CC BY
56
УДК 378.14
ПРОФЕССИОНАЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ПОДХОД В ИЗУЧЕНИИ РАЗДЕЛА «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» ПРИ ПОДГОТОВКЕ СПЕЦИАЛИСТОВ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ
Н.В. Спиридонова1
Самарский государственный технический университет 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244 E-mail: nvshkolina@mail.ru
Математика - фундамент технического образования, и в практической деятельности любого специалиста она призвана решать профессиональные задачи. Поэтому математическую подготовку в техническом университете необходимо направлять на формирование математической компетенции студентов в соответствии с их квалификацией, и делать это рационально на профессионально ориентированных примерах. В статье показано и обосновано практическое использование раздела математического анализа «Интегральное исчисление» для решения экономических задач.
Ключевые слова: учебный процесс, специалист экономического профиля, математическая подготовка, интегральное исчисление, определенный интеграл, несобственный интеграл, экономические задачи.
Произошедшие за последнее время изменения в системе образования повлекли за собой потребность в новых подходах к разработке, обновлению и совершенствованию учебного процесса в вузе. Одним из основных достоинств технического вуза является то, что он дает студентам фундаментальные знания, связанные с их будущей профессиональной деятельностью [1].
Математика является основой для различных фундаментальных исследований, а значит, качественное математическое образование является важной частью профессиональной подготовки специалистов.
Довольно часто после окончания высшего технического учебного за-ведениия инженеры, умея производить различные математические операции, не имеют должного представления о возможностях и роли использования математических методов при решении задач, т. е. прослеживается отрыв мате-
1 Наталья Владимировна Спиридонова, преподаватель кафедры высшей математики и прикладной информатики.
матических знаний от умения их применять. Поэтому помимо формирования у студентов математических понятий и соответствующих умений необходимо заниматься развитием правильных представлений о роли математики и возможностях использования математического аппарата при решении технических и научных задач [2].
Раздел «Математический анализ» - фундамент базовой математической подготовки экономиста. Одной из самых сложных тем математического анализа является интегральное исчисление, так как процесс вычисления интегралов в целом не поддается формальной схематизации. В основном практическое приложение интеграла используется в физике и технике, а также при нахождении объемов геометрических тел и при вычислении площадей разнообразных фигур. В то же время интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. При этом нужно отметить, что в курсах экономического и экономико-математического содержания необходимость вычисления сложных интегралов практически не встречается [3]. Поэтому при изложении темы «Интегральное исчисление» для экономических направлений можно не рассматривать подробно интегралы от рациональных дробей, имеющих в знаменателе кратные комплексные корни, интегралы от функций, содержащих иррациональности (кроме простейших), от тригонометрических функций, приводящие к интегралам от громоздких дробно-рациональных функций, а уделить больше времени применению интегрального исчисления в экономике.
Теме «Несобственные интегралы» стоит уделить несколько больше времени, чем это обычно делается в программе высшей математики для экономистов, дав четкие представления о сходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку. Это обосновано тем, что данные объекты активно используются теорией оптимального управления, а также присутствуют в большом количестве моделей теории экономического роста.
Остановимся на некоторых примерах использования интегрального исчисления в экономике.
Рассмотрим некоторые экономические приложения определенного интеграла:
- если функция у = /(Г) описывает изменение производительности некоторого производства, то объем продукции, произведенной за время [0; Т], вычисляется по формуле
Q = J f (t )dt;
- если в функции Кобба - Дугласа затраты труда считать линейно зависимыми от времени, а затраты капитала неизменными, то объем производимой продукции Qза Тлет равен
т
Q = J (at + P)endt;
- если проценты по вкладу начисляются непрерывно и их характеризует функция у = f(t), а удельная норма процента равна р, то дисконтированный доход K за T составляет
K = J f (t)e-pdt;
- если известна функция потребления c(t) за определенный промежуток времени [0; Г], то значение суммарного фонда потребления С(Т) можно определить по формуле
т
C = J c(t )dt;
и т. д.
Пример 1. Определить дисконтированный доход, если процентная ставка 7 %, первоначальные вложения 15 млн руб., прирост 4 млн руб. ежегодно. Срок - 3 года.
Решение. Согласно условию задачи функция капиталовложений является линейной, т. е. /(^ = к + Л, где к - первоначальные вложения, I - ежегодный прирост. Значит, /(1)=15+41. Удельная норма процента равна р = 0,07. Для определения дисконтного дохода воспользуемся формулой
K = Jf (t)e-ptdt;
тогда
0
0
0
0
0
(15 +
7 1
2700 __ 1500 --е ' +--
5890 „„ 50500
-е-0'21 +-56
49 49
Это означает, что если вложить 15 млн руб. и в течение следующих трех лет дополнительно ежегодно вкладывать по 4 млн руб., то через три года наращенная сумма составит ту же величину, что и в случае одновременного первоначального вложения в 56 млн руб. при той же исчисляемой непрерывной процентной ставке.
Пример 2. Найти объем продукции, произведенной рабочим за второй час рабочего дня, если производительность труда характеризуется следующей функцией: у = Зх~ — 2х 1.
Решение. Определение объема произведенной продукции сводится к вычислению определенного интеграла вида
За второй час работы рабочий произведет 5 единиц продукции. Рассмотрим на нескольких примерах применение неопределенного интеграла в экономике:
- если и1 - значение целевой функции общественного благосостояния (ЦФБ) при полном удовлетворении рациональных потребностей, а и^) - значение ЦФБ в момент времени I, то потери благосостояния общества при движении к идеальному состоянию определяются интегралом
- если g(t) - целевая функция потребления, тот при непрерывном времени объемы потребления вычисляются по формуле
- если Щ - функция, выражающая количество оборудования, находящегося в рабочем состоянии по истечении t лет, то средний срок эксплуатации равен
г =
- если функция /(1) характеризует изменение издержек обращения и капиталовложений, то общую сумму текущих затрат можно определить по формуле
Пример 3. Найти средний срок эксплуатации оборудования, если функция, характеризующая количество оборудования, находящегося в рабочем состоянии по истечении времени I, имеет вид ¡({) = ¿;3 е_!г .
Решение. Средний срок эксплуатации оборудования находится по формуле Т = } 1{€)<1ь.
-[ -'п
Ьъе е сИ = Нш
Ь-Ц-гс
гЪ г (1и = 2 tdt 1
и = Ь а
К dv = Се ' в! — "Г I
Пример 4. Определить общую сумму текущих затрат, если функция, характеризующая текущие издержки обращения и капиталовложения, имеет вид
Решение. Общую сумму текущих затрат можно определить по формуле
5 = £7(0*.
{ 1 1 1 ,
Нш . --= I =-= (усл. ед.).
Чь*Тз л/з/ л/3 ^
Итак, можно сделать вывод, что интегральное исчисление является мощным средством решения прикладных экономических задач. Для повышения мотивации к изучению высшей математики на «нематематических» специальностях необходимо прослеживать важную роль профессионально ориентированных задач, так как студенты должны понимать: то, чем они занимаются в настоящий момент, близко к их будущей профессии. Также необходимо показать, что огромный спектр прикладных задач сводится к ограниченному числу различных математических моделей, решать которые студенты научились в процессе овладения фундаментальными математическими понятиями.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кириченко О.Е. Межпредметные связи курса математики и смежных дисциплин в техническом вузе как средство профессиональной подготовки: Автореф. дисс. ... канд. пед. наук. - Орел, 2003.
2. Спиридонова Н.В. Межпредметные связи в преподавании курса высшей математики в техническом вузе в период перестройки на бакалавриат // Труды X Меж-дунар. науч.-практ. конф. научн. работников, докторантов, аспирантов, магистрантов, студентов вузов «Образование и современные проблемы постиндустриального общества». - В. Новгород: филиал СПбГЭУ, 2013.
3. Круглов Е.В., Круглова С.С., Бурлакова Д.А. Особенности преподавания математического анализа для студентов экономических направлений бакалавриата [Электронный реесурс]. - Режим доступа: https://science-education.ru/ru/article/view?id=16186
4. Булдык Г.М. Сборник задач и упражнений по высшей математике с примерами решений. - Мн.: Юнипресс, 2002. - 400 с.
5. Котельникова М.Н., Соколов Н.Н. Об анализе содержания курса математического анализа для экономистов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2013. - №5(2). - С. 86-89.
6. Ситун А.Е. Определенный интеграл в экономических задачах: Учеб. пособие для студентов экономических специальностей. - Благовещенск: Амурский гос. ун-т, 2005.
7. Ляликова Е.Р. Приложения определенного интеграла к решению задач экономики // Молодой ученый. - 2015. - № 19. - С. 11-17.
Поступила в редакцию 5.05.17 В окончательном варианте 30.05.17
UDC 378.14
PROFESSIONALLY ORIENTED APPROACH TO THE STUDY OF THE SECTION "INTEGRAL CALCULUS" IN THE TRAINING OF SPECIALISTS OF THE ECONOMIC PROFILE
N. V. Spiridonova1
Samara State Technical University
244, Molodogvardeyskaya Str., Samara, 443100
E-mail: nvshkolina@mail.ru
Mathematics is the foundation of technical education and in the practical work of any specialist is supposed to solve professional problems. Therefore, mathematical training in a technical university is to the form the mathematical competence of students in accordance with their qualification with the help of professionally-oriented examples. The article considers and establishes the practical use of the section of mathematical analysis "Integral calculus" in solving economic problems.
Key words: educational process, specialist of h economic profile, mathematical training, integral calculus, definite integral, improper integral, economic problems.
REFERENCES
1. Kirichenko O.E. Mezhpredmetnye svyazi kursa matematiki i smezhnyh disciplin v tekhnicheskom vuze svyazi kak sredstvo professional'noj podgotovki studentov [Interdisceplinery bonds of the course of mathematics and related disciplines in technical university of communication as a means of professional training of students]: Author's abstract. Diss. Ped. Sciences. - Eagle, 2003.
2. Spiridonova N.V. Mezhpredmetnye svyazi v prepodavanii kursa vysshej matematiki v tekhnicheskom vuze v period perestrojki na bakalavriat [Interdisceplinery bonds in teaching of the course of higher mathematics in technical university during the period educational reform] X International scientific and practical conference of scientists, doctoral students, graduate students, undergraduates, university students. "Education and modern problems of post-industrial society". V. Novgorod: branch of SPbGEU. 2013.
3. Kruglov E.V., Kruglova S.S., Burlakova D.A. Osobennosti prepodavaniya matematicheskogo analiza dlya studentov ehkonomicheskih napravlenij bakalavriata [Peculiarities of teaching mathematical analysis for economic bacherlors students] El. resource. - Access mode: // https://science-education.ru/en/article/view?id=16186
4. Buldyk G.M. Sbornik zadach i uprazhnenij po vysshej matematike s primerami
1 Nataliya V. Spiridonova, Lecturer of Higher Mathematics and Applied Informatics Department.
reshenij [The collection of tasks and exercises on the higher mathematics with examples decisions] / G.M. Buldyk. - Mn.: YUnipress, 2002. - 400 p.
5. Kotelnikova M.N., Sokolov N.N. Ob analize soderzhaniya kursa matematicheskogo analiza dlya ehkonomistov [On the analysis of the content of the course of mathematical analysis for economists] // Bulletin of the Nizhny Novgorod University. N.I. Lobachevsky. - 2013. - No. 5 (2). Pp. 86-89.
6. Situn A.E. Opredelennyj integral v ehkonomicheskih zadachah [Definite integral in economic problems] Textbook for students of economic specialties, Blagoveshchensk: Amur State University. Un-t, 2005.
7. Lyalikova E.R. Prilozheniya opredelennogo integrala k resheniyu zadach ehkonomiki [Applications of the definite integral to the solution of problems of the economy] // Molodoj uchenyj. - 2015. - № 19. Pp. 11-17.
Original article submitted 21.02.17 Revision submitted 10.03.17
