому критерию качества на основе решения обратной задач [Текст] / А.С. Иманов. //Авиационная техника: Изв. вузов. — 2003 г. — № 1. — С. 64 —66.

6. Бойко А.Б. Оптимальное проектирование проточной части осевых турбин: изв. ХГУ [Текст] / А.Б. Бойко. — Харьков, «Высшая школа», 1982. — 151с.

Поступила в редакцию 07.05.2015

А. С. Иманов, П.Ш. Абдуллаев. ПрофМзацн плоских ав1ацшних лопаток на 6a3i диференщального р1вняння кривизни

Пропонуеться побудова плоских грат на ocnoei отриманих кривих, уперше, з ршення диференщального рiвняння кривизни. Вказуються оптимальний пiдбiр граничних умов для кривог спинки i корита. Для досягнення геометричних характеристик, наводяться параметри вартвання. Лшг спинки, корита, вхiднiй i вихiднiй кромок описуються аналтичними рiвняннями, ят надалi дозволять автоматизувати неoбхiднi газoдинамiчнi, аерoдинамiчнi i mrni розрахунки. УЫ етапи побудови (значення конкретш) кривог спинки i корита здшснюються за допомогою Mathcad.

Ключов1 слова: кривизна, профшзащя, крива спинки, крива корита.

A.S. Imanov, P.Sh. Abdullayev. Profiling of flat aviation shoulder —blades on base of differential equalization of curvature

The construction of flat grates is offered on the basis of the got curves, first, from the decision of differential equalization of curvature. Specified optimal selection of border terms for the crooked back and washtub. For the achievement of geometrical descriptions, parameters over of varying are brought. To the line of back, washtub, an entrance and output edges described by analytical equalizations, that in future will allow to automatize necessary gas —dynamic, aerodynamic and other calculations. All stages of construction (values are certain) of the crooked back and washtub come true by means of Mathcad.

Key words: curvature, profiling, crooked back, curve of washtub.