Проектирование оптимальных по допускаемому прогибу балки профилей Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ПРОБЛЕМЫ КОРАБЛЕСТРОЕНИЯ И ОКЕАНОТЕХНИКИ

УДК 629.12.011.1.001

П.А. Бимбереков

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО ДОПУСКАЕМОМУ ПРОГИБУ БАЛКИ ПРОФИЛЕЙ

ФГОУ ВПО «Новосибирская государственная академия водного транспорта»

Представлен вариант схемы проектирования профиля по значению предельно допустимого прогиба балки, который представляет модификацию проектирования оптимального по моменту сопротивления сечения профиля с учетом сдвиговых деформаций. Данный вариант проектирования актуален для телескопических люковых закрытий, непревышение допустимого прогиба от действующей нагрузки у которых обусловливает их работоспособность.

Ключевые слова: проектирование, судовой профиль, допускаемый прогиб, оптимизация

В [1] показано, что параметры профиля, удовлетворяющие требованиям технологичности и устойчивости, могут быть получены только при оптимизации сечения профиля по моменту сопротивления. Поэтому в [1], зависимости, полученные при оптимизации сечения профиля по моменту сопротивления, были переведены к зависимостям по другим нормируемым параметрам, в частности, по моменту инерции сечения профиля. В случаях, когда лимитирован прогиб для данной балки [ш], необходимо производить подбор оптимального профиля, одновременно учитывающий изгибную и сдвиговую составляющие прогиба.

Для оптимального профиля, проектируемого по моменту сопротивления его сечения с присоединенным пояском обшивки Ж, приведенного к соответственному моменту инерции I, имеем следующую зависимость для высоты стенки И [1, С.142], по выражению

И =

■ 4

4

к

6-^- 1т, (1)

1 + кг

"П

где кп = / (и / - площади сечений полки и стенки профиля соответственно); т = ИД (И и I - высота и толщина стенки профиля соответственно).

Для оптимального профиля, спроектированного по Ж, соотношение составляющих прогиба от изгиба ши и сдвига шсд выражается зависимостью [1, с. 216]

Шд = + (2)

Ши Ссд 1 6кП

где / - коэффициент Пуассона; / - длина пролета балки.

Для составляющей прогиба от изгиба ши имеем известное выражение

Ши = Q/Ъ^(CUЕ1), (3)

где Q - значение действующей нагрузки; Е - модуль Юнга.

© Бимбереков П.А., 2011.

Общий прогиб от изгиба и сдвига ш выразится очевидной зависимостью

ш = Ши + шсд = ши

V

ет

= ет.

и J

1+

2C,

С,

(1+ ß)

И2 к +1

л

сд

l2 6k

(4)

П J

Приняв допускаемое значение общего прогиба [ш] из (4), выразим ши, получая при этом его допускаемое значение [ши ]

(

К ] =[ет]

1+

С

С,

(1+ß)

И2 к +1

V1

l2 6k

(5)

П J

Выражая из (3) I и беря в расчет допускаемое значение [ши ] по (5), получим допускаемое значение для момента инерции профиля [ I ], оптимально проектируемого по моменту сопротивления Ж с учетом сдвига

[I ] =

QI3

Ql

3 (

СиЕ[ети ] СиЕ[ет]

2£и

(1+И)

и2 к„ +1 1

l2 6k

П J

Подставим (6) в (1) и преобразуем относительно И

И4 _ и22(1 + ß)m Ql _

А kП

С

Ql i

E[rn] 1 + hn С^ет]

-m = 0.

(6)

(7)

Разрешив (7) относительно И , получим h =

(1 + ß)m Ql + (1 + ßf m2 f_Ql_1 ' " E[rn]

С

E[&]

С

+ 6 кП

Qi3

1 + hn С^ет]

m

(8)

Выражение (8) позволяет определить оптимальную высоту профиля с учетом деформаций изгиба и сдвига, при заданной нагрузке Q, данном виде защемления балки, известном материале балки (известных коэффициенте / и модуле Юнга Е), заданном допускаемом прогибе балки [ш], а также выбранных коэффициенте т и получаемом значении коэффициента кп. Однако для последнего еще надо получить расчетное выражение.

Для толщины стенки профиля из (8) получим равенство

t =

(1+ß) Ql , (1 + ß? f_QL1 СсдШ E[m] v с2дm VE[m]

+6-кП

Ql3

1 + К ^E[rn]m

(9)

Для площади сечения профиля, базируясь на (9), имеем выражение

Fr = (1 + кя )t 2m =

(1+кП )(1+U) Ql

С

+

E[rn] \

(1 + ßf( 1+кП )2 f Ql 1 вкП (1 + кП )Ql3

С2

EM

СиЦ.ет1№

(10)

Выражение (8) можно преобразовать к следующему виду

h_d + ß) Ql , 1 (1+ß? f

С

сд

+ 6- кП

Ql l

1

Сt E[rn] t Введем обозначение

IP = Ql3/(СИЕ[ет]).

Тогда (11) с учетом (12) примет вид

1 + £п С^ет] m

(11)

V

2

/;_(1 + /) 1С , 1 1(1 +л)2 Г I У

С t /

Ссд1 1

t

С

сд

С /2

V Си1 у

+ 6^ 1 + кп т

Для оптимального профиля справедливы соотношения [1, С.119]

/ =

2(1 - 3кп ) кп - 2

кП =

2(/ - /) 6/ + /

(13)

(14)

где / - площадь сечения присоединенного пояска обшивки.

Основываясь на первом выражении (14), а также (12), имеем

2(1 - 3кп Ь _,.,_(! + /) 1РС^ ¡(1 + /)

К - 2

-/2 = / = Иг = ■

С

/2

С2

22 1Р

С /2

V Си1 у

+ 6- кп

и

1 + к„ т

(15)

"П ^~сд " К сд V и' у * 1 '"П

Для предварительного определения величины коэффициента кп в правой части равенства (15) можно воспользоваться формулой (1), вводя в него вместо I величину 1Р по (12). Тогда

кПр = 0,68(1р/(т/22))° 2.

Аппроксимируем дробь в (15) перед / следующим выражением

2(1 - 3кП )/(кП - 2) = 6кП5. Из выражения (15) с учетом (17) получим равенство

1 (1 + /) 1рСи

кП =

6 /

(1+/)2 Г и

С,

сд

/ 2

С

сд

С /2

V Си1 у

+ 6-

"Пр

1 + кПр т

13,5

(16)

(17)

(18)

Выражения (1)... (18) позволяют полностью решить поставленную задачу.

Приведём пример предварительного расчета по полученной схеме в табл.1, произведенный без приведения расчетных значений к сортаменту листового проката и реальным значениям ширины (высоты) элементов. Принято, что рассчитываемая балка имеет равномерно распределённую нагрузку и свободно опёрта по концам. Ряд величин в табл. 1 представлен в сантиметрах, так как и в практике проектирования, и в нормативных документах, приняты именно эти единицы, а кроме того, данная таблица предваряет расчет приведенных далее вариантов по специальной программе, где также использованы сантиметры).

Предварительный расчет параметров сечения профиля

Таблица 1

№ Наименование, обозначения, расчетные формулы Значение, расчет

1 2 3

1 Нагрузка, Q, кН 300

2 Длина балки, Ь, м 2,4

3 Коэффициент □ 0,3

4 Предельный прогиб, [та], м 0,0096

5 Коэффициент СИ 76,8

6 Коэффициент Ссд 8

7 Модуль упругости, Е*105, МПа 2,1

8 Напряжение текучести материала, □ Пт, МПа 295

9 Расчетный комплекс 1р: QL3/(CИE[та]), см4 2679

Окончание табл. 1

1 2 3

Присоединенный поясок: толщина, ¿2, см 0,8

10 ширина, Ъ2, см 43,5

площадь, /2=2Ъ2, см 34,8

11 Коэффициент тс0=(к/()тах при Пт=235 МПа 60

12 Коэффициент тс=тс0 ((Б/Бс)*235/Пт)1/2 54

13 Коэффициент кп, по формуле (18) 0,414

14 Толщина стенки см, по формуле (9) 0,431

15 Высота стенки к, см, по формуле (13) 23,1

16 Площадь стенки / =Ы, см2 9,97

17 Коэффициент кп=2/2+/)/(6/2+/ 0,409

18 Площадь полки/1=к/ см2 0,427

19 Коэффициент т1= ^/¿^((Б/Б^З 5/Пт)1/2 22,3

20 Толщина полки ¿^/^тх) , см 0,427

21 Ширина полки Ъ\=/\/t\, см 9,52

22 Площадь полки /1=^^, см 4,07

23 Расчетный прогиб, ш, м 0,00958

Как видно из табл. 1 расчет дал удовлетворительный результат.

Заданные прочностные параметры Коэффициенты вида балки Присоединенный поясок Характеристики материала и условий работы

вспомогательные расчетный

Момент Привед. Предельный тсо=(ИЛ)тах

сопротив- Момент площадь момент Предельный Длина Ъ=2Ь2, Коэф. т=тсо.

ления инерции сечения сопротив. прогиб Нагрузка Си балки, 1, 12. Ь2, От, Е, Пуассона, при оТ=235 ((Е/Ес).

При W, см3 I, см4 Рпр, см2 Wпp, см4 к м Q, кН м см см см2 МПа 105 МПа л МПа •235/от)1/2

от=235 МПа 150 2910 21 254 0,0096 300 76,8 8 2,4 0.8 43,5 34,8 295 2,1 0,3 60 54

Толщина стенки

Высота стенки

_ 0,56

[принимаем ^ см

расчетная ^ см [принимаем ^ см~

Площадь стенки

т1=25((Е/Ес)*235/от)1/2 Толщина полки т|П=(!1/т1 )1

Характерные значения, см

[принимаем см"

Таблица 1

Таблица2

0,712<М2 - рекомендуемый диапазон 12<1<1,412 - допустимый диапазон

(см. также примечание)

выходит за допустимые пределы

полка

Г п=М1

^<14 - рекомендуемый диапазон 1,4t<tl<1,75t - допустимый диапазон

Ширина полки 9,29

[принимаем Ь1, см 10

Площадь полки ^=Ь^1, см2 4,00 норма

кп=^Я т1расч трасч Р|ГЬ расч. Ки+«Ъд, м къд/ки ки, м Кд, м

0,435 25,00 57,50 0,38 0,11 0,00958 0,145 0,00837 0,00121

Допустимость значения норма норма"1* допустимо

для т с учетом возможной коррекции тк=т|^фМ)1/2 25,59 61,41

Фактические значения прочностных параметров

Фактическая площадь сечения Fг=f1+f Рг,см2 W, см3 I, см4 Рпр, см2 Wпp, см3 к м

где f=h.t 13,20 157,12 3072,15 7,96 217,80 0,00958

ДЬ^Д^Л!, см -4,704 -0,674 10,848 -1,449 -0,005 Автор: П.А.Бимбереков

Погрешность удовлетворения заданию, % 31,49 32,53 -52,39 7,64 -0,19

стенка

присоединенный поясок

Примечание. Толщины листового праката в диапазоне значений 2...30 мм принимать с шагом в 1 мм,

причем следующие значения толщин листового проката нежелательны для использования {13,15,17,19,21,24,26}.

Таблица 2 - Рекомендуемые величины отношения высоты стенки к ее толщине т^Л

2318

7

202

о

1=1

23

22

11=1

Ь=1,41

11=1,751

№ Усорвия эксплуатации Требование к устойчивости Назначение балки т=ИЛ

1 Наряду с изгибом возможно осевое сжатие. Напряжения сжатия соизмеримы с пределом текучести. Возможны случайные локальные нагрузки, вызывающие появление значительных остаточных деформаций Не должно быть потери устойчивости при действии поперечных нагрузок, вызывающих остаточные прогибы при осевом сжатии до предела текучести Набор бортов, грузовых палуб и настилов, продольные связи днища и палубы, поперечный набор днища в оконечностях 40 РРР дает до 55

2 Напряжения осевого сжатия незначительны. Случайные перегрузки исключены или мало-. вероятны.Наряду с нормальными напряжениями изгиба действуют касательные напряжения, соизмеримые с пределом текучести Не должно быть потери устойчивости при одновременном появлении фибровой текучести полки от изгиба и текучести стенки от сдвига Набор переборок, поперечные связи днища в средней части (кроме судов, эксплуатирующихся на мелководье), поперечный набор палуб, не предназначенных для размещения груза 60

3 Случайные нагрузки исключены или маловероятны. Напряжения осевого сжатия и касательные напряжения - незначительны Не должно быть потери устойчивости при появлении фибровой текучести полки Набор люковых крышек, не предназначенных для размещения груза, набор надстроек и рубок, не участвующих в общем изгибе корпуса 80

где РРР - Российский Речной Регистр

2W/(Fг+f2)/h 0,2846431

W2'3/(Fг+f2) 0,6066227

2W/Fгh 1,035066

Д^Ш 1,050312

Рис. 1. Пример 1 программы расчета сечения профиля балки при задании допустимого прогиба, а также ряда геометрических параметров его сечения

Заданные прочностные параметры Коэффициенты вида балки Присоединенный поясок Характеристики материала и условий работы

вспомогательные расчетный

Момент Привед. Предельный тсо=(ИЛ)тах

сопротив- Момент площадь момент Предельный Длина Ъ=2Ь2, Коэф. т=тсо.

ления инерции сечения сопротив. прогиб Нагрузка си ссд балки, 1, t2, Ь2, От, Е, Пуассона, при оТ=235 ((Е/Ес).

При W, см3 I, см4 Рпр, см2 Wпp, см4 « м Q, кН м см см см2 МПа 105 МПа л МПа •235/от)1/2

от=235 МПа 150 2910 21 254 0,0096 300 76,8 8 2,4 0,8 43,5 34,8 295 2,1 0,3 60 54

Таблица 1

Толщина стенки

Высота стенки

_ 0,56

|принимаем^см

расчетная ^ см

Еринимаемьтсм:

ТЩсм^

Площадь стенки

т1=25((Е/Бс)*235/от)1/2 Толщина полки 11т|П=(!1/т1)1/2, см

Характерные значения, см

tl=t

0,6

Ширина полки Площадь полки

|принимаем t1, см"

0,7t2<t<t2 - рекомендуемый диапазон t2<t<1,4t2 - допустимый диапазон

t<tl<1,4t - рекомендуемый диапазон 1,4t<tl<1,75t - допустимый диапазон

(см. также примечание)

Таблица2

полка / fl=Ьl-tl

[принимаем Ь1, см

кп^я

Допустимость значения для т с учетом возможной коррекции тк=т^фМ)1/2

норма 27,29

№

норма 65,50

стенка

Фактические значения прочностных параметров

Фактическая площадь сечения Fг=f1+f где Т^Л Рг,см2 W, см3 I, см4 Рпр, см2 Wпp, см3 к, м

17,40 178,77 3024,68 10,70 253,04 0,00941

дь^дяд, см -5,542 -0,505 4,785 -3,555 -0,043

Погрешность удовлетворения заданию, % 49,61 30,48 -36,01 25,05 -2,01

Автор: П.А.Бимбереков

присоединенный поясок

Примечание. Толщины листового праката в диапазоне значений 2...30 мм принимать с шагом в 1 мм,

причем следующие значения толщин листового проката нежелательны для использования {13,15,17,19,21,24,26}.

Таблица 2 - Рекомендуемые величины отношения высоты стенки к ее толщине т^Л

2318

7

202

о

t=t

22

ь=ЬЛ1, см

норма

т

т

ки+кс-д, м

«и, м

Кд, м

0,00850

0,00091

№ Усорвия эксплуатации Требование к устойчивости Назначение балки т=ИЛ

1 Наряду с изгибом возможно осевое сжатие. Напряжения сжатия соизмеримы с пределом текучести. Возможны случайные локальные нагрузки, вызывающие появление значительных остаточных деформаций Не должно быть потери устойчивости при действии поперечных нагрузок, вызывающих остаточные прогибы при осевом сжатии до предела текучести Набор бортов, грузовых палуб и настилов, продольные связи днища и палубы, поперечный набор днища в оконечностях 40 РРР дает до 55

2 Напряжения осевого сжатия незначительны. Случайные перегрузки исключены или мало-. вероятны.Наряду с нормальными напряжениями изгиба действуют касательные напряжения, соизмеримые с пределом текучести Не должно быть потери устойчивости при одновременном появлении фибровой текучести полки от изгиба и текучести стенки от сдвига Набор переборок, поперечные связи днища в средней части (кроме судов, эксплуатирующихся на мелководье), поперечный набор палуб, не предназначенных для размещения груза 60

3 Случайные нагрузки исключены или маловероятны. Напряжения осевого сжатия и касательные напряжения - незначительны Не должно быть потери устойчивости при появлении фибровой текучести полки Набор люковых крышек, не предназначенных для размещения груза, набор надстроек и рубок, не участвующих в общем изгибе корпуса 80

где РРР - Российский Речной Регистр

2W/(Fг+f2)/h 0,3341212

W2'3/(Fг+f2) 0,6079414

2W/Fгh 1,0023635

дудя 1,0033435

Рис. 2. Пример 2 программы расчета сечения профиля балки при задании допустимого прогиба, а также ряда геометрических параметров его сечения

На рис. 1 и рис. 2 даны варианты подбора элементов профиля балки, ранее рассчитанной в табл. 1, по специальной мини-программе. Здесь приводятся варианты уточнённого подбора параметров сечения профиля балки с учетом значений сортамента листового проката, с технологическим шагом ширины элементов в 0,005 м. Данная схема подбора позволяет также контролировать соответствие заданию в случае нормирования (кроме прогиба) и ряд геометрических параметров сечения балки (момент инерции, момент сопротивления, приведенную площадь сечения, предельный момент сопротивления).

На рис. 1 выбран вариант толщины стенки в два раза меньший, чем у присоединенного пояска обшивки. Такое соотношение не входит в рекомендованные рамки, однако отдельные случаи существующих конструкций говорят о том, что такое соотношение имеет право на существование. Так, настил палубы в районе грузовой площадки барж-площадок проекта №Р-56 имеет построечное значение 0,010 м, в то время как построечная толщина стенки рамных бимсов имеет значение 0,005 м. Эксплуатация барж данного проекта ведется уже более 30 лет и палубное перекрытие показало удовлетворительную работоспособность.

На рис. 2 взят вариант с удовлетворяющим рекомендациям значением стенки, однако

2 4 2

площадь профиля при этом значительно возросла - с 13,20 см (13,2*10- м ) при варианте

2 4 2

примера 1 до 17,40 см (17,4*10- м ) при варианте примера 2.

Отметим, что следует произвести специальные исследования по работоспособности стенок балок относительно малых толщин по сравнению с присоединенными поясками обшивки при величинах толщин обшивки 0,010 м и более.

Выводы

Предложенная схема расчета, имеющая в своей основе получение оптимальных соотношений элементов сечения профиля при оптимизации его по моменту сопротивления с одновременным удовлетворением требования непревышения заданного прогиба, дала удовлетворительный результат и её можно рекомендовать к практическому использованию.

1. Бимбереков, П.А. Анализ и оптимизация размеров профилей и эквивалентного бруса корпуса судна / П.А. Бимбереков. - Новосибирск: НГАВТ, 2004. - 272 с.

Дата поступления в редакцию 18.10.2011

P.A. Bimberekov

DESIGNING OF SHAPES OPTIMAL IN SECANT MODULUS BY ALLOWABLE

DEFLECTION OF GIRDER

Hereby was represented variant of shape designing scheme by maximum girder deflection value. This variant is modification of designing of shape cross-section optimal in secant modulus taking in account shear deformation. Given variant of designing is actual for telescopic hold covers which working capacity is conditioned by unexcess of allowable deflection because of acting load.

Key words: designing, ship shape, allowable deflection, optimization.