Проективное множество Минковского Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 514.122.4

ПРОЕКТИВНОЕ МНОЖЕСТВО МИНКОВСКОГО

Л. П. Стунжас

1. Основные понятия и обозначения. В статье рассматривается обобщение классического понятия аффинной геометрии — проективного множества Минковского.

Определение 1. Множество Минковского, или множество центральной симметрии (CSS) гладкой кривой Г на аффинной плоскости, — это огибающая хорд, соединяющих пары точек, касательные к Г в которых параллельны.

Например, CSS центрально-симметричной выпуклой кривой состоит из одной точки (центра симметрии). В менее вырожденных ситуациях CSS — это кривая с особенностями. Те или иные параметры множества Минковского можно использовать в качестве "меры асимметричности" кривой. Особенности CSS представляют интерес в том числе и для приложений (например, компьютерной графики).

Свойства CSS были ранее исследованы в ряде работ [1-3]. В настоящей статье рассмотрено обобщение множества Минковского — проективное множество Минковского.

Замечание 1. Очевидно, что множество Минковского является аффинным инвариантом, т.е. аффинное преобразование, переводящее Г1 в Г2, переведет CSS Г1 в CSS Г2.

Существует естественное обобщение CSS, инвариантное в некотором смысле относительно проективных преобразований. В дальнейшем основное внимание уделено локальным объектам.

Пусть (ai, Ai) и (a2,A2) — ростки гладких кривых в RP2. Если точка X лежит на ai (на a2), то касательную к ai (к a2) в X обозначим Tx .

Пусть точка X лежит на ai, точка Y — на a2, l — некоторая прямая. Будем говорить, что хорда XY является l-хордой, если Tx и Ту пересекаются на l.

Определение 2. Пусть l — некоторая прямая, (ai,Ai) и (a2,A2) — ростки гладких кривых в RP2, такие, что прямая Ai A2 является l-хордой. Проективным множеством Минковского ai и a2 относительно l называется огибающая l-хорд. Обозначать его будем Mi(ai,a2).

Замечание 2. Очевидно, что если ai и a2 — ростки кривой Г, то Mi(ai,a2) — росток CSS Г в аффинной карте, являющейся дополнением к l.

Замечание 3. Очевидно, что проективное множество Минковского является проективным инвариантом, т.е. проективное преобразование, переводящее ai, a2 и l в ai, (12 и I, переводит Mi(ai,a2) в M^(ai,a2).

2. Проективно двойственная к множеству Минковского кривая. Множество прямых в RP2 обладает естественной структурой проективной плоскости (она называется двойственной к исходной и обозначается RP2А), в которой коллинеарным точкам соответствуют прямые исходной плоскости, проходящие через одну точку. Двойственная к двойственной проективная плоскость естественным образом отождествляется с исходной. Однородные координаты на RP2 задают однородные координаты на RP2 , в которых координатами прямой ax + by + cz = 0 являются (a : b : c).

Определение 3. Росток кривой в RP2 , состоящий из касательных прямых к ростку гладкой кривой a, называется двойственным к a. Будем обозначать его D(a). Отображение, сопоставляющее каждому ростку двойственный к нему, называется отображением проективной двойственности.

Напомним ряд классических фактов из проективной геометрии, доказательство которых мы не будем здесь воспроизводить.

Предложение 1. Двойственный росток к гладкому ростку в RP2 совпадает с его огибающей в rP 2.

Предложение 2. Двойственный к гладкому сильновыпуклому росток — гладкий и сильновыпуклый.

Предложение 3. Отображение проективной двойственности является гомеоморфизмом множества гладких сильновыпуклых ростков, снабженных топологией Уитни.

Предложение 4. Кривая, двойственная к графику функции {x, f (x)} в аффинных координатах Oxy в аффинной карте в R2, задается в некоторой аффинной карте в RP2A уравнениями {f'(x), f (x) - xf '(x)}.

Определение 4. Пару ростков (а\,Л\), (а2,А2) будем называть совместимой, если точки А\ и А2 различны и касательные прямые Та1 и Тд2 не совпадают с А1А2.

Определение 5. Рассмотрим совместимую пару ростков (а1,А\) и (а2,А2) и лежащую на прямой А1А2 точку Ь. Каждая прямая т, проходящая через Ь, пересекает ростки в точках М1 и М2, касательные Тм1 и Тм2 пересекаются в некоторой точке ,(т). Множество точек , (т)} будем называть осевым множеством пары ростков (а1 ,а2) и обозначать ,(а1 ,а2), где Ь — двойственная к I точка.

Предложение 5. Росток 0(М1 (В(а1), В(а2))), где I — двойственная прямая к точке Ь, а а1 и а2 — ростки гладких сильновыпуклых кривых, совпадает с (а1,а2)-

Доказательство очевидно.

Замечание 4. Здесь 0(М1 (В(а1 ),В(а2))) следует понимать как множество точек, двойственных к семейству прямых, задающих М1(В(а\),0(а,2)).

Предложение 6. Если (а1 ,А1) и (а2,А2) — совместимые ростки гладких кривых и хотя бы один из них сильновыпуклый, то (а1,а2) — гладкая кривая для любой точки Ь, коллинеарной с А1 и А2 и не совпадающей с А1 и А2.

Доказательство. Рассмотрим в МР2 такую аффинную карту и в ней такие аффинные координаты Оху, что прямые, проходящие через Ь, параллельны оси Оу.

В этих координатах ростки кривых являются графиками функций: а1 = {(р,ф(р))}, 0,2 = {('р,ф('р))}. Поскольку ростки совместимы, точки А1 и А2 не совпадают, а значит, ф(0) = ф(0). Можно также считать, что ф1 (0) = ф'(0) (если в данной аффинной карте это не так, можно взять другую аффинную карту, содержащую точку пересечения Та1 и Тд2).

Поскольку прямые т, проходящие через Ь, параллельны оси Оу, кривая , состоит из точек пересечения касательных к графикам в точках ф(р) и ф(р).

Координаты точки пересечения удовлетворяют системе уравнений

( (х(р) - р)ф'(р) = у(р) - ф(р), Ц)

\ (х(р) - р)ф'(р) = у(р) - Ф(р). ( )

Решив эту систему относительно х(р) и у(р), получим

ф(р) - ф(р) _ ф'(р)ф(р) - ф'(р)ф(р) , .

х[р)-р ф'(р)-ф'(ру у[р)- Ф'(р)-Ф'(р) '

или в других терминах:

Ьф - Ьф Шт(ф,ф)

ж = —Г7Г> У =

ф' - ф' ' * ф' - ф' '

где Шт — определитель Вронского, Ьf — преобразование Лежандра функции / (•) : Ьf (р) = /('') - р/'(р). Точка на ,(а1,а2) является особой, если

х' = о, _ (-'^'У' =0, „ „ <ф" = 0,

Здесь в знаменателях стоят ненулевые коэффициенты. Итак, мы доказали, что если хотя бы один из исходных ростков сильновыпуклый, то осевое множество является гладкой кривой. □

Определение 6. Описанную выше параметризацию кривой , будем называть стандартной относительно аффинных координат Оху.

Замечание 5. Дифференцируя формулы (2) по р, мы получим равенства, позволяющие вычислять значения к-х производных х(^) и у(^) по значениям ф(^), ф(^) и их производных до (к + 1)-й включительно. Соответствующее отображение из прямого произведения пространств (к + 1)-струй ф(^) и ф(^) в прямое произведение пространств к-струй х(^) и у(^) обозначим Зд.

Как показывает следующее предложение, любой параметризованный росток гладкой кривой является ростком , для некоторой кривой.

Предложение 7. Для любых гладких ростков функций х(^) (х(0) = 0) и у(^) существуют такие функции ф(^), ф(^), что координатные функции при стандартной параметризации ростка осевого множества графиков ф(^) и ф(^) суть х(^) и у(^).

Доказательство. Систему (1) можно решить относительно ф1 (р) и ф'(р):

{ ф'(р) = ---

I Т х—р Х—р'

_У___

х—р х—р'

Отсюда видно, что функции ф и ф являются решениями линейного дифференциального уравнения

У /

х—р х—р1 (3)

ф'{р) - -X---V)

г =

х — р х — р

а значит, ввиду гладкости функции ^^ для любого начального условия /|р=о = /о существует единственное решение. Таким образом, существует однопараметрическое семейство ростков функций, таких, что осевым множеством графиков любых двух из них является кривая (х(-),у(-)). □

Предложение 8. Отображение зк, ограниченное на множество струй вида ф(0) = сопв^, ф(0) = соп812, сопв^ = сопв12, является диффеоморфизмом на множество струй вида х(0) = 0. Если V — подмножество в прямом произведении пространств к-струй х(-) (х(0) =0) и у(-) коразмерности т, то коразмерность его прообраза при зк также равна т.

Доказательство. Дифференцируя равенства (3) по р, мы получим рекурсивные формулы, позволяющие вычислять ф(1)(0) по значениям ф(г) (0) при 0 < г <1 и по значениям х(г)(0) и у(г)(0) при 0 < г < I; аналогично для ф(1) (0). Сделав соответствующие подстановки, можно получить формулы, выражающие ф(0 (0) через х(г) (0) и у(г)(0) при 0 < г < I и ф(0) (аналогично для ф(1)(0)). Таким образом, обратное отображение к ограничению зк на множество ростков вида ф(0) = сопв^, ф(0) = сопэ12 гладкое. Тем самым первое утверждение предложения доказано. Второе утверждение сразу вытекает из первого. □

3. Типичные особенности множества Минковского. Напомним некоторые классические факты из дифференциальной геометрии. Рассмотрим в М2 гладкую кривую, заданную как образ отображения г : М ^ М2. Особенностям двойственной кривой ^(г) соответствуют точки перегиба исходной кривой. Обозначим векторное произведение векторов г' и г" через р(р) : = х"(р)у'(р) — у"(р)х'(р).

Определение 7. Говорят, что у кривой г(-) в точке уплощение кратности к, если рг(р) = = 0

при 0 < г < к — 1 и рь(р) = 0. Уплощение кратности 1 называется простым перегибом.

Предложение 9. Если параметризация кривой г(-) гладкая (т.е. х'2 + у'2 = 0), то кривая имеет уплощение кратности к, если и только если

х'у'' — у'х'' = 0, х'у(г) — у'х(г) =0 для г = 1,...,к — 1; х'у(к) — у'х(к) = 0.

Предложение проверяется несложными вычислениями.

Предложение 10. Росток кривой, имеющий в базовой точке перегиб кратности к, приводится линейным преобразованием плоскости и заменой параметра к виду х(р) = р, у(р) = рк+2 + о(рк+2).

Доказательство. В качестве соответствующих аффинных координат можно взять координаты, в которых ось Ох совпадает с касательной к кривой, а в качестве параметра на кривой — координату х. В этих координатах у'(0) = 0, значит, в силу предыдущего предложения у(г) = 0 при г <к, у(к) =0. □

Предложение 11. Если у ростка кривой в базовой точке простой перегиб, то у двойственного ростка в базовой точке полукубическая точка возврата (т.е. росток двойственной кривой ростком диффеоморфизма М2 переводится в кривую, задаваемую уравнением х2 + у3 = 0). Если у ростка кривой в базовой точке уплощение кратности 2, то двойственный росток в базовой точке переводится в кривую х3 + у4 = 0.

Предложение сразу же вытекает из леммы 1.

В то же время ростки кривых, двойственные к имеющим уплощения большей кратности, не могут быть приведены к общей нормальной форме.

Описанные выше конструкции позволяют передоказать в несколько строк доказанную в [1] теорему о локальных особенностях множества Минковского.

Теорема 1. Множество Минковского гладкой выпуклой замкнутой кривой в типичном случае не имеет особенностей, кроме полукубических точек возврата.

Доказательство. У подмножества три-струй отображений М ^ М2, образы которых есть кривые с кратными уплощениями, коразмерность более 1. Следовательно, по предложению 8 у прообраза этого подмножества при отображении Зз также будет коразмерность более 1, значит, по теореме трансверсальности

Тома образ ростка отображения р ^ (ф(р),ф(р)) для ростков ф и ф общего положения не пересекается с данным множеством.

Утверждение о замкнутых кривых вытекает из локального результата. □

Определение 8. Для произвольной выпуклой кривой Г в МР2 подмножество МР2Л, состоящее из прямых I, таких, что у М1(г) есть более вырожденные, чем полукубические точки возврата особенности (а у (Г) — соответственно уплощения кратности более 1), будем называть бифуркационным множеством кривой г и обозначать Дг.

Определение 9. Для произвольной выпуклой кривой Г подмножество МР2Л х МР2, состоящее из пар (I, г) т £ М1(г), будем называть дискриминантом кривой г и обозначать £>г. Аналогично дискриминантом пары ростков кривых а1 и а2 называется росток множества таких пар, что г £ М\(а1,а2).

Определение 10. Дискриминантом df семейства функций /(•, Ь, с) называется семейство преобразований Лежандра графиков функций у(х) = /ьс(х).

Замечание 6. Прямая в М2, не параллельная оси Оу, является графиком некоторой линейной функции {(х,1(х))}. Если кривая является графиком функции /(•), то прямая I принадлежит дискриминанту кривой, если и только если нуль — критическое значение функции х ^ /(х) - 1(х). Таким образом, дискриминант семейства функций /(•,Ь,с) является бифуркационным множеством нулей четырехпара-метрического семейства функций х ^ /(х,Ь,с) - 1(х), т.е. множеством параметров, задающих функции, для которых нуль является критическим значением (подробнее о бифуркационных множествах см. [4, с. 351-355]).

Определение 11. Два дискриминанта называются эквивалентными, если они переводятся друг в друга диффеоморфизмом В, сохраняющим тривиальное расслоение п : МР2 х МР2Л ^ МР2Л. (Диффеоморфизм в сохраняет расслоение п : Е ^ В, если существует такой диффеоморфизм базы в, что пв = вп.)

Определение 12. Семейство функций у(^)=/(•,Ь,с), таких, что в начале координат /''(0)=/'''(0)=0,

/№(0) / 0 и (^г)2(0) + (^г)2(0) ф 0, называется версалъным двукратным уплощением. Соответственно

если семейство функций удовлетворяет условиям /"(0) = /'"(0) = 0, /^(О) ф 0, 0) = 0) = 0)

будем называть его неверсальным двукратным уплощением.

Определение 13. Семейство функций у(^) = /(•, Ь, с), таких, что в начале координат /''(0) = /'''(0) = /(4)(0) = 0, /(5) (0) = 0 и векторы производных /'' и /''' вдоль параметров линейно независимы, называется версальным трехкратным уплощением. В случае, если /''(0) = /'''(0) = /(4)(0) = 0, /(5)(0) = 0 и векторы производных в нуле /'' и /''' вдоль параметров линейно зависимы, будем называть семейство неверсальным трехкратным уплощением.

Лемма 1. Дискриминант версального двукратного уплощения эквивалентен дискриминанту семейства / = х4 + Ьх2. Дискриминант версального трехкратного уплощения эквивалентен дискриминанту семейства / = х5 + Ьх3 + сх2.

Доказательство. Дискриминант версального двукратного уплощения может быть описан как множество критических значений семейства отображений рь,с (х, X) ^ (/(х, Ь, с) + Хх, X), /''(0) = /'''(0) = 0, /(4)(0) = 0; дискриминант версального трехкратного уплощения — как множество критических значений семейства отображений (х, X) ^ (д(х, Ь, с) + Хх, X), д''(0) = д'''(0) = д(4) (0) = 0, д(5) (0) = 0. Функция / правоэквивалентна функции х ^ х4, функция д — функции х ^ х5, поэтому отображение Ро,о заменой переменной приводится к виду (х, X) ^ (х4+Хф(х), X), а отображение 2о,о — к виду (х, X) ^ (х5+Хф(х), X).

Общеизвестно (см., например, [4, с. 119]), что росток обобщенного отображения Уитни ЛЬ-версален. Несложно видеть, что четырехмерное отображение Уитни является расширением однопараметрической деформации рь отображения М2 ^ М2 (х,\) ^ (х4 + Ьх2 + Xx,X), а пятимерное отображение Уитни — расширением двухпараметрической деформации ¿)ь,с (х, X) ^ (х5 + Ьх3 + сх2 + Xx, X). Следовательно (см. [4, с. 129]), указанные деформации являются V-версальными. Отсюда сразу же вытекает утверждение леммы. □

Заметим, что преобразование (х : у : г) ^ (х + Ьу : у : г + су) переводит график ф ({р, ф(р)}) в кривую

{1+оф(р)}' При малых значениях бис она также является графиком некоторой гладкой функции. Обозначим ее фьс. Тогда

о = ф'(ржр), = -рф'(ршр) + ф\р). (4)

Лемма 2. 5-струи отображений х ^ ф(х) и х ^ ф(х), таких, что у кривой ,1ф,ф в начале координат

неверсальные дву- или трехкратные уплощения, принадлежат некоторому подмножеству декартова квадрата пространства 5-струй отображений R ^ R, коразмерность которого равна 4.

Доказательство. Как показывают вычисления, основанные на формуле (2), равенство x'y''-y'x" = 0 выполняется, если и только если

ф''ф''' - ф'''ф'' = 0. (5)

Согласно формулам (4) и (5), условия, задающие неверсальное двукратное уплощение, эквивалентны следующим:

фу - ф'''ф'' = о, ф"ф(4) - ф(4)ф'' = о,

Gb = ф"'ф"'(ф - ф)+ 3(ф'ф''ф'" - ф"'ф'ф") + + 4(ф'ф'''ф'' - ф'ф'''ф'') + фф(4) ф'' - фф(4)ф'' + 3ф''ф''(ф'' - ф'') = 0, Gc = ф''(фф''' + 3ф'ф'') - ф''(фф''' + 3ф'ф'') = 0, а задающие неверсальное трехкратное уплощение — следующим:

ф''ф''' - ф''' ф'' = 0, ф''ф(4) - ф(4) ф'' = 0, ф''ф(5) - ф(5)ф'' = 0, Gb Hc - Gc Hb = 0,

где

Hb = (3ф'ф'' + фф'')ф(4) + ф''(10ф''ф''' + 5ф'ф(4) + фф(5)) -

- (3ф'ф'' + фф'')ф(4) + ф''(10ф''ф''' + 5ф'ф(4) + фф(5)), Hc = ф''(фф(4) + 4ф'ф''' + 3ф''2) - ф''(фф(4) + 4ф'ф''' + 3ф''2).

□

Теорема 2. У осевого множества совместимой пары ростков общего положения (ai,Ai), i = 1, 2, относительно произвольной прямой l, не пересекающей ростки, могут быть уплощения кратности не более 3.

Бифуркационное множество a(a\,a2) состоит из конечного набора кривых, особенности которого исчерпываются трансверсальными самопересечениями и полукубическими точками возврата.

Росток дискриминанта d(a\,a2) эквивалентен дискриминанту семейства функций из следующего набора:

1) f (x) = x2, 2) f (x) = x3, 3) f (x) = x4 + bx2, 4) f (x) = x5 + bx3 + cx2.

Первые два случая соответствуют значениям параметров b и c вне бифуркационного множества, третий — двукратному перегибу осевого множества. Соответствующий росток бифуркационного множества является ростком гладкой кривой. Четвертый случай соответствует трехкратному уплощению; соответствующий росток бифуркационного множества имеет полукубическую точку возврата.

Доказательство. По предложению 8 коразмерность подмножества 5-струй пар ф и ф, которым соответствуют кривые J с уплощениями кратности более 3, равна 4, значит, не менее 2 будет коразмерность множества 5-струй пар ф и ф, таких, что для некоторых bo, Со паре фь0co и фь0co соответствует кривая J с уплощениями кратности более 3.

Следовательно, по теореме трансверсальности Тома для пары ф и ф общего положения осевое множество есть сильновыпуклая кривая либо кривая с уплощения кратности не более 3. Согласно лемме 2, в случае общего положения уплощения J не могут быть неверсальными. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Janeczko S. Bifurcations of the center of symmetry // Geom. dedic. 1996. 60. 9-16.

2. Giblin P.J., Zakalyukin V.M. Singularities of centre symmetry sets // Proc. London Math. Soc. 2005. 90. 132-166 (http://www.liv.ac.uk/~pjgiblin/papers/diatta-giblin-revised.pdf).

3. Giblin P.J., Holtom P.A. The centre symmetry set // Geometry and Topology of Caustics. Vol. 50 / Ed. by S. Janeczko, V.M. Zakalyukin. Warsaw: Banach Center Publ., 1999. 91-105.

4. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. М: Изд-во МЦНМО, 2004.

Поступила в редакцию 06.04.2005 После доработки 16.08.2007