CC BY
78
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VII 1976
М 3
УДК 532.525.001.2
ПРОФИЛИ СКОРОСТЕЙ В МИНИМАЛЬНОМ СЕЧЕНИИ СОПЛА ЛАВАЛЯ ПРИ ОДНОРОДНОМ ВИНТОВОМ ТЕЧЕНИИ ГАЗА
Аналитически исследован частный вид закрученного течения газа в сопле Лаваля — радиально-уравновешенное однородное винтовое течение. Расчетным методом определены для него профили осевой и окружной составляющих скорости в минимальном сечении сопла. Получены предельные значения интенсивности закрутки, при которых в ядре потока еще не возникает отрывных и возвратно-циркуляционных зон. Проведенный анализ позволяет также предположить, что в газах с большими значениями отношения удельных теплоемкостей х все явления, обусловленные закруткой, протекают более интенсивно, чем в газах с меньшими значениями х.
Произвольные закрученные течения в каналах и, в частности, в соплах представляют большие трудности для теоретического исследования. Поэтому присущие им закономерности определяются или при упрощающих ограничениях [1], или на основе анализа частных случаев течения с тем или иным заданным распределением окружной составляющей скорости по радиусу в некотором сечении [2—7]. Один из таких частных случаев течения—.однородное винтовое течение — допускает, как было показано в [8], аналитическое решение. Для определения возможностей практического использования его результатов необходимо иметь более полное представление о структуре такого течения.
1. Рассмотрим изоэнтропическое й изоэнергетическое закрученное течение. Из уравнения Крокко
(V—вектор скорости, Т — температура, S — энтропия, Н — полная энтальпия) следует, что такое течение, независимо от закона распределения циркуляции по струйкам тока, будет обладать свойством коллиниарности ротора скорости в лю—*
бой точке течения самому вектору скорости: rot V=\V, т. е. будет по определению винтовым течением. Ограничимся рассмотрением однородного винтового течения, в котором коэффициент А = const.
Если сопло имеет достаточно плавные обводы, то в окрестности его минимального сечения можно с большой степенью точности считать течение радиально-уравновешенным (радиальная составляющая скорости и ее производная вдоль
сопла пренебрежимо малы). Для осесимметричного сопла выражение ротора V, записанное в цилиндрической системе координат,
Н. Н, Славянов
rot V X V = Т grad S — grad Н
<и, V, т — составляющие вектора скорости газа V вдоль оси х, радиуса г и угла <р; ех, ег, — соответствующие орты) приобретает вид
-*■ 1 д (гт) -* дт -*• ди
™'у=-Т-дГ~ех-д7ег-дГе?-
Таким образом, в минимальном сечении сопла йи. с1 (гни)
*р.= -Х«, ~ТГ='кги, (1)
.или
сРи 1 Ли
+ ~ 1? + 1*и = °-
После замены переменных \г = т] получаем уравнение Бесселя
г;2 и" + щ' + ц2и}= О
-с решением к = с0^0 (т1) + ^1^0 С1)). где'УоС»)) и У0 (->)) — бесселевы функции первого и второго рода нулевого порядка. *
Используя первое соотношение из (1) и свойства бесселевых функций, получаем выражения для осевой и окружной составляющих скорости:
и = с0 /о о^г) + С! Го (кг),
V) = Со Л (Хг) + С! У1 (кг).
Из условия осесимметричного течения и неразрывности распределения окружной составляющей скорости по радиусу следует, что при г = 0 величина да = 0. Введя циркуляцию Г = тг и считая известным ее значение на стенке (Г = или = Г £ //? при г = Я), находим значения констант с0 и с1. Окончательно выражения для и и а> приобретают вид:
и = £*. У° и/ = А (И
7? Л (*«)'’ Я Л(Х/?)'
Для совершенного газа плотность р связана со своим значением для заторможенного потока р0 известным соотношением р = р0 [1—0,5 (*—1) (ма+ ге?2)/«§]1,г(х 15 и секундный расход газа может быть определен по формуле
Г -. г-9— ГГ А («) + 'о («)
0= | рай/^ггс/ггроЯоа у 1 —
Г п 1 /* ^_1 р
где о = —£1- I/ ------= ——параметр интенсивности закрутки Магера [2],
Яа0 ' 2 ®тах
I = г//?, X = X/? и интегрирование проводится по минимальному сечению сопла. Для определения связи а и X используется условие максимума расхода газа
<Ю \
жг=°- <з>
2. Результаты численного интегрирования уравнения (2) при условии (3) дают зависимость Х = Х(а), которая для значений %= 1,14; 1,40; 1,67 изображена на фиг. 1. Кривая для у. = 1,40 повторяет соответствующую кривую из [8], но •охватывает более широкий диапазон интенсивностей закрутки.
Для определения возможностей использования получающихся аналитических решений в конкретных приложениях рассмотрим, как распределяются осевая и окружная составляющие скорости по радиусу минимального сечения сопла в зависимости от интенсивности закрутки. В общем случае произвольного закрученного течения параметр а, входящий в соотношение (2), не может служить мерой интенсивности закрутки, так как он определяется только по значению окружной составляющей скорости на стенке канала без учета специфики ее распределения по радиусу. В работе [1]при линеаризации уравнений радиально-
уравновешенного течения для слабой закрутки был получен интегральный параметр
1 г 1
Ш-
Г*(ф)
о Ф
(Г — циркуляция, отнесенная к произведению критической скорости звука и радиуса минимального сечения сопла, ф — безразмерная функция тока). В [9] было показано, что этот параметр может использоваться в качестве параметра подобия для сравнения интегральных характеристик сопл Лаваля вплоть до таких
О
Фиг. 1
о,2 о.
Фиг. 2
ОС
интенсивностей закрутки, когда ее уже нельзя считать слабой. Параметр а, не являясь универсальным, нашел, однако, широкое распространение в работах по закрученным течениям, поэтому в дальнейшем указываются и его значения. Связь е и а для трех значений *. показана на фиг. 2.
На фиг. 3 построены профили осевой и окружной составляющих скорости по радиусу для закруток различной интенсивности (х = 1,4). Оказалось, что при малой интенсивности закрутки осевая составляющая скорости слабо изменяется по радиусу, окружная же составляющая изменяется по радиусу почти линейно, начиная от нулевого значения на оси потока. Из этого следует, что при малой интенсивности закрутки однородное винтовое течение близко к течению, закрученному по закону твердого тела. Начиная с е = 0,3 (о г 0,3), профиль окружной составляющей скорости начинает искривляться; одновременно становятся значительными и изменения осевой составляющей скорости по радиусу. Следует при этом отметить два момента. Во-первых, значению в = 0,3 соответствует уже достаточно интенсивная закрутка. Как будет показано ниже, коэффициент расхода сопла при этом из-за закрутки падает более чем на 15%. И, во-вторых, в реальном случае, когда в некотором начальном сечении сопла поток закручивается по закону твердого тела, в дозвуковой части течения при таких интенсивностях закрутки наблюдается возникновение пристеночных отрывных зон [5, 6, 9], что вызывает в минимальном сечении аналогичное искривление профилей т. Это позволяет предположить, что однородное винтовое течение близко по структуре (по крайней мере, в минимальном сечении сопла) течению с начальной закруткой по закону твердого тела.
При большой интенсивности закрутки осевая составляющая скорости в минимальном сечении сопла изменяется от существенно дозвуковых значений на стенке до значительных сверхзвуковых значений на оси. Окружная составляющая скорости, наоборот, становится сверхзвуковой в пристеночной области. С увеличением интенсивности закрутки значение осевой составляющей скорости на оси приближается к максимальному и достигает его для г. — 1,4 при е = 3,25 (а=0,578).
После этого в течении, по-видимому, должно возникать вакуумное ядро, как и в случае потенциальной закрутки [2, 3]. Разница в том, что в последнем случае оно возникает теоретически при любых интенсивностях закрутки и причиной его возникновения служит увеличение не осевой, а окружной составляющей скорости. Для дальнейшего расчета винтового течения разработанная программа в использованном виде становится непригодной.
г
Номер кривой е а Номер кривой £ а
1 0,0003 0,01 4 0,3340 0,30
2 0,0306 0,10 5 0,7360 0,40
3 0,1310 0,20 6 1,6300 0,50
7 3,0060 0,57
Фиг. 3
При сравнении профилей скоростей, рассчитанных для разных х, оказалось, что при одинаковых значениях е они близки друг другу (фиг. 4). Также близки и кривые зависимости коэффициента расхода сопла ц (равного отношению расхода закрученного потока к расходу потока без закрутки при одномерном течении с теми же параметрами торможения) от е (фиг. 5). Зависимость ц от е
&
в рамках линейной теории имеет вид р. = 1 — у [1, 9] и не зависит от х. Расхождение кривых между собой свидетельствует о том, что с ростом интенсивности закрутки возрастает погрешность, вызванная использованием е в качестве универсального критерия подобия.
3. Исследование однородного винтового течения позволяет оценить и влияние отношения удельных теплоемкостей при закрутке потока. Известна только одна работа [10], посвященная этому вопросу. В ней рассчитаны коэффициенты расхода сопла при течении в нем потенциального закрученного потока. Численные расчеты проводились по соотношениям работы [2] для значений х от 1,10 до 1 ,‘28 с шагом 0,02 при интенсивностях закруток, соответствующих значениям а от 0,02 до 0,80. Каких-либо конкретных выводов работа не содержит, но анализ сведенных в таблицу численных результатов показывает, что при одинаковых а коэффициент расхода сопла меньше для газов с меньшими значениями х. Однако вывод о ббльшем влиянии закрутки на течение газов с меньшими х был бы ошибочным. Это связано с тем, что само значение параметра а зависит от х, так как при его определении использовалась в качестве характерной максимальная скорость газа, соответствующая заданной полной энтальпии. Если данные работы [10] пересчитать, используя в качестве характерной скорости при определении а не максимальную, а критическую скорость, то для таким образом определенных а кривые (х (а) при различных х будут, как и для винто-
вого течения (см. фиг.5), очень мало отличаться друг от друга. Таким образом, можно считать, что коэффициент расхода сопла при течении сквозь него закрученного потока в важном для приложений диапазоне интенсивностей закрутки практически не зависит от отношения удельных теплоемкостей. При сильных закрутках коэффициент расхода газа с большими значениями х все же уменьшается сильнее, чем коэффициент расхода газа с меньшими х. Та же закономерность наблюдается и в однородном винтовом течении (см. фиг. 5).
Номер кривой X & ос Номер кривой X £ а
1 1,14 0,56 0,23 4 1,14 1,36 0,31
2 1,40 0,58 0,37 5 1,40 1,38 0,48
3 1,67 0,58 0,45 6 1,67 1,31 0,50
Фиг. 4
Течение с 1ануцмным ' я аром
\
\
\
Течение
без бант/м* ного яора 1
1,Ш 1,4-0 х. 1,67
Как уже было отмечено, с увеличением интенсивности закрутки скорость на оси сопла при однородном винтовом течении возрастает до максимального значения, соответствующего заданной полной энтальпии. Эти предельные значения в отмечены кружками на фиг. 5. Так как расчеты прекращались несколько раньше достижения этих предельных значений из-за большого увеличения потребного машинного времени, то отмеченные точки получены экстраполяцией. Диапазон экстраполяции показан штриховыми линиями. В правом верхнем углу фиг. 5 приведена зависимость предельных значений е от отношения удельных теплоемкостей х. Из этой зависимости следует, что в газах с большим отношением удельных теплоемкостей закрутка вызывает возникновение вакуумной приосевой отрывной зоны существенно раньше, чем в газах с меньшим значением X.
Таким образом, отмеченные закономерности позволяют сделать вывод, что, по-видимому, вообще в газах с ббльшими значениями отношения удельных теплоемкостей ■*. все явления, обусловленные закруткой, протекают более интенсивно, чем в газах с меньшими х.
В заключение автор приносит благодарность А. Н. Крайко за постановку задачи и ценные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черный Г. Г. Закрученные течения сжимаемого газа в каналах. „Изв. АН СССР. ОТН“, 1956, № 6.
2. М a g е г A. Approximate solution of isentropic swirling flow
through a nozzle. ARSJ., vol. 31, N 8, 1961.
3. L e w e 11 e n W. S., В u r n s W. J., S t r i с k I a n d H. J. Transonic
swirling flow. AIAA J., vol, 7, N 7, 1969.
4. Norton D. J., Farquhar B. W., Hoffman J. D. An analytical and experimental investigation of swirling flow in nozzles. AIAA J., vol. 7, N 10, 1969.
5. Dunlap R. An investigation of the swirling flow in a spinning end-burning rocket. AIAA J., vol. 7. N 12, 1969.
6. P ы ч к о в А. Д. Расчет закрученного течения идеального
газа в сопле Лаваля. ,Изв. АН СССР. МЖГ“, 1971, № 5.
7. Boerner С. J., Sparrow Е. М., Scott С. J. Compressible swirling flow through convergent divergent nozzles. Warme-und Stoffiiber-tragung, Bd. 5, N 2, 1972.
8. Гостинцев Ю. А. Расходные характеристики сопла при истечении винтового потока газа. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, № 4.
9. Славя нов Н. Н. Теоретическое исследование закрученных течений идеального газа в сопле Лаваля. „Изв. АН СССР. МЖГ*, 1973, № 6.
10. G 11 с k R. L., Kilgore М. S. Effect of specific heat ratio on mass flow for swirling nozzle flow. J. Spacecraft and Rockets, 1967, N 8.
Рукопись поступила 25jXI 1974 г.
