Проективно-евклидова связность в изображении горизонтальных плоскостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Геометрия

УДК 514.12

проективно-евклидова связность в изображении горизонтальных плоскостей

А. В. Бритов

В статье продолжается обсуждение общей теории перспективы Б. В. Раушенбаха. Показано, что проективно-евклидовы связности (сохраняющие геодезические) в изображениях горизонтальных плоскостей как при классическом центральном проектировании на картинную плоскость, так и при проектировании на сферу с последующей разверсткой в квадрат, не являются даже эквиаффинными. Рассмотрены возникающие при этом билинейные формы и линейные операторы в изображении.

Б. В. Раушенбахом экспериментально подтверждается, что зрительное восприятие пространства и плоскостей в нем существенно искажает прямые линии в кривые (в отличие от классической теории перспективы, основанной на центральном проектировании пространства на «картинную» плоскость) [3]. Эти данные позволяют выделить зоны прямой и обратной перспектив. В зоне обратной перспективы евклидова плоскость, по утверждению Б. В. Раушенбаха, изображается плоскостью Лобачевского постоянной отрицательной кривизны. Это подразумевает, что прямые — геодезические аффинно-евк-лидовой плоскости изображаются геодезическими в образе, что приводит к задаче привнесения, по крайней мере, аффинной связности в зрительный образ за счет проектив-ного(геодезического) отображения [2, с. 165] евклидовой плоскости. Для этого нужна полная математическая модель отображения, что мы и делаем на основе работы [1].

1. Общие замечания по нахождению проективно-евклидовой связности.

Рассматриваются отображения горизонтальных плоскостей г = г0 Ф 0 (абсолютно симметрично выглядят отображения вертикальных плоскостей у = Уо Ф 0):

— на плоскость Оху (при к = 1), которое описывается формулами (ось ОХ = Оу, Ол = Ог):

X =

х +1

Л =

х +1

х + 1 > 0;

— на сферу с последующим отображением проекции на квадрат ОХл , 1 = 1 формулами:

— у — 2

X = агС^-, ^ = аг^-, х + 1 > 0. (2)

х + 1 х + 1

Системы координат Охуг, ОХл, ОХл — прямоугольные в Е3, на картинной плоскости Е2 и в квадрате

я — я я _ я

--< X <-,--< Л <- (3)

2 2 2 2

соответственно. Заметим, что при отображении (2) точки Л = 0 отвечают бесконечно удаленным точкам горизонтальных плоскостей г = го (линия горизонта), а граничные точки квадрата — предельной «рамке» изображения (рис. 1).

В силу двухмерности многообразий тензор кривизны заменяется тензором Риччи:

Ку = В^у = д s Гу ^Г +

+ ГskГij — ГikГsj ■

(4)

На исходной «горизонтальной» плоскости 2 = 2о Ф 0 введем координаты точки М:

Г 1

I х = х + 1 > 0,

(1)

2

|х = у.

(5)

Бритов А. В., 2012

У = -2 у = -1

У = 0 у = 1 у = 2

У = 0

а) изображаемая полуплоскость 2 = 20 (х + 1 > 0) с координатной геодезической сетью

б) изображение полуплоскостей 2 = 1 и 2 = -1 с координатной геодезической сетью на плоскости 0£,п

2 = 1

2 = -1

линия горизонта

зона прямой перспективы

предельная «рамка» изображения

в) изображение полуплоскостей 2 = 1 и г = -1 с координатной геодезической сетью в квадрате 0£,п

Рис. 1

Прямоугольные координаты в изображении точки М:

1м1 = м1(х1х2),

| 2 2/ 1 2ч [и = и (X X ).

При этом предполагается,

(6)

функции — класса С2 с якобианом, отличным от нуля. Уравнения геодезических прямых с геодезическим параметром Ь имеют вид:

(7)

что эти Не предлагая геодезичность параметра Ь за-

х — Ь Ь + Хф.

ранее, из уравнения геодезических линии в изображении

^2 к 1 г 1 у 1 к

d и Гк du Ми 1 du dt2 4 М М М с учетом (6 — 7) приходим к тождествам по

Я = (ЯУ ) =

(*' )2

2о у

(12)

(Згумк + Г^дги5 дуир) = (Хд{ик) Ъг.

Из них следует, что:

1. 1 = 0, т. е. параметр t — геодезиче-скии в изображении.

2. ^(уГ + Г^р^(¿и5д= 0 — уравнение для нахождения коэффициентов Гк связности.

С учетом симметрии д^и1 и переброса симметрирования по г, у на 5, р последние уравнения принимают вид:

дь-ик + гк5р)дгм5 д }-ир = 0. (8)

Из уравнения (8) ясно, что Гк не определяются однозначно и требуется задание тензора кручения. Поэтому мы будем искать сразу симметрическую аффинную связность из соотношении:

det Я

> 0.

¿о

Таким образом, уже при классическом центральном проектировании геометрия горизон-тальнои плоскости не является даже эквиаф-финноИ, т. е. при параллельном переносе в проективно-евклидовоИ связности (11) площади не сохраняются, хотя геодезические остаются прямыми с сильно искаженнои мет-рикои и без сохранения параллельности.

БилинеИная форма тензора Риччи (12) оказывается эллиптического типа, а его симметрическая часть с матрицеИ

(

G =

(9У = К(у))

1

2г0

\

2г0

И2

2 20

дг,- ик + Г^„д,-м5 д,■ иР = 0,

г

I Г Г ■

1 X и = —7

20

X1 > 0.

Вычисляя Г .• из (9), находим, что

1 X

Г}2 =--

г0

Г22 = - "

2х<

г0

остальные Гу = 0.

Из формул (4) находится тензор Риччи:

9

(9)

42,

< 0 — гиперболического. (13)

0

2. Геометрия изображения плоскости г = г0 ф 0 на картинной плоскости.

С учетом (5) при центральном проектировании (1) горизонтальной плоскости на картинную формулы (6) принимают вид:

БилинеИные формы Я и G порождают одну и ту же квадратичную

Ф (а ) = \

1 2 ( ( 2 V

г0а а + 1х ) I а I

и конус изотропных (самосопряженных) направлениИ состоит из двух прямых: 1) а2 = 0 (образ прямых || Ох);

(10)

2) а =

(*' )2

а

2о

(11)

Учитывая, что косая часть Я

3 I 0 Г

(= %])

22,

1 о ,

(14)

тоже порождает невырожденную билинеИную форму, на картинноИ плоскости в координатах (х1, х2) возникают линеИные операторы с матрицами:

А = е-1С =

и

З^П

В = 8-1Я =

2

3-

П 4

3

и

Згп

(15)

вне зоны а2 - Ь2 = 0

(18)

т. е. оператор А меняет ориентацию на противоположную и площади умножаются на 1

а + Ь а - Ь

3. Геометрия изображения плоскости г = го ф 0 на квадрат ОХщ •

В данном случае формулами изображения служат

и1 = arctg Х1т, и2 = аг^ ¿О, х1 > О

х х

С = G-1 • Я =

П

IX! - 2

с очевидными зависимостями В = Е + А, С = Е + А-1 и им обратные. Заметим, что собственными векторами всех этих операторов служат векторы изотропных направлений квадратичной формы ф ( а ) .

На самом деле это вытекает из структуры матрицы Я билинейной формы, т. е. если

Я =

0 а

vЬ с .

то G =

а + Ь

0 1

1 У

2с

где у =

а -

а + Ь

01

V-1 0 ,

_1 а + Ь И А = 8 С = -

(16)

-а

1У

0 -ъ

собственные направления оператора А совпадают с изотропными направлениями квадратичной формы ф (а) и определяются векторами

Р =

V 0 у

И Р2 =

V -2 у

(17)

В силу структуры матрицы А этот линейный оператор порождает единственный скалярный инвариант

I а + Ь ,

] = ае1 А = -1-I < О

а - Ь

и аналогичные вычисления дают значения Г, Я:

41 =

2х

Г12 =-

( х1)

+ ¿О

1

х ^О

2х1 ¿О

(19)

, остальные Г = О,

Я =

а ^ ¿0

¿0 - (Х) - (Х) - (¿0) (Х) ¿0 (Х) ¿0

А = - (^ - (Х )2 - 2хЧ ) .

(20)

Геометрия по сравнению с п. 2 стала во многом более сложной, так как образ плоскости и прямых на ней ограничен, геодезические линии лишь в частных случаях (рис. 4, 6 [1] и рис. 1 в данной работе) прямолинейны (интервалы), при параллельном переносе площадь (косое произведение) не сохраняется, тензор Риччи — смешанного типа, и если обозначить х1 = Х0 > 0 — корень уравнения А = 0, то

Х0 =-¿0 + ¿0 , (21)

зоны типа Я в зависимости от х1 и ^ (от х2 они не зависят) делятся по признаку (рис. 2):

т а < 0 т а > 0_^ х1

о *0

А < 0 — гиперболического типа;

А > 0 — эллиптического типа

Рис. 2

В квадрате OXh эт0 выглядит так (рис. 3):

Д < 0

Рис. 3

щ

x0 0

V2 -1

предельная «рамка» -- изображения

zo , . h0 = arctg — (zo > 0) x0

Плоскости z = Z0 в R3 этим зонам отвечают (рис. 4):

Д > 0

Д = 0 Д < 0

x2

Рис. 4

На плоскости z = Z0 положение Х0 (Д = 0) зависит от Z0 (и , и знака sign Z0), но в

квадрате (Xh)

h0 = arctg \-¡J—I для z0 > 0, (22)

Ло = -arctg J Для ^ < 0, (23)

т. е. ^о зависит только от знака Напоминаем, что Zо > 0 отвечает плоскостям выше уровня глаз, а Zо < 0 — ниже этого уровня.

Мы не можем дать какое-либо разумное физиологическое объяснение (в отличие от конуса перехода прямой перспективы в обратную в статье [1]).

Такая нессимметрия по знаку z скорее всего связана с построением модели на последнем этапе развертывания сферы в квадрат.

Математически никаких противоречий нет, так как уравнение А = 0 в области с единственным ограничением х1 • Zо ф 0 (т. е. включающее и проектирование £3 при х1 < 0) имеет корни

х0 = -г0 ±72|,г0| = -г0 (1 ±72),

х0 1 ± V 2

Но в положительном полупространстве Х1 > 0 уравнение (24) дает разные значения для х0 и Л0:

(25)

1

хо = Ы У2 - !)- ^0 = ' г0 > 0;

- 1 (2

1

хо = Ы + 1) - ^0 = агс^ + 1' 2о < 0'

При этом изображается полуплоскость (х1 > 0, х2) при Zо > 0 в области квадрата ^ > 0, а при Zо < 0 — в области ^ < 0 (рис. 5)

Г

Ж

линия гори

- 1

h0 =

p 2

h0 = arctg

1

/2 + 1

1

л 2 1 1 h 1

> 0 1 1 0 1 |

1 линия гори зонта 1 1

_ л 2 0 л 2

1 1 1 1 1 1 1 I I 1

л

О изображение (x1 > 0, x2) при Z0 > 0

б) изображение (x1 > 0, x2) при Z0 < 0

Рис. 5

Из формул (16), (17) и (20) следует, что в данном случае

а + Ь _ (х1 - ¿0) 2 2 (х1 )2 *о'

а - Ь _ 3 (х1 )2 + 2хЧ - ¿0 _ (х1 )4 - (¿0)4

<( )

¿0

(х1)

4

и поэтому

4 ' и' *0)

()

*0 (х1 - *0 )

р1 _ I 0 }' Р2 _

. (26)

(X1 + ¿0) (х1 )2 + ¿0

ч ¿0 (¿0 - х1)

Вырождение симметрической части, G, про-

1 - р исходит при X1 = ¿0, Г| = - и возможно толь-

4

ко при ¿0 > 0, а вырождение косой части, е, при других значениях:

Х1 _ -го + 2 |го

Л0

arctg |—г при ¿0 > 0, 1*01

аг^-^ при *0 < 01*01

Во всех точках вне запретных форма G — гиперболического типа, так как д = det G =

_ (х1 - ¿0 ) = 4 (х1 )4 ¿0 ' Скалярный инвариант (18) имеет значение

(а +1 2~

J = —

(х1 - ¿0)

< 0

3 (х1) + 2x^0 - ¿о

1 1 -¿0 + 2 ¿0 при х Ф ¿0 и х Ф-!—1

(28)

т. е. изотропные направления тензора Риччи определяются векторами

Если этот инвариант считать скалярной кривизной в изображении плоскости г = ¿0 Ф 0, то она отрицательна, но непостоянна, и геометрия только локально может быть приближена к геометрии Лобачевского.

Характер геометрии плоскости изображений лучше определять не глобальным свойством непересечения геодезических, а более локальным — дефектом геодезического многоугольника. В обсуждаемой нами модели существуют четырехугольники в плоскости ОХл, в которых сумма углов меньше 2р, например, в образе прямоугольника Л1(а, Ъ), Л2(2а, Ъ), Л3(2а, 2Ъ), Л4(а, 2Ъ), а в образе трапеции В^а, Ъ), В2(а, с), Bз(ka, В(1а, kЪ) сумма углов равна

2р, так как этот образ — прямоугольник в плоскости ОХл.

(27)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бритов А. В. Одна модель общей теории перспективы Б. В. Раушенбаха / А. В. Бритов, А. Э. Чудаев // Вестн. Мордов. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки [Саранск]. 2010. № 4.

С. 17 25.

2. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. М. : Наука, 1976. 432 с.

3. Раушенбах Б. В. Общая теория перспективы / Б. В. Раушенбах // Системы перспективы в изобразительном искусстве. М. : Наука, 1986. 253 с.

Поступила 26.01.2012.