Геометрия
УДК 514.12
проективно-евклидова связность в изображении горизонтальных плоскостей
А. В. Бритов
В статье продолжается обсуждение общей теории перспективы Б. В. Раушенбаха. Показано, что проективно-евклидовы связности (сохраняющие геодезические) в изображениях горизонтальных плоскостей как при классическом центральном проектировании на картинную плоскость, так и при проектировании на сферу с последующей разверсткой в квадрат, не являются даже эквиаффинными. Рассмотрены возникающие при этом билинейные формы и линейные операторы в изображении.
Б. В. Раушенбахом экспериментально подтверждается, что зрительное восприятие пространства и плоскостей в нем существенно искажает прямые линии в кривые (в отличие от классической теории перспективы, основанной на центральном проектировании пространства на «картинную» плоскость) [3]. Эти данные позволяют выделить зоны прямой и обратной перспектив. В зоне обратной перспективы евклидова плоскость, по утверждению Б. В. Раушенбаха, изображается плоскостью Лобачевского постоянной отрицательной кривизны. Это подразумевает, что прямые — геодезические аффинно-евк-лидовой плоскости изображаются геодезическими в образе, что приводит к задаче привнесения, по крайней мере, аффинной связности в зрительный образ за счет проектив-ного(геодезического) отображения [2, с. 165] евклидовой плоскости. Для этого нужна полная математическая модель отображения, что мы и делаем на основе работы [1].
1. Общие замечания по нахождению проективно-евклидовой связности.
Рассматриваются отображения горизонтальных плоскостей г = г0 Ф 0 (абсолютно симметрично выглядят отображения вертикальных плоскостей у = Уо Ф 0):
— на плоскость Оху (при к = 1), которое описывается формулами (ось ОХ = Оу, Ол = Ог):
X =
х +1
Л =
х +1
х + 1 > 0;
— на сферу с последующим отображением проекции на квадрат ОХл , 1 = 1 формулами:
— у — 2
X = агС^-, ^ = аг^-, х + 1 > 0. (2)
х + 1 х + 1
Системы координат Охуг, ОХл, ОХл — прямоугольные в Е3, на картинной плоскости Е2 и в квадрате
я — я я _ я
--< X <-,--< Л <- (3)
2 2 2 2
соответственно. Заметим, что при отображении (2) точки Л = 0 отвечают бесконечно удаленным точкам горизонтальных плоскостей г = го (линия горизонта), а граничные точки квадрата — предельной «рамке» изображения (рис. 1).
В силу двухмерности многообразий тензор кривизны заменяется тензором Риччи:
Ку = В^у = д s Гу ^Г +
+ ГskГij — ГikГsj ■
(4)
На исходной «горизонтальной» плоскости 2 = 2о Ф 0 введем координаты точки М:
Г 1
I х = х + 1 > 0,
(1)
2
|х = у.
(5)
Бритов А. В., 2012
У = -2 у = -1
У = 0 у = 1 у = 2
У = 0
а) изображаемая полуплоскость 2 = 20 (х + 1 > 0) с координатной геодезической сетью
б) изображение полуплоскостей 2 = 1 и 2 = -1 с координатной геодезической сетью на плоскости 0£,п
2 = 1
2 = -1
линия горизонта
зона прямой перспективы
предельная «рамка» изображения
в) изображение полуплоскостей 2 = 1 и г = -1 с координатной геодезической сетью в квадрате 0£,п
Рис. 1
Прямоугольные координаты в изображении точки М:
1м1 = м1(х1х2),
| 2 2/ 1 2ч [и = и (X X ).
При этом предполагается,
(6)
функции — класса С2 с якобианом, отличным от нуля. Уравнения геодезических прямых с геодезическим параметром Ь имеют вид:
(7)
что эти Не предлагая геодезичность параметра Ь за-
х — Ь Ь + Хф.
ранее, из уравнения геодезических линии в изображении
^2 к 1 г 1 у 1 к
d и Гк du Ми 1 du dt2 4 М М М с учетом (6 — 7) приходим к тождествам по
Я = (ЯУ ) =
(*' )2
2о у
(12)
(Згумк + Г^дги5 дуир) = (Хд{ик) Ъг.
Из них следует, что:
1. 1 = 0, т. е. параметр t — геодезиче-скии в изображении.
2. ^(уГ + Г^р^(¿и5д= 0 — уравнение для нахождения коэффициентов Гк связности.
С учетом симметрии д^и1 и переброса симметрирования по г, у на 5, р последние уравнения принимают вид:
дь-ик + гк5р)дгм5 д }-ир = 0. (8)
Из уравнения (8) ясно, что Гк не определяются однозначно и требуется задание тензора кручения. Поэтому мы будем искать сразу симметрическую аффинную связность из соотношении:
det Я
> 0.
¿о
Таким образом, уже при классическом центральном проектировании геометрия горизон-тальнои плоскости не является даже эквиаф-финноИ, т. е. при параллельном переносе в проективно-евклидовоИ связности (11) площади не сохраняются, хотя геодезические остаются прямыми с сильно искаженнои мет-рикои и без сохранения параллельности.
БилинеИная форма тензора Риччи (12) оказывается эллиптического типа, а его симметрическая часть с матрицеИ
(
G =
(9У = К(у))
1
2г0
\
2г0
И2
2 20
дг,- ик + Г^„д,-м5 д,■ иР = 0,
г
I Г Г ■
1 X и = —7
20
X1 > 0.
Вычисляя Г .• из (9), находим, что
1 X
Г}2 =--
г0
Г22 = - "
2х<
г0
остальные Гу = 0.
Из формул (4) находится тензор Риччи:
9
(9)
42,
< 0 — гиперболического. (13)
0
2. Геометрия изображения плоскости г = г0 ф 0 на картинной плоскости.
С учетом (5) при центральном проектировании (1) горизонтальной плоскости на картинную формулы (6) принимают вид:
БилинеИные формы Я и G порождают одну и ту же квадратичную
Ф (а ) = \
1 2 ( ( 2 V
г0а а + 1х ) I а I
и конус изотропных (самосопряженных) направлениИ состоит из двух прямых: 1) а2 = 0 (образ прямых || Ох);
(10)
2) а =
(*' )2
а
2о
(11)
Учитывая, что косая часть Я
3 I 0 Г
(= %])
22,
1 о ,
(14)
тоже порождает невырожденную билинеИную форму, на картинноИ плоскости в координатах (х1, х2) возникают линеИные операторы с матрицами:
А = е-1С =
и
З^П
В = 8-1Я =
2
3-
П 4
3
и
Згп
(15)
вне зоны а2 - Ь2 = 0
(18)
т. е. оператор А меняет ориентацию на противоположную и площади умножаются на 1
а + Ь а - Ь
3. Геометрия изображения плоскости г = го ф 0 на квадрат ОХщ •
В данном случае формулами изображения служат
и1 = arctg Х1т, и2 = аг^ ¿О, х1 > О
х х
С = G-1 • Я =
П
IX! - 2
с очевидными зависимостями В = Е + А, С = Е + А-1 и им обратные. Заметим, что собственными векторами всех этих операторов служат векторы изотропных направлений квадратичной формы ф ( а ) .
На самом деле это вытекает из структуры матрицы Я билинейной формы, т. е. если
Я =
0 а
vЬ с .
то G =
а + Ь
0 1
1 У
2с
где у =
а -
а + Ь
01
V-1 0 ,
_1 а + Ь И А = 8 С = -
(16)
-а
1У
0 -ъ
собственные направления оператора А совпадают с изотропными направлениями квадратичной формы ф (а) и определяются векторами
Р =
V 0 у
И Р2 =
V -2 у
(17)
В силу структуры матрицы А этот линейный оператор порождает единственный скалярный инвариант
I а + Ь ,
] = ае1 А = -1-I < О
а - Ь
и аналогичные вычисления дают значения Г, Я:
41 =
2х
Г12 =-
( х1)
+ ¿О
1
х ^О
2х1 ¿О
(19)
, остальные Г = О,
Я =
а ^ ¿0
¿0 - (Х) - (Х) - (¿0) (Х) ¿0 (Х) ¿0
А = - (^ - (Х )2 - 2хЧ ) .
(20)
Геометрия по сравнению с п. 2 стала во многом более сложной, так как образ плоскости и прямых на ней ограничен, геодезические линии лишь в частных случаях (рис. 4, 6 [1] и рис. 1 в данной работе) прямолинейны (интервалы), при параллельном переносе площадь (косое произведение) не сохраняется, тензор Риччи — смешанного типа, и если обозначить х1 = Х0 > 0 — корень уравнения А = 0, то
Х0 =-¿0 + ¿0 , (21)
зоны типа Я в зависимости от х1 и ^ (от х2 они не зависят) делятся по признаку (рис. 2):
т а < 0 т а > 0_^ х1
о *0
А < 0 — гиперболического типа;
А > 0 — эллиптического типа
Рис. 2
В квадрате OXh эт0 выглядит так (рис. 3):
Д < 0
Рис. 3
щ
x0 0
V2 -1
предельная «рамка» -- изображения
zo , . h0 = arctg — (zo > 0) x0
Плоскости z = Z0 в R3 этим зонам отвечают (рис. 4):
Д > 0
Д = 0 Д < 0
x2
Рис. 4
На плоскости z = Z0 положение Х0 (Д = 0) зависит от Z0 (и , и знака sign Z0), но в
квадрате (Xh)
h0 = arctg \-¡J—I для z0 > 0, (22)
Ло = -arctg J Для ^ < 0, (23)
т. е. ^о зависит только от знака Напоминаем, что Zо > 0 отвечает плоскостям выше уровня глаз, а Zо < 0 — ниже этого уровня.
Мы не можем дать какое-либо разумное физиологическое объяснение (в отличие от конуса перехода прямой перспективы в обратную в статье [1]).
Такая нессимметрия по знаку z скорее всего связана с построением модели на последнем этапе развертывания сферы в квадрат.
Математически никаких противоречий нет, так как уравнение А = 0 в области с единственным ограничением х1 • Zо ф 0 (т. е. включающее и проектирование £3 при х1 < 0) имеет корни
х0 = -г0 ±72|,г0| = -г0 (1 ±72),
х0 1 ± V 2
Но в положительном полупространстве Х1 > 0 уравнение (24) дает разные значения для х0 и Л0:
(25)
1
хо = Ы У2 - !)- ^0 = ' г0 > 0;
- 1 (2
1
хо = Ы + 1) - ^0 = агс^ + 1' 2о < 0'
При этом изображается полуплоскость (х1 > 0, х2) при Zо > 0 в области квадрата ^ > 0, а при Zо < 0 — в области ^ < 0 (рис. 5)
Г
Ж
линия гори
- 1
h0 =
p 2
h0 = arctg
1
/2 + 1
1
л 2 1 1 h 1
> 0 1 1 0 1 |
1 линия гори зонта 1 1
_ л 2 0 л 2
1 1 1 1 1 1 1 I I 1
л
О изображение (x1 > 0, x2) при Z0 > 0
б) изображение (x1 > 0, x2) при Z0 < 0
Рис. 5
Из формул (16), (17) и (20) следует, что в данном случае
а + Ь _ (х1 - ¿0) 2 2 (х1 )2 *о'
а - Ь _ 3 (х1 )2 + 2хЧ - ¿0 _ (х1 )4 - (¿0)4
<( )
¿0
(х1)
4
и поэтому
4 ' и' *0)
()
*0 (х1 - *0 )
р1 _ I 0 }' Р2 _
. (26)
(X1 + ¿0) (х1 )2 + ¿0
ч ¿0 (¿0 - х1)
Вырождение симметрической части, G, про-
1 - р исходит при X1 = ¿0, Г| = - и возможно толь-
4
ко при ¿0 > 0, а вырождение косой части, е, при других значениях:
Х1 _ -го + 2 |го
Л0
arctg |—г при ¿0 > 0, 1*01
аг^-^ при *0 < 01*01
Во всех точках вне запретных форма G — гиперболического типа, так как д = det G =
_ (х1 - ¿0 ) = 4 (х1 )4 ¿0 ' Скалярный инвариант (18) имеет значение
(а +1 2~
J = —
(х1 - ¿0)
< 0
3 (х1) + 2x^0 - ¿о
1 1 -¿0 + 2 ¿0 при х Ф ¿0 и х Ф-!—1
(28)
т. е. изотропные направления тензора Риччи определяются векторами
Если этот инвариант считать скалярной кривизной в изображении плоскости г = ¿0 Ф 0, то она отрицательна, но непостоянна, и геометрия только локально может быть приближена к геометрии Лобачевского.
Характер геометрии плоскости изображений лучше определять не глобальным свойством непересечения геодезических, а более локальным — дефектом геодезического многоугольника. В обсуждаемой нами модели существуют четырехугольники в плоскости ОХл, в которых сумма углов меньше 2р, например, в образе прямоугольника Л1(а, Ъ), Л2(2а, Ъ), Л3(2а, 2Ъ), Л4(а, 2Ъ), а в образе трапеции В^а, Ъ), В2(а, с), Bз(ka, В(1а, kЪ) сумма углов равна
2р, так как этот образ — прямоугольник в плоскости ОХл.
(27)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бритов А. В. Одна модель общей теории перспективы Б. В. Раушенбаха / А. В. Бритов, А. Э. Чудаев // Вестн. Мордов. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки [Саранск]. 2010. № 4.
С. 17 25.
2. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. М. : Наука, 1976. 432 с.
3. Раушенбах Б. В. Общая теория перспективы / Б. В. Раушенбах // Системы перспективы в изобразительном искусстве. М. : Наука, 1986. 253 с.
Поступила 26.01.2012.