CC BY
42УДК 531.551
ПРОЕКТНО-БАЛЛИСТИЧЕСКИй АНАЛИЗ ТРАНСПОРТНЫХ ОПЕРАЦИЙ КОСМИЧЕСКОГО БУКСИРА С ЭЛЕКТРОРАКЕТНЫМИ ДВИГАТЕЛЯМИ ПРИ ПЕРЕЛЕТАХ НА ГЕОСТАЦИОНАРНУЮ ОРБИТУ, ОРБИТУ СПУТНИКА ЛУНЫ И В ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ СИСТЕМЫ ЗЕМЛЯ - ЛУНА © 2018 г. Салмин В.В.1, Старинова О.Л.1, Четвериков А.С.1, Брюханов Н.А.2, Хамиц И.И.2, Филиппов И.М.2, Лобыкин А.А.2, Бурылов Л.С.2
'Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва (Самарский университет) Ул. Московское шоссе, 34, г. Самара, Российская Федерация, 443086, e-mail: ssau@ssau.ru
2Ракетно-космическая корпорация «Энергия» имени С.П. Королёва (РКК «Энергия») Ул. Ленина, 4А, г. Королёв, Московская обл., Российская Федерация, 141070, e-mail: post@rsce.ru
Проведен проектно-баллистический анализ перелетов электроракетного буксира с солнечной энергоустановкой с низкой околоземной орбиты на геостационарную, низкую окололунную орбиты и в точки либрации с возвращением на опорную орбиту. Расчеты проводились для диапазона проектных параметров буксира, которые выбирались путем варьирования скорости истечения (удельного импульса) рабочего тела. Учитывалось, что тяговый КПД реальных двигателей изменяется в зависимости от рабочего режима и обычно увеличивается с увеличением скорости истечения. Солнечная энергоустановка рассматривалась в двух вариантах: на основе существующих фотоэлектрических преобразователей с КПД 28%; на основе перспективных фотоэлектрических преобразователей с КПД до 40%. Проведенный анализ показал принципиальную возможность эффективного использования для транспортных операций в системе Земля - Луна электроракетного буксира с солнечной энергетической установкой мощностью порядка 400 кВт.
Ключевые слова: проектно-баллистический анализ, транспортные операции, проектные параметры, космический буксир, электроракетный двигатель, геостационарная орбита, орбита спутника Луны, точки либрации.
TRAJECTORY DESIGN ANALYSIS OF TRANSPORT OPERATIONS OF AN ELECTRICALLY PROPELLED SPACE TUG DURING TRANSFERS TO GEOSTATIONARY ORBIT, ORBIT AROUND THE MOON AND TO LIBRATION POINTS IN THE EARTH - MOON SYSTEM Salmin V.V.1, Starinova O.L.1, Chetverikov A.S.1, Bryukhanov N.A.2, Khamits I.I.2, Filippov I.M.2, Lobykin A.A.2, Burylov L.S.2
1S.P. Korolev Samara National Research University (Samara University) 34 Moskovskoe Shosse, Samara, 443086, Russian Federation, e-mail: ssau@ssau.ru
2S.P. Korolev Rocket and Space Public Corporation Energia (RSC Energia) 4A Lenin str, Korolev, Moscow region, 141070, Russian Federation, e-mail:post@rsce.ru
A trajectory design analysis has been conducted for transfers of an electrically propelled space tug with a solar power system from low-Earth orbit to geostationary orbit, low lunar orbits, and to libration points with return to the parking orbit. The analyses were done for a range of the tug design parameters, which were selected by varying exhaust velocities (specific impulse) of the propellant. Taken into account was the fact that the thrust efficiency of actual engines varies according to the operational mode and usually increases with an increase in the exhaust velocity. Two options for the solar power generating system were considered: one based on existing photovoltaic converters having a 28% efficiency; and the other based on advanced photovoltaic converters having an up to 40% efficiency. The analysis has demonstrated the feasibility in principle of efficient use for transportation operations in the Earth - Moon system of an electrically-propelled tug with an about 400 kW solar power-generating system.
Key words: trajectory design analysis, transport operation, trajectory plan, design parameters, space tug, electrically-propelled space tug, electric propulsion, geostationary orbit, lunar orbit, libration points.
САЛМИН B.B.
СТАРИНОВА О.Л.
ЧЕТВЕРИКОВ А.С.
БРЮХАНОВ Н.А.
ХАМИЦ И.И.
ФИЛИППОВ И.М.
ЛОБЫКИН А.А.
БУРЫЛОВ л.С.
САЛМИН Вадим Викторович — доктор технических наук, профессор, директор научно-исследовательского института космического машиностроения Самарского университета, e-mail: sputnik@ssau.ru
SALMIN Vadim Viktorovich — Doctor of Sciences (Engineering), Professor, Head of Scientific Research Institute of Space Engineering of Samara University, e-mail: sputnik@ssau.ru
СТАРИНОВА Ольга Леонардовна — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры космического машиностроения Самарского университета, e-mail: solleo@mail.ru STARINOVA Olga Leonardovna — Doctor of Sciences (Engineering), Professor, Professor of the Department of Space Engineering of Samara University, e-mail: solleo@mail.ru
ЧЕТВЕРИКОВ Алексей Сергеевич — кандидат технических наук, доцент кафедры космического машиностроения Самарского университета, e-mail: chetverikov86@yandex.ru
CHETVERIKOV Aleksey Sergeevich — Candidate of Sciences (Engineering), Associate Professor of Department of Space Engineering of Samara University, e-mail: chetverikov86@yandex.ru
БРЮХАНОВ Николай Альбертович — Первый заместитель генерального конструктора -главный конструктор перспективных космических комплексов и систем РКК «Энергия», e-mail: nikolay.bryukhanov@rsce.ru
BRYUKHANOV Nikolay Albertovich — First Deputy General Designer - Chief Designer of advanced space complexes and systems at RSC Energia, e-mail: nikolay.bryukhanov@rsce.ru
ХАМИЦ Игорь Игоревич — руководитель НТЦ РКК «Энергия», e-mail: igor.khamits@rsce.ru KHAMITS Igor Igorevich — Head of STC at RSC Energia, e-mail: igor.khamits@rsce.ru
ФИЛИППОВ Илья Михайлович — начальник отделения РКК «Энергия», e-mail: ilia.filippov@rsce.ru
FILIPPOV Ilya Mikhaylovich — Head of Division at RSC Energia, e-mail: ilia.filippov@rsce.ru
ЛОБЫКИН Андрей Александрович — начальник отдела РКК «Энергия», e-mail: andrey.lobykin@rsce.ru
LOBYKIN Andrey Alexandrovich — Head of Department at RSC Energia, e-mail: andrey.lobykin@rsce.ru
БУРЫЛОВ Леонид Сергеевич — начальник лаборатории РКК «Энергия», e-mail: leonid.burylov@rsce.ru
BURYLOV Leonid Sergeevich — Head of Laboratory at RSC Energia, e-mail: leonid.burylov@rsce.ru
Введение
Выведение космических аппаратов (КА) на удаленные орбиты (геостационарную, селеноцентрические и др.) сегодня осуществляется носителями тяжелого класса. Такие запуски стоят порядка $100 млн, к тому же они расписаны на несколько лет вперед. Масса полезной нагрузки (ПН) при этом составляет всего 0,10-0,15 от массы КА на орбите старта. Поэтому в последнее время стал появляться интерес к выводу КА на опорную орбиту ракетой-носителем (РН) с последующим выведением на целевую орбиту при помощи электроракетной двигательной установки (ЭРДУ) малой тяги. Этот динамический маневр более продолжителен, но позволяет увеличить относительную массу ПН до величин ~0,35-0,40.
Эффективным решением проблемы транспортировки может быть создание номенклатурного ряда специализированных межорбитальных буксиров (МБ) на базе ЭРДУ, которые стыкуются с ПН на орбите старта, выводят ее на рабочую орбиту, используя собственные энергодвигательные возможности, а затем отстыковываются, возвращаются на орбиту старта с целью дозаправки рабочим телом и осуществления последующих транспортных операций. В монографии [1] подробно описываются проекты многоразовых электроракетных буксиров (ЭРБ) на базе ядерной или солнечной энергетических установок (СЭУ).
В настоящее время технический прогресс в создании солнечных батарей (СБ), использующих фотоэлектрические преобразователи (ФЭП) на арсениде галлия или аморфном кремнии, и средств выведения (РН семейства «Ангара») позволяет создать и вывести на орбиту ЭРБ с СЭУ мощностью до 400 кВт.
Одним из проектов МБ является разработанный РКК «Энергия» ЭРБ с солнечной энергоустановкой мощностью 400 кВт [2] (рис. 1).
Рис. 1. Многоразовый межорбитальный буксир (ММБ) с электроракетной двигательной установкой и солнечной энергоустановкой мощностью 400 кВт: 1 — панель солнечной батареи ММБ; 2 — панель солнечной батареи модуля полезной нагрузки (МПН); 3 — балка блока ЭРД (поворотная); 4 — полезная нагрузка МПН; 5 — блок ЭРД ММБ (вращающийся); 6 — блок расходных компонентов МПН; 7 — балка панели солнечных батарей (вращающаяся); 8 — блок приборно-агрегатный ММБ
В данной работе исследуются возможности ЭРБ с солнечной энергоустановкой с мощностью 400 кВт для динамических маневров в системе Земля - Луна при различных проектных параметрах двигательной установки.
Основные проектные параметры электроракетного буксира с солнечной энергоустановкой
В качестве источника энергии рассматривались СБ на основе ФЭП из арсени-да галлия двух видов: ныне существующих с КПД 28% (ФЭП А) и перспективных с КПД 40% (ФЭП Б). Площадь солнечных батарей ФЭП А равна 1 245 м2 и ФЭП Б — 871,5 м2 [1].
В табл. 1 приведены основные энергомассовые характеристики буксира.
Таблица 1
Основные энергомассовые характеристики рассматриваемого варианта электроракетного буксира*
Примечание. * — электроракетный буксир, отличный от описанного в работе [2].
Данные о фактических параметрах тяговых модулей с ЭРДУ большой мощности приведены в работах [3-5] и представлены в табл. 2.
Таблица 2
Технические характеристики современных тяговых модулей большой мощности [3-5]
Двигатель Мощность ТМ, кВт V, м/с КПД Тяга, Н Цена тяги, кВт/Н
Е1РЕР 39,0 96 000 0,8 0,670 58,2
Е1РЕР режим 2 24,4 82 700 0,78 0,460 53,0
Е1РЕР режим 3 42,0 80 000 0,74 0,780 53,8
ЫЕХШ БЫ 1 25,0 75 000 0,75 0,475 52,6
ИД-500 35,0 70 000 0,78 0,780 44,9
МЛ5Л-457Ы 50,0 27 500 0,63 2,200 22,7
РРЗ-20кЫЬ 23,5 27 500 0,65 1,050 22,4
Ж5Л-457Ы режим 2 40,7 20 000 0,58 2,400 17,0
Исходя из известной электрической мощности Ы, подводимой к энергодвигательному блоку (ЭДБ), определяется суммарная тяга ЭРДУ Р =
где п — тяговый КПД ЭДБ; V — скорость истечения рабочего тела (РТ).
Проектные варианты для последующих расчетов выбирались из следующих соображений. Электрическая мощность, подводимая к ЭДБ, принималась равной 360 кВт, скорость истечения рабочего тела (ксенона) находилась в диапазоне 15...80 км/с. Тяговый КПД реальных двигателей принимается, исходя из статистических данных (табл. 2). КПД изменяется в зависимости от рабочего режима и, как правило, увеличивается с ростом скорости истечения (табл. 3).
Таблица 3
Тяговые КПД и уровни тяги ЭРБ (мощность, подаваемая на блок ЭРД, 360 кВт)
Проектный вариант V, м/с КПД Тяга, Н Цена тяги, кВт/Н
1 80 000 0,75 6,75 53,3
2 75 000 0,75 7,20 50,0
3 70 000 0,75 7,71 46,7
4 65 000 0,75 8,31 43,3
5 60 000 0,70 8,40 42,9
6 55 000 0,70 9,16 39,3
7 50 000 0,70 10,08 35,7
8 45 000 0,65 10,40 34,6
9 40 000 0,65 11,70 30,8
10 35 000 0,65 13,37 26,9
11 30 000 0,60 14,40 25,0
12 25 000 0,60 17,28 20,8
13 20 000 0,60 21,60 16,7
14 15 000 0,60 28,80 12,5
Наименование системы Масса, кг
ФЭП А ФЭП Б
Приборный блок 1 400 1 300
Энергодвигательный блок, в т. ч.: 10 200 9 050
- система электроснабжения энергодвигательного блока 5 500 4 500
- система ориентации солнечных батарей 300 250
- система обеспечения раскрытия солнечных батарей 200 150
- электроракетная двигательная установка (без системы хранения рабочего тела) 1 200 1 200
- система обеспечения теплового режима энергодвигательного блока 700 700
- бортовая кабельная сеть 300 300
- автономная двигательная установка (АДУ) незаправленная 500 450
- корпус энергодвигательного блока 1 500 1 500
Сухая масса солнечного электроракетного буксира (СЭБ) с резервом 10% (без резерва) 12 750 (11 600) 11 400 (10 350)
Заправки АДУ (высококипящие компоненты) 1 050 700
Масса заправленного СЭБ 13 800 12 100
Баллистические схемы перелетов
В качестве средства выведения на низкую геоцентрическую орбиту предполагается использовать РН «Ангара-5». Выбор РН определяет параметры орбиты выведения и максимальную массу ЭРБ на этой орбите. В качестве орбит выведения предполагается использовать круговые геоцентрические орбиты высотой 200 км и наклонением 51,6° (запуск с космодрома «Восточный») и 63,15° (запуск с космодрома «Плесецк»).
При этом выведение на низкую геоцентрическую орбиту предполагается осуществлять двумя пусками:
• ЭРБ без рабочего тела для маршевой ЭРДУ;
• модуль полезной нагрузки (МПН) и рабочее тело для ЭРДУ.
Перелеты «низкая геоцентрическая орбита - геостационарная орбита» и обратно. Баллистическая схема данного динамического маневра состоит из нескольких этапов (рис. 2):
• доставка модулей на низкую геоцентрическую орбиту (орбиту старта) высотой 350-400 км (для исключения влияния верхней атмосферы Земли), стыковка ЭРБ с ПН и блоком расходных компонентов;
• выведение ПН на ГСО с низкой геоцентрической орбиты (орбиты старта) с помощью ЭРБ (рис. 3);
• возвращение ЭРБ с СЭУ на исходную низкую геоцентрическую орбиту.
Рис. 2. Баллистическая схема выведения космического аппарата (КА) с электроракетной двигательной установкой (ЭРДУ) на геостационарную орбиту (ГСО):
1 — выход КА в заданную точку на ГСО и отделение полезной нагрузки; 2 — траектория движения КА с ЭРДУ; 3 — орбита старта; 4 — ГСО; 5 — внешний радиационный пояс Земли; 6 — внутренний радиационный пояс Земли
Перелеты с низкой геоцентрической орбиты на низкую селеноцентрическую орбиту и в точки либрации Ь1, Ь2 системы Земля - Луна. Целевыми орбитами являются околокруговая селеноцентрическая
орбита с высотой 100 км и нулевым наклонением и орбиты точек либрации Ь1 и Ь2.
В системе Земля - Луна есть пять «особых» точек (1,1, Ь2, Ь3, Ь4, Ь5), так называемых «точек либрации». Их особенность состоит в том, что КА, располагаясь в этих точках, под совместным действием Земли и Луны движутся так, что первоначальное положение КА все время остается неизменным. Точки Ь1 и Ь2 располагаются на прямой, проходящей через центры Земли и Луны (рис. 3). Доставка ПН в точки Ь1 и Ь2 может представлять большой практический интерес, в частности, для наблюдения за потенциально опасными астероидами. Баллистическая схема перелетов к Луне и точкам либрации представлена на рис. 3.
2 ,3
Рис. 3. Баллистическая схема перелетов к Луне и теткам либрации: 1 — барицентр системы Земля-Луна; 2 — буксир; 3 — орбита выведения; 4 — плоскость орбиты Луны; 5 — сфера действия Луны; 6 — Луна; 7 — плоскость орбиты Луны; 8 — плоскость экватора; 9 — Земля; 10 — наклонение начальной орбиты; 11 — наклонение орбиты Луны
Траекторию перелета ЭРБ в системе Земля - Луна будем разделять на три участка:
• пространственного геоцентрического движения вблизи Земли;
• барицентрического движения, исследуемого в рамках задачи трех тел;
• селеноцентрического движения.
Перелет к точкам либрации и Ь2 системы Земля - Луна разделялся на два участка:
• пространственного геоцентрического маневра перехода со стартовой на промежуточную орбиту, лежащую в плоскости орбиты Луны;
• барицентрический участок плоского перелета с промежуточной орбиты к заданной точке либрации.
Определение минимальной высоты орбиты старта
На низких околоземных орбитах высотой 200...700 км ощутимое влияние на движение КА оказывает возмущающее воздействие остаточной атмосферы Земли. Поскольку суммарная тяга блока ЭРД достаточно мала (см. табл. 3), начальный уровень реактивного ускорения a0 составляет всего (0,180.,.0,775)-10-3 м/с2 (при стартовой массе ЭРБ ~37 т). Эти величины имеют одинаковый порядок с возмущающим (тормозящим) аэродинамическим ускорением. Поэтому выбор высоты орбиты старта имеет важное значение с точки зрения эффективности транспортной операции ЭРБ.
Даже приближенные оценки показывают, что высота орбиты старта должна быть больше, чем высота орбиты выведения РН. Доставка каждого модуля на орбиту старта с целью их сборки в единый транспортный модуль должна осуществляться с помощью разгонного блока (РБ) с жидкостным ракетным двигателем (ЖРД), масса которого с запасом топлива вычитается из массы ПН.
Примем, что условием возможности начала движения ЭРБ с низкой орбиты является существенное (например, на порядок) превышение уровня реактивного ускорения над максимальным уровнем возмущающего аэродинамического ускорения
Р
ап =->> max f (H , а) = maxap (H , z) V2,
0 л ,r J a^- ст ' ~ v ст' ' ст'
M,
zeZ
где fa — модуль возмущающего аэродинамического ускорения; Н , V — высота орбиты
^ I 7 ст' ст 1
старта и круговая скорость на этой орбите,
соответственно; а
CX S
Ха
Шп
среднее значе-
ние баллистического коэффициента КА (СХа — коэффициент аэродинамического сопротивления; 5 — характерная площадь ЭРБ); р — плотность верхней атмосферы Земли, зависящая не только от высоты Нст, но и от набора параметров 2, описывающих динамику верхней атмосферы.
При приближенных проектно-бал-листических расчетах можно пользоваться «статической» моделью плотности атмосферы Земли (например, ГОСТ 4401-81) [6], в которой фигурирует «средняя» плотность, зависящая только от высоты НСТ.
Более точные расчеты требуют использования «динамической» модели плотности (например, ГОСТ Р 25645.166-2004) [7]. В этой модели плотность задается в следующем виде:
Р = РНК1К2К3К4>
где рн — ночной вертикальный профиль плотности атмосферы; К1 — сомножитель, отражающий изменение плотности при изменении интенсивности солнечного радиоизлучения ¥ на волне длиной 10,7 см относительно некоторого среднего уровня интенсивности ¥0; К2 — сомножитель, учитывающий суточный эффект в распределении плотности; К3 — сомножитель, учитывающий полугодовые вариации плотности атмосферы; К4 — сомножитель, учитывающий корреляцию между вариациями плотности и геомагнитной возмущенностью.
Коэффициенты динамической модели атмосферы определяются по таблицам ГОСТ [7] и зависят от времени суток, сезона, индекса солнечной активности ¥0, при этом плотность атмосферы может значительно изменяться за довольно короткий промежуток времени из-за вспышек на Солнце.
Приведем для справки значения плотности верхней атмосферы, соответствующие указанным выше моделям (табл. 4).
Таблица 4
Плотность верхней атмосферы
Высота орбиты, км ГОСТ [6] р, кг/м3 ГОСТ [7]
pmax, кг/м3 pmin, кг/м3
200 2,5191010 3,98-10-10 1,691010
400 2,794-10-12 18,910-12 0,443Ч0-12
Значение характерной площади ЭРБ S принимается для ориентировочных расчетов равным 0,25S , где S — площадь
L 7 max7 max
солнечных батарей (см. табл. 1); коэффициент лобового сопротивления CXa для движения тела в разряженной атмосфере принимается равным 2.2,5.
Принимается, что эффективная работа блока ЭРД возможна при величине реактивного ускорения на порядок выше аэродинамического сопротивления, т. е. (a0/fa) > 10. Такое превышение для приведенных выше параметров ЭРБ обеспечивается на высоте 330. 360 км. Эти высоты примерно соответствуют высоте функционирования МКС, что можно использовать для контроля за сборкой и начальным этапом функционирования ЭРБ.
Учет деградации панелей солнечных батарей при движении в радиационных поясах Земли
Движение КА в областях повышенной радиационной активности сопровождается деградацией СБ. Основная доля деградации происходит в радиационных поясах Земли, поэтому при расчете перелетов на ГСО, на низкую селеноцентрическую орбиту или к точкам либрации использовалась одна и та же модель.
Экспериментально установлено [8], что удельная мощность и КПД СБ уменьшаются пропорционально энергии, плотности и времени воздействия потоков корпускулярных частиц:
м^) = N(1 - кдя(0),
где кд — коэффициент деградации (в расчетах принимаем 1/°); Л(£) — суммарная доза радиации, полученная КА в текущий момент времени.
Для расчета полученной дозы радиации при движении КА в радиационных поясах Земли используется аппроксимационная модель распределения интенсивности радиации [8].
При моделировании перелета на ГСО с возвращением полная деградация панелей СБ составила ~2%.
Выбор траекторий и режимов управления вектором тяги при перелетах с малой тягой в системе Земля - Луна
Задачей проектно-баллистической оптимизации называется задача выбора проектных параметров ЭРБ и режимов управления вектором тяги, обеспечивающих реализацию динамического маневра межорбитального перехода при минимальном (максимальном) значении заданного критерия оптимальности. Сложность такой задачи заключается в том, что траектории существенно зависят от проектных параметров, а, в свою очередь, проектные параметры КА определяются выбранными траекториями и режимами управления.
В качестве критерия оптимальности примем относительную массу ПН |а = МПН/М0, где МПН — масса ПН; М0 — стартовая масса КА.
Уравнение баланса масс ЭРБ запишем в следующем виде:
М0 = МПН + МЭРБ + МРТ ,
где МЭРБ — масса ЭРБ; МРТ — масса РТ, необходимого для прямого и обратного перелетов.
Масса ПН и РТ после выведения на орбиту старта и стыковки с ЭРБ принимается равной 23 350 кг, что соответствует массе ПН, которая может быть доставлена на опорную орбиту средствами РН «Ангара-А5». Поэтому увеличение массы ПН возможно только за счет уменьшения расхода РТ.
Таким образом, масса комплекса (ЭРБ с СЭУ + РТ + ПН) на орбите старта равна 37 150 кг для ФЭП А и 35 450 кг — для ФЭП Б.
В данной работе проектные параметры ЭРБ были приняты в соответствии с табл. 1. Поэтому рассматривается только динамическая часть проблемы оптимизации: выбор траекторий и режимов управления вектором тяги.
Перелеты на геостационарную орбиту с возвращением ЭРБ на орбиту старта. Перелет с низкой круговой орбиты старта на ГСО и обратно относится к классу динамических маневров перехода между некомпланарными круговыми околоземными орбитами. Эта проблема достаточно подробно описана в литературе [7, 9-12]. Решение данной задачи известно как в строгой постановке, с использованием математических моделей движения в форме уравнений в оскулирующих элементах или равноденственных элементах и алгоритмов на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина, так и с использованием упрощенных моделей движения В.Н. Лебедева, полученных в результате усреднения точных уравнений движения [10]. Последний подход представляется предпочтительным для решения задач проектно-баллистической оптимизации, так как позволяет получить результаты в аналитическом виде, удобном для последующего анализа.
Введем две правые системы координат, начало которых совместим с центром масс КА:
• подвижную орбитальную 0ХУ2, ось 0Х которой направлена вдоль трансверсали, ось 0У — по радиус-вектору г, ось 01 — по нормали к плоскости орбиты;
• связанную 0Х1У121 с осями, совпадающими с главными центральными осями инерции КА (рис. 4).
Примем, что вектор тяги Р направлен вдоль связанной оси 0Х1 ЭРБ, которую в дальнейшем будем называть продольной.
В работе [9] приводится решение задачи перелета с малой тягой между некомпланарными круговыми орбитами. Согласно этому решению, оптимальный маневр между некомпланарными круговыми орбитами представляется в виде суперпозиции двух
простых маневров: изменения радиуса круговой орбиты и поворота плоскости орбиты. В этом случае радиальная составляющая реактивного ускорения равна нулю.
Несмотря на то, что оптимальное решение задачи, приведенное в работе [9], получено в предположении, что начальная и конечная орбиты близки, его можно применить и для перелета с низкой круговой орбиты на ГСО, так как под действием малого реактивного ускорения эволюция параметров орбиты происходит медленно.
Таким образом, примем, что при перелете с низкой круговой орбиты на ГСО вектор тяги лежит в местной горизонтальной плоскости 0Х^ Направление вектора тяги задается углом у между трансверсалью и вектором тяги (рис. 4). Тогда составляющие реактивного ускорения будут равны:
ах = (Р/М)^у; ау = 0; а2 = (P/M)sinу,
где а0 — начальное реактивное ускорение; Р — тяга ЭРД; М — текущая масса КА.
Рис. 4. Управление вектором тяги при перелетах между некомпланарными орбитами
Принятая конструктивная схема ЭРБ [2], в которой управление вектором тяги реализуется поворотом блока ЭРД независимо от ориентации корпуса КА, позволяет реализовать любую программу изменения угла у.
При помощи составляющей реактивного ускорения а, нормальной к оскулирующей плоскости орбиты, можно изменять наклонение I. Если в точках, где аргумент широты принимает значения п/2, 3п/2, ..., изменить направление бинормальной составляющей а2 на противоположное, то наклонение орбиты будет изменяться монотонно. Следовательно, при помощи управления
а = а0ехр
а = а0ехр
V
ч У
'У ^
X
V
v у
ео8у; ау = 0;
8ш | у | sign(еоsм)
можно одновременно изменять средний радиус г и наклонение орбиты I. Здесь и — аргумент широты; Ух — текущая характеристическая скорость.
Оптимальная программа разворота вектора тяги относительно оскулирующей плоскости орбиты имеет вид [11]:
уУ и) = arctg (tgуm(yx)cosu),
где ут — амплитуда периодических колебаний этого угла, зависящая от текущей характеристической скорости.
Для проведения проектно-баллистиче-ских расчетов удобно использовать программу управления вектором тяги, являющуюся модификацией известной программы В.Н. Лебедева [10]
УУ и) = Ут(У>^п(с^и).
Изменение ут задается монотонно возрастающей функцией, полученной в ходе решения краевой задачи в работе [10], радиус орбиты изменяется немонотонно (рис. 5).
Рис. 5. Измененение траекторных параметров и параметров управления в процессе полета (г0 = 6 731 км; гк = 42 164 км; го = 51,6°; гк = 0°)
Характеристическая скорость перелета вычисляется по формуле [10]:
V. = У0 к II -2 I-0 ес$ %(Ч 10 + ^
хк 0 \ I \1 у 2 у
к 2 к
где г0 — радиус стартовой круговой орбиты; гк — радиус конечной орбиты; 10 — наклонение начальной орбиты; 1к — наклонение конечной орбиты; У0 — орбитальная скорость на исходной орбите.
Характерной особенностью приведенных решений является то, что траектория и программа управления не зависят от величины реактивного ускорения, а определяются только граничными условиями перелета.
На рис. 6 показан вид трассы ЭРБ, полученной при выведении на ГСО (последние витки).
_ ! 30
/ Л 20
\ / \ 10
4150 :2Qj 90 -60 \-30 Й т -10 -20 1 60 У мл \ 7У \2/ А р 5 4 J
-30
Долгота, °
Рис. 6. Трасса выведения в рабочую точку ГСО с долготой Хр = 90°. Последние витки траектории (гк = 42164 км; а0 = 0,001 м/с2) [12]. 1...8 — время (сутки)
Выбор оптимальных дат старта.
Электрическая мощность, вырабатываемая СБ на освещенных участках траектории, зависит от угла в между направлением на Солнце и нормалью к поверхности батарей: N = ^тахео8р. Задачей управления ориентацией СБ является обеспечение максимального значения созр.
В зависимости от даты старта, которая определяет начальную ориентацию плоскости орбиты относительно Солнца, траектория межорбитального перелета ЭРБ будет характеризоваться различным временем затенения. Поставим задачу отыскания таких дат старта, при которых суммарное время т пребывания ЭРБ в тени минимально.
Приближенный метод расчета времени пребывания КА с двигателем малой тяги в тени [11] состоит в интегрировании уравнения
— = — Х dt 2%
(1)
где т — продолжительность теневого участка (в угловой мере) на витке круговой орбиты радиуса г. Уравнение (1) получено из допущения о цилиндрической конфигурации теневой области [11]. Здесь
X = arcsin
1+ sign
2
г
\
- cos2S
где 5 — угол между нормалью к плоскости орбиты и направлением на Солнце; Яэ — экваториальный радиус Земли.
При расчете суммарного времени затенения путем интегрирования уравнения (1) необходимо учитывать движение Солнца
по эклиптике и прецессию восходящего узла орбиты О. Приближенно можно считать
0 = 0О + 0,0172£; 0о = 0,0172(0,, - 80);
dQ
dt
2s
sin u cos i,
где 0О — начальное положение Солнца в плоскости эклиптики; О0 — дата старта (число суток с начала текущего года); t — время, сут; в0 = 2,634-1010 км5/е2.
Изменение параметров г, I оскулирующей околокруговой орбиты получается в результате интегрирования уравнений движения.
Серия расчетов перелетов в окрестность ГСО, выполненных для различных значений параметров О0, О0, позволяет построить линии равных времен пребывания КА в тени и выбрать оптимальные дату старта и положение восходящего узла орбиты. Так, диаграмма (рис. 7), построенная для а0 = 1,0-10-3 м/с2 и V = 60 км/с, показывает, что при одинаковом моторном времени перелета Тт = 86,4 сут время пребывания в тени составляет 0.18,6 сут. Оптимальные и неоптимальные даты старта повторяются с периодичностью шесть месяцев. При фиксированной дате старта можно добиться уменьшения времени пребывания КА в тени за счет оптимального выбора начальной ориентации плоскости орбиты (угла О0).
Рис. 7. Линии равной продолжительности теневых участков для перелета ЭРБ с СЭУ на геостационарную орбиту а0 = 1,0 10-3 м/с2; 10 =51° [12]
Расчеты перелетов с учетом светотеневой обстановки показали, что продолжительность теневых участков может достигать до 10% от суммарной продолжительности перелета.
Предполагается, что ЭРБ имеет аккумуляторные батареи достаточной мощности для того, чтобы поддерживать необходимый уровень тяги на теневых участках.
X
Перелеты к Луне и в точки либрации с возвращением ЭРБ на орбиту старта.
Движение КА в системе Земля - Луна традиционно рассчитывается в рамках теории сфер действия. Это оправдано при использовании двигателей большой тяги в рамках импульсной постановки задач. Однако, при расчете движения КА с малой тягой реактивное ускорение сравнимо с возмущающими ускорениями Земли и Луны [13].
Для решения вариационных задач используются две модели движения КА: плоская и пространственная. На начальных этапах решение ведется в рамках ограниченной круговой задачи трех тел (Земля и Луна движутся по усредненным круговым орбитам). Для уточненных расчетов используется модель, учитывающая реальное движение Луны и Земли относительно барицентра [14].
Для каждой модели движения КА траекторию перелета КА в системе Земля - Луна будем разделять на три участка:
• геоцентрического движения вблизи Земли;
• барицентрического движения в рамках задачи трех тел;
• селеноцентрического движения.
Поиск оптимального управления вектором тяги осуществляется с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина [15].
На первом участке перелета движение рассчитывается в полярной геоцентрической системе координат в рамках задачи
двух тел. При этом гравитационное влияние других небесных тел учитывается как возмущение. Кроме того, учитываются возмущения от нецентральности гравитационного поля Земли.
На втором участке движение аппарата описывается в инерциальной полярной барицентрической системе координат.
Для расчета некомпланарного движения используется комбинированная барицентрическая система координат (рис. 8).
Положение центра масс КА относительно барицентра определяется радиус-вектором г и аргументом широты КА и. Положение плоскости орбиты КА задается углами восходящего узла О и наклонения I. В случае некомпланарного движения требуется перейти к более точному описанию реального движения Земли и Луны, поэтому величина и направление векторов гг и г^, определяющих положение Земли и Луны, а также угол п, определяющий угловое положение Земли и Луны, вычисляются по эфемеридам Луны.
На участке формирования селеноцентрической орбиты с заданными параметрами определяется управление в рамках ограниченной круговой задачи двух тел (Луна, КА). Граничные условия перелета определяются параметрами промежуточной орбиты.
Стыковка барицентрического и селеноцентрического участков движения осуществляется при достижении границы сферы действия Луны (66 000 км от центра Луны).
Плоскость орбиты КА
Рис. 8. Комбинированная барицентрическая система координат
Оптимальное управление вектором тяги в постановке ограниченной круговой задачи трех тел находилось согласно формализму принципа максимума Понтрягина с учетом разбиения всей траектории на указанные выше участки [15].
Задача об оптимальном движении в рамках ограниченной задачи трех тел (Земля -Луна - КА) в общем случае сводится к двухточечной шестипараметрической краевой задаче. Решение краевых задач такого порядка сопряжено со значительными вычислительными трудностями. Поэтому пришлось разбивать всю траекторию на характерные участки и упрощать модели движения в рамках каждого участка.
На рис. 9 показана типичная траектория движения на барицентрическом участке перелета в проекции на плоскость движения Луны для ЭРБ с ФЭП А.
Рис. 9. Перелет низкая околоземная - низкая окололунная орбита. Проекция траектории движения на плоскость движения Луны. КПД ФЭП 28%; наклонение орбиты выведения 63,15°; тяга ЭРДУ 6,75 Н; скорость истечения рабочего тела 80 км/с
На участке селеноцентрического движения после входа в сферу действия Луны для формирования околокруговой селеноцентрической орбиты удобно применять локально-оптимальные законы управления для уменьшения скорости КА, эксцентриситета и радиуса перицентра орбиты. Управление для изменения плоскости орбиты производится отклонением вектора тяги от плоскости орбиты на угол
На рис. 10 приведены изолинии длительности маневра формирования заданной селеноцентрической орбиты на поле координат селеноцентрических скоростей [16].
Рис. 10. Изолинии длительности маневра формирования селеноцентрической орбиты на поле координат селеноцентрических скоростей
Анализ эффективности доставки полезных нагрузок
Анализ эффективности доставки ПН при перелете с низкой орбиты на ГСО с возвращением на орбиту старта. На
рис. 11, 12 приведены результаты расчета массы ПН при перелете на ГСО и возвращении на орбиту старта для ЭРБ с энергоустановкой мощностью 400 кВт на основе СБ с ФЭП А и ФЭП Б. Результаты получены в предположении, что выбрана оптимальная дата старта, и продолжительность нахождения ЭРБ в тени сведена к нулю, т. е. моторное время Тт равно продолжительности перелета Т. Цифрами обозначены номера проектных вариантов (см. табл. 3).
Рис. 11. Зависимость массы полезной нагрузки от времени перелета при старте с космодрома «Восточный» (высота орбиты старта 360 км; наклонение 51,6°) : ♦ — ФЭП А;
❖ — ФЭП Б
Для ФЭП А при наклонении стартовой орбиты 51,6° и продолжительности перелета 200.400 сут потребная масса РТ изменяется от 18 630 до 9 570 кг, для максимальной продолжительности перелета 675 сут — 4 870 кг, масса ПН, соответственно, составляет 4 720.13 770 кг и для максимальной
продолжительности перелета — 18 470 кг. При наклонении стартовой орбиты 63,15° и продолжительности перелета 200.365 сут масса РТ составляет 20 680.12 100 кг, для максимальной продолжительности перелета 750 сут — 5 420 кг, масса полезного груза, соответственно, составляет 2 660.11 240 кг и для максимальной продолжительности перелета — 17 920 кг. Для таких наклонений стартовой орбиты и проектного варианта № 14 (см. табл. 3) перелет невозможен.
Рис. 12. Зависимость массы полезной нагрузки от времени перелета при старте с космодрома Плесецк (высота орбиты старта360 км; наклонение 63,15°): ♦ — ФЭП А; ф — ФЭП Б
Для ФЭП Б при наклонении стартовой орбиты 51,6° и продолжительности перелета 140.400 сут масса РТ составляет 22 690.7 950 кг, для максимальной продолжительности перелета 630 сут — 4 540 кг, масса ПН, соответственно, составляет 660.15 400 кг и для максимальной продолжительности перелета — 18 800 кг. При наклонении стартовой орбиты 63,15° и продолжительности перелета 200.400 сут масса РТ составляет 19 150.9 890 кг, для максимальной продолжительности перелета — 5 050 кг, масса ПН, соответственно, составляет 4 190.13 450 кг и для максимальной продолжительности перелета — 18 290 кг. Для наклонения стартовой орбиты 63,15° и проектного варианта № 14 перелет невозможен.
Анализ эффективности доставки ПН на низкую окололунную орбиту и в точки либрации Ь1, Ь2. На рис. 13 и 14 показаны зависимости массы ПН, доставляемой ЭРБ с низкой околоземной на низкую окололунную орбиту, с учетом обратного перелета, для КПД ФЭП 28 и 40%.
Анализ зависимости длительности перелета от проектных параметров ЭРБ показывает, что ЭРБ данной энерговооруженности позволяет осуществить перелет с низкой околоземной на низкую окололунную орбиту
с возвращением за 206.840 сут. Проектный вариант № 14 с тягой 28,8 Н не позволяет осуществить перелет.
Рис. 13. Перелет низкая околоземная - низкая окололунная орбита и обратно. Зависимость массы полезной нагрузки от суммарной длительности перелета (наклонение орбиты старта 51,6°): ♦ — ФЭП А; ф — ФЭП Б
Рис. 14. Перелет низкая околоземная - низкая окололунная орбита и обратно. Зависимость массы полезной нагрузки от суммарной длительности перелета (наклонение орбиты старта 63,15°): ♦ — ФЭП А; 0 — ФЭП Б
Наиболее приемлемыми проектными вариантами ЭРДУ являются варианты с № 4 по 10 включительно с удельными импульсами 65 000.35 000 м/с. Масса ПН составляет 10 400.16 700 кг при соответствующей длительности перелета с возвращением 350.670 сут.
Для вариантов № 1-3, с удельными импульсами 80 000.70 000 м/с, слишком велика суммарная длительность перелета с возвращением и мала эффективность ЭРДУ. Для вариантов № 11-13, с удельными импульсами 30 000.20 000 м/с, существенно уменьшается масса ПН, доставляемой на низкую окололунную орбиту.
Баллистические расчеты перелета с низкой околоземной орбиты к точке либрации Ь1 с возвращением на исходную околоземную
орбиту показали, что наиболее приемлемыми проектными вариантами ЭРДУ являются проектные варианты с № 4 по 10 включительно. Масса ПН для этих вариантов составляет 12 400.17 900 кг, при соответствующей длительности перелета с возвращением 565.305 сут (рис. 15, 16). Для вариантов № 1-3 слишком велика суммарная длительность перелета с возвращением, велика опасность попадания в плотные слои атмосферы на начальных участках движения и мала эффективность ЭРДУ. Для вариантов № 11-14 существенно уменьшается масса ПН, доставляемой в окрестность точки либрации Ь1.
200 300 400 500 600 700 Длительность, сут Рис. 15. Перелет низкая околоземная орбита - точка либрации L1 с возвращением. Зависимость массы полезной нагрузки от суммарной длительности перелета (наклонение орбиты старта 51,6°): ♦ — ФЭП А; ф — ФЭП Б
Рис. 16. Перелет низкая околоземная орбита - точка либрации Ь1 с возвращением. Зависимость массы полезной нагрузки от суммарной длительности перелета (наклонение орбиты выведения 63,15°): ♦ — ФЭП А; ф — ФЭП Б
Проведенный анализ баллистических расчетов перелета в точку либрации Ь2 показывает, что наиболее приемлемыми проектными вариантами ЭРДУ являются варианты с № 4 по 10 включительно (см. табл. 3). Масса ПН составляет 12 000.18 000 кг при
соответствующей длительности перелета с возвращением 240.560 сут (рис. 17, 18).
я
и
М >. р. -н
я В
ЗН
о
в
«
ш к о а га о о га
....
¿У) t 5 % .
1о 7 % 5 ö 4 V4 ' 1 1
1 и %iJ« ♦-7 ^ 1
] ч~ 11 10с 11 1
10 1 г0 и*
я 14 -о 12
6 <> 1'. *
1
ч «14
0 Ш
10 0 2( )0 3( JO 4( >0 5( )ü 6( Ю 70
Длительность, сут
Рис. 17. Перелет низкая околоземная орбита - точка либрации Ь2 с возвращением. Зависимость массы полезной нагрузки от суммарной длительности перелета (наклонение орбиты старта 51,6°): ♦ — ФЭП А; ф— ФЭП Б
Рис. 18. Перелет низкая околоземная орбита - точка либрации Ь2 с возвращением. Зависимость массы полезной нагрузки от суммарной длительности перелета (наклонение орбиты старта 63,15°): ♦ — ФЭП А; ф — ФЭП Б
Для вариантов № 1-3, с удельным импульсом 80 000.70 000 м/с, слишком велика суммарная длительность перелета с возвращением, велика опасность попадания в плотные слои атмосферы на начальных участках движения и мала эффективность ЭРДУ. Для вариантов № 11-14, с удельными импульсами 30 000.20 000 м/с, существенно уменьшается масса ПН, доставляемой на низкую окололунную орбиту.
Анализ зависимости длительности перелета от проектных параметров ЭРБ показывает, что ЭРБ данной энерговооруженности позволяет осуществить перелет с низкой околоземной орбиты в точку либрации Ь2 с возвращением за 120-730 сут. Меньшие длительности перелета соответствуют большим значениям тяги двигателей. Зависимость длительности перелета
от скорости истечения практически линейная. При увеличении скорости истечения длительность перелета уменьшается.
Заключение
Проведенный анализ показал возможность использования для транспортных операций в системе Земля - Луна ЭРБ с солнечной энергетической установкой.
На основании проведенного анализа показано, что перелеты на ГСО, низкую окололунную орбиту и в точки либрации с возвращением могут быть осуществлены за 200-800 сут. На целевые орбиты может быть доставлена полезная нагрузка 2 000.18 000 кг, причем, меньшие значения массы полезной нагрузки соответствуют большим тягам ЭРДУ (или меньшим скоростям истечения рабочего тела).
Электроракетный буксир мощностью 400 кВт способен доставить на ГСО полезный груз массой ~5 000-10 000 кг для продолжительности замкнутого перелета ~200-250 сут.
При перелете с низкой околоземной орбиты на низкую окололунную наиболее приемлемыми проектными вариантами электроракетного буксира мощностью 400 кВт являются варианты с № 4 по 10 включительно с удельными импульсами 65 000.35 000 м/с. Масса полезной нагрузки составляет 10 400.16 700 кг при соответствующей длительности перелета с возвращением 350.670 сут. Для вариантов № 1-3 с удельным импульсом 80 000.70 000 м/с слишком велика суммарная длительность перелета с возвращением и мала эффективность ЭРДУ. Для вариантов № 11-13 с удельными импульсами 30 000.20 000 м/с существенно уменьшается масса полезной нагрузки, доставляемой на низкую окололунную орбиту.
При перелете с низкой околоземной орбиты в точки либрации Ь1 и Ь2 наиболее приемлемыми проектными вариантами ЭРДУ также являются проектные варианты с № 4 по 10 включительно с удельными импульсами 65 000.35 000 м/с. Масса полезной нагрузки для этих вариантов составляет 12 000.18 000 кг при соответствующей длительности перелета с возвращением 240.565 сут.
Коллектив авторов благодарит Матеро-ву И.Л. за проведение ряда расчетов по анализу эффективности доставки полезных нагрузок на окололунную орбиту и в точки либрации.
Список литературы
1. Луна — шаг к технологиям освоения Солнечной системы / Под науч. ред. Лего-стаева В.П. и Лопоты В.А. М.: РКК «Энергия», 2011. 584 с.
2. Хамиц И.И., Филиппов И.М., Буры-лов Л. С., Тененбаум С.М., Перфильев А.В., Гусак Д.И. Концепция космической транс-портно-энергетической системы на основе солнечного межорбитального электрореактивного буксира // Космическая техника и технологии. 2017. № 1(16). С. 32-40.
3. Pless L.C. Planetary spacecraft — SEPS interface design // AIAA Paper. 1980. № 1227. P. 1-7.
4. Polk J.E., Goebel D, Brophy J.R., Beatty J., Monheiser J., Giles D., Hobson D., Wilson F., Christensen J., De Pano M, Hart S, Ohlinger W., Hill D.N., Williams J., Wilbur P., Laufer D.M., Farnell C. An overview of the Nuclear Electric Xenon Ion System (NEXIS) program // 39th AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference and Exhibit 2003; Huntsville, AL; United States; 20-23July 2003, ISBN 978-162410098-7.
5. Williams G.J., Hickman T.A. Jr., Haag T.W., Foster J.E., Patterson M.J. Preliminary wear analysis following a 2000 h wear test of the HiPEP Ion Thruster // 29th International Electric Propulsion Conference, Princeton, New Jersey, USA, 31 October - 4 November 2005.
6. ГОСТ 4401-81. Атмосфера стандартная. Параметры. М.: Издательство стандартов, 1981. 181 с.
7. ГОСТ Р 25645.166-2004 Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для баллистического обеспечения полета искусственных спутников Земли. М.: ИПК Издательство стандартов, 2004. 28 с.
8. Верное С.Н. Радиационные пояса Земли и космические лучи / Вернов С.Н., Вакулов П.В., Горчаков Е.В., Логачев Ю.И. М.: Просвещение, 1970. 131 с.
9. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета (проблемы оптимизации). М.: Наука, 1975. 704 с.
10. Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. М.: ВЦ АН СССР, 1968. 108 с.
11. Салмин В.В. Оптимизация космических перелетов с малой тягой: проблемы совместного управления траекторным и угловым движением. М.: Машиностроение, 1987. 208 с.
12. Салмин В.В., Ишков С.А., Стари-нова О.Л. Методы решения вариационных задач механики космического полета
с малой тягой. Самара: Изд-во Самарского научного центра РАН, 2006. 164 с.
13. Салмин В.В., Старинова О.Л., Воло-цуев В.В., Петрухина К.В., Четвериков А.С., Матерова И.Л., Ткаченко И.С., Гоголев М.Ю. Оптимизация околоземных и межпланетных миссий космических аппаратов с электрореактивными двигательными установками / / Электронный журнал «Труды МАИ». 2012. № 60. Режим доступа: http://trudy.mai.ru/ upload/iblock/867/optimizatsiya-okolozemnykh-i-mezhplanetnykh-missiy-kosmicheskikh -app aratov - s-elektroreaktivnymi-dvigatelnymi-ustanovkami.pdf (дата обращения 12.12.2017 г.).
14. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1982. 656 с.
15. Старинова О.Л. Расчет межпланетных перелетов космических аппаратов с малой тягой. Самара: Изд-во Самарского научного центра РАН, 2008. 194 с.
16. Materova I., Starinova О. The selenocentric orbit's formation as one of guidance problems of spacecraft with low trust which accomplishes transport tasks in the Earth-Moon system // Proceedings of 5th International Conference on Recent Advances in Space Technologies - RAST2011, 9-11 June 2011, Istanbul, Turkey. Режим доступа: http:// ieeexplore.ieee.org/document/5966968/ (дата обращения 12.12.2017 г.).
Статья поступила в редакцию 19.09.2017 г.
Reference
1. Luna — shag k tekhnologiyam osvoeniya Solnechnoi sistemy [The Moon as a step towards Solar System exploration technologies]. Sci. ed. by Legostaev V.P., Lopota V.A. Moscow, RKK «Energiya» publ., 2011. 584 p.
2. Khamits I.I., Filippov I.M., Burylov L.S., Tenenbaum S.M., Perfil'ev A.V., Gusak D.I. Kontseptsiya kosmicheskoi transportno-energeticheskoi sistemy na osnove solnechnogo mezhorbital'nogo elektroreaktivnogo buksira [A concept of space transportation and power generating system based on a solar electric propulsion orbital transfer vehicle]. Kosmicheskaya tekhnika i tekhnologii, 2017, no. 1(16), pp. 32-40.
3. Pless L.C. Planetary spacecraft — SEPS interface design. AIAA Paper, 1980, no. 1227, pp. 1-7.
4. Polk J.E., Goebel D., Brophy J.R., Beatty J., Monheiser J., Giles D., Hobson D., Wilson F., Christensen J., De Pano M, Hart S, Ohlinger W, Hill D.N., Williams J., Wilbur P., Laufer D.M., Farnell C. An overview of the Nuclear Electric Xenon Ion System (NEXIS) program. 39th AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference and Exhibit 2003; Huntsville, AL; United States; 20-23July 2003, ISBN978-162410098-7.
5. Williams G.J., Hickman T.A. Jr., Haag T.W., Foster J.E., Patterson M.J. Preliminary wear analysis following a 2000 h wear test of the HiPEP Ion Thruster. 29th International Electric Propulsion Conference, Princeton, New Jersey, USA, 31 October - 4 November 2005.
6. GO ST 4401-81. Standart atmosphere. Parameters. Moscow, Izdatel'stvo standartov publ, 1981. 181 p.
7. GOST R 25645.166-2004. Earth upper atmosphere. Density model for ballistic support of flights of artificial Earth satellites. Moscow, IPK Izdatel'stvo standartov publ., 2004. 28 p.
8. Vernov S.N., Vakulov P.V., Gorchakov E.V., Logachev Yu.I. Radiatsionnye poyasa Zemli i kosmicheskie luchi [Radiation belts of Earth and cosmic rays]. Moscow, Prosveshchenie publ, 1970. 131 p.
9. Grodzovskii G.L., Ivanov Yu.N, Tokarev V.V. Mekhanika kosmicheskogo poleta (problemy optimizatsii) [Spaceflight mechanics (optimization problems)]. Moscow, Nauka publ., 1975. 704 p.
10. Lebedev V.N. Raschet dvizheniya kosmicheskogo apparata s maloi tyagoi [Motion analysis of spacecraft with low thrust]. Moscow, VTs AN SSSR publ., 1968. 108 p.
11. Salmin V.V. Optimizatsiya kosmicheskikh pereletov s maloi tyagoi: problemy sovmestnogo upravleniya traektornym i uglovym dvizheniem [Optimization of low-thrust space flights: problems in joint control of trajectory and angular motion]. Moscow, Mashinostroenie publ., 1987. 208 p.
12. Salmin V.V., Ishkov S.A., Starinova O.L. Metody resheniya variatsionnykh zadach mekhaniki kosmicheskogo poleta s maloi tyagoi [Methods of solving variational problems of low-thrust spaceflight mechanics]. Samara, Izd-vo Samarskogo nauchnogo tsentra RAN publ., 2006. 164 p.
13. Salmin V.V., Starinova O.L., Volotsuev V.V., Petrukhina K.V., Chetverikov A.S., Materova I.L., Tkachenko I.S., Gogolev M.Yu. Optimizatsiya okolozemnykh i mezhplanetnykh missii kosmicheskikh apparatov s elektroreaktivnymi dvigatel'nymi ustanovkami [Optimization of near-Earth and interplanetary missions of electrically propelled spacecraft]. Elektronnyi zhurnal «Trudy MAI», 2012, no. 60. Available at: http://trudy.mai.ru/upload/iblock/867/ optimizatsiya-okolozemnykh-i-mezhplanetnykh-missiy-kosmicheskikh-apparatov-s-elektroreaktivnymi-dvigatelnymi-ustanovkami.pdf (accessed 12.12.2017).
14. Sebekhei V. Teoriya orbit: ogranichennaya zadacha trekh tel [Theory of orbits: restricted three-body problem]. Moscow, Naukapubl., 1982. 656p.
15. Starinova O.L. Raschet mezhplanetnykh pereletov kosmicheskikh apparatov s maloi tyagoi [Interplanetary transfer analysis for low-thrust spacecraft]. Samara, Izd-vo Samarskogo nauchnogo tsentra RAN publ., 2008. 194 p.
16. Materova I., Starinova O. The selenocentric orbit's formation as one of guidance problems of spacecraft with low trust which accomplishes transport tasks in the Earth-Moon system. Proceedings of 5th International Conference on Recent Advances in Space Technologies -RAST 2011, 9-11 June 2011, Istanbul, Turkey. Available at: http://ieeexplore.ieee.org/ document/5966968/ (accessed 12.12.2017).
