Проектирование опор мостового перехода с учетом вероятностной сущности формирования местного размыва (с использованием теории риска) Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА

УДК 624.21; 625.53

Р.А. Стадник ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОПОР МОСТОВОГО ПЕРЕХОДА С УЧЕТОМ ВЕРОЯТНОСТНОЙ СУЩНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ МЕСТНОГО РАЗМЫВА (С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ РИСКА)

Рассмотрено определение закона распределения глубины воронки местного размыва у опор мостового перехода. При этом сравнивались законы распределения по разностной модели, когда от фактического измерения определяемого параметра отнимается теоретическое. Теоретические глубины местного размыва определялись по методикам ЦНИИС и СПИ. Фактические глубины размыва определялись при различных входных характеристиках потока: скорости течения (v), ширины опоры (b) и глубины потока (Н).

Теория риска, закон распределения, местный размыв, значение глубины

R.A. Stadnik DESIGNING BRIDGE CROSSING SUPPORTS CONSIDERING PROBABILISTIC NATURE OF LOCAL EROSION (IN TERMS OF THE RISK THEORY)

The article considers the distribution law referring the crater depth of the local erosion around bridge crossing supports. Herewith, distribution laws were compared in terms of the subtraction model where theoretical data measurements are subtracted from the actual measurements data. Theoretically, the depth rate of the local erosion was defined using the SPI methods. The actual erosion depth rate was defined under various flow input characteristics, i.e. the speed of the current, support width, and flow depth.

Risk theory, distribution law, local washout, value of depth

Существующие методы проектирования опор мостового перехода представляют собой детерминированные математические модели и позволяют определить глубину заложения фундамента при определенных исходных данных. Однако, как показывают результаты применения этих моделей, их входные параметры являются переменными и обладают вероятностными показателями.

Детерминированные методы не позволяют говорить, с какой вероятностью полученный результат является достоверным. Поэтому, чтобы установить подобную связь между расчетными величинами и вероятностной сущностью всех входных параметров, необходимо применять вероятностные методы по определению параметров глубины заложения фундамента русловых опор, например теорию риска.

Применение теории риска основывается на законах распределения глубин местного размыва, в связи с чем необходимо знать, какой из теоретических законов распределения соответствует распределению глубин воронки местного размыва.

Автором были проведены экспериментальные исследования в гидравлическом лотке. Экспериментальные исследования выполнялись в масштабе 1:10 относительно фактических параметров опор и глубины потока. Устанавливали макеты опор мостового перехода в отсыпанный несвязный грунт, представляющий собой песок диаметром d=0,50 мм.

Фактические глубины размыва определялись при различных входных характеристиках потока: скорости течения (у), ширине опоры (Ь), глубине потока (Н) и косине потока (К). В связи с этим формировались группы данных, в которые входили перечисленные параметры. При производстве эксперимента в группе меняли один параметр: например, у, а параметры Ь, Н, К оставляли неизменными. Экспериментальные исследования проводили в следующем диапазоне входных параметров: у - 0,62-0,92 м/с, Ь - 0,15-0,62 м, Н - 0,1-0,4 м и К - 0-13°.

Масштабное моделирование обтекания опор и образования воронки местного размыва позволяет перейти от измеренных местных размывов у макетов опор мостов к фактическим размывам у опор существующих сооружений. В экспериментальном наблюдении с цилиндрическими опорами при одинаковом диаметре частиц песка й=0,50 мм было сформировано 16 выборок из 64 массивов.

Например, в первой выборке Н=0,20 м, Ь=0,20 м изменялась скорость потока; во второй выборке менялась глубина потока при Ь=0,20 м, у=0,62 м/с и т. д. Всего было получено 288 значений глубин местного размыва у цилиндрических опор при нормально набегающем потоке на опору. Затем на ЭВМ с использованием датчика случайных чисел было обработано 288 значений глубин и в каждой выборке оценивался закон распределения глубин местного размыва.

В качестве примера в табл. 1 приведена одна из выборок, в которой дана математическая обработка наблюдения за местным размывом у опор мостового перехода при следующих параметрах: й=0,50 мм, у=0,60 м/с, Н=1,20 м, К=0°, Ь от 0,15 до 0,62 м.

Последовательность обработки результатов измерений состояла из следующих решений.

Во второй графе табл. 1 показаны измеренные в процессе эксперимента значения глубины размыва (кф). Данные для графы три получали расчетом с использованием несвязных грунтов и при

по формуле

наличии поступлений донных наносов в воронку размыва

V V У

к = 0,5МК

1,41 ■

1,5 —

V Н у

Г \

уо

V ™

Н

■ Н + 0,0177 ■

■ ь+N ■ Ун

1-У

(1)

где М - коэффициент, зависящий от формы опоры; для опытов с круглоцилиндрическими опорами принимают М=1,46; К - коэффициент, учитывающий угол между вектором скорости набегающего потока воды и осью опоры (косина потока); W - средняя гидравлическая крупность частиц, м/с; Н - глубина потока перед опорой моста с учетом общего размыва, м; У0 - неразмывающая скорость, м/с;

V - средняя скорость течения в отверстии моста после общего размыва, м/с; Ь - расчетная ширина опоры моста, м (соответствующие ширене опоры в физической модели ); N - параметр, определяемый по графику (рис. 1).

Рис. 1. Г рафик определения параметра N

В табл. 1 графе четвертой дана разность результатов экспериментальных измерений глубин и результатов расчета теоретических глубин размывов, представляющих собой параметры оценки точности в расчетных формулах.

0.867

у —

у

0,86/

Ь

w

0,18

Обрабатывая разности глубин местного размыва методами математической статистики, можно установить закон распределения глубины, необходимый для вывода формул оценки риска потери устойчивости опор мостовых переходов.

Таблица 1

Экспериментальные и расчетные данные

№ наблюдений Измеренная глубина Ьф, м Расчетные глубины размыва Ь0, м Разность глубин к -ко—кт, м

1 2 3 4

1 0,25 0,235 0,015

2 0,27 0,30 -0,03

3 0,31 0,33 -0,02

4 0,32 0,31 0,01

5 0,33 0,35 -0,02

6 0,35 0,37 -0,02

7 0,38 0,38 0

8 0,40 0,41 -0,01

9 0,45 0,45 0

10 0,48 0,435 0,045

11 0,48 0,46 0,02

12 0,49 0,49 0

13 0,52 0,58 -0,06

14 0,55 0,61 -0,05

15 0,55 0,65 -0,1

16 0,58 0,66 -0,08

17 0,60 0,66 -0,06

18 0,61 0,65 -0,04

19 0,62 0,65 -0,03

20 0,62 0,66 -0,04

В табл. 2 приведен пример методики статистической обработки величины разностей глубин местного размыва (к).

Таблица 2

Статистическая обработка разностей

Разряды интервалов разностей Середина разряда, ит Абсолютная частота, т/ Частичная сумма, Бт Накопленная частота, Т Середина условного интервала, м, Ьт Произведения

т • кт, Н2т кт • т

(-0,12) - (-0,10) -0,11 1 1 1 -4 -4 16 16

(-0,10) - (-0,08) -0,09 0 1 2 -3 0 9 0

(-0,08) - (-0,06) -0,07 2 3 5 -2 -4 4 8

(-0,06) - (-0,04) -0,05 2 5 10 -1 -2 1 2

(-0,04) - (-0,02) -0,03=Ха 6 11 21 0 0 0 0

(-0,02) - 0 -0,01 5 16 37 1 5 1 5

0 - 0,02 0,01 3 19 56 2 6 4 12

0,02 - 0,04 0,03 0 19 75 3 0 9 0

0,04 - 0,06 0,05=ык 1 20 95 4 4 16 16

п=20 М=95 ЕТ=302 В=5 А=59

Применяя к данным табл. 2 мультипликативный метод, получаем:

- среднее значение величин разностей:

Акф - ха + 3 ■ В - —0,03 +

0,02

20

■ 5 -—0,025(м);

- дисперсию:

3

п — 1

В

2

А----

п

0,02 20 — 1

2

59 —

(5)

20

2

- 0,00121(м);

2

—

- среднее квадратическое отклонение:

аАк = 0,035 (м).

По методу суммирования:

Акл = ыК— 8-1 — -11 = 0,05 - 0,02 • I 90 _ 11 = -0,025(м);

8

п — 1

2 • Ут — М —— = • 2 • 302 — 95 — — = 0,00121(м);

^ п 90 — 1 90

20—1

20

Ч У Ч У

- среднее квадратическое отклонение:

а А и = 0,035 (м).

Контроль расчета основных параметров закона распределения по разным математическим методам сошелся, что указывает на надежность полученных результатов.

Сравнивая полученные результаты закона распределения исследуемого параметра с различными законами, было установлено, что лучше других законов согласуется с эмпирическим распределением нормальный закон распределения интервалов (табл. 3).

Таблица 3

Сравнение эмпирического распределения разностей с нормальным распределением

для диаметра песка с1=0,0035 (м)

2

Разряды интервалов разностей Абсолютная частота, т1 Вероятность попадания измерения в разряде, рг Теоретическое количество измерений в разряде (п Т = Рг ■ п) 2 (щ — Пт } X = т п т

(-0,12) - (-0,10) 1 0,0360045 0,7200 0,1088

(-0,10) - (-0,08) 0 0,1005021 2,0100 2,0100

(-0,08) - (-0,06) 2 0,1584491 3,1689 0,4311

(-0,06) - (-0,04) 2 0,1500255 3,0005 0,3336

(-0,04) - (-0,02) 6 0,2621109 5,2422 0,1095

(-0,02) - 0 5 0,1728111 3,4562 0,6895

0 - 0,02 3 0,0598313 1,1966 2,7179

0,02 - 0,04 0 0,0079766 0,1595 0,1595

0,04 - 0,06 1 0,0522889 1,0457 0,0019

п = У Нт =20 Р=1,0000000 2 X = 6,5618

В табл. 3 вероятности попадания интервалов в разряды для нормального закона устанавливаем по формуле

р = ф

Нм—Нср •©< 1 Нг—Н • ср

_ аи аН

(2)

где (11+1 и ^ - правая и левая границы г-го разряда (табл. 3); Ф(и) - функция Лапласа [7].

При х=6,56 и у=6 по критерию Пирсона имеем Р=0,34 - хорошее соответствие между теоретическим и экспериментальным законами распределений. В результате обработки 16 выборок было установлено девять соответствий с оценкой отлично, четыре - хорошо, три - удовлетворительно. Следовательно, при выводе формул теории риска для оценки глубины местного размыва необходимо пользоваться нормальным законом распределения.

Для определения вероятности образования местного размыва у опор мостов введем следующие обозначения (рис. 2): Но — математическое ожидание фактической или расчетной величины местного размыва; Нкр — математическое ожидание недопустимой глубины местного размыва, при которой вероятность размыва равна 50% риску; аН и а и - средние квадратические отклонения фактической

и критической глубин местного размыва соответственно; Нср±1аи - поле рассеивания параметра Н,Р в

пределах плотности распределения /(Н2); Нкр+1анр - поле рассеивания параметра Н7 в пределах

плотности распределения /(к!); t - коэффициент значимости, зависящий от вероятности (надежности измерений) Р.

В соответствии с теорией вероятности известно, что сумма независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение [2, 3].

Тогда

о 1 Л+., ( г) = {/(Л,) •/ (г - Л, )* = о _

_ (г-а) 2о?

(3)

где / (г - Л,) = / (Л2); а = л _ Л - интервал между математическими ожиданиями нормально рас-

Л кр Лср

_ I 2 2

пределенных величин местного размыва; Оа = 4Олр + Олср — среднее квадратичное отклонение суммарного распределения двух нормально распределенных величин глубины местного размыва.

Рис. 2. Плотности распределения параметров ИКр и Ио с геометрическим представлением области риска (С - область риска; а - интервал между математическими ожиданиями)

Справедливость формулы (3) можно показать при помощи характеристических функций [4]. Функция суммарного распределения имеет вид

ч2

1

_(г-а) х 0^2

2 О а

О

| е • а йг.

ж -о

Заменив переменную и = ^—— при а = 0 и = аайи , получаем вероятность того, что z < 0:

Оп

1 и--------

Р^ < 0) = -_ • \ е 2 йи =Ф и (и) —Фи (—) = Ф и (и). (4)

Ы2 -п —™

Учитывая, что риск г = Р(z > 0) связан с формулой (4) соотношением

г = Р(z > 0) = 1 — Р(z < 0) , получаем

г = Р( z > 0) = 1 — Ф и (и) = 1 — Ф и I-I.

о

Табулируется, как правило, интеграл вероятности вида

1 и2

1 и------

Ф(и) = ,-------• | е 2 йи,

л/2-п 0

который связан с функцией Ф и (и) соотношением

Фи (и) = 0,5 + Ф(и).

е

2

Тогда

г = 1 -[0,5 + Ф(и)] = 0,5-Ф

При z = а формула (6) принимает вид

\&а У

г = 0,5 -Ф

\&а У

(6)

(7)

и позволяет определить риск возникновения интервала между математическими ожиданиями расчетного параметра Но и параметра, соответствующего 50%-му риску Нкр (рис. 2).

Таким образом, риск образования местного размыва у опор мостов будет определяться по формуле

( \

г = 0,5-Ф

Нкр - Но

2 2

<*Н ~&Н

' *кр ' Ьср у

(8)

где Нкр - критическая глубина, при которой вероятность образования местного размыва равна 50%, м; Но -

математическое ожидание фактической величины местного размыва; (7к - среднее квадратическое

отклонение критической глубины, м; (Гкф - среднее квадратическое отклонение фактической глубины, вызванное ошибками при расчете глубины местного размыва, например при неправильном определении глубины потока, м; Ф(и ) - интеграл вероятности, определяемый по значению подынте-

Н - Н

Л ТТ 1 *кр 1

гральной функции и = , 2 =.

По формуле (8) была выполнена оценка риска потери устойчивости опоры от диаметра опоры и скорости потока (рис. 3).

Ь=0.62 м

V,

м/с

1.4-10'3 5,5-10"3 0,023 0,577 г

Рис. 3. Риск потери устойчивости опоры

Выводы

1. Основным законом распределения глубин местного размыва у опор мостов следует считать нормальный закон распределения.

2. Анализ формулы (8) показывает, что при увеличении диаметра опоры (табл. 4) и глубины потока (рис. 3) риск потери устойчивости опоры моста увеличивается.

Если фактическая глубина местного размыва увеличится до равенства с критической глубиной (Нср = Нкр), то по формуле (8) получим г = 0,5 .

При дальнейшем увеличении этого параметра возникает ситуация Нср > Нкр и, учитывая, что функция Лапласа нечетная Ф(-и) = -Ф(и), по формуле (8) установим 0,5< Г <1. В пределе, когда Нср>> Нкр, риск Г , определяемый по формуле (8), стремится к единице.

1. Стадник Р. А. Расчет местного размыва с использованием теории риска на основе нормального закона распределения / Р.А. Стадник // Проблемы транспорта и транспортного строительства: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2007. С. 146-150.

2. Аугусти Г. Вероятностные методы в строительном проектировании / Г. Аугусти, А. Барат-та, Ф. Кашиати. М.: Транспорт, 1988. 584 с.

3. Столяров В.В. Функция Лапласа и вычисление вероятностей при нормальном и биноминальном распределениях / В.В. Столяров // Проблемы транспорта и транспортного строительства: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2004. С. 3-25.

4. Столяров В.В. Проектирование автомобильных дорог с учетом теории риска: в 2 ч. / В.В. Столяров. Саратов: СГТУ, 1994. Ч. 1. 184 с. Ч. 2. 232 с.

5. Ярославцев И. А. Расчет местного размыва у мостовых опор. М.: ЦНИИС Минтранстроя, 1956. Сообщение № 80. 16 с.

6. Николаев Е.И. Местный размыв у столбчатых опор мостов с учетом набегания потока на опоры (косое течение): дис.... канд. техн. наук / Е. И. Николаев. Саратов, 1974. 229 с.

7. Столяров В.В. Проблемы повышения безопасности дорожного движения / В.В. Столяров // Актуальные проблемы транспорта России: тр. Междунар. науч.-техн. конф. Саратов: СГТУ, 1999. С.

8. Большаков В. Д. Теория математической обработки геодезических измерений / В. Д. Большаков, П.А. Гайдаев. М.: Недра, 1977. 368 с.

9. Смирнов Н.В. Теория вероятностей и математическая статистика в приложении к геодезии / Н.В. Смирнов, Д.А. Белугин. М.: Недра, 1969. 384 с.

ЛИТЕРАТУРА

107-115.

Стадник Роман Александрович -

ассистент кафедры «Инженерные изыскания и информационные технологии в строительстве» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Roman A. Stadnik -

Assistant Lecturer

Department of Engineering Investigations

and Information Technologies in Civil Engineering

Gagarin Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 05.03.12, принята к опубликованию 04.06.12